圆的有关性质
知识要点
1、圆是平面上到的距离等于的占的集合。
2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫
做三角形的心，它是三角形的的交点。
3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。
4、垂径定理的条件是，结论是。
5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量都_________________________ 。
典型考题
例1、如图1，在O O中，圆心角/ AOB二1201，弦AB二2 ..3cm，则O O的半径是
例2、如图2,已知AB为OO的直径‘且AB丄CD，垂足为M , CD二8, AM = 2,贝UOM
例3、O O的半径是5, P是圆内一点，且OP二3,则过点P的最长弦是___________________ ，最短弦是—。
例4、如图3,AB是OO的直径，CD是弦，若AB = 10cm,CD = 8c血，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（）cm。
A、12
B、10
C、8 D > 6
例5、如图4，在RtA ABC中，/ C二90“, AC =>、2 , BC二1，若以C为圆心、CB的长
为半径的圆交AB于P,贝U AP = __________
圆的有矢性质
图3
同步训练
1、在直径为20 cm的圆中，弦心距是6 cm的弦长是____________ cm。
2、
如图6, DE是OO的直径，弦AB丄DE，垂足为C,若AB二6,CE二1，贝lj CD = ____________ 0C = _______ o
3、圆的弦与直径相交成30。角，并且分直径为8 cm和2 cm两部分，则弦心距等于
___________________________________________________________________________cm 4、AB是OO的直径，弦CD丄AB于P （P在OB上），CD = 4丿3 , OP二2,贝UAC的长
是（）
A、4 .3
B、4、，
2
5、若OO中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E,且AE二4, CE二2,那么OO的半径等于（）
6、
如图7,如果AB是O O直径，弦CD丄AB，垂足为E,那么下列结论中，错误的是（
）
7、如图5,在OO中，AB为OO的弦，C、D是AB上的两点，且AC = BD ,求证：△ OCD
C、6,2
D、6.3
B、2.5
C、4,2
A、CE 二DE
B、BC ?D
C、/ BAC =Z BAD
D、AC>AD
是等腰三角形。
A
B 图
7
第24讲 圆的有关性质(含答案点拨)
第七单元圆 第24讲圆的有关性质 纲要求命题趋势 1．理解圆的有关概念和性质，了解 圆心角、弧、弦之间的关系． 2．了解圆心角与圆周角及其所对弧 的关系，掌握垂径定理及推论. 中考主要考查圆的有关概念和 性质，与垂径定理有关的计算，与圆 有关的角的性质及其应用．题型以选 择题、填空题为主. 知识梳理 一、圆的有关概念及其对称性 1．圆的定义 (1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________； (2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径． 2．圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的________叫做弦； (2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧． (3)________相等的两个圆是等圆． (4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧． 3．圆的对称性 (1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性． 二、垂径定理及推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧． 2．推论1 (1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．推论2 圆的两条平行弦所夹的弧________． 4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项． 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________． 2．推论 同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 四、圆心角与圆周角 1．定义
2019年中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质(含详细参考答案)
2019年中考数学专题复习 第六章圆 第二十二讲圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质： 1、圆的定义： ⑴形成性定义：在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的叫做弦 弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类 3、圆的对称性： ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径； 3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。 2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。 3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角 2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角 有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、圆接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。 性质：圆接四边形的对角。 【名师提醒：圆接平行四边形是圆接梯形是】 【重点考点例析】 考点一：垂径定理 例1（2018?）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm． 【思路分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解． 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm，
椭圆的简单几何性质(第一课时)教学设计
椭圆的简单几何性质（第一课时）教学设计 教学目标： （1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a,b,c 几何意义以及a,b,c 的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 （2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。 （3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。 教学重点、难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。 难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。教学策略与学法指导：教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节” 探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。 学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。 教学媒体选择与应用： 使用实物投影及多媒体辅助教学。借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。 教学过程：创设问题情景，学生自主探究： 方程16x225y2400 表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？学生活动过程： 情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出a,b,c ，联想椭圆画法，利用绳子做图；
