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2020-2021学年重庆市秀山高级中学校高二上学期10月月考数学试题(解析版)

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2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C. D. 290x y ++=290x y +-=2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）133. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（）1,,AB a AD b AA c ===BM A. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P率k 的取值范围是（ ）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C .或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CN ND=MN =A .D. 27. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（）MN二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===AC M l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u r u u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O P D O Q =l 理由．2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C .D. 290x y ++=290x y +-=【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.12l k =-【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，2l24y x =-+2-因为直线过点，且与直线平行，所以，1l()2,5A 2l12l k =-则直线的点斜式方程为，即为．1l()522y x -=--290x y +-=故选：B.2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）13【正确答案】C【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，b a 22224035(2,2,1)22(1)9||||b aaa a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-故选：C3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（ ）1,,AB a AD b AA c ===BMA. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，M 11A C 11B D 所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-.111112222AB AD A ca b A =-++=-++故选：D.4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形OAB △的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，所以，OA ==OB ==2),1,2),OA OB ==-，1cos ,2OA OB ==所以sin ,OA OB =以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P 率k 的取值范围是（）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C.或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥【正确答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.BP BA k k k ≥≥,BP BA k k 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足，BP BA k k k ≥≥即且，所以．231325k -+≥=---123134k +≤=+1354k -≤≤故选：B ．6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CNND =MN =A. D. 2【正确答案】B【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.MN AB AC AD MN【详解】因为，所以，，2AM MB = 23AM AB=又因为，则，所以，，2CN ND = ()2AN AC AD AN -=- 1233AN AC AD =+ 所以，，122333MN AN AM AC AD AB=-=+-由空间向量的数量积可得，293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==因此，1223MN AC AD AB =+-=.==故选：B.7. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关【正确答案】B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解''0D E B F ⋅=【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，'(0,0,1)D (1,1,0)E a -'(1,1,1)B (0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- '(1,,1)B F a =---，''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=''D E B F∴⊥ 故选：B本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（ ）MN【正确答案】D【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据C AB D --120CAF ∠=︒几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离MNBC AD BC AD 转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点BC ADE C ADE 到平面的距离即可.C ADE 【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交C AB D --4CE BD ==E ⊥EF ABD 面于点，ABD F 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即AB AF ⊥CA AB ⊥CAF ∠C AB D --，120CAF ∠=︒因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，M N BC AD MNBC 的距离，AD 由题意知，，所以四边形为平行四边形，，CE BD ∥CE BD =CBDE CB DE ∥因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的DE ⊂ADE CB ⊄ADE CB ADE BC AD 距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，BC ADE C ADE 设点到平面的距离为，则，，C ADE d C ADED CAE V V --=1133ADE CAE S d S AB⋅⋅=⋅⋅ 在直角三角形中，，，所以，CAH 18012060CAH ∠=︒-︒=︒2CA =1HA=，CH EF ==3AF =AE ==直角梯形中，，ABDF FD ==AD ==，DE ==因为，，所以，，222AC AECE +=222AE DE AD +=CA AE ⊥AE DE ⊥，，122CAE S =⨯⨯=12ADE S =⨯= CAE ADE S AB d S ⋅===故选：D.方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜l l 角，可判断B 选项；作出直线的图象可判断C 选项；求出直线的方向向量，可判断D 选l l 项.【详解】对于A 选项，，所以，点不在上，A 错；2210-++≠ (-l 对于B 选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B 对；lk =l 5π6对于C 选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：l x ()1,0-y 0,⎛ ⎝由图可知，直线不过第一象限，C 对；l对于D 选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，Dl )1-)1-(错.故选：BC.10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A 正确；()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=αβ⊥因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,3,0a =α()1,0,2u =不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为，()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC→→=--=---=-所以，，共面，即点在平面内，故C 正确；AP AB ACP ABC 若是空间的一组基底，,,a b b c c a +++则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，d →(,,)x y z 使得，()()()d x a b y b c z c a =+++++于是，()()()d x z a x y b y z c =+++++ 所以也是空间一组基底，故D 正确.,,a b c故选：ACD.11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【正确答案】ACD【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由，求体积最大值判断C 选项；向量法求Q AMN N AMQV V --=二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，SA ⊥ABCD ABCD 以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z由，22SA AB DE ===；()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴对于A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，A 选项正确；Q D NQ SB ⊥对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60o，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴===⋅ 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B 选项错误；∴Q NQ SA 60o对于C ，连接；,,AQ AMAN 设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值2；∴0m =Q D AMQ S △又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，C 选项正确；()()maxmax 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于D ，由上分析知：，()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-若是面的法向量，则，(),,m x y z =NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，则，1x =()1,2,3m m m =-- 而面的法向量，AMQ ()0,0,1n =所以，令，cos ,m nm n m n ⋅==[]31,3t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 【正确答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.AB 【详解】由于，)(),AB故直线的斜率为，AB k ==因为直线的倾斜角范围为，[0,π)故直线的倾斜角是，AB π6故π613.