组合数学
26103891
组合数学期末重点
第一章：7 11 14 25 26
7.n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？
[解].(1)若第1个位置是男，有n ?n ?(n-1)?(n-1)???3?3?2?2?1?1=(n!)2种排法；
若第1个位置是女，也有(n!)2种排法；
故n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，有2(n!)2种不同的排法。
因为若不记座位的差别，只记人与人之间的相对位置的变化，则每一种坐法可产生2n
个男女相间的排列，从而坐法为
22
])!1[()!1(!2)!(2-=-=n n n n n
n 种， 若不记顺、逆时针则有坐法
22])!1[(2
1
)!1(!2122)!(2-=-=?n n n n n n 种。 (2)若第1个座位坐男，有n 个可能，则第2个坐女为n 个可能，……，根据乘法原理，故有n ?n ?(n-1)?(n-1)???3?3?2?2?1?1=(n!)2种方案。同理，第1个座位坐女，也有(n!)2种方案。故有2(n!)2种方案。
11.凸10边形的任意三条对角线不共点。试求这凸10边形的对角线交于多少个点？又把所有的对角线分割成多少段？
[解].(参见柯召《组合数学》上册。P 34 例1.6.1)
(1)从一个顶点可引出7条线和第一条（从右到左）交的有1?7，和第二条交的有2?6条
故和一个顶点引出的7条线相交的点为： 1?7+2?6+3?5+4?4+5?3+6?2+7?1=84
故和从10点引出的对角线交的点有个84?10=840，但每个点重复了四次（因为每个点在两条线上，而每条线有两个端点）。故凸10 边形（这样
的）对角线交于2104
840
=个点。
故也可为2101
2347
89104
10=??????=
C
(2)从上。一个点引出的7条线中第一条线上有7个点，故将该线段分成8段；第二条线上有12个点，故将该线段分成13段，故从一个点出发的7条线上的段数为
第11题图1
第11题图2
8+13+16+17+16+13+8=91
故有10个点。故总的段数可为91?10=910。但有重复，重复数为2（因为每条线有两个端点）。故总的段数为
4552
910
=。
14.从26个英文字母中取出6个字母组成一字,若其中有2或3个母音.问分别可构成多少个字(不允许重复)?
[解].英语中有6个元音字母a,e.i,(y),o,u,其余20个是辅音。
(1)若取出6个字母组成一字,其中有2个元音,可构成
1234561256123417181920!626420???????????????=????
? ?????? ??=52 326 000 (2)若有三个元音,可构成
123456123456123181920!636320???????????????=????
? ?????? ??=16 416 000； 另一种解法认为有5个元音，其余21个是辅音
(1)若取出6个字母组成一字,其中有2个元音,可构成
1234561245123418192021!625421???????????????=????
? ?????? ??=43 092 000 (2)若有三个元音,可构成
1234561245123192021!635321?????????????=????
? ?????? ??=9 576 000。
25.5台教学机器m 个学生使用，使用第1台和第2台的人数相等，有多少种使用方案？ [解].先从m 个学生中选取k 个使用第1台机器，再从剩下的m-k 个学生中选取k 个使用第2台机器，其余m-2k 个学生可以任意使用剩下的3台机器，按乘法原理，其组合数为C (m,k)
C (m -k ,k )?3(m -2k )。这里k=0,1,2,?,q (??
?
???=2m q )，于是，按加法原理，共有
)
2(q
k 3
),(),(k m k k m C k m C -=?-∑种使用方案。
26.在由n 个0及n 个1构成的字符串中，任意前k 个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？
[解].转化为格路问题（弱领先条件—参见P36例4该例是强领先条件）。即从(0,0)到(n,n)，只能从对角
线上方走，但可以碰到对角线。它可看作是从(0,1)到(n,n+1)的强领先条件（只能从对角线上方走，但不可以碰到对角线）的格路问题。更进一步的，它
可看作是从(0,0)到(n,n+1)的强领先条件的格路问题
(因为此种格路第一步必到(0,1)格点)。故这样的字符串有
???? ??-++-n n n 1)1(0-???
? ??--++-10)1(1n n n =C (2n,n)-C (2n,n-1)个。
第二章：2.42 2.43 2.44 4 5 6
2.42.设{a n }满足a n -a n -1- a n -2 = 0，{b n }满足b n - 2b n -1- b n -2 = 0，c n = a n + b n ，n =0, 1, 2, 3, ?，试证序列{c n }满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。 [解]方法一：(特征系数法)
由于序列{a n }满足递推关系：a n -a n -1- a n -2 = 0 故显然也满足递推关系：
(a n -a n -1- a n -2) + A 1(a n -1-a n -2- a n -3) + A 2(a n -2-a n -3- a n -4) = 0 这里A 1，A 2为任意常数
整理为：a n + (A 1- 1)a n -1+(A 2-A 1- 1)a n -2- (A 1+ A 2)a n -3-A 2a n -4 = 0 由于序列{b n }满足递推关系：b n - 2b n -1- b n -2 = 0 故显然也满足递推关系：
(b n - 2b n -1- b n -2) + B 1(b n -1- 2b n -2- b n -3) + B 2(b n -2- 2b n -3- b n -4) = 0 这里B 1，B 1为任意常数
整理为：b n + (B 1- 2)b n -1+(B 2- 2B 1- 1)b n -2- (B 1+ 2B 2)b n -3-B 2b n -4 = 0 ●
令：?????
??=+=+--=---=-2
22121121211212121B A B B A A B B A A B A
解之得：???-=-=1221A A ，???-=-=112
1B B
将此解代入 和●，有：a n - 3a n -1+ 3a n -3 + a n -4 = 0 ?