圆的有关性质专题练习.doc
1. 如图，点A, B, C, P 在00 ±, CD±0A, CE10B,垂足分别为 D, E, ZDCE=40°,则 圆的有关性质专题练习 匕P 的度数为（ 如图，点 A, B, C 在。＞0 上，ZA=36°, ZC=28°,则NB=( ) A. 100° B. 72° C. 64° D. 36° 3. （2016-山东省滨州市?3分）如图，AB 是。。的直径，C, D 是。O 上的点,且OC 〃BD, AD 分别与BC, OC 相交于点E, F,则下列结论： ①AD_LBD ；②NAOO/AEC ；③CB 平分ZABD ；④AF=DF ；⑤BD=2OF ；⑥ACEF 竺ABED, 其中一定成立的是（ ） A.②④⑤⑥ B.①③⑤⑥ C.②③④⑥ D.①③④⑤ 4.如图，AB 为。。的直径，AB=6, AB_L 弦CD,垂足为G, EF 切。0于点B, ZA=30°,连 接AD 、OC 、BC,下列结论不正确的是（ ） ) 2. 40°
A. EF 〃CD B. ACOB是等边三角形 c. CG=DG D.我的长为方?兀 5.如图，。0的半径为4, ZXABC是。。的内接三角形，连接OB、0C.若ZBAC与NBOC 互补，则弦BC的长为（） A. 3V3 B. 4-^/3 C. 5扼 D. 6、/： 6.如图，点 D (0, 3) , 0 (0, 0) , C (4, 0)在。A 上，BD 是。A 的一条弦，则sinZOBD= A 1 4 A ~? R — c D 2 4 5 7.。0的半径为1,弦AB=V2,弦AC=^/3,则ZBAC度数为 ( )
圆的有关概念与性质练习及答案
圆的有关概念与性质练习及答案 1.如图K28-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为() 图K28-1 A.60° B.50° C.40° D.30° 2.如图K28-2,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为() 图K28-2 A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图K28-3,在直角角尺中,∠AOB=90°,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为() 图K28-3 A.17 B.14 C.12 D.10 4.如图K28-4,四边形ABCD内接于☉O,E为CD延长线上一点,若∠ADE=110°,则∠AOC的度数是() 图K28-4 A.70° B.110° C.140° D.160°
5.如图K28-5,☉O的半径OC垂直于弦AB,垂足为D,OA=2√2,∠B=22.5°,AB的长为() 图K28-5 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 6.如图K28-6,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于() 图K28-6 A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间 7.如图K28-7,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为 () 图K28-7 A.2 B.-1 C.√2 D.4 8.如图K28-8是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是 () 图K28-8
圆的基本概念与性质
圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成
两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O
椭圆的简单几何性质第一课时教学设计(第16组 )
椭圆的简单几何性质（第一课时） 一、教材分析 1、教材的地位和作用 《椭圆的简单几何性质》是北师大版选修2-1的内容。本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。先引导学生观察椭圆（几何直观），了解应该关注椭圆的哪些方面的性质，然后再引导学生考虑方程的各种特征对应着椭圆的哪些几何特征，逐渐让学生掌握研究曲线的几何性质的方法。这样由形到数，由数到形，通过对曲线的范围、対称性及特殊点的讨论，从整体上把握曲线形状、大小、和位置。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，为后续研究其它曲线性质作铺垫。 2．教学重、难点 重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。 难点：用曲线方程研究曲线几何性质 3．学情分析 学生已学习了圆的相关性质，并掌握了椭圆的基本定义及其标准方程，亲历体验、发现和探究的意识，具备一定的图形分析能力和逻辑推理能力。 二．教学目标 1．知识与技能： （1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑 关系及利用数形结合解决实际问题。 2．过程与方法： （1）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力； （2）运用数形结合思想解决实际问题的能力。 3．培养学科核心素养 通过学生对椭圆几何性质的探究过程，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养。 三．教法与学法分析 1. 教学方法： （1）类比分析法；（2）辨析与研讨法；（3）启发式引导法；（4）反馈式评价法. 2. 学法指导 自主探究法、观察发现法、归纳总结法。 四．教学过程分析 创设情景 第一“环节”：导入新课，明确研究方向：（类比与辨析） 设置问题1： 根据所学的知识，如何画椭圆的大致图形？（描点，体验关键点；对称性）设置问题2：
圆的有关性质
圆的有关性质 本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． 人教版初三数学24.1 圆的有关性质同步课 时训练 一、选择题 1. 已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB 的度数为() A．45°B．35°C．25°D．20° 2. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是() A.AB，AC边上的中线的交点 B.AB，AC边上的垂直平分线的交点 C.AB，AC边上的高所在直线的交点 D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为() A．4 B．5 C．8 D．10 4. 如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB 为8 m，则拱桥的半径OC为() A ．4 m B ．5 m C ．6 m D ．8 m 5. 如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是( ) A ．AP ＝2OP B ．CD ＝2OP C ．OB ⊥AC D ．AC 平分OB 6. 