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO【正确答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空,,OO OC OP '间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD ，PO CD ⊥又平面平面，平面平面，平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =PO ⊂PCD 所以平面，平面，所以，⊥PO ABCD OO '⊂ABCD PO OO '⊥又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，ABCD O CD AB O 'OO CD '⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，O ,,OO OC OP ',,x y z由，得，,,6PC PD PC PD CD ⊥==132PO CD ==所以，()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -点为线段上靠近的三等分点，则，E PB B 22(3,3,3)33PE PB ==- 则，所以，，()2,2,1E ()1,5,1AE =-()3,3,0AO =-则，，||AE ==AO AE AO⋅== 因此点到直线的距离，E AO 3d =故314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===ACM l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如ABC V AB B B 图1），设点，由，得，求出坐标，由(),,A x y z '(),0,0H x (,0,)A x z ',,A C M 得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程MC AM A M '==,x z z A H '中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于MN AA '⊥1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭[)0,4a ∈x 的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．a x 【详解】中，根据余弦定理，π,4C ABC =△，得AB ==sin sin ACABB C =，由知，则，sin B =AC AB <B C <cos B =如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点B ()()4,2,0,6,0,0A C ，点的投影在轴上，即，由(),,A x y z 'A '(),0,0H x x ()(),0,,5,1,0A x z M '，根据两点间距离公式，MC AM A M '==．=22(5)1x z -+= 图1 图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，AMN A MN '△≌△AE MN ⊥E A E MN '⊥并且平面，,,AE A E E AE A E ='⊂' A AE '所以平面平面，MN ⊥,A AE AA ''⊂A AE '所以，即，其中．MN AA '⊥0MN AA '⋅=()4,2,AA x z '=--又动点在线段上，设，所以，且．N AB 1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ [)0,4a ∈由，得，0MN AA '⋅= ()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈ ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦又因为，对应的的取值为，即，22(5)1x z -+=z 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦由已知斜线与平面所成角是，1A MBCMN A MH '∠所以．sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''故斜线与平面1A MBCMN 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 【正确答案】（1）； 380x y +-=（2）或y x =40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；l （2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P ，即可求得0x y m ++=参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为360x y -+=3l 13-l ，即；()1223y x -=--380x y +-=【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；l y x =当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为l 0x y m ++=(2,2)P 4m =-l .40x y +-=综上，直线的方程为或l y x =40x y +-=16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +【正确答案】（1）；1-（2）且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，AB CBR λ∈AB CB λ= 进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得cos ,AB BC <>，讨论的情况，即可求范围.2(3)2(1)180m n -+--<,AB BC π<>=m n +【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，(3,2,6)AB m =-- (2,1,3)CB n =--A B C 所以存在使，即，可得，R λ∈AB CB λ=322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以.1m n +=-【小问2详解】由，(2,1,3)BC n =--由（1）知：当时，有；,AB BC π<>=1m n +=-而，的夹角是钝cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB BC角，所以，可得；2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<m n +13<综上，且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u ru u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===【正确答案】（1）见解析 （2【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平F PA BF EF EFBC 行四边形，则可得平面.//CE ABP （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，A BCE (0,1,2)n =利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，F PA BF EF是的中点，，E PD 1//,2EF AD EF AD ∴=,且，2,//AD BC AD BC =∴ 12BC AD=，//,EF BC EF BC ∴=四边形是平行四边形，，∴EFBC //CE BF ∴又平面平面,BF ⊂ ,ABP CE ⊂/ABP 平面.//CE ∴ABP 【小问2详解】由于侧棱平面，面，AP ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线,AP AB AP AD ∴⊥⊥AB AD ⊥ A AD AB AP 为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,x y z，，2AD = 112BC AD ∴==，，，，(0,0,2)P ∴(0,2,0)B (1,2,0)C (1,0,1)E ，，，(1,0,0)BC ∴= (0,2,1)CE =- (0,2,2)PB =-设平面的法向量,BCE (,,)n x y z =则有，即，00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y z =⎧⎨-+=⎩令,则，1y =(0,1,2)n =点到平面的距离.∴PBCE ||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅===⋅18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ【正确答案】（1）证明见解析（2（3）存在，14λ=【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；PA AD ⊥PA AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.14λ=【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.A D MB MC AD BC ∥因为，所以，所以.BM BC ⊥BM AD ⊥PA AD ⊥又，，平面，PA AB ⊥AB AD A ⋂=,AB AD ⊂ABCD 所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.PA AB ⊥PA AD ⊥90DAB ∠=︒AP AB AD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，A ,,AB AD AP ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -依题意有，，，，，，A (0,0,0)()2,0,0B ()2,2,0C D (0,1,0)()0,0,2P ()1,1,1E 则，，，.(2,2,2)PC =- (1,0,1)DE = (2,1,0)BD =-(2,0,2)BP =- 设平面的法向量，PBD ()111,,n x y z =则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z x y BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩令，得，，所以是平面的一个法向量.12y =11x =11z =()1,2,1n = PBD 因为，cos ,DE n DE n DE n⋅〈〉====⋅所以直线与平面DE PBD 【小问3详解】假设存在，使二面角λG AD P --即使二面角G AD P --由（2）得，，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤所以，，.(2,2,22)G λλλ-(0,1,0)AD = (2,2,22)AG λλλ=-易得平面的一个法向量为.PAD ()11,0,0n =设平面的法向量，ADG ()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩ 解得，令，得，20y =2z λ=21x λ=-则是平面的一个法向量.()21,0,n λλ=-ADG由图形可以看出二面角，G AD P --故二面角G AD P --则有，1cos ,n，解得，.=112λ=-214λ=又因为，所以.01λ≤≤14λ=故存在，使二面角14λ=G AD P --19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y ；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O PD O Q =l 理由．【正确答案】（1）145（2）1-（3）存在，和1y =y x=【分析】（1）代入和的公式，即可求解；(,)d A B (,)e A B （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),N x y (,)1d M N =N ，结合余弦值，即可求解；(),e A B （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，(),D O P 0k =0k ≠(),d O P 即可判断直线方程.【小问1详解】，348614(,)125555d A B +=--+-==，cos(,)cos ,OA OB A B OA OB OA OB⋅=〈〉===；()(),1cos ,1e A B A B =-=-=【小问2详解】设，由题意得：，(,)N x y (,)|2||1|1d M N x y =-+-=即，而表示的图形是正方形，|2||1|1x y -+-=|2||1|1x y -+-=ABCD 其中、、、．()2,0A ()3,1B ()2,2C ()1,1D 即点在正方形的边上运动，，，N ABCD (2,1)OM =(,)ON x y = 可知：当取到最小值时，最大，相应的cos(,)cos ,M N OM ON =<> ,OM ON <>有最大值．(,)e M N 因此，点有如下两种可能：N ①点为点，则，可得；N A (2,0)ON =cos(,)cos ,M N OM ON =<>==②点在线段上运动时，此时与同向，取，N CD ON (1,1)DC =(1,1)ON = 则cos(,)cos ,M N OM ON =<>==的最大值为．>(,)e M N 1【小问3详解】易知，则min (,)D O P (,1)P x kx k -+(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当时，，则，，满足题意；0k =(,)()|||1|d O P h x x ==+min (,)1d O P =min (,)1D O P =当时，，0k ≠1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k -==+-+=+⋅-由分段函数性质可知，min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又且时等号成(0)|1|h k =-≥11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =立．综上，满足条件的直线有且只有两条，和．:1l y =y x =关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.min min (,)(,)d O P D O Q =。

重庆市秀山2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

重庆市秀山2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