b n - 3b n -1+ 3b n -3 + b n -4 = 0 ? 将?+?，并注意到
c n = a n + b n ，我们有：
c n -3c n -1+ 3c n -3 + c n -4 = 0 ? 这就是序列{c n }所满足的四阶线性常系数齐次递推关系。 方法二：(特征根法)
序列{a n }的递推关系：a n -a n -1- a n -2 = 0 特征方程：γ2-γ- 1 = 0 特征根：γ1=
25
1+，γ2=2
51- 故其通解为：b n = A ?(
251+)n
+ B ?(2
51-)n 序列{b n }的递推关系：b n - 2b n -1- b n -2 = 0
特征方程：γ2- 2γ- 1 = 0
特征根：γ1=21+，γ2=21-
故其通解为：b n = C ?(21+)n + D ?(21-)n
于是有：c n = a n + b n = A ?(
251+)n
+ B ?(2
51-)n + C ?(21+)n + D ?(21-)n 因此序列{c n }所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为： (γ-
25
1+)(γ-2
51-)[γ-(21+)][γ-(21-)] = 0 整理为：(γ2-γ- 1)(γ2- 2γ- 1) = 0 再整理为：γ4- 3γ3+ 3γ+ 1 = 0
因此，对应的四阶线性常系数齐次递推关系为：c n -3c n -1+ 3c n -3 + c n -4 = 0 。
2.4
3.在习题2.42中，若c n = a n b n ，试讨论之。 [解](特征根法)
序列{a n }的递推关系：a n -a n -1- a n -2 = 0 特征方程：γ2-γ- 1 = 0 特征根：γ1=
25
1+，γ2=2
51- 故其通解为：b n = A ?(
251+)n
+ B ?(2
51-)n 序列{b n }的递推关系：b n - 2b n -1- b n -2 = 0
特征方程：γ2- 2γ- 1 = 0 特征根：γ1=21+，γ2=21-
故其通解为：b n = C ?(21+)n + D ?(21-)n
于是有：c n = a n b n = [A ?(
251+)n
+ B ?(2
51-)n ][C ?(21+)n + D ?(21-)n ] = AC ?(
251+)n (21+)n + AD ?(2
51+)n (21-)n + BC ?(
251-)n (21+)n + BD ?(2
51-)n
(21-)n 因此序列{c n }所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为： [γ-
251+(21+)][γ-2
51+(21-)]
[γ-
251-(21+)][γ-2
5
1-(21-)] = 0 整理为：[γ2-(51+)γ- (
251+)2][γ2
-(51-)γ- (2
51-)2] = 0 再整理为：γ4- 2γ3- 7γ2- 2γ+ 1 = 0
因此，对应的四阶线性常系数齐次递推关系为：c n - 2c n -1- 7c n -2-2c n -3 + c n -4 = 0 。
2.44.设{a n }和{b n }均满足递推关系x n + b 1x n -1+b 2x n -2 = 0，试证： (a) {a n b n }满足一个三阶齐次线性常系数递推关系； (b)a 0, a 2, a 4, ?满足一个二阶线性常系数齐次递推关系。
[证](a)(特征根法)
二阶齐次线性常系数递推关系x n + b 1x n -1+b 2x n -2 = 0的特征方程为： x 2+ b 1x +b 2 = 0
设其特征根为γ1，γ2
(1)如果γ1 ≠γ2 ，则有：a n = A ?n 1γ+ B ?n 2γ，b n = C ?n 1γ+ D ?n
2γ
于是：c n = a n b n = (A ?n 1γ+ B ?n 2γ)(C ?n 1γ+ D ?n 2γ)
= AC ?(21γ)n + (AD + BC )?(γ1γ2)n + BD ?(22γ)n 这说明{c n }满足一个三阶齐次线性常系数递推关系。 其特征方程为：(x -21γ)(x -γ1γ2)(x -22γ) = 0
整理为：x 3- (21γ+ γ1γ2 +22γ)x 2 + (231γγ+2221γγ +321γγ)x - (γ1γ2)3 = 0
由于γ1 + γ2 = -b 1，γ1γ2 = b 2，故21γ+ γ1γ2 +22γ=21b -b 2 因此有：x 3- (21b -b 2)x 2 + b 2(21b -b 2)x -32b = 0 故此{c n }满足如下的三阶齐次线性常系数递推关系：
c n - (21b -b 2)c n -1 + b 2(21b -b 2)c n -2-32b c n -3 = 0 。
(2)如果γ1 = γ2 =γ，是一个二重根，则有：a n = (A + Bn )?γn ，b n = (C + Dn )?γn 于是：c n = a n b n = (A + Bn )?γn (C + Dn )?γn = [AC + (AD + BC )n + BDn 2]?(γ2)n 这说明{c n }满足一个三阶齐次线性常系数递推关系。 其特征方程为：(x 3-γ2)3 = 0 整理为：x 3- 3γ2x 2 + 3γ4x -γ6= 0 由于2γ = -b 1，γ2 = b 2
因此有：x 3-3b 2x 2 + 322b x -32b = 0
故此{c n }满足如下的三阶齐次线性常系数递推关系：
c n -3b 2c n -1 + 322b c n -2-32b c n -3= 0 。
(b) (特征根法)
二阶齐次线性常系数递推关系x n +b 1x n -1+b 2x n -2 = 0的特征方程为
x 2+ b 1x +b 2 = 0
设其特征根为γ1，γ2
(1)如果γ1 ≠γ2 ，则有：a n = A ?n
1γ+B ?n
2γ
于是a 2n = A ?n )(21γ+B ?n )(22
γ 因此，这说明{a 2n }满足一个二阶齐次线性常系数递推关系 其特征方程为 (x -21γ)(x -22γ) = 0 整理为：x 2-(21γ+22γ)x +21γ?22γ= 0
由于γ1+γ2 = - b 1，γ1?γ2 = b 2 ，故有21γ+22γ=2
1b -2b 2
于是x 2-(2
1b -2b 2)x +2
2b = 0
故此序列{a 2n }满足一个二阶齐次线性常系数递推关系为：
c n -(2
1b -2b 2)c n -1 +2
2b c n -2= 0 。
(2)如果γ1 = γ2 = γ，是一个二重根，则有：a n = (A ?+Bn )?γn
于是a 2n = (A ?+Bn )?(γ2)n
因此，这说明{a 2n }满足一个二阶齐次线性常系数递推关系 其特征方程为 (x -γ2)2 = 0 整理为：x 2-2γ2x +γ4= 0
由于 2γ= - b 1，γ2= b 2， 于是x 2-2b 2x +2
2b = 0
故此序列{a 2n }满足一个二阶齐次线性常系数递推关系为： c n -2b 2c n -1 +2
2b c n -2= 0 。
4. 求由 A, B, C, D 组成的允许重复的排列中 AB 至少出现一次的排列数目.
5. 求 n 位四进制数中2和3必须出现偶数次的数目.
6. 试求由 a, b, c 三个文字组成的 n 位符号串中不出现 aa 图象的符号串的数目. 第三章：3.22 3.23 3.24 3.65 3.66 3.67 3.22.求满足条件：x 1+x 2+x 3=20
3≤ x 1≤9，0≤ x 2≤8，7≤ x 3
≤17 的整数解的数目。
[解].方法一：利用容斥原理二
???
不定方程 与如下的不定方程 等价： x 1+x 2+x 3=10
0≤ x 1≤6，0≤ x 2≤8，0≤ x 3
≤10
(这可通过作变换???
??-==-=7
3
33
2211x x x ξξξ来实现)。
对应于不定方程 的不受限的不定方程为：
x 1+x 2+x 3=10
x 1≥0，x 2≥0，x 3≥0
设：X={x |x =(x 1,x 2,x 3)是不定方程●的解};
A 1={ x |x =(x 1,x 2,x 3)是不定方程●的解且x 1≥6+1=7}; A 2={ x |x =(x 1,x 2,x 3)是不定方程●的解且x 2≥8+1=9}; A 3={ x |x =(x 1,x 2,x 3)是不定方程●的解且x 3≥10+1=11}; 因此,根据定理3.6.4.可知，不定方程●的解的数目： p 0=|X|=????
??-+101103=???? ??1012=???
? ??212=1211
12??=66 A 1对应的不定方程是： x 1+x 2+x 3=10
x 1≥7，x 2≥0，x 3≥0 令：???
??==-=33
22117
x
x x ξξξ (ξ1≥0, ξ2≥0, ξ3≥0)。利用?我们得到：
ξ1+ξ2+ ξ3=( x 1-7)+ x 2+ x 3=( x 1+x 2+x 3)-7=10-7=3 所以不定方程?的解与下列不定方程：
ξ1+ξ2+ ξ3=3
ξ1≥0, ξ2≥0, ξ3≥0 的解一一对应。故根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目为：
|A 1|=???? ??-+3133=???? ??35=???
? ??25=1245??=10
同理可得： |A 2|=????
??---+9101)910(3=???
?
??13=3 ???
??
?●
?
?
??
?
?
??'