2019·聊城 如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵ 上的两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( ) A ．35° B ．38° C ．40° D ．42° 7. 如图，从 A 地到 B 地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半 圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A 地到B 地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( ) A ．猫先到达 B 地 B ．老鼠先到达B 地 C ．猫和老鼠同时到达B 地 圆的有关性质复习教案一、【教材分析】 二、【教学流程】 知识回顾2.如图：在⊙O中， ⑴若MN⊥AB，MN为直径则________,_________, ________; ⑵若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则________, _________,________; ⑶若MN⊥AB，AC=BC则______,_______,______; ⑷若AM BM =，MN为直径，则________, _________,________; 3.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦： （1）如果AB=CD，那么 _______,_______. （2）如果AB CD =那么 _________,______. (3）如果∠AOB=∠COD，那么 ________,______. （4）如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF 相等吗为什么 第2题图第3题图 习，生总结归 纳所用知识 点、方法及规 律，然后组内 交流，补充完 善对问题的认 识和方法. 【自主探究】 例（1）如图，AB是⊙O直 径，C是⊙O上一点，OD是 A D C B O E F M N B A C ·O 综合运用半径，且 OD OD AC// COD ACO BOD A∠ = ∠ ∠ = ∠ ∴, OC OA= ∴ACO A∠ = ∠ DOB COD∠ = ∠ ∴BD CD= ∴有其他证明 方法吗 组二：连接AD，OD AC// ，OA=OD ∠ = ∠ ∴CAD OAD ODA∠ = ∴弧CD=弧BD∴CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或 圆心角相等），从而得到弦相等.这种证法利 用了圆心角、圆周角与弧的关系.在同圆或等 圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相 等.这样，证弦相等，又多了两条途径：可以 考虑去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相 （学生分组交 流，一会后学 生汇报成果.） 从不同 的方法 中进行 知识整 合 复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？ ∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） A.40cm B.30cm C.20 cm D.50cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE ⌒ ⌒ C.OE=BE D.BD=BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 B 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. °° 圆的有关性质 【知识要点】 1．圆的定义： （1）动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 （2）静态定义：在平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）所有点的集合叫做圆： 2.圆的相关概念 弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆： 3.垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 由此得到推论： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。 4.圆的轴对称性： (1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。 5..圆的旋转不变性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 6．圆心角、弧、弦关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。 7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 8..圆周角定理及推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径. （2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形 9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆 定理：圆内接四边形的对角互补 【基础和能力训练】 一、选择题 1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰 2.（2014?毕节地区）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 3. （ 2014?珠海）如图，线段AB 是⊙O 的直径， 弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（ ） A 160° B 150° C 140° D 120° 4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（ ） A 、50° B 、80° C 、100° D 、130° 5.（2015上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A 、AD ＝BD ； B 、OD ＝CD ； C 、∠CA D ＝∠CBD ；D ∠OCA ＝∠OCB ． 6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O 的直径AB ，在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥A B.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合)，∠OCD 的平分线与⊙O 的交点P 必（ ） A 。 平分弧AB B 。到点D 和直径AB 的距离相等 C ．三等分弧AB D.到点B 和点C 的距离相等 7．如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为（ ）度 A 10 B 15 C 25 D 30 8．下列语句中正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等 A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对 9．（2015湖北荆州）如图，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠ACB =25°，则∠BAO 的度数是（ ） A ． 55° B ．60° C ． 65° D ． 70° 10．（2015?甘肃兰州,）如图，经过原点O 的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧上一点，则∠ACB = A . 