重庆市秀山高2026届2024年秋期10月考试数学试题卷（答案在最后）考试时间：120分钟试题总分：150分一、单选题（每题5分，共40分）1.过()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（）A .45︒B.60︒C.120D.135【答案】D 【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.【详解】由已知直线的斜率为()03tan 1018021k αα--===-≤<-- ，，所以倾斜角135α= ．故选：D.2.已知方程22122x y k k+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A.()2,0- B.()0,2 C.()2,2- D.()()2,00,2-⋃【答案】A 【解析】【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.【详解】由方程22122x y k k+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，得220k k ->+>，解得20k -<<，所以实数k 的取值范围为()2,0-.故选：A3.如图，空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ===，，，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.211322a b c +- 【答案】C 【解析】【分析】由空间向量基本定理求解即可.【详解】解：由2OM MA =，点N 为BC 的中点，可得()2121132322NM OM ON OA OB OC OA OB OC =-=-+=--，又OA a OB b OC c === ，，，211322NM a b c ∴=-- ．故选：C .4.若直线1ax by +=与22:1O x y +=相离，则点(),P a b 与圆O 的位置关系为（）A.点P 在圆O 内B.点P 在圆O 上C.点P 在圆O 外D.无法确定【答案】A 【解析】221a b >+，进而可得221a b +<即可判断位置关系.【详解】由题设(0,0)O 与直线1ax by +=的距离221d a b=>+，即221a b +<，所以点(),P a b 在圆O 内.故选：A5.已知圆221:4240C x y x y ++--=，圆222:3310C x y x y ++--=，则这两圆的公共弦长为（）A.23B.2C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆1C 联立求出相交弦的弦长即可.【详解】由圆221:4240C x y x y ++--=，圆222:3310C x y x y ++--=，两式相减得相交弦所在直线方程：30x y +-=.由圆221:4240C x y x y ++--=可得圆221:(2)(19)C x y +-=+，所以圆心1(2,1)C -、半径13r =.所以圆心1C 到直线30x y +-=的距离d ==，所以相交弦长为2=.故选：C6.已知P 是椭圆22142x y +=上的动点，过P 作y 轴的垂线，垂足为A ，若动点B 满足3= PB PA ，则动点B 的轨迹方程为（）A.22162x y += B.221162x y +=C.22182x y += D.221122x y +=【答案】B 【解析】【分析】设1,1，s ，则()10,A y ，根据3=PB PA 求出11,x y 代入椭圆方程可得答案.【详解】设1,1，s ，则()10,A y ，()()111,,,0PB x x y y PA x =--=-因为3=PB PA ，所以()()111,3,0x x y y x --=-，可得112y y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以有221162x y +=.故选：B.7.已知椭圆22:132x y C +=的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：22(5)(3)1x y -+-=上任意一点，则1MN MF -的最小值为（）A.423+B.423- C.523- D.223+【答案】B 【解析】【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得||||1MN ME ≥-，再结合椭圆定义将1MN MF -化为2||||3MN MF +-，结合||||1MN ME ≥-以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知M 为椭圆22:132x y C +=上任意一点，N 为圆E ：22(5)(3)1x y -+-=上任意一点，故()()23,,105,F E ，故12||||3||||1MF MF MN ME +=≥-，当且仅当,,M N E 共线，N 在线段ME 上时取等号，所以()12||3||M M M N MF N F -=-222||||23||||231||231MN MF ME MF EF =+-≥+-≥--，当且仅当2,,,M N E F 共线，,M N 在线段2EF 上时取等号，而222||(51)(30)5EF =-+-=，故1MN MF -的最小值为514--=-，故选：B.8.已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长PO 、PF 交椭圆E 于Q 、R 两点，QF FR ⊥，4QF FR =，则椭圆E 的离心率为（）A.3B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】设椭圆E 的左焦点为F '，连接PF '、QF '、RF '，推导出四边形PFQF '为矩形，设FR m =，在Rt PF R '△中，利用勾股定理可解得3am =，然后在Rt PFF ' 中，利用勾股定理可求得椭圆E 的离心率的值.【详解】解：如图，设椭圆E 的左焦点为F '，连接PF '、QF '、RF '，由题意可知，P 、Q 关于原点O 对称，且O 为FF '的中点，所以四边形PFQF '为平行四边形，又因为QF FR ⊥，所以四边形PFQF '为矩形.因为4QF FR =，设FR m =，4QF PF m '==，则224PF a PF a m '=-=-，22F R a FR a m '=-=-，所以，2423PR PF FR a m m a m =+=-+=-，在Rt F PR ' 中，222PF PR F R ''+=，即()()22216232m a m a m +-=-，解得3am =，所以，443a PF m '==，4224233a a PF a m a =-=-=，在Rt PFF ' 中，由勾股定理可得222PF PF FF ''+=，即22242433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得2259a c =，解得53c e a ==.故选：C.二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分，选错不得分）9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面C.已知向量{,,}a b c 组是空间的一个基底，则{,,}a b c a +也是空间的一个基底D.若0a b ⋅< ，则,a b <>是钝角【答案】ABC 【解析】【分析】根据向量共面的定义可判断A ，根据共面定理可判断B ，根据基底的定义可判断C ，利用向量夹角的取值范围判断D.【详解】对于A ，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A 正确；对于B ，因为111,632OP OA OB OC =++ 且1111632++=，所以P ，A ，B ，C 四点共面，B 正确；对于C ，因为{,,}a b c 是空间中的一组基底，所以,,a b c不共面且都不为0 ，假设,,a b c a +共面，则()a b c a λμ=++ ，即00μλ=⎧⎨=⎩，则0a = ，与其为基底矛盾，所以,,a b c a +不共面，所以{,,}a b b c c a +++也是空间的一组基底，C 正确；对于D ，若0a b ⋅<，则,a b <> 是钝角或是180 ，D 错误；故选：ABC10.若三条不同的直线123:240,:10,:350l mx y m l x y l x y +++=-+=--=能围成一个三角形，则m 的取值不可能为（）A.2- B.6- C.3- D.1【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，结合若12l l //或13//l l 或重合时，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解.【详解】由直线123:240,:10,:350l mx y m l x y l x y +++=-+=--=，若12l l //或重合时，则满足211=-m ，解得2m =-；若13//l l 或重合时，则满足231=-m ，解得6m =-；若1l 经过直线2l 与3l 的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形，联立方程组10350x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得3,4x y ==，即交点(3,4)P ，将点P 代入直线1l ，可得32440+⨯++=m m ，解得3m =-.故选：ABC.11.已知圆22:(2)(2)4M x y -+-=与直线:220l kx y k +--=相交于,C D 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.直线l 过定点1,22T ⎛⎫⎪⎝⎭B.若CD OM ⊥，则MCD △的面积为8C.CD 的最小值为D.MCD △的面积的最大值为2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，直线变形后求出所过定点；B 选项，求出1OMk =，进而由直线垂直关系得到12k =，得到5:02l x y +-=，从而求出()2,2M 到l的距离和CD ，求出面积；C 选项，求出()2,2M到l 的距离d 的最大值，从而由垂径定理得到CD 的最小值；D 选项，表达出MCD △，利用基本不等式求出最大值.【详解】A 选项，直线:220l kx y k +--=变形为1222y k x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点1,22T ⎛⎫⎪⎝⎭，A 选项正确；B 选项，易知道20120OM k -==-，若直线CD OM ⊥，则21k -=-，解得12k =，此时直线5:02l x y +-=，()2,2M 到l 的距离324d ==，则2CD ==，故MCD △的面积为128CD d ⋅=，B 选项正确；C 选项，由A 选项知，直线l 过定点1,22T ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()2,2M 到l 的距离d 的最大值为32MT ==，由于CD =CD 取得最小值，最小值为2CD ==，C 选项错误；D 选项，设()2,2M到l 的距离为d ，则MCD △面积为2214222d d d -+⨯==，当且仅当224d d -=，即d =D 选项正确．故选：ABD ．三、填空题（每题5分，共15分）12.已知点()()1,3,3,1A B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则2yx -的取值范围为__________.【答案】][(),31,-∞-⋃+∞【解析】【分析】根据2yx -的几何意义，作图分析可知.【详解】2yx -表示过点s 和点()2,0N 的直线斜率，如图，因为3,1AN BN k k =-=，结合图形可知MN AN k k ≤或MN BN k k ≥，所以2yx -的取值范围为][(),31,∞∞--⋃+.故答案为：][(),31,∞∞--⋃+13.若直线:30l kx y k -+=与曲线1C y =-(1y ≠)有一个交点，则实数k 的取值范围是_______.【答案】311(,442⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】利用数形结合思想来判断交点情况，就可以得到斜率的取值范围.【详解】由曲线1C y =-平方得：()()22111x y y +-=>，可得上述方程曲线表示半圆AB ，再由直线:30l kx y k -+=变形得：()30k x y +-=，从而可知：直线l 过定点()3,0P -，如图当直线与圆相切时有一个交点，此时由圆心到直线的距离等于半径可得：1d ==，解得：34k =或0k =（由图可知，舍去），当直线l 过点()1,1A -时，可得:130k k --+=，解得12k =，当直线l 过点()1,1A 时，可得:130k k -+=，解得14k =，由直线():3l y k x =-可知，k 表示直线的斜率，结合图形要有一个交点，则斜率k 满足34k =或1142k <≤，故答案为：311442⎧⎫⎛⎤⋃⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦，.14.已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E-，()10F ,，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为____________.【答案】4,+∞【解析】【分析】先作出F 关于BC 的对称点P ，再作P 关于AC 的对称点M ，因为光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，反射光线的反向延长线经过F 关于直线BC 的对称点P 点，又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．再求出直线,FG FH 的斜率即可．