A 3对应的不定方程是： x 1+x 2+x 3=10
x 1≥0，x 2≥0，x 3≥11 由于解若满足条件x 1≥0，x 2≥0，x 3≥11，则有 x 1+x 2+x 3≥0+0+11=11>10 故不定方程?没有解，即 |A 2|=0
因此p 1=|A 1|+|A 2|+|A 3|=10+3+0=13 A 1?A 2对应的不定方程是：
x 1+x 2+x 3=10
x 1≥7，x 2≥9，x 3≥0
由于解若满足条件x 1≥7，x 2≥9，x 3≥0，则有 x 1+x 2+x 3≥7+9+0=16>10 故不定方程?没有解，即 |A 1?A 2|=0
同理可得：|A 1?A 3|=0，|A 2?A 3|=0
因此p 2=|A 1?A 2|+|A 1?A 3|+|A 2?A 3|=0+0+0=0 A 1?A 2?A 3对应的不定方程是：
x 1+x 2+x 3=10
x 1≥7，x 2≥9，x 3≥11 由于解若满足条件x 1≥7，x 2≥9，x 3≥11，则有 x 1+x 2+x 3≥7+9+11=27>10 故不定方程?没有解，即 p 3=| A 1?A 2?A 3|=0
所以，不定方程 、也即不定方程 的解的数目为： q 0=|321A A A ??|= p 0-p 1+p 2- p 3=66-13+0-0=53 。
方法二：利用母函数方法 不定方程 对应的母函数是：
(1+x +x 2+x 3+x 4+x 5+x 6)(1+x +x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8)(1+x +x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10)
=(1+2x +3x 2+4x 3+5x 4+6x 5+7x 6+7x 7+7x 8+6x 9+5x 10+4x 11+3x 12+2x 13+x 14) (1+x +x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10)
不定方程 的解的数目为上述母函数中x 10的系数： 1?1+2?1+3?1+4?1+5?1+6?1+7?1+7?1+7?1+6?1+5?1 =1+2+3+4+5+6+7+7+7+6+5 =53 。
?
?
??
??
??
?
?
??
3.23.求满足下列条件：
x 1+x 2+x 3=40 6≤ x 1≤15，5≤ x 2≤20，10≤ x 3≤25
的整数解的数目。
[解].(仿3.22题)方法一.利用容斥原理二，不定方程 与如下的不定方程 等价：
x 1+x 2+x 3=19
0≤ x 1≤9，0≤ x 2≤15，0≤ x 3≤15 (这可通过作变换???
??-=-=-=10
56
33
2211x x x ξξξ来实现)。
对应于不定方程 的不受限的不定方程为： x 1+x 2+x 3=19 x 1≥0，x 2≥0，x 3≥0
设：X={x |x =(x 1,x 2,x 3)是不定方程●的解};
A 1={ x |x =(x 1,x 2,x 3) 是不定方程●的解且x 1≥9+1=10}; A 2={ x |x =(x 1,x 2,x 3) 是不定方程●的解且x 2≥15+1=16}; A 3={ x |x =(x 1,x 2,x 3) 是不定方程●的解且x 3≥15+1=16}; 因此,根据定理3.6.4.可知，不定方程●的解的数目： p 0=|X|=????
??-+191193=???? ??1921=???
? ??221=1220
21??=210 A 1对应的不定方程是： x 1+x 2+x 3=19
x 1≥10，x 2≥0，x 3≥0 令：???
??==-=33
221110x
x x ξξξ (ξ1≥0, ξ2≥0, ξ3≥0)。利用?我们得到：
ξ1+ξ2+ ξ3=( x 1-10)+ x 2+ x 3=( x 1+x 2+x 3)-10=19-10=9 所以不定方程?的解与下列不定方程：
ξ1+ξ2+ ξ3=9
ξ1≥0, ξ2≥0, ξ3≥0
的解一一对应。故根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目为：
??
?
?
?
?
??
?
●
?
???
??
??'
|A 1|=????
??-+9193=???? ??911=?
??? ??211=1210
11??=55 同理可得： |A 2|=????
??---+1619116193)(=???? ??35=???
? ??25=124
5??=10 |A 3|=????
??---+1619116193)(=???? ??35=???? ??25=1
245??=10因此p 1=|A 1|+|A 2|+|A 3|=55+10+10=75 A 1?A 2对应的不定方程是：
x 1+x 2+x 3=19
x 1≥10，x 2≥16，x 3≥0 由于解若满足条件x 1≥10，x 2≥16，x 3≥0，则有 x 1+x 2+x 3≥10+16+0=26>19 故不定方程?没有解，即 |A 1?A 2|=0
同理可得：|A 1?A 3|=0，|A 2?A 3|=0
因此p 2=|A 1?A 2|+|A 1?A 3|+|A 2?A 3|=0+0+0=0 A 1?A 2?A 3对应的不定方程是：
x 1+x 2+x 3=19
x 1≥10，x 2≥16，x 3≥16
由于解若满足条件x 1≥10，x 2≥16，x 3≥16，则有 x 1+x 2+x 3≥10+16+16=42>19 故不定方程?没有解，即 p 3=| A 1?A 2?A 3|=0
所以，不定方程 、也即不定方程 的解的数目为： q 0=|321A A A ??|= p 0-p 1+p 2- p 3=210-75+0-0=135 。 方法二：利用母函数方法 不定方程 对应的母函数是：
(1+x +x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9) (1+x +x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10+x 11+x 12+x 13+x 14+x 15)2
2
1610
1111???? ??----=x x x x 3321610)
1()
21)(1(x x x x -+--= =(1-x 10
-2x 16
+2x 26
+x 32
-x 42
)??
????+???? ??+++???? ??+???? ??+???? ?? n
x n x x 222423222
(参见第三版习题2.16(P 199)或第二版第二章习题7(P 131)) 不定方程 的解的数目为上述母函数中x 19的系数：
?
?
??
??
??
1????? ??221-1????? ??211-2????
?
??25 =
122021??-121011??-2?1
24
5??
=210-55-20 =135 。
3.2
4.求满足下列条件的整数解的数目： x 1+x 2+x 3+x 4=20
1≤ x 1≤5，0≤ x 2≤7，4≤ x 3≤8，2≤ x 4≤6。
[解].(仿题3.22)方法一：利用容斥原理二，不定方程 与如下的不定方程 等价： x 1+x 2+x 3+x 4=13
0≤ x 1≤4，0≤ x 2≤7，0≤ x 3≤4，0≤ x 4≤4 (这可通过作变换???????-=-==-=2
41
44332
211x x x x ξξξξ来实现)。
对应于不定方程 的不受限的不定方程为： x 1+x 2+x 3+x 4=13
x 1≥0，x 2≥0，x 3≥0，x 4
≥0
设：X={x |x =(x 1,x 2,x 3,x 4)是不定方程●的解};
A 1={ x | x =(x 1,x 2,x 3,x 4)是不定方程●的解且x 1≥4+1=5}; A 2={ x | x =(x 1,x 2,x 3,x 4)是不定方程●的解且x 2≥7+1=8}; A 3={ x | x =(x 1,x 2,x 3,x 4)是不定方程●的解且x 3≥4+1=5}; A 4={ x | x =(x 1,x 2,x 3,x 4)是不定方程●的解且x 4≥4+1=5}; 因此,根据定理3.6.4.可知，不定方程●的解的数目：
p 0=|X|=???? ??-+131134=???? ??1316=???
? ??316=123141516????=560
A 1对应的不定方程是： x 1+x 2+x 3+x 4=13
x 1≥5，x 2≥0，x 3≥0，x 4≥0 ??
