高考理科数学专题复习题型函数与导数

第10讲函数与导数

[考情分析]高考对该部分内容的考查主要有三个方面：1.对定积分的考查主要是利用微积分基本定理求积分值或面积；2.对导数几何意义的考查主要是求切线方程或根据切线方程求参数的取值；3.对导数综合应用的考查主要是围绕：(1)讨论、判断、证明函数的单调性；(2)利用函数的单调性求函数的极值或最值；(3)利用导数求参数的取值范围；(4)利用导数解决不等式问题及函数的零点、方程根的问题.

热点题型分析

热点1定积分的计算

1.求定积分的四大常用方法

2.利用定积分求平面图形面积的三个步骤 (1)画图象：在平面直角坐标系内画出大致图象；

(2)确定积分上、下限：求出交点坐标，确定被积函数和积分上下限； (3)求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果.

1.??2

41

x d x 等于( ) A.－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 答案 D

解析 因为(ln x )′＝1x ，所以y ＝1

x 的一个原函数是y ＝ln x ， 故??2

41

x d x ＝ln x|42＝ln 4－ln 2＝ln 2.故选D. 2.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )

A.43 B ．2 C.83 D.1623 答案 C

解析 抛物线C ：x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，直线l 与曲线C 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示．由???

y ＝1，x 2＝4y

可得交点的横坐标分别为－2,2.所以

3.??01[2x －x 2－sin(2πx )]d x ＝________. 答案 π

4

解析 根据定积分的性质有，??01[2x －x 2－sin(2πx )]d x

＝??012x －x 2d x －??0

1sin(2πx )d x ， 由定积分的几何意义知??0

12x －x 2d x 是由曲线y ＝2x －x 2与直线x ＝0，x ＝1

围成的封闭图形的面积，为四分之一的单位圆，故??0

1

2x －x 2

d x ＝π·124＝π

4；函数y

＝si n (2πx )是奇函数，且图象关于点? ????

12，0中心对称，故??0

1si n (2πx )d x ＝0.∴?

?0

1

[2x －x 2－sin(2πx )]d x ＝π4－0＝π

4.

利用定积分求曲边梯形的面积时，易弄错积分上、下限，或不能结合图形选择合适的积分变量.

第1题易出现的问题主要有两个方面：一是混淆求原函数和求导数的运算，误认为原函数为y ＝? ????

1x ′而找不到答案；二是记错公式，把积分的上、下限颠倒

导致计算失误，而错选C.

热点2 导数的运算及几何意义

1.利用导数求曲线的切线方程

若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解.

(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：

①设出切点坐标P′(x1，f(x1))；

②写出过P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；

③将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；

④将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程.

2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数

已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.

1.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )

A.y ＝－2x B ．y ＝－x C.y ＝2x D ．y ＝x

答案 D

解析 因为函数f (x )是奇函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，化简可得y ＝x ，故选D.

2.函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )

A.(－∞，2] B ．(－∞，2) C.(2，＋∞) D ．(0，＋∞) 答案 B

解析 由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. 所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1

x ＜2， 所以a 的取值范围是(－∞，2).

3.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )

A.ln 2 B ．1 C.1－ln 2 D ．1＋ln 2

答案 D

解析 由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴???

y 0＝k x 0－2，y 0＝x 0ln x 0，

∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0

，则ln x 0＋2

x 0

＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln

2＋1.故选D.

第1题易错点有二：一是不能利用奇函数定义正确求解a的值；二是不会利用导数几何意义求解切线斜率．第2题不能把条件与导数的几何意义联系起来，转化为存在型问题，进而求解．第3题易出现两方面的错误：一是误把点(0，－2)作为切点；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻.

热点3利用导数研究函数的性质

1.求可导函数单调区间的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；

(2)求导函数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集；

(4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间.

2.根据函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法

(1)若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调递增，转化为f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立求解；

(2)若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调递减，转化为f ′(x )≤0在(a ，b )上恒成立求解；

(3)若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调，转化为f ′(x )在(a ，b )上不变号，即f ′(x )在(a ，b )上恒大于等于零或恒小于等于零.

3.利用导数研究函数极值与最值需注意的几点

(1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点； (2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；

(3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论.

1.函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时的极值为0，则m ，n 的值为( ) A.m ＝2，n ＝9 B .m ＝1，n ＝3

C.m ＝1，n ＝3或m ＝2，n ＝9

D.m ＝1，n ＝9 答案 A

解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，

由题意可知???

f (－1)＝0，f ′(－1)＝0即???

－1＋3m －n ＋m 2＝0，3－6m ＋n ＝0，

解得???

m ＝1，n ＝3或???

m ＝2，

n ＝9.当m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋

1)2≥0，函数f(x )在R 上单调递增，无极值，舍去．当m ＝2，n ＝9时，f ′(x )＝3x 2

＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，当x<－3时，f′(x)>0；当－3－1时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝－1处取得极小值．故选A.