【详解】∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为20x y -+=,如图，作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ，再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-,∴(1,1)N -，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=，∴64(1,1),,55G H ⎛⎫⎪⎝⎭，连接,GF HF ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为454615=-∴FD 斜率的范围为(4,)+∞故答案为：(4,)+∞.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）15.已知直线:230l x y ++=．（1）若直线m 与直线l 垂直，且经过()1,2-，求直线m 的斜截式方程；（2）若直线n 与直线l 平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线n 的一般式方程．【答案】（1）1522y x =-（2）20x y +±=【解析】【分析】（1）根据垂直设20x y t -+=，代入(1,2)-得到直线方程，再化成斜截式即可；（2）设20x y c ++=，得到面积表达式求出c 值即可.【小问1详解】由题意设直线m 的方程为:20x y t -+=，由直线m 经过(1,2)-得:50t +=，解得:5t =-，∴直线m 的方程为:250x y --=，即1522y x =-.【小问2详解】由题意设直线n 的方程为:20x y c ++=，令0x =，则y c =-;令0y =，则2c x =-，所以直线n 两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积1||222c S c =⨯-⨯-=，解得:c =±所以直线n的一般式方程为20x y +±=.16.已知()3,0A ，()1,2B -，过A ，B 两点作圆，且圆心M 在直线l ：240x y +-=上．（1）求圆M 的标准方程；（2）过()5,3N 作圆M 的切线，求切线所在的直线方程．【答案】（1）()()22324x y -++=（2）5x =或2120450x y --=.【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解.【小问1详解】依题意，设圆M 的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，则()()()()2222223012240a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+--=⎨⎪+-=⎪⎩，解得322a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以圆M 的标准方程为()()22324x y -++=.【小问2详解】由（1）知()3,2M -，2r =，若所求直线的斜率不存在，则由直线过点()5,3N ，得直线方程为5x =，此时圆心()3,2M -到直线5x =的距离2d r ==，满足题意；若所求直线的斜率存在，设斜率为k ，则直线方程为3(5)y k x -=-，即530kx y k --+=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离2d =，解得2120k =，所以切线方程为213(5)20y x -=-，即2120450x y --=.综上，切线方程为5x =或2120450x y --=.17.已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点()0,3A ，离心率为12，（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为32的直线与曲线C 相交于点D ，E，弦长2DE =，求直线的方程．【答案】（1）221129x y +=（2）3260x y -±=【解析】【分析】（1）根据已知条件求得,b a ，进而求得椭圆C 的方程.（2）设出直线DE 的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，根据2DE =求得直线DE 的方程.【小问1详解】由题意得222312b c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得23c =，212a =，∴椭圆C 的方程为221129x y +=.【小问2详解】设直线DE ：()113,,2y x m D x y =+，()22,E x y ，联立22321129y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩并整理得，223390x mx m ++-=，所以1221293x x m m x x +=-⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩，122DE x ∴=-===，解得3m =±，符合()22Δ9129810m m =--=>，∴直线DE 方程为332=±y x ，即3260x y -±=．18.如图，已知矩形ABCD 所在平面与直角梯形ABPE 所在平面交于直线AB ，且2AB BP ==，1AD AE ==，DE =，AE AB ⊥，且//AE BP .（1）设点M 为棱PD 的中点，求证：//EM 平面ABCD ；（2）求平面PED 与平面PDC 的所成角的余弦值；（3）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）255（3）存在，N 点与D 点重合【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理先判定AD AE ⊥，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；（2）利用空间向量计算面面夹角即可；（3）假设存在，设()01PN PD λλ=≤≤ ，由空间向量计算线面夹角，解方程求参数即可.【小问1详解】由已知1AD AE ==，DE =，可知222DE AE AD =+，则AD AE ⊥，又矩形ABCD 中有AD AB ⊥，且AE AB ⊥，,AE AB A AE AB =⊂ 、平面ABEP ，所以AD ⊥平面ABEP ，又//BC AD ，则⊥BC 平面ABEP ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,, BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()10,2,0,2,0,1,1,1,,2,1,0,0,0,12P D M E C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,0,2EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .易知平面ABCD 的一个法向量等于 =0,1,0，所以11001002EM n ⋅=-⨯+⨯+⨯= ，所以EM n ⊥ ，又EM ⊄平面ABCD ，所以//EM 平面ABCD .【小问2详解】因为()()2,2,1,2,0,0PD CD =-= ，设平面PCD 的法向量为1 =1,1,1，由1100n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，取11y =，则110,2x z ==，即()10,1,2n = 为平面PCD 的一个法向量，因为()()2,2,1,2,1,0PD PE =-=- ，设平面PED 的法向量为()2222,,n x y z = ，由2200n PD n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2222222020x y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取21x =，则222,2y z ==，即()21,2,2n = 为平面PED 的一个法向量，设平面PED 与平面PCD 的所成角为θ，则121212cos cos ,5n n n n n n θ⋅===⋅ ；【小问3详解】存在，当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25.理由如下：假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成的角α的正弦值等于25.设()01PN PD λλ=≤≤ ，则()()()2,2,12,2,,2,22,PN BN BP PN λλλλλλλ=-=-=+=- .所以111sin cos ,BN n BN n BN n α⋅==⋅25===.所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-(舍去)，因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25.19.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0M 的直线l 交C 于A 、B 两点，交直线4x =于点P ．若= PA AM λ，PB BM μ= ，证明：λμ+为定值，并求出这个定值．【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析，定值为0.【解析】【分析】（1）由已知得a ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩224,2a b ==，即可得椭圆方程；（2）令:(1)l y k x =-，1122()A x y B x y ,,(,)，(4,3)P k ，联立椭圆方程并应用韦达定理得2122412k x x k+=+，21222(2)12k x x k-=+，再由向量数量关系的坐标表示得到λμ+关于参数k 的表达式，将韦达公式代入化简即可证.【小问1详解】由题设2122c a a ab a b ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⋅⋅=⎪⎩，又222a b c =+，则224,2a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.【小问2详解】由题设，直线l 斜率一定存在，令:(1)l y k x =-，且()1,0M 在椭圆C 内，联立直线与椭圆并整理得2222(12)4240k x k x k +-+-=，且0∆>，令1122()A x y B x y ,,(,)，而(4,3)P k ，则1111(4,3),),PA x y k AM x y =--=-- ，由= PA AM λ，则11114(1)3x x y k y λλ-=-⎧⎨-=-⎩且11x ≠，得1141x x λ-=-，同理2222(4,3),),PB x y k BM x y =--=-- 由PB BM μ= ，则22224(1)3x x y k y μμ-=-⎧⎨-=-⎩且21x ≠，得2241x x μ-=-，所以121221121244(4)(1)(4)(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x λμ----+--+==---+-121212125()28()1x x x x x x x x +--=-++又2122412k x x k +=+，21222(2)12k x x k-=+，则λμ+=2222222222222242(2)5282048816121202(2)42441211212k k k k k k k k k k k k k k -⋅-⋅--+--++==---++-+++.所以λμ+为定值0.。

学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题

学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题

学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A． B． C． D．4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．11．（多选题）下列命题正确的是（）A． B．，使得C．是的充要条件 D．若，则12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.高二年级10月联考数学试题答案一、单选题1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，利用并集的概念即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a,∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3∴椭圆的方程为，选B.4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D．5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选A6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可验证方程满足双曲线的要求，充分性得证；根据，可求得当方程表示双曲线时的取值范围，得到必要性不成立，从而得到结果.【详解】当时，，则方程表示双曲线，充分条件成立；若方程表示双曲线，则，解得：或必要条件不成立综上所述：“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件故选7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接进行判断可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B.8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求得所求代数式的值.【详解】，，，，则，所以，，其中且，因此，.故选：D.9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】∵，∴，．又是中点，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故选：A．