?
?
?
?
???●
?
?
?
?
令：???????===-=4
4332
2115x x x x ξξξξ (ξ1≥0, ξ2≥0, ξ3≥0, ξ4≥0)。利用?我们得到：
ξ1+ξ2+ ξ3+ξ4=( x 1-5)+ x 2+ x 3+x 4=( x 1+x 2+x 3+x 4)-5=13-5=8
所以不定方程?的解与下列不定方程：
ξ1+ξ2+ξ3+ξ4=8
ξ1≥0, ξ2≥0, ξ3≥0, ξ4≥0
的解一一对应。故根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目为：
|A 1|=???? ??-+8184=???? ??811=???
? ??311=12391011????=165
同理可得： |A 2|=????
??---+8131)813(4=???? ??58=???? ??38=1
236
78????=56 |A 3|=???? ??---+5131)513(4=???? ??811=???
? ??311=12391011????=165 |A 4|=????
??---+5131)513(4=???? ??811=???? ??311=1
2391011????=165 因此p 1=|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|=165+56+165+165=551 A 1∩A 2对应的不定方程是： x 1+x 2+x 3+x 4=13
x 1≥5，x 2≥8，x 3≥0，x 4≥0 令：???????==-=-=4
4332
21185x x x x ξξξξ (ξ1≥0, ξ2≥0, ξ3≥0, ξ4≥0)。利用?我们得到：
ξ1+ξ2+ξ3+ξ4=(x 1-5)+(x 2-8)+ x 3+x 4=( x 1+x 2+x 3+x 4)-(5+8)=13-13=0
所以不定方程?的解与下列不定方程：
ξ1+ξ2+ξ3+ξ4=0
ξ1≥0, ξ2≥0, ξ3≥0, ξ4≥0 的解一一对应。故根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目为：
|A 1∩A 2|=????
??-+0104=???
?
??03=1 ?
??
?'
?
???
?
?
?
?'
同理可得：|A 1∩A 3|=????
??-----+55131)5513(4=???? ??36=1
234
56????=20 |A 1∩A 4|=????
??-----+55131)5513(4=???
? ??36=1234
56????=20 |A 2∩A 3|=???? ??-----+58131)5813(4=???
? ??03=1 |A 2∩A 4|=????
??-----+58131)5813(4=???
? ??03=1 |A 3∩A 4|=
???
?
??-----+55131)5513(4=
???
?
??36=
1
23456????=20因此
p 2=|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 1∩A 4|+|A 2∩A 3|+|A 2∩A 4|+|A 3∩A 4| =1+20+20+1+1+20=63A 1∩A 2∩A 3对应的不定方程是： x 1+x 2+x 3+x 4=13 x 1≥5，x 2≥8，x 3≥5，x 4≥0 由于解若满足条件x 1≥5，x 2≥8，x 3≥5，x 4≥0，则有 x 1+x 2+x 3+x 4≥5+8+5+0=18>13
故不定方程?没有解，即|A 1∩A 2∩A 3|=0
同理可得：|A 1∩A 2∩A 4|=0，|A 1∩A 3∩A 4|=0，|A 2∩A 3∩A 4|=0
p 3=|A 1∩A 2∩A 3|+|A 1∩A 2∩A 4|+|A 1∩A 3∩A 4|+|A 2∩A 3∩A 4|=0+0+0+0=0 A 1∩A 2∩A 3∩A 4对应的不定方程是： x 1+x 2+x 3+x 4=13
x 1≥5，x 2≥8，x 3≥5，x 4≥5 由于解若满足条件x 1≥5，x 2≥8，x 3≥5，x 4≥0，则有 x 1+x 2+x 3+x 4≥5+8+5+5=23>13 故不定方程?没有解，即 p 4=| A 1∩A 2∩A 3∩A 4|=0
所以，不定方程 、也即不定方程 的解的数目为：
q 0=|1A ∩2A ∩3A ∩4A |= p 0－p 1+p 2－p 3+p 4=560－551+63－0+0=72。 方法二.利用母函数方法,不定方程 对应的母函数是： (1+x +x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7)(1+x +x 2+x 3+x 4)3
3
581111???? ??----=x x x x 4151058)
1()
331)(1(x x x x x --+--= ?
??
?
?
???
=(1-3x 5-x 8+3x 10+3x 13-x 15-3x 18+x 23)??
?
???+???? ??+++???? ??+???? ??+???? ?? n
x n x x 333534332
(参见第三版习题2.16(P 199)或第二版第二章习题7(P 131)) 不定方程 的解的数目为上述母函数中x 13的系数： 1????? ??316-3????? ??311-1????? ??38+3????? ??36+3????
?
??33 =
123141516????-3?12391011????-123678????+3?1
234
56????+3?1
=560-495-56+60+3 =72。
3.65.设X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，从X 中任取7个元素，则其中必有两个元素之和等于10。 [证].X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中这11个元素：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，可分为6个子集：{0,10}，
{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{5}。因此，从X 中任取7个元素，则其中必有两个元素落入同一个子集中，但不可能是子集{5}，因为此子集中只有一个元素。而这两个元素落入其余四个子集的任何一个之中, 其和显然都是10。
3.66.每边长为3的等边三角形内径取10个点，试证至少有一对点距离小于1。 [证].将边长为3的等边三角形按右图剖分成9个相同的边长为1的小等边三角形，因此在大
三角形内径取10个点，必至少有一对点落入某个小三角形中，因此，这一对点的距离不会超过1。 另外，若这一对点的距离刚好是1，则这一对点必是该小三角形的三个顶点中的某两个。而小三角形的三个顶点中至少有两个在大三角形的边界上，因此，这一对点中必至少有一个是在大三角形的边界上，而这与题设这10个点都在大三角形内矛盾。 所以，这一对点的距离小于1。
3.67.任取7个不同的正整数，其中至少存在两个整数a 和b 使得a -b 或a +b 被10除尽。 [证].设7个正整数为a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7，被10除的余数分别是r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, r 6, r 7。另外，
可能的余数共10个：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，可分为6类：{0},{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{5}。因此r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, r 6, r 7中至少有两个属于同一类,例如r i , r j 。于是或者r i = r j , 或者r i + r j =10。这就是说, 或者a i - a j 可被10除尽, 或者a i + a j 可被10除尽。
第四章：4.11 4.13 4.15 4.17 4.18
4.11.有一个3?3的正方形棋盘，若用红、蓝色对这9个格进行染色，要求两个格着红色，其
余染蓝色，问有多少种着色方案？
[解]. 一个3?3的正方形棋盘，只能旋转，不能翻转，其详细的置换群为:
不动0?： P 1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)
逆时针旋转90?:P 2=(5)(1793)(2486) 1 2 3 4 5 6
7
8
9
第4.11题 图
第3.66题图
顺时针旋转90?:P 3=(5)(1397)(26 84) 旋转180?:P 4=(5)(19)(28)(37)(46)
第4.11题 表
将2个格着以r 色，7个格着以b 色，相当于用b ，r 二种颜色对3?3的正方形棋盘进行染色。
于是根据母函数形式的Pólya 定理，方案枚举：
P(b ,r )=
4
1
[(b +r )9+2(b +r )(b 4+r 4)2+(b +r )(b 2+r 2)4] 其中b 7r 2的系数即为所求染色方案数：
]140229[41???