2.(2019·乐山期末)若f(x)＝x2－a ln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()

A.(－∞，1) B．(－∞，1]

C.(－∞，2) D．(－∞，2]

答案 D

解析由f(x)＝x2－a ln x，得f′(x)＝2x－a

x，∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴2x－a

x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤2x

2在(1，＋∞)上恒成立，∵当x∈(1，

＋∞)时，2x2>2，∴a≤2.故选D.

第1题易由于极值概念不清而导致错误，x＝－1是f(x)的极值点?f′(－1)＝0，但f′(－1)＝0未必有x＝－1是f(x)的极值点，需要验证f′(x)在点x＝－1两端是否异号．第2题f(x)在(1，＋∞)上是增函数等价于f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，易漏掉f′(x)＝0的情况而出错.

热点4利用导数解决与不等式有关的问题

1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

(1)分离参数法

①将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

②利用导数求该函数的最值；

③根据要求得所求范围.

(2)函数思想法

①将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题；

②利用导数求该函数的极值(最值)；

③构建不等式求解.

2.利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数h(x)；

(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

3.构造辅助函数的四种方法

(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)

(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；

(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))；

(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.

已知函数f(x)＝e x＋ax－2，其中a∈R.若对于任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1

A.[1，＋∞) B．[2，＋∞)

C.(－∞，1] D．(－∞，2]

答案 D

解析由x2·f(x1)－x1·f(x2)

x2[f(x1)＋a]

即f(x1)＋a

x1<

f(x2)＋a

x2，令h(x)＝

f(x)＋a

x，则对于任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且

x1

即函数h(x)在[1，＋∞)上为增函数；h(x)＝e x＋ax－2＋a

x，

则h′(x)＝x e x－e x＋2－a

x2≥0在[1，＋∞)上恒成立.

∴x e x－e x＋2－a≥0，即a≤x e x－e x＋2在[1，＋∞)上恒成立.

令g(x)＝x e x－e x＋2，∴g′(x)＝x e x>0，∴g(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴g(x)≥g(1)＝2，∴a≤2.∴a的取值范围是(－∞，2]．故选D.

解决本题的关键(难点)是构造合适的函数，易错点有两个方面：一是对原不等式变形不到位，构造不出新函数；二是不能把题干信息合理转化为所构造新函数的相关性质进而解决问题.

热点5利用导数解决与方程的解有关的问题

利用导数研究方程的解(或曲线公共点)的个数问题：

(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；

(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；

(3)结合图象，根据零点的个数，寻找函数在给定区间的极值及区间端点值的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.

1.若f (x )＝ax 3－3x 2＋1存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( ) A.(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C.(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 答案 B

解析 解法一：由题意得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ，当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈? ????0，2a ，f ′(x )<0；x ∈? ????2a ，＋∞，

f ′(x )>0；且f (0)＝1>0，f (x )有小于零的零点，不符合题意．当a <0时，x ∈? ?

???－∞，2a ，

f ′(x )<0；x ∈? ??

??

2a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.

要使f (x )有唯一的零点x 0且x 0＞0，只需f ? ????

2a >0，即a 2>4，a <－2.故选B.

解法二：由题意得a ≠0，f (x )＝ax 3－3x 2＋1有唯一的正零点，等价于a ＝3·

1

x －1x 3有唯一的正根，令t ＝1

x ，则问题又等价于a ＝－t 3＋3t 有唯一的正根，即y ＝a 与y ＝－t 3＋3t 有唯一的交点且交点在y 轴右侧．记f (t )＝－t 3＋3t ，则f ′(t )＝－3t 2＋3，由f ′(t )＝0，得t ＝±1，当t ∈(－∞，－1)时，f ′(t )<0；当t ∈(－1,1)时，f ′(t )>0；当t ∈(1，＋∞)时，f ′(t )<0.要使a ＝－t 3＋3t 有唯一的正根，只需a

2.若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同的零点，则a 可能的值为( )

A.4 B ．6 C ．7 D ．8 答案 A

解析 由题意得f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)，由f ′(x )>0，得x <1

或x>2，由f′(x)<0，得1

第1题易错点有二：一是审题不严谨，忽略零点x0＞0这一条件而错选D；二是零点问题不能转化为极值或最值与0的大小关系导致无从下手．第2题关于零点问题易在与0的临界值上辨析不清.

真题自检感悟

1.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(e x－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()

A.－1

2 B.

1

3 C.

1

2D．1

答案 C

解析解法一：f(x)＝x2－2x＋a(e x－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[e x－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a()

e t＋e－t－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋e t)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函

数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝1

2.故选C.

解法二：f(x)＝0?a(e x－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.

e x－1＋e－x＋1≥2e x－1·e－x＋1＝2，

当且仅当x＝1时取“＝”.

－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”. 若a＞0，则a(e x－1＋e－x＋1)≥2a，

要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝1 2.

若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C.

2.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )

A.a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1

答案 D

解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又切线方程为y ＝2x ＋b ，

∴???

a e ＋1＝2，

b ＝－1，

即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 3.(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________. 答案 y ＝3x

解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .