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.【详解】在中，由正弦定理及，得，由余弦定理，得，又因为，所以，记，则.因为，所以，从而，所以可化为，即，恒成立，所以依题有，化简得，即得恒成立，又由，得或.故选:A.11．（多选题）下列命题正确的是（）A．B．，使得C．是的充要条件D．若，则【答案】AD【解析】【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，时，，故A选项正确.对于B选项，当时，不成立，故B选项错误.对于C选项，当“”时，“”成立；当“”时，如，此时，故“”不成立，也即“”是“”的充分不必要条件.故C选项错误.对于D选项，当时，，，由于，故，所以D选项正确.故填：AD.12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由数列中和的关系式，求得数列的通项公式，可判定D正确；再利用题设条件，求得的表达式，可判定A正确，最后结合等比数列的定义，可判定B正确.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为；当时，，又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．【答案】或【解析】【分析】由韦达定理可得出，，代入不等式，消去得出，再解该不等式即可.【详解】由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为或，故答案为或.14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S== .15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．【答案】【解析】【分析】先由题意列关于的方程组，求得的通项公式，再表示出，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为.由，，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．【答案】.【解析】【分析】连接，．利用切线的性质可得．利用三角形中位线定理可得：，．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，连接线段与圆相切于点，．又为的中点，化为：解得．故答案为：．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长、焦距、离心率【解析】【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，得，解得（2）由（1）知，椭圆方程为，则椭圆的长轴长；’短轴长；焦距；离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.【答案】（1）；（2）分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．详解：（1）在中，由余弦定理得，∵为三角形的内角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．【答案】（1）；（2）【分析】(1)设数列是公比为的等比数列,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的分组求和法,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】(1)设数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,又因为,所以,即,所以或(舍去),所以;(2)由(1)知,,所以.20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可.（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.（3）因为对于任意的都有，转化为，进而得到，然后分别求出，即可.【详解】解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，所以，，即，；所以；（2），化简有，整理，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，则有，所以，，因为对于任意的都有，即求，转化为，而，，所以，此时可得，所以M的最小值为.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由题，得，即可得到本题答案；（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，即，所以数列是以2为公比和首项的等比数列，所以；（2）①由（1）知，，当时，，又因为也满足上式，所以数列的通项公式为，因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以，故；②设，则，所以，两式相减得，所以，∵，∴，即：，即.令，则，即，所以，数列单调递减，，因此，存在唯一正整数，使得成立.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标解：（1）设椭圆的右焦点为,则为的中位线,所以,所以因为,所以,所以,所以椭圆C的方程为:（2）设联立,消去y整理得:所以,,所以因为所以所以整理得: 解得: 或 (舍去)所以直线l过定点.学2020-2021学年高二数学上学期10月联考试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A． B． C． D．4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．11．（多选题）下列命题正确的是（）A． B．，使得C．是的充要条件 D．若，则12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.高二年级10月联考数学试题答案一、单选题1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，利用并集的概念即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A．2．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．3．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a,∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3∴椭圆的方程为，选B.4．已知命题且为假命题，则可以肯定（）A．为真命题B．为假命题C．都是假命题D．中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D．5．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选A6．若, 则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可验证方程满足双曲线的要求，充分性得证；根据，可求得当方程表示双曲线时的取值范围，得到必要性不成立，从而得到结果.【详解】当时，，则方程表示双曲线，充分条件成立；若方程表示双曲线，则，解得：或必要条件不成立综上所述：“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件故选7．命题“”的否定为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接进行判断可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B.8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求得所求代数式的值.【详解】，，，，则，所以，，其中且，因此，.故选：D.9．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】∵，∴，．又是中点，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故选：A．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.【详解】在中，由正弦定理及，得，由余弦定理，得，又因为，所以，记，则.因为，所以，从而，所以可化为，即，恒成立，所以依题有，化简得，即得恒成立，又由，得或.故选:A.11．（多选题）下列命题正确的是（）A．B．，使得C．是的充要条件D．若，则【答案】AD【解析】【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，时，，故A选项正确.对于B选项，当时，不成立，故B选项错误.对于C选项，当“”时，“”成立；当“”时，如，此时，故“”不成立，也即“”是“”的充分不必要条件.故C选项错误.对于D选项，当时，，，由于，故，所以D选项正确.故填：AD.12．（多选题）数列的前项和为，若，，则有（）A．B．为等比数列C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由数列中和的关系式，求得数列的通项公式，可判定D正确；再利用题设条件，求得的表达式，可判定A正确，最后结合等比数列的定义，可判定B正确.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为；当时，，又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.二、填空题13．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．【答案】或【解析】【分析】由韦达定理可得出，，代入不等式，消去得出，再解该不等式即可.【详解】由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为或，故答案为或.14．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S==.15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．【答案】【解析】【分析】先由题意列关于的方程组，求得的通项公式，再表示出，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为.由，，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.16．已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，线段与圆相切于点，且为线段中点，则该椭圆的离心率为_____．【答案】.【解析】【分析】连接，．利用切线的性质可得．利用三角形中位线定理可得：，．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，连接线段与圆相切于点，．又为的中点，化为：解得．故答案为：．三、解答题17．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.（1）求的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长、焦距、离心率【解析】【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，得，解得（2）由（1）知，椭圆方程为，则椭圆的长轴长；’短轴长；焦距；离心率.18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．详解：（1）在中，由余弦定理得，∵为三角形的内角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．19．已知数列是等比数列，且，其中成等差数列．（1）数列的通项公式；（2）记，则数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)设数列是公比为的等比数列,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的分组求和法,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】(1)设数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,又因为,所以,即,所以或(舍去),所以;(2)由(1)知,,所以.20．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可.（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.（3）因为对于任意的都有，转化为，进而得到，然后分别求出，即可.【详解】解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，所以，，即，；所以；（2），化简有，整理，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，则有，所以，，因为对于任意的都有，即求，转化为，而，，所以，此时可得，所以M的最小值为.21．设数列的前项和为，已知.（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足：.①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由题，得，即可得到本题答案；（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，即，所以数列是以2为公比和首项的等比数列，所以；（2）①由（1）知，，当时，，又因为也满足上式，所以数列的通项公式为，因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以，故；②设，则，所以，两式相减得，所以，∵，∴，即：，即.令，则，即，所以，数列单调递减，，因此，存在唯一正整数，使得成立.22.设O为坐标原点,椭圆的左焦点为F,离心率为.直线与C交于两点, 的中点为M,（1）求椭圆C的方程（2）设点,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标解：（1）设椭圆的右焦点为,则为的中位线,所以,所以因为,所以,所以,所以椭圆C的方程为:（2）设联立,消去y整理得:所以,,所以因为所以所以整理得: 解得: 或 (舍去)所以直线l过定点.。