? ??+?+????
?? =]!
3!1!
4!7!2!9[
41+ =[36+4]/4 =10(种) 。
4.13.对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案？旋转使之重合
作为相同处理。 [解].见第4.13题图，使之重合的刚体运动群，它含有关于正六角形中心轴旋转±60?，±120?，180?的置换，绕过2个对角的轴翻转180o 的置换，以及绕过2个对凹的轴翻转180o 的置换： 不动0?：(1)(2)(3)(4)(5)(6)
旋转±60?：(1 2 3 4 5 6)，(6 5 4 3 2 1)
旋转±120?：(1 3 5)(2 4 6)，(5 3 1)(6 4 2) 旋转180?：(1 4)(2 5)(3 6) 翻转(角-角) 180?：(1)(2 6)(3 5)(4)，(2)(1 3)(4 6)(5)
(3)(1 5)(2 4)(6)
翻转(凹-凹) 180?：(1 4)(2 3)(5 6)，(1 2)(3 6)(4 5)，(1 6)(2 5)(3 4)。
第4.13题 图
第4.13题 表
于是根据Pólya 定理，可得不同的染色方案数为： l =
]5353552525[12
1343216
?+?++?+?+ =)3751875125501015625(121
+++++ =12
1?18060 =1505(种) 。
2020年整理学习组合数学心得体会.doc
组合数学学习心得体会 学习数学我感觉是一件很有味道的事情，令人思维变得敏捷活跃。学习组合数学更是令人思维更严谨更具逻辑性。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。经过课堂学习和课外阅读我了解到组合数学的一些应用实例： 我们组合数学这一门课程在吴克俭老师的指导下，经过半学期的学习，我们主要学习了包括排列和组合，二项式系数，调和数、Fibonacci数与Catalan数，第二类Stirling数和Bell数，第一类Stirling数，正整数的分拆，Bernoulli 数与Euler数，递归数列，形式幂级数等知识内容。老师教会了我数学思维和方法非常重要，而且组合数学学习的思维方法是解决有关的其他数学问题的一个很好的借鉴。 著名的组合数学家 Thomas Tutte 在组合数学界是泰斗级的大师。Tutte 从德军的两条情报密码出发，用组合数学的方法，重建了敌人的密码机，确定了德军密码的内部结构，从而获得了极为重要的情报；在美国有一家公司用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功；在美国已有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题；德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注；1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。等等 我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。 组合数学可以一般描述为：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。经验证发现的组合数学最有力的工具之一为数学归纳法。归纳是一个强有力的过程，在组合数学中尤其是如此。用数学归纳法证明一个结果常常比证明一个弱结果更容易。许多组合问题的解决常常需要某些特别的例证，而且有时需要结合使用一般的理论。我们必须学会建立数学模型，研究模型，抓住问题的要害，灵活的应用智慧来解决问题。 组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。以下两种问题反复出现：排列的存在性，排列的计数和分类。虽然对任何组合数学问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实际问题中如果存在性问题需要广泛的研究那么计数问题则是非常困难的。“排列和组合”是组合数学所研究的最简单、最基本的课题，学好“排列和组合”也是学好组合数学的开始，下面我举例说明：排列主要分为四种：可重复排列、不可重复排列、限定型排列和圆排列。 限定型排列的定义为：设n元集 {} 12 ,,..., n S a a a = ，如果在S上取若干元素 的排列中允许1 a出现1m次，2a出现2m次，,n a出现2m次，称这种排列为
初中数学组合 ()
组 合 教学目标： 1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题； 2、掌握组合数的计算公式； 3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力； 教学内容：组合的概念及组合数的计算方法 教学重点：组合的概念、组合数 教学难点：解组合的应用题 教学方法：排列与组合结合法 教学过程设计 一、知识回顾 1、排列的概念 一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2、排列数概念 一般地，从n 个不同的元素中每次取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，记作m n A 。 3、排列数计算公式：(1)(2)(1)()m n A n n n n m m n =---+≤ !n n A n = ()! ! m n n A n m = - 二、学习新课 课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。 【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？) 解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为2 3A ，对应的排列为： 甲 乙 乙 甲 甲 丙 丙 甲
丙 乙 乙 丙 变化后的问题对应的可能情况为： 甲 乙 甲 丙 丙 乙 分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念） 组合 一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 分析：对比排列和组合的定义，同样是从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，而排列是把取出的m 个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的m 个元素并成一组，与元素的顺序无关。 组合数 同样地类似于排列，我们研究从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为m n C 。 【问题2】从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的组合？） 解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为2 3A ，对应的排列为： ab ba ac ca bc cb 变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为2 3C ，对应的组合为： ab ac bc 总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。 通过例题讲解区分排列与组合问题。 【例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？ (1) 从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？ (2) 从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为2 6C （先
组合数学.
组合数学 第一章 排列和组合 1.1 计数的基本原则 相等原则：设A 、B 是两个有限集，如果存在由A 到B 上一个一一对应映射（即双射），则 |A|=|B|. 加法原则：设A 是有限集，),,...2,1(k i A A i =? 如果 k i i A A 1 == 且 =j i A A φ（1≤i ＜j ≤k ），则 ∑== k i i A A 1 . ★ 定理1.1 已知做一件事要经过两个步骤，完成第一个步骤的方法有m 种，完成第一个步骤之后，完成第二个步骤的方法有n 种，则做这件事情的方法共有mn 种. ★ 定理1.2（乘法原则）：已知做一件事情要依次经过k 个步骤，且在已完成前面i-1（1≤i ≤k ）个步骤的情况下，完成第i 个步骤有i n 种方法，则做这件事情的方法共有 ∏==??????k i i k n n n n 1 21 种. 1.2 排列 n 元集的r-排列 ? 定义1.1 设A 是n 元集，如果序列r a a a ???21中的r 个元 r a a a ,,,21???都属于A 且 彼此互异，则称序列r a a a ???21是n 元集A 的一个r-排列，并称k a （1≤k ≤r ）是该r-排列的第k 个元，或称k a 在该r-排列中排在第k 位. ? 定义1.2 n 元集A={n a a a ,,,21???}的n-排列称为n 元集A 的一个全排列，亦称为由 n a a a ,,,21???作成的一个全排列.