80° B . 90° C . 100° D . 无法确定 #11．（2015?威海）如图，已知AB=AC=AD∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（ ） A ．68° B ．88° C ．90° D ．112° #12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ ）． A ．(45) B ．9 C 5．2 二．填空 13． 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是_________. 14．(2015?江苏南昌,)如图，点A , B , C 在⊙O 上，CO 的延长 线交AB 于点D ,∠A =50°,∠B =30°则∠ADC 的度数为 . 15．(2015?江苏南京)如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD =35°，则∠B +∠E = _ ． 16．（2015?江苏徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接A C ．若∠CAB =22.5°，CD =8cm ，则⊙O 的半径为 cm 17．(浙江省绍兴市）如图，已知点A （0，1），B （0，－1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于 18．（2015?江苏泰州,）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =115°，则∠BOD 等于__________°. 19. 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______°. 圆的基本性质教学设计 教材分析 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 知识与技能： 1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。 过程与方法： 1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。 情感态度价值观： 体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 教学重难点 重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。 难点：垂径定理探索及其应用。 教学方法 启发式教学 教学过程设计 第一课时 一、观察与思考 观察汽车和皮带转动轮的视频或图片 提问：车轮是什么形状的？ 生：圆形（问题简单，一起回答） 教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？” 生：“不能！”“它们无法滚动！” 鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题1（附答案）一．选择题（共10小题） 1．如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC ＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是（） A．OA为半径的圆B．OB为半径的圆 C．OC为半径的圆D．OD为半径的圆 2．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车作向前的直线运动，又以车轴为圆心作圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点： 现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币作无滑动的滚动，那么： （1）当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？ （2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？ （3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（） A．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1圈 B．一条摆线；向上；1圈 C．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈 D．一条摆线；向下；2圈 3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么与的关系是（）A．B．C．D．不能确定 4．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 5．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（） A．B．C．D． 6．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（） A．2B．C．3D． 7．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C+∠O＝63°，则∠O的度数是（） A．21°B．27°C．30°D．42° 8．如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠D＝34°，则∠BOC的度数为（） A．102°B．112°C．122°D．132° 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（） 《24.1.1圆》教学设计 一、教材分析 教材的地位和作用 圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的一种特殊的曲线图形。它是常见的几何图形之一， 在初中数学中占有重要地位，中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合性较强。本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的巩固，也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的基础。 二、学情分析 九年级学生在过去的生活和学习中对圆的知识已经有了一些认识，初步体会到圆在生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面均广泛存在，这对进一步探究圆的定义及相关性质奠定了一定的基础。但对圆的相关性质掌握较少，对知识的转化能力较差，所以重在要学生参与，主动探究，增加解决实际问题的能力。 三、教法、学法分析 1．教法分析：《新课标》指出：要“在掌握基础知识的同时，感受数学的意义”，提出了“重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学、理解数学”，使学生感受到数学就在我们身边，我采用迁移法，通过观看老师制作的关于圆的图片，把学生的思维带进有圆存在的地方，充分调动学生已有的知识，再用“引导法” 与导学案相结合，让学生学习圆的定义及相关知识。 2．学法分析：充分利用学案，引导学生采用动手操作、自主探究、合作交流等学习方法进行学习，充分发挥学生的主体作用，使知识和能力得到内化。 教学目标知识 和 能力 探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中 识别． 过程 和 方法 体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系． 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 情感 态度 价值观 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 教学重点圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题． 