重庆市中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析

重庆市中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析

重庆市2023-2024学年高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）时间：120分钟总分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.若事件A 与事件B 互斥，且P （A ）＝0.3，P （B ）＝0.2，则()P A B =（）．A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7【答案】B 【解析】【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算直接得出结果.【详解】事件A 与事件B 互斥，则()()()0.5P A B P A P B =+=∪.故选：B2.一组数据按从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,,17,,22,26x y ，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x y +=（）A.33B.34C.35D.36【答案】D 【解析】【分析】利用中位数和百分位数的定义得到16x =，20y =，求出答案.【详解】一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即16x =，5975% 6.7⨯=，故选取第7个数为75%分位数，故20y =，所以162036x y +=+=.故选：D3.如图，在空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，且2OM MA =，BN NC =，则MN等于（）A.221332a b c ++B.111222a b c +-C.211322a b c-++ D.121232a b c -+ 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.【详解】因为BN NC =，即N 为BC 的中点，所以()12ON OB OC =+，因为2OM MA =，所以23OM OA =，MN ON OM =- ()1223OB OC OA =+- 211322a b c =-++.故选：C4.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没中靶【答案】D 【解析】【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.【详解】对于A ，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件；对于B ，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B 选项不满足条件；对于C ，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C 选项不满足条件；对于D ，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D 选项满足条件.故选：D.5.已知()2,1,3a =- ，()1,4,2b =-- ，()1,3,c λ= ，若a ，b ，c三向量共面，则实数λ等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意，存在实数,x y 值得c xa yb =+，列出方程组，即可求解.【详解】由向量()2,1,3a =- ，()1,4,2b =--，()1,3,c λ= ，因为a ，b ，c三向量共面，则存在实数,x y 值得c xa yb =+，即()()()1,3,2,1,31,4,2x y λ=-+--，可得214332x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得1,1x y ==，则1λ=.故选：A.6.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为PD 的中点，则异面直线BD 与AE 所成的角的余弦值为（）A.13B.12C.23D.33【答案】B 【解析】【分析】取BP 中点为F ，连接EF ，AF ，确定FEA ∠即为异面直线BD 与AE 所成的角，确定AEF △为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：取BP 中点为F ，连接EF ，AF，在PBD △中，,E F 分别为,PB PD 中点，故EF BD ∥，FEA ∠即为异面直线BD 与AE 所成的角（或补角），在AEF △中，12AF BP ==，12AE PD ==12EF BD ==即AEF △为等边三角形，60FEA ∠=︒，1cos 2FEA ∠=.故选：B.7.已知()2,0,1a = ，()3,2,5b =- ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.()153,2,5- B.()3,1382,5- C.()152,0,1 D.()1382,0,1【答案】C 【解析】【分析】先求出向量b 在向量a 上的投影，再求解向量b 在向量a上的投影向量即可．【详解】因为(2a =，0，1)，(3b = ，2，5)-，则向量b 在向量a上的投影为||5a b a ⋅==，所以向量b 在向量a上的投影向量是5511(2,0,1)5||555a a a ⨯=== ．故选：C ．8.如图，在正三棱锥D -ABC中，AB =2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO λ=uu u r uuu r，若PA ⊥平面PBC ，则实数λ=（）A.12B.13-C.64D.66【答案】D 【解析】【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC 的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数λ即可.【详解】由题设，△ABC2 DA DB DC===，等边△ABC3 2 =，在正棱锥中，以O为原点，平行CB为x轴，垂直CB为y轴，OD为z轴，如上图示，则3131(0,1,0),,0),(,,0),(0,0,2222A B C D--，且)P，所以)AP=，31,,)22PB=，CB=，若(,,)m x y z=为面PBC的法向量，则1022PB m x y zCB m⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，令1z=，则(0,,1)m=，又PA⊥平面PBC，则AP km=且k为实数，101kkλ⎧=⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩，故6λ=.故选：D二、多选题（每小题全选对得5分，有错误选项得0分，部分选对得2分，满分20分.）9.从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．下列事件是必然事件的是（）A.至少有一个是正品B.至多有两个次品C.恰有一个是正品D.至多有三个正品【答案】ABD【解析】【分析】把从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个的三种情况一一列举出来，即可判断.【详解】从10个同类产品中任取3个共有3种情况，分别为3个正品、2个正品1个次品、1个正品2个次品，所以从10个同类产品中任意抽取3个，那么至少有一个正品，至多有两个次品，至多有三个正品.故选：ABD.10.已知,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，下列说法一定正确的是（）A.若//αβ，l ⊂α，则//l β B.若αβ⊥，l ⊂α，则l β⊥C.若l α⊥，αβ⊥，则//l β D.若//l α，m α⊥，则l m⊥【答案】AD 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可.【详解】对于A ：若//αβ，l ⊂α，由面面平行的性质定理可知//l β，故A 正确；对于B ：若αβ⊥，l ⊂α，则l β⊥或//l β或l β⊂或l 与β相交（不垂直），故B 错误；对于C ：若l α⊥，αβ⊥，则//l β或l β⊂，故C 错误；对于D ：若//l α，则存在直线b α⊂，使得//l b ，又m α⊥，b α⊂，所以m b ⊥，所以l m ⊥，故D 正确；故选：AD11.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()16P B =，则（）A.若()19P AB =，则事件A 与B 相互独立B.若A 与B 相互独立，则()49P A B ⋃=C.若A 与B 互斥，则()49P A B ⋃=D.若B 发生时A 一定发生，则()13P AB =【答案】AB 【解析】【分析】利用独立事件的定义可判断A 选项；利用并事件的概率公式可判断B 选项；利用互斥事件的概率公式可判断C 选项；分析可知AB B =，可判断出D 选项.【详解】对于A ，因为()13P A =，()16P B =，则()()132131P P A A =-==-，因为()()()211369P A P B P AB =⨯==，所以，事件A 与B 相互独立，A 对；对于B ，若A 与B 相互独立，则()()()1113618P AB P A P B ==⨯=，所以，()()()()111436189P A B P A P B P AB =+-=+-= ，B 对；对于C ，若A 与B 互斥，则()()()111362P A B P A P B ⋃=+=+=，C 错；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，则()()16P AB P B ==，D 错.故选：AB.12.在空间直角坐标系中，已知向量(,,)u A B C =（0ABC ≠），点0000(,,)P x y z ，点(,,)P x y z .（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点且其坐标满足000x x y y z z A B C---==，称为直线l 的方程；（2）若平面α经过点0P ，且以u为法向量，P 是平面α内的任意一点且其坐标满足000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=，称为平面α的方程.设直线l 的方程为111213x y z ---==，平面α的方程为2(1)(1)3(1)0x y z ---+-=，(2,3,1),(2,1,1)M N ----，则（）A.,M l M α∉∈B.直线l 与平面α所成角的余弦值为67C.N 到平面α的距离为147D.向量p 是平面α内的任意一个向量，则存在唯一的有序实数对(,)x y ，使得p xa yb =+，其中()0,3,1,(1,2,0)a b ==.【答案】ACD 【解析】【分析】点M 的坐标分别代入直线方程、平面方程可判断A ；求出平面α的一个法向量、直线l 的方向向量，利用向量的夹角公式可判断B ；利用点到平面的向量求法可判断C ；由空间向量基本定理可判断D.【详解】对于A ，因为213111213-----≠≠，2(21)(31)3(11)0----+--=，所以,M l M α∉∈，故A 正确；对于B ，平面α的一个法向量为()2,1,3=- u ，直线l 的方向向量为()2,1,3=v ，由6cos ,7⋅==u v u v u v，得直线l 与平面α7=，故B 错误；对于C ，因为M α∈，所以()0,2,0MN =，所以N 到平面α的距离为7⋅===MN u d u，故C 正确；对于D ，因为()0,3,1(1,2,0)λ≠，所以a b λ≠，又0a u ⋅= ，0b u ⋅= ，则//,//a b αα ，即,a b 在平面α内，由空间向量基本定理可得存在唯一的有序实数对(,)x y ，使得p xa yb =+，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（满分20分，每题5分）13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是________人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例求出学生总数.【详解】45600180015⨯=，故该校高中学生总数是1800人.故答案为：180014.在一个由三个元件A,B,C 构成的系统中，已知元件A,B,C 正常工作的概率分别是12，13，14，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为______．【答案】16【解析】【分析】先求出A,B 都不工作的概率，可得A,B 至少有一个能正常工作的概率，继而求得这个系统正常工作的概率.【详解】由题意可知A,B 都不工作的概率为111(1)233--=，所以A,B 至少有一个能正常工作的概率为12133-=，故这个系统正常工作的概率为211346⨯=，故答案为：1615.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA===，11120,60BAD BAA DAA ∠=∠=︒∠=︒，则线段1AC 的长度是______.【答案】【解析】【分析】由11AC AB AD AA =++，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可求解.