定理1.3 设n ，r （n ≥r ）是正整数，以P(n,r)表示n 元集的r-排列的个数，则 )! (! )1()1(),(r n n r n n n r n P -= +-???-= 推论1.1 n 元集的全排列的个数为n ！ n 元集的r-可重复排列 ? 定义1.3 设A 为n 元集，如果序列r a a a ???21的元素都属于A ，则称序列r a a a ???21是n 元集A 的一个r-可重复排列. ★ 定理1.4 n 元集的r-可重复排列的个数为r n . 多重集的排列 ? 定义1.4 由k k a n a n a n 个个个,,,2211???组成的集合M 记为 },,,{2211k k a n a n a n M ??????=，M 称为多重集，也称M 是一个n-多重集，其中k n n n n +???++=21. ? 定义1.5 设},,,{2211k k a n a n a n M ??????=，π是集合},,,{21k a a a A ???=的一个n-可重复排列且π中有k k a n a n a n 个个个,,,2211???，则称π是多重集M 的一个全排列，此时也称π是由k k a n a n a n 个个个,,,2211???作成的全排列。 ★ 定理1.5 多重集},,,{2211k k a n a n a n M ??????=的全排列的个数为 ! !!)! (2121k k n n n n n n ???+???++ ? 定义1.6 设},,,{2211k k a n a n a n M ??????=和},,,{2211k k a s a s a s A ??????=都是多重
数学排列组合的体会
数学排列组合的体会李达科 数学的排列组合本来很是简单，听了优酷网中的北京四中的老师的课以后，觉得这位老师讲太复杂了！照这位老师讲法，那个学生能听明白？ 例子1：假设为一维根，又设1a =1A =为二维数，那么2a a a d +== 是一维的排列组合解法。它做到了左边用求和，右边用系数2乘以实数求积， a d d 2===. 例子2： 假设 为一维根宽，1a =1A =为二维乘积数，2d =为一维根长，2B =为二维乘积数，那么2A A A +==B 是二维非线性的排列组合解法。它做到了左边用加法求和得到二维长方形面积，右边用系数乘以二维实数2A ,B 是它的二维面积计算结果。 假设 为一维根宽，1a =1A =为二维乘积数，2d =为一维线性根长，2B =为二维乘积数，那么是二维非线性的排列组合解法。它做到了左边求和得到二维长方形面积，右边用根长乘以根宽a ，B 是它的二维面积计算结果。因A A d a B +=×=d A A B +=,()a a a a a a a d a B ×+×=+×=×=， 2A A A +==B 都是解. 例子3：假设 为一维根长，为一维根宽，1a =1a =2d =为一维线性立方根高，'1A =为三维乘积数， '2 B =为三维乘积数，那么''A A a a a a a a + =××+××()a a a a =+××'d a a B =××=是三维非线性的排列组合解法。它做到了左边用求和得到三维长方体体积，左边用立方根长乘以立方根宽再乘以立方根高, d a a 'B 是它的三维体积计算结果。（本题是用传统数学计算，若用达科格位数论解法更简单些） 以上三道题的计算得出了：一维线性的长度2a a a d +== 对应于11212+= ×= 对应于 = = == 的解. 二维非线性的面积对应于11A A d a B +=×=212+=×=对应于 ()A A a a a a a a a d a B +=×+×=+×=×=的解.. 三维非线性的体积''2''A A A B +==对应于11212+=×=对应于 ''()'A A a a a a a a a a a a d a a B +=××+××=+××= ××=的解.
排列组合教案
数学广角 《课题一排列组合》教学设计 教学内容： 《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级上册）》第99页的的内容---排列、组合。 教材分析： 课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究，通过学生日常生活中简单的事例呈现出来，并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时，初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标： 1使学生通过观察、猜测实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数。 2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。 情感态度与价值观：通过解决生活中的一些实际问题，感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。 教学重点：有序排列的思想和方法 过程与方法：通过实践活动，经历找排列数与组合数的过程，体验排
列与组合的思想方法。 课时：1课时 教学设计 情景导入 师：同学们喜欢去广场吗？为什么？ 走进新课 师：今天我们也要到一个有意思的地方，哪呢？课件（数学广角）对，那里没有好吃的，好玩的，但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们，想去吗？ 在去之前，我们先打扮一下自己，穿上漂亮的衣服，老师这有四件衣服（课件）你喜欢那套衣服，同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢？拿出手中的学具摆摆看。 学生分组讨论 汇报交流 同学们表现的真不错，你喜欢那一套，我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。 展开活动 1、开启大门 数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数，这道 门的密码可能是那些数？ 生；12、21。 师：这两个数字有什么不同？
组合数学课后标准答案
组合数学课后标准答案
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习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
【学习实践】《简单的排列组合》教学案例分析
《简单的排列组合》教学案例分析 【教学背景】 在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。 【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 ．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的
排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。 【教学准备】PPT 【教学过程】 …… 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门
组合数学
组合数学论文 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。 广义的组合数学就是离散数学，离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。 组合数学中有几个著名的问题： 地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？ 这是线性规划的问题。 中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 货郎问题：一个货郎要去若干城镇卖货，然后会到出发地，给定各个城镇之间的旅行时间，应怎么样计划他的路线，使他可以去每个城镇而且所用的时间最短。这个问题至今都没有有效的算法。 这几个问题将组合数学研究的问题具体表现出来，同时也可以看出他在我们生活中有着很重要的地位。 组合数学中主要可以分成以下几个部分：排列组合与容斥原理、二项式定理、递推关系与生成函数、polya定理。下面我将以这四个部分分别介绍组合数学的各方面问题。 1、排列组合与容斥原理： 排列组合里面的4个重要的基本原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理 前面两个最为基本，后面两个是根据前两个派生出来的。乘法原理有的时候的应用很巧妙，可以作为一种打开思路的办法。
组合数学教学大纲
《组合数学》课程教学大纲 课程英文名Combinatorics 执笔人：晁福刚编写日期：2010.7.9 一、课程基本信息 1. 课程编号：07010132 2. 课程性质/类别：限选课/专业基础课 3. 学时/学分：48学时/ 2学分 4. 适用专业：数学与应用数学信息与计算科学专业 二、课程教学目标及学生应达到的能力 组合数学主要研究一组离散对象满足一定条件的安排的存在性，以及这种安排的构造、枚举计数及优化等问题，这是整个离散数学的一个重要组成部分。 《组合数学》课程的教学目标是通过本课程的学习，使学生初步掌握组合数学的基本原理和思想方法。了解和掌握并会应用鸽巢原理、排列与组合、容斥原理、递推关系、生成函数等组合数学基本知识。 三、课程教学内容与基本要求 （一）鸽巢原理（8学时） 1．主要内容： 鸽巢原理的简单形式，鸽巢原理的加强形式，Ramsey问题与Ramsey数，Ramsey 数的推广。 2．基本要求 1．了解鸽巢原理的简单形式和加强形式，会用鸽巢原理解决简单的问题。 2．了解Ramsey问题的历史由来，会求简单的Ramsey数，Schur数。 3．自学内容：无 4．课外实践：无 （二）基本计数问题（10学时） 1．主要内容： 加法原则与乘法原则，排列与组合，多重集合的排列与组合，二项式系数，集合的分划与第二类Stirling数，正整数的分拆，分配问题。 2．基本要求 1．了解加法原则和乘法原则，会求简单的排列组合问题。 2．掌握多重集合的排列和组合技巧。 3．会证明组合恒等式。 4．了解集合的分划与第二类Stirling数，知道两类数之间的关系。 5．知道正整数分拆问题的递推关系及研究进展。 6．知道一些简单的分配问题的解法。 3．自学内容： 排列组合