教学难点圆的两种定义方法 教学准备教师多媒体课件学生 问题与情境师生行为设计意图 圆的有关性质 【中考考纲解读】 1．课标要求 ①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系． ②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征． ③掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题． 2．考向指南 从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看，本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理，垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大．题型以选择题和填空题为主，难度不大，所占分值一般在3～5分． 【考点知识网络】 【中考考点剖析】 考点1：圆的有关概念 1． 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．其中，定点为圆心，定长为半径 2． 弦：连接圆上任意两点的线段． 3． 直径：经过圆心的弦． 4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 5． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 6． 优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示，如ABC ． 7． 劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示，如AC ． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的圆形． 9． 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆． 10．等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆． 11．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧． 12．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 13．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 14．圆周角：顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ?? ??????????????? ???? ??基本概念:弧 弦 圆心角 圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理2个推论 24.1圆的有关性质 24．1.1圆 教学目标 1．理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念． 2．能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算． 教学重点 圆的有关概念． 教学难点 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景明确目标 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象． 请你举出生活中一些圆的例子．从本节课开始，我们将会更清楚地了解圆以及一些相关的概念和性质． 二、自主学习指向目标 1．自学教材第79至80页． 2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究达成目标 探究点一圆的定义及表示 活动一：圆的定义． 图1 (1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周__，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__． 【展示点评】①在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，__圆心__确定位置，__半径__确定大小． ②以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作__⊙A__，读作__圆A__． (2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有__到定点O的距离等于定长r__的点的集合． 【小组讨论】圆和圆面有何不同？如何证明几个点在同一个圆上？ 【反思小结】线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________． 24.1.1圆教学设计 学习目标： 1、感受并发现圆的有关特征，理解圆的圆心、半径和直径等概念。 2、进一步积累认识图形的学习经验，培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和合作交流能力，增强空间观念，发展数学思考。 3、体验圆与生活的联系，从数学的角度感受圆的美，激发学生数学学习的热情和兴趣。 教学过程： （一）情境引入 前段时间我们学习了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美。 思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？ 圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。 展示图片（生活中的圆） 这一节课我们一起学习“圆”。 （二）学生自学 组织学生自学，并要求学生完成自学提纲里的问题。 自学提纲为：请同学们阅读课本78页至79页练习前的内容，并思考: 1. ①观察画圆的过程，你能概括出圆的定义吗？ ②圆的图形符号怎样来表示？ ③确定一个圆需要哪两个要素？ 2. ①从集合的角度怎样定义圆？ ②车轮为什么做成圆形的？ 3. ①理解圆的相关概念：弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧。 ②注意区别优弧和劣弧。 （三）检查自学效果 请学生回答自学提纲中的问题，检测学生是否真正理解这些知识点，再组织学生进行评价并纠错，在学生回答的过程中老师把主要知识点在黑板上予以呈现，部分答案利用多媒体展示。 （四）学以致用（变式练习） 想一想：通过七道题，先让学生独立思考，然后请学生汇报结果，再请学生评价并纠错，最后归纳解题方法。老师适时做以引导，方法上的总结。 1、判断下列说法的正误 (1)弦是直径；( ) (2)半圆是弧； ( ) (3)过圆心的线段是直径； ( ) (4)过圆心的直线是直径；( ) (5)半圆是最长的弧；( ) (6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;( (8)半径相等的两个圆是等圆.( ) 2、圆中最长的弦长为12cm,则该圆的半径为 3、下列说法错误的有（）个 ①经过P点的圆有无数个。 ②以P为圆心的圆有无数个。 ③半径为3cm且经过P点的圆有无数个。人教版九年级上册数学 24.1 圆的有关性质 同步课时训练(含答案)
人教版初中数学九年级下册第24章圆第一课时圆的有关性质复习教案
圆的有关性质复习课优秀教案。
圆的有关性质练习及答案(供参考)
圆的基本性质-教学设计
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题1(附答案)
24.1.1圆教学设计优质课
圆的有关概念和性质
《圆的有关性质》教学设计1
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：24.1圆的有关性质》公开课获奖教案_1