【详解】由题知11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AD AA AA AB=+++⋅+⋅+⋅ 2221112cos1202cos602cos120AB AD AA AB AD AD AA AA AB =+++⋅+⋅+⋅1141225=++-+-=，所以1AC =，即1AC =，所以线段1AC16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，M ，N ，G 分别是棱1AA，BC ，11A D 的中点，设Q 是该正方体表面上的一点，若(),MQ xMG yMN x y =+∈R uuu r uuu r uuu r ，则点Q 的轨迹围成图形的面积是______；MG MQ ⋅uuu r uuu r的最大值为______．【答案】①.123②.12【解析】【分析】如图，分别取AB ，1CC ，11C D 的中点E ，F ，O ，连接1,,,,,,OG OF FN EN AD OE NG ，可证明六边形OFNEMG 为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求MG MQ ⋅uuu r uuu r的最大值.【详解】∵(),MQ xMG yMN x y =+∈R uuu r uuu r uuu r，∴点Q 在平面MGN 上，如图，分别取AB ，1CC ，11C D 的中点E ，F ，O ，连接1,,,,,,OG OF FN EN AD OE NG ，因为,M G 为中点，故1//MG AD ，又由正方体1111ABCD A B C D -可得11112D O D C =，11111,//,2AE AB D C AB D C AB ==，故11//,D O AE D O AE =，故四边形1D OEA 为平行四边形，故1//AD OE ，故MG//OE ，故,,,M G O E 四点共面，同理可证,,,M G N E 四点共面，故,,,,M G O N E 五点共面，同理可证,,,G O N F 四点共面，故,,,,,M G O F N E 六点共面，由正方体的对称性可得六边形OFNEMG 为正六边形.故点Q 的轨迹是正六边形OFNEMG ，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，所以正六边形OFNEMG 的边长为22，所以点Q 的轨迹围成图形的面积是1622sin 601232S =⨯⨯︒=如图，cos MG MQ MG MQ QMG⋅=⨯∠uuu r uuu r uuu r uuu r22cos 22cos302226cos3012MQ QMG MO =∠≤︒=︒=uuu r uuu r ，∴MG MQ ⋅uuu r uuu r 的最大值为12．故答案为：123，12．四、解答题（满分70分，17题满分10分，18～22题每题满分12分）17.目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是[]0,120，样本数据分组为[)[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100,100,120.（1）求频率分布直方图中x 的值；（2）利用频率分布直方图估计样本的众数、中位数.【答案】（1）0.014；（2）众数为70，中位数为65；【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质得到方程即可求出x ．（2）众数即直方图中最高一组的组中值，首先判断中位数位于[)60,80，再设中位数为x ，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）由频率分布直方图得：(0.020.0080.0040.0020.002)201x +++++⨯=，解得0.014x =．（2）由频率分布直方图可知众数为6080702+=因为()0.0020.0040.014200.40.5++⨯=<，所以中位数位于[)60,80，设中位数为x ，则()()0.0020.0040.01420600.020.5x ++⨯+-⨯=，解得65x =，故中位数为65；18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,M N 分别是,PA PB 的中点，PD⊥平面ABCD ，且2,1PD AD CD ===.（1）证明：//MN 平面PCD ；（2）证明：MC BD ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）建立以D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系D xyz -，运用空间向量法解决线面平行即可.（2）运用空间向量法解决线线垂直即可.【小问1详解】由题知，底面ABCD 是矩形，,M N 分别是,PA PB 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且1PD AD CD ===.所以,,DA DC PD DA PD DC ⊥⊥⊥,所以建立以D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系D xyz -，所以(0,0,0),(0,1,0),(0,0,,0,),222D A B C P M N ，所以(0,1,)2MN =- ，因为易知DA = 为平面PCD 的一个法向量，所以0MN DA ⋅= ，所以MN DA ⊥，因为MN ⊄平面PCD ，所以//MN 平面PCD .【小问2详解】由（1）得，(,1,(1,0)22MC BD =--=- ，所以1100MC BD ⋅=-+=，所以MC BD ⊥ ，所以MC BD ⊥.19.已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球．甲盒中是3个黑色小球（记为123,,A A A ）和1个红色小球（记为B ），乙盒中是2个黑色小球（记为12,a a ）和2个红色小球（记为12,b b ）．（1）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果；（2）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率．【答案】（1）16种，答案见解析（2）78【解析】【分析】（1）用列举法列出所有可能结果；（2）利用古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】共16种不同结果，总体记为Ω，则1112111221222122{,,,,,,,A a A a A b A b A a A a A b A b Ω=,313231321212,,,,,,,}A a A a A b A b Ba Ba Bb Bb ．【小问2详解】记A =“取出的2个小球中至少有一个是黑色”，则1112111221222122Ω{,,,,,,,A A a A a A b A b A a A a A b A b =,3132313212,,,,,}A a A a A b A b Ba Ba ，故()()()147168n A P A n ===Ω．20.在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =.（1）求c 的值；（2）求△ABC 的面积.【答案】（1）2c =（2）4【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；（2）先用同角三角函数关系式22sin cos 1C C +=求出sin C ，再用三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2114212=44c =+-⨯⨯⨯，解得2c =，【小问2详解】∵1cos 04C =>，且0πC <<，∴π02C <<,由22sin cos 1C C +=得，sin 4C ===,∴1sin 2ABC S ab C =⋅△112244=⨯⨯⨯=.故△ABC 的面积为4.21.在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BB ==，4BC =，1AB 与1AB 交于点E ，点F 为BC 中点.（1）求证：⊥AE 平面1A BC ；（2）求平面AEF 与平面1AA C 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）由长方体的结构特征，可证BC AE ⊥，1AE A B ⊥，得⊥AE 平面1A BC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为BC ⊥平面11ABB A，AE ⊂平面11ABB A ，所以BC AE ⊥，因为11ABB A 为正方形，所以1AE A B ⊥，因为1BC A B B ⋂=，1,⊂BC A B 平面1A BC所以⊥AE 平面1A BC【小问2详解】以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()10,0,2A ，()1,0,1E ，()2,4,0C ，()2,2,0F ；()1,0,1AE =uu u r ，()2,2,0AF = ，()10,0,2AA = ，()2,4,0AC = 设平面AEF 的法向量为()111,,n x y z =，则11110220n AE x z n AF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，则111,1=-=-y z ，即()1,1,1n =-- ，设平面1AA C 的法向量为()222,,m x y z = ，则122220240m AA z m AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令22x =，则221,0y z =-=，即()2,1,0m =-，15cos ,5m n == ，所以，平面AEF 与平面1AA C的夹角的余弦值为5.22.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知__________，AC BC ⊥，//ED AC ，且22AC BC ED ===，DC DB ==.（1）求证：平面ABC ⊥平面BCD ；（2）求直线AD 与平面ABE 夹角的正弦值；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于54343，若存在，求BF BC 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）14（3）存在，34BF BC =【解析】【分析】（1）若选①，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明AC ⊥平面BCD ；若选②，根据线面垂直的判断定理，并结合面面垂直的判断定理，即可证明；若选③，利用平行和垂直关系，转化为证明AC BD ⊥，即可证明；（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，求平面ABE 的法向量，利用向量法求线面角的正弦值；（3）首先假设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，满足条件，根据平面AEF 和平面ABE 的法向量夹角的余弦值，即可求解.【小问1详解】若选①，取AC 中点G ，BC 中点O ，连接EG ，DO ,//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，EG CD ∴∥，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，BC ，CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD .若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，BC ，BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD .若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接OD ，OH ，EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴= O ，H 分别为BC ，AB 中点，12OH AC ∴∥，又12ED AC ∥，OH ED ∴∥，∴四边形DEHO 为平行四边形，EH DO ∴==AC BC ⊥Q ，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥.又AC BC ⊥，BC BD B = ，BC ，BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD .【小问2详解】取BC 中点O ，AB 中点H ，连接DO ，OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥.综上所述：DO ，OH ，BC 两两互相垂直.则以O 为坐标原点，OH ，OB ，OD 为x ，y ，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E，(D ()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =-，(AD =- 设平面ABE 的法向量()111,,x n y z =，则1111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，解得：11y =，10z =，()11,1,0n ∴= ；设直线AD 与平面ABE 的夹角为θ.则111sin cos 14AD n AD n AD n θ⋅=⋅==⋅ .即直线AD 与平面ABE 的夹角的正弦值为1414【小问3详解】设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABE夹角的余弦值等于43，由（1）得：(1,,EF t =-，(AE =- .设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z = ，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令21y =，则212t x +=，)214t z -=，)211,1,24t t n ⎛⎫-+∴= ⎪ ⎪⎝⎭；()11,1,0n ∴=121212cos ,43n n n n n n ⋅∴==⋅ ，化简可得：221370t t --=，解得：12t =-或7t =（舍），10,,02F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，32BF ∴=，34BF BC ∴=；。