组合数学简介
组合数学简介 卡特兰数 Catalan，Eugene，Charles，卡特兰（1814～1894）比利时数学家，生于布鲁日（Brugge），早年在巴黎综合工科学校就读。1856年任列日（Liege）大学数学教授，并被选为比利时布鲁塞尔科学院院士。 卡特兰一生共发表200多种数学各领域的论著。在微分几何中，他证明了下述所谓的卡特兰定理：当一个直纹曲线是平面和一般的螺旋面时，他只能是实的极小曲面。他还和雅可比（Jacobi，C·G·J）同时解决了多重积分的变量替换问题，建立了有关的公式。 1842年，他提出了一种猜想：方程xz－yt＝1没有大于1的正整数解，除非平凡情形32－23＝1。这一问题至今尚未解决。 （mathoe注：即除了8、9这两个连续正整数都是正整数的方幂外，没有其他。1962年我国数学家柯召以极其精湛的方法证明了不存在三个连续正整数，它们都是正整数的方幂，以及方程x2－yn＝1，n＞1，xy≠0无正整数解。并且还证明了如果卡特兰猜想不成立，其最小的反例也得大于1016。） 此外，卡特兰还在函数论、伯努利数和其他领域也做出了一定的贡献。 卡特兰通过解决凸n边形的剖分得到了数列Cn。 凸n＋2边形用其n－1条对角线把此凸n＋2边形分割为互不重叠的三角形，这种分法的总数为Cn。 为纪念卡特兰，人们使用“卡特兰数”来命名这一数列。 据说有几十种看上去毫不相干的组合计数问题的最终表达式都是卡特兰数的形式。 卡特兰数在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等都会有其不同侧面的介绍。 前几个卡特兰数：规定C0＝1，而 C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42， C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796， C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845。 递推公式 圆周上有标号为1，2，3，4，……，2n的共计2n个点，这2n个点配对可连成n条弦，且这些弦两两不相交的方式数为卡特兰数Cn。 2003年浙江省小学数学夏令营竞赛考了这个题：圆周上10个点可以连成既不相交，也没有公共端点的5条线段，不同的连法共有_____种。 答：方法的种数是卡特兰数C5＝42，此题被收录进单墫主编的知识出版社出版的《华数奥赛强化训练》小学六年级册的“计数问题”专题。 共六种类型，第1类有5种连法，第2类有2种连法，第3类有10种连法，第4类有10种连法，第5类有10种连法，第6类有5种连法。共有42种连法。
排列组合练习题与答案
排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题： 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ） A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ） A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 答案：1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人，则有2138390n n C C A -=。4、22 58m n m A A +-= 选C. 二、相邻问题： 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？ 2. 有8本不同的书， 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( )
A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1.24 2448 A A=(2) 选 B 325 3251440 A A A= 三、不相邻问题： 1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？ 2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？ 3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（） A.2880 B.1152 C.48 D.144 4.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？ 5.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？ 6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？ 7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？ 8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是（） A.28种 B.84种 C.180种 D.360种
简单的排列组合教学反思
《简单的排列组合》教学反思 本节课的知识是排列和组合简单的知识，但对学生来说，教师又不能直接讲解排列组合，如何讲解比较深奥的知识，这是应该正视的问题。在处理教材时，没有直接呈现排列组合原理，而是从排列组合的基本思考方法入手——科学枚举法。因为学生只有恰当的分类，将事情的各种情况能够一一列举出来，就能够保证计数时不重复不遗漏——这是本节课的重点和难点所在。所以本节课没有要求学生解决比较复杂的计数问题，也不要求发现加法原理与乘法原理，而是要求学生通过科学枚举法，感受计数方法。在教学中，为了突破重点，从多方面想办法：一是让学生认识到排列与组合学习是生活中的必须；二是让学生通过摆、画、列表等活动，学习“不重复、不遗漏”的计数的方法。本课教学后我进行了认真反思，觉得有以下可取之处和不足之处。 一、创设情境，激发学生探究的兴趣。 创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，将有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题、注意让小组合作学习从形式走向实质。 在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。 二、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。 通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。2、注意让小组合作学习从形式走向实质。 三、利用自主探究的学习方式。 本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。
组合数学在计算机中的应用
目录 摘要 (1) 1.组合数学概述 (1) 2.组合数学在生活中的应用 (1) 3.组合数学与计算机软件 (1) 3.1 信息时代的组合数学 (2) 3.2 组合数学在计算机软件的应用 (2) 3.3组合数学与计算机软件的关系 (2) 3.4组合数学在国外软件业的发展状况 (2) 4 Ramsey 数在计算机科学中的应用 (3) 4.1Ramsey 定理和Ramsey 数 (3) 4.2信息检索 (3) 参考文献 (5)
组合数学在计算机中的应用 摘要：介绍了组合数学的概念、起源与研究的主要内容,分析了组合数学的特点以及其在生活中的应用,阐述了组合数学与计算机软件的联系,并着重通过两个例子说明了Ramsey 数在计算机科学的信息检索中的重要应用。 关键词：组合数学;组合算法;Ramsey 数;信息检索; 1：组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 2：组合数学在生活中的应用 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是组合数学的问题。 组合数学在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。 3：组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。
组合数学 答案