4.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________. 答案 －332

解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2 ＝4(cos x ＋1)? ?

?

??cos x －12，

所以当cos x <12时，函数f (x )单调递减；当cos x >1

2时，函数f (x )单调递增，从而得到函数f (x )的单调递减区间为??????2k π－5π3，2k π－π3(k ∈Z )，单调递增区间为???

?

??2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )， 所以当x ＝2k π－π

3，k ∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sin x ＝－

32，sin2x ＝－32

， 所以f (x )min ＝2×? ??

??

－32－32＝－332.

专题作业

一、选择题

1.(2019·海淀一模)已知a ＝??01x d x ，b ＝??01x 2d x ，c ＝??0

1x d x ，则a ，b ，c 的大

小关系是( )

A.a

C.b

答案C

解析解法一：当x∈(0,1)时，结合图象可知，x2

2.(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()

A.x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0

C.2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0

答案C

解析设f(x)＝y＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.

3．(2017·浙江高考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()

答案D

解析观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．故选D.

4.已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是()

A.0 B．1 C．2 D．3

答案D

解析由题知f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.所以a≤3，故a max＝3.故选D.

5.函数f(x)＝(x2－1)3＋2的极值点是()

A.x＝1 B．x＝－1

C.x＝1或－1或0 D．x＝0

答案D

解析因为f(x)＝(x2－1)3＋2，所以f′(x)＝6x(x2－1)2.由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．于是f(x)＝(x2－1)3＋2的极值点是x＝0.故选D.

6.设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值点，则f′(x)的图象可能为()

答案C

解析因为f(x)是偶函数，所以其导函数f′(x)是奇函数，可排除B，D；又因为f(x)在(0,1)上存在极大值点，故f′(x)在(0,1)必有变号零点，且零点左侧函数值大于0，右侧小于0，排除A，故选C.

7.(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)

的极小值为()

A.－1 B．－2e－3C．5e－3D．1

答案A

解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1，

则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)·e x－1

＝e x－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1].

由x＝－2是函数f(x)的极值点得

f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，

所以a＝－1.

所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1(x2＋x－2).

由e x－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，

且x <－2时，f ′(x )>0；－21时，f ′(x )>0.

所以x ＝1是函数f (x )的极小值点. 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.故选A.

8.设定义在(0，＋∞)上的单调函数f (x )，对任意的x ∈(0，＋∞)都有f [f (x )－log 2x ]＝3.若方程f (x )＋f ′(x )＝a 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )

A.(1，＋∞)

B.? ????

2＋1ln 2，＋∞ C.? ????2－1ln 2，＋∞ D ．(3，＋∞)

答案 B

解析 由于函数f (x )是单调函数，因此不妨设f (x )－log 2x ＝t ，则f (t)＝3，再令x ＝t ，则f (t)－log 2t ＝t ，得log 2t ＝3－t ，解得t ＝2，故f (x )＝log 2x ＋2，f ′(x )＝1

x ln 2，构造函数g(x )＝f (x )＋f ′(x )－a ＝log 2x ＋1

x ln 2－a ＋2，∵方程f (x )＋f ′(x )＝a 有两个不同的实数根，∴g(x )有两个不同的零点．g ′(x )＝1x ln 2－1x 2ln 2＝1ln 2·

? ????

x －1x 2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴g(x )min ＝g(1)＝1ln 2－a ＋2，由1ln 2－a ＋2<0，得a >2＋1

ln 2，故实数a 的取值范围是? ??

??

2＋1ln 2，＋∞.

9.(2019·青岛二模)已知函数f (x )＝2ef ′(e )ln x －x e (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为( )

A.2e －1 B ．－1

e C.1 D ．2ln 2 答案 D

解析 由题意知，f ′(x )＝2ef ′(e )x －1e ，∴f ′(e )＝2f ′(e )－1e ，则f ′(e )＝1e .因此f ′(x )＝2x －1

e ，令

f ′(x )＝0，得x ＝2e .∴f (x ) 在(0,2e )上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )在x ＝2e 处取极大值f (2e )＝2ln (2e )－2＝2ln 2.

10.(2019·济南调研)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，

x 2(x 1

A.f (x 1)>0，f (x 2)>－1

2 B.f (x 1)<0，f (x 2)<－1

2 C.f (x 1)>0，f (x 2)<－1

2 D.f (x 1)<0，f (x 2)>－1

2 答案 D

解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，即曲线y ＝1＋ln x 与直线y ＝2ax 有两个不同交点，如图.

由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 的切线可知：0<2a <1,0

???0，12.

由00，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－1

2.故选D.

11.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意实数x 均有(1－x )·f (x )＋xf ′(x )>0成立，且y ＝f (x ＋1)－e 是奇函数，则不等式xf (x )－e x >0的解集是( )

A.(－∞，e) B ．(e ，＋∞) C.(－∞，1) D ．(1，＋∞)

答案 D

解析 原不等式等价于xf (x )e x >1，令g (x )＝xf (x )

e x ，则g ′(x )＝[x

f (x )]′e x －xf (x )e x e 2x