离线考核 《组合数学》 满分100分 一、计算题（每小题10分，共60分。） 1、求()7 521...x x x +++的展开式中53 432 1x x x x 的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？ 在多项式()7 521...x x x +++的展开式中的项53 432 1x x x x 的系数是 1 ,3,1,0,27 C = ! 1!3!1!0!2! 7=420. 因为在它的展开式中不同项（合并同类项后）的个数等于从5个不同元素中有重复地取出7个元素的方法 数，所以不同项的个数为7 571330C +-=。 2、求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。 解：设所求为N ，令}1000,,2,1{Λ=S ，以A ，B 分别表示S 中能被14和能被21整除的整数所成之集， 则 95 234771 3141000211000141000 =-+=?? ? ????+??????+??????=-+==B A B A B A N I Y 3、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得： （1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？ （5分） （2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？（5分） 解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾取帽子的方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是 （1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。 （2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于由1A ，2A ，…，7A 作成的至少有一个元保位的全排列数，为 318618545040!77=-=-D 4、在平面上,对任意自然数n ,连接原点O 与点(,3),n P n n +用)(n f 表示线段n OP 上除端点外的整点个数,试求(1)(2)(2004).f f f +++L 解 线段n OP 的方程为 3 ,0n y x x n n += ≤≤. 如果n 与3+n 互素,则不定方程(3)0n x ny +-=不存在适合0x n ≤≤的整数解,即;0)(=n f 如果n 与 3+n 不互素,则n 与3+n 只能有公因数3,即可以设k n 3=.则通过解不定方程,有整数点
组合数学学习心得
组合数学学习心得 在进入研究生学习的第一个学期就开设了组合数学这门课程，我感到很庆幸和开心，因为我在学完这门课程之后学到了很多东西，不仅仅是课本上的，还有许多在课本上是学不到了！ 组合数学，对大多数学生来说是一门十分困难的课程，由于自己本科学的是数学，所以学起来还好，也比较喜欢这门课程。组合数学可以一般描述为：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。经验证发现的组合数学最有力的工具之一为数学归纳法。归纳是一个强有力的过程，在组合数学中尤其是如此。用数学归纳法证明一个结果常常比证明一个弱结果更容易。许多组合问题的解决常常需要某些特别的例证，而且有时需要结合使用一般的理论。我们必须学会建立数学模型，研究模型，抓住问题的要害，灵活的应用智慧来解决问题。“图论”是组合数学课程中比较重要的一部分。在刚接触到“图”这一章的时候我是抱着好奇之心去学习的，因为这章都是关于“图” ，想了解一下和几何图形的差别，所以觉得善长几何的我应该能够把它学好。但是不可否认，随着知识的深入，这一章一定会比前面的更难理解，更难学。因此上课的时候听得格外认真，课后还找了一些相关书籍阅览。在看过这些书籍以后，我才真正了解到它并不是枯燥乏味的，它的用途非常广泛，并且应用于我们整个日常生活中。比如：怎样布线才能使每一部电话互相连通，并且花费最小？从首府到每州州府的最短路线是什么？n 项任务怎样才能最有效地由 n 个人完成？管道网络中从源点到集汇点的单位时间最大流是多少？一个计算机芯片需要多少层才能使得同一层的路线互不相交？怎样安排一个体育联盟季度赛的日程表使其在最少的周数内完成？我们能用4种颜色来为每张地图的各个区域着色并使得相邻的区域具有不同的颜色吗？这些问题以及其他一些实际问题都涉及“图论” 。这里所说的图并不是几何学中的图形，而是客观世界中某些具体事物间联系的一个数学抽象，用顶点代表事物，用边表示各式物间的二元关系，如果所讨论的事物之间有某种二元关系，我们就把相应的顶点练成一条边。这种由顶点及连接这些顶点的边所组成的图就是图论中所研究的图。由于它关系着客观世界的事物，所以对于解决实际问题是相当有效的。总之，图论是数学科学的一个分支，而四色问题是典型的图论课题。通过对图论的初步理解和认识，我深深地认识到，图论的概念虽然有其直观、通俗的方面，但是这许多日常生活用语被引入图论后就都有了其严格、确切的含义。我们既要学会通过术语的通俗含义更快、更好地理解图论概念，又要注意保持术语起码的严格。 学习数学重要的是理解，而不是像其它科目一样死背下来，数学有一个特点,那就是”举一反三”。做会了一道题目，就可以总结这道题目所包含的方法和原理,再用总结的原理去解决这类题，收效就会更好.学习数学还有一点很重要，那就是从基本的下手，稳稳当当的去练，不求全部题都会做，只求做过的题不会忘，会用就行了。在做题的过程中，学习是一生的事情，不要过于着急，一步一个脚印的来,就一定会取得一想不到的效果。数学的学习是一个积累和运用的过程，因此，学好数学的一个必要前提便是要注重平时的积累和运用。而在日常时对于数学的学习还是有许多方法的。数学学习做题是极为必要的，因此做题之后的总结工作也是极为重要的，否则只能是杂而不精，无法将知识融会贯通，合理运用。 组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学
组合数学课程教学大纲
《组合数学》课程教学大纲 课程编号：（研究生院统一编写） 课程名称：组合数学 英文名称：Combinatorial Mathematics 课程类别：学位（基础理论课）课 授课对象：工程硕士 学分：2 学时：40 开课学期：1 开课周次：1-20周 开课系及教研室：（保定）计算机系计算机教研室 任课教师及职称：（保定）孟建良副教授 先修课程：高等数学、离散数学 适用专业：计算机应用技术 主要内容：随着计算机性能的持续提高及其应用的深入普及，组合数学自20世纪60年代以来得到了急速的发展。组合数学的思想和技巧不仅影响着数学的许多分支，而且广泛应用于计算机科学、社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域。每当我们求解实际问题，编制计算机程序的时候，它往往不仅提供具体的算法而且还知道对算法运行效率和存储需求的分析。正因为如此，组合数学所包含的内容越来越广泛。本课程主要包括以下基本内容： 1.排列与组合 加法法则、乘法法则及排列与组合，圆周排列，排列的生成算法，序数法、字典序法、换位法，组合的生成，允许重复的组合，司特林公式，瓦利斯公式。 2.递推关系与母函数
母函数的性质，若干基本的母函数，指数型母函数，费卜拉契数列，解线性常系数递推关系特征根法，任意阶齐次递推关系，司特林数，卡特朗数。 3.容斥原理与鸽巢原理 容斥原理的两个基本公式，有限制的排列，棋盘多项式，有禁区的排列问题，广义的容斥原理，广义容斥原理的若干应用，错排问题的推广，容斥原理在数论上的应用，一般的鸽巢原理，鸽巢原理的推广，拉蒙赛数。 4.Burnside引理与Po/lya定理 群的概念，群的基本性质，置换群，循环、奇循环与偶循环，Burnside引理，Po/lya定理，母函数形式的波利亚定理。 使用教材：《组合数学》,卢开澄,卢华明,清华大学出版社,2002年 参考书目：《组合数学》,Richard A.Brualdi 著,冯舜玺等译,机械工业出版社，2005年。 组合数学导论》,（美）C.L.Liu著,魏万迪译,四川大学出版社,1987年。 教研室意见： 系（院、部）意见： 研究生院审核意见：
组合数学作业答案1-2章2016
组合数学作业 第一章引言 Page 13, ex3,4,7,30 ex3. 想象一座有64个囚室组成的监狱，这些囚室被排列成8 8棋盘。所有相邻的囚室间都有门。某角落处意见囚室例的囚犯被告知，如果他能够经过其它每一个囚室正好一次之后，达到对角线上相对的另一间囚室，那么他就可以获释。他能获得自由吗？ 解：不能获得自由。 方法一：对64个囚室用黑白两种颜色染色，使得横和竖方向相邻的囚室颜色不同。则对角线上两个囚室颜色为同黑或同白。总共偶数个囚室，若能遍历且不重复，则必然是黑出发白结束，矛盾。 方法二：64个囚室，若要经过每个囚室正好一次，需要走63步，即奇数步。 不妨假设该囚犯在第1行第1列，那么到第8行第8列，横着的方向需要走奇数步，竖着的方向需要走奇数步，即总共需要偶数步。 所以不能恰好经过每个囚室一次到达对角线上的囚室。 ex4. (a) 设f(n)是用多米诺牌(2-牌)对2×n棋盘作完美覆盖的个数。估计一下f(1),f(2),f(3),f(4)和f(5). 试寻找(或证明)这个计数函数f满足的简单关系。利用这个关系计算f(12)。 (b) 设g(n)是用多米诺牌(2-牌)对3×n棋盘作完美覆盖的个数。估计g(1),g(2),…,g(6). 解：(a) f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(n+2)=f(n+1)+f(n) f(4)=f(3)+f(2)=5, f(5)=f(4)+f(3)=8 f(6)=f(5)+f(4)=13 f(7)=f(6)+f(5)=21 f(8)=f(7)+f(6)=34 f(9)=f(8)+f(7)=55 f(10)=f(9)+f(8)=89 f(11)=f(10)+f(9)=144 f(12)=f(11)+f(10)=233 (b) g(1)=0, g(2)=3, g(3)=0, g(4)=9+2=11, g(n+4)=4g(n+2)-g(n), g(5)=0, g(6)=41. ex7. 设a和b是正整数，且a是b的因子。证明m×n棋盘有a×b的完美覆盖当且仅当a 既是m又是n的因子，而b是m或n的因子。(提示: 把a×b牌分割成a个1×b牌。) 解：充分性。当a既是m又是n的因子，而b是m或n的因子，则m×n棋盘有a×b的平凡完美覆盖。 必要性。假设m×n棋盘有a×b牌的完美覆盖。则m×n棋盘必有b牌的完美覆盖。根据书中的定理，b是m的因子或n的因子。 下面证明a既是m的因子又是n的因子。 方法一: 因为a是b的因子，所以a×b牌可以分割成b/a个a×a牌。m×n棋盘有a×a的完美覆盖，则必然有a×a牌的完美覆盖。而a×a牌是正方形的，所以只有唯一的一种平凡覆盖方式。从而m是a的倍数，n也是a的倍数。 方法二: 因为a是b的因子，不妨设b=ka。由m×n棋盘有a×b牌的完美覆盖，可任取一个完美覆盖。设第一行的n个方格由p个a×b牌和q个b×a牌盖住，则有n=pb+qa=(pk+q)a，所以n是a的倍数。同理，m也是a的倍数。