学2020-2021学年高二数学10月月考试题(含解析)_1

学2020-2021学年高二数学10月月考试题(含解析)_1

学2020-2021学年高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题：（本大题共有6小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在中，若，则角值为（）.A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，即可得解；【详解】解：因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，所以故选：B【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.2. 已知数列的通项公式为，则下面哪一个数是这个数列的一项（）A. 18B. 21C. 25D. 30【答案】D【解析】【分析】根据，将代入逐项验证即可.【详解】因为，所以数列是递增数列，当时，，当时，，当时，，当时，，故选：D【点睛】本题主要考查数列的概念及应用，属于基础题.3. 等比数列的前项和为，公式，则（）A. B. 4 C. 15 D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的公式，然后由求解.【详解】因为等比数列的公式，所以故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4. 已知中，，，，则等于（）．A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】【分析】应用正弦定理，得到，再由边角关系，即可判断B的值.【详解】解：∵，，，∴由得，，∴B＝或.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.5. 等差数列中，，，则前项和取最大值时，为（）A. 6B. 7C. 6或7D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】结合等差数列的性质可得，，从而可得当或时，前项和取最大值.【详解】∵，，∴，由等差数列的性质可得，即，∵，∴，当或时，前项和取最大值，故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和应用，属于基础题.6. 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则等于( )A. 80B. 30C. 26D. 16【答案】B【解析】【分析】首先根据为各项均为正数的等比数列，得到，，，构成等比数列.再计算出新数列的公比，即可得到的值.【详解】因为为各项均为正数的等比数列，所以，，，构成等比数列.设新数列公比为，因为，则有，得，因为，则有故选：B【点睛】本题主要考查等比数列前项和的性质，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.7. 等差数列前项和为，若，则的值为（）A 9 B. 12 C. 16 D. 17【答案】A【解析】【详解】∵，∴得：，，故选A.8. 在等比数列中，若，且则为（）A. 6B.C. D. 6或或【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式列方程计算即可.【详解】因为等比数列中，，且，所以，即，所以，解得或或，所以函数的通项公式为或或，故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了运算能力，属于中档题.9. 在等差数列中，，，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得的值.【详解】由于数列是等差数列，所以由，，得，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题.10. 在等比数列中,，,则等于A. B. C. D. 或【答案】D【解析】∵为等比数列，∴，又∴为的两个不等实根，∴∴或∴故选D11. 等差数列,的前项和分别为,，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意结合等差数列的性质有：.本题选择C选项.12. 在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由数列是等比数列，得，进而求得，易得．【详解】设等比数列的公比为.因为数列也是等比数列，所以，，，，∴解得：，所以.故选：A．【点睛】本题考查求等比数列的前项和，解题关键是求得数列的公比，利用新数列是等比数列，易得．二、填空题：（共有6个小题，每小题5分，共20分）13. 在中，若，，，则的面积是________.【答案】【解析】【分析】利用公式即可.【详解】故答案为：【点睛】本题考查三角形的面积公式，要根据不同条件灵活选择，，三个公式.14. 若数列的前项和为，则通项公式为__________．【答案】【解析】【分析】利用求解，但要注意验证n=1时是否成立.【详解】当n=1时，；又，【点睛】本题考查利用数列前n项和求数列通项公式，属于基础题目，解题中需要注意利用公式求解出通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.15. 在等差数列{an}中，公差d，前100项的和S100＝45，则a1+a3+a5+…+a99＝____．【答案】10【解析】【分析】由等差数列的性质，当n为偶数时，所有的偶数项和减所有的奇数项和，等于，故a2+a4+a6+…+a100可用a1+a3+a5+…+a99表示，再根据前100项是由奇数项和偶数项构成，可得关于要求式子的方程，解之可得．【详解】∵等差数列中（a2+a4+a6+…+a100）﹣（a1+a3+a5+…+a99）＝50d＝25，又∵S100＝（a2+a4+a6+…+a100）+（a1+a3+a5+…+a99），＝25+2（a1+a3+a5+…+a99）＝45，∴a1+a3+a5+…+a99＝10，故答案为10.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的性质的应用，整体法是解决问题的关键，属基础题．16. 已知数列{}的前n项和，则=________．【答案】100【解析】试题分析：．考点：数列求和．三、解答题：（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的各项都是正数，前项和为，且，，求首项及公比的值.【答案】，【解析】【分析】由，，可得，解出即可得出.详解】，，解得.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了运算能力，属于中档题.18. 在等比数列中，，，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前5项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列公比为q，由，得到，再结合，且，求得首项和公比即可..（2）根据（1）的结果，利用等比数列前n项和公式求解.【详解】（1）设等比数列公比为q，因为，所以，又，且，所以，所以，解得或（舍去）所以数列的通项公式为.（2）由（1）知：，所以数列的前5项的和.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.19. 已知数列的前n项和，则______．【答案】【解析】试题分析：当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是考点：已知求20. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列.（1）求的公比；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，化简求得.（2）根据已知条件求得，由此求得.【详解】（1）依题意，有，∴，由于，故，又，从而.（2）由已知，得，故，从而.【点睛】本小题主要考查等差中项，考查等比数列通项公式和前项和公式.21. 在中，已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由三角函数的基本关系式，结合cos A的值求出sin A的值，再利用正弦定理求出sin B即可；(2）利用sin B求出sin2B和cos 2B，这里特别注意角A为钝角，再根据两角和的正弦公式展开代入即可.【详解】（1）在中, ,由正弦定理知：，所以.（2）因为,所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是,,,.【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦，属于中档题.22. 已知中，三内角、、的度数成等差数列，边、、依次成等比数列.求证：是等边三角形.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据内角、、的度数成等差数列，易得，再由边、、依次成等比数列得到，然后利用余弦定理判断即可.【详解】因为内角、、的度数成等差数列，所以，又，所以，因为边、、依次成等比数列，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以是等边三角形.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.学2020-2021学年高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题：（本大题共有6小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在中，若，则角值为（）.A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【分析】利用正弦定理将边化角，即可得解；【详解】解：因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，所以故选：B【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.2. 已知数列的通项公式为，则下面哪一个数是这个数列的一项（）A. 18B. 21C. 25D. 30【答案】D【解析】【分析】根据，将代入逐项验证即可.【详解】因为，所以数列是递增数列，当时，，当时，，当时，，当时，，故选：D【点睛】本题主要考查数列的概念及应用，属于基础题.3. 等比数列的前项和为，公式，则（）A. B. 4 C. 15 D.【答案】C根据等比数列的公式，然后由求解.【详解】因为等比数列的公式，所以故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4. 已知中，，，，则等于（）．A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】【分析】应用正弦定理，得到，再由边角关系，即可判断B的值.【详解】解：∵，，，∴由得，，∴B＝或.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.5. 等差数列中，，，则前项和取最大值时，为（）A. 6B. 7C. 6或7D. 以上都不对【分析】结合等差数列的性质可得，，从而可得当或时，前项和取最大值.【详解】∵，，∴，由等差数列的性质可得，即，∵，∴，当或时，前项和取最大值，故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和应用，属于基础题.6. 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则等于( )A. 80B. 30C. 26D. 16【答案】B【解析】【分析】首先根据为各项均为正数的等比数列，得到，，，构成等比数列.再计算出新数列的公比，即可得到的值.【详解】因为为各项均为正数的等比数列，所以，，，构成等比数列.设新数列公比为，因为，则有，得，因为，则有故选：B【点睛】本题主要考查等比数列前项和的性质，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.7. 等差数列前项和为，若，则的值为（）A 9 B. 12 C. 16 D. 17【答案】A【解析】【详解】∵，∴得：，，故选A.8. 在等比数列中，若，且则为（）A. 6B.C. D. 6或或【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式列方程计算即可.【详解】因为等比数列中，，且，所以，即，所以，解得或或，所以函数的通项公式为或或，故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了运算能力，属于中档题.9. 在等差数列中，，，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得的值.【详解】由于数列是等差数列，所以由，，得，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题.10. 在等比数列中,，,则等于A. B. C. D. 或【答案】D【解析】∵为等比数列，∴，又∴为的两个不等实根，∴∴或∴故选D11. 等差数列,的前项和分别为,，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意结合等差数列的性质有：.本题选择C选项.12. 在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由数列是等比数列，得，进而求得，易得．【详解】设等比数列的公比为.因为数列也是等比数列，所以，，，，∴解得：，所以.故选：A．【点睛】本题考查求等比数列的前项和，解题关键是求得数列的公比，利用新数列是等比数列，易得．二、填空题：（共有6个小题，每小题5分，共20分）13. 在中，若，，，则的面积是________.【答案】【解析】【分析】利用公式即可.【详解】故答案为：【点睛】本题考查三角形的面积公式，要根据不同条件灵活选择，，三个公式.14. 若数列的前项和为，则通项公式为__________．【答案】【解析】【分析】利用求解，但要注意验证n=1时是否成立.【详解】当n=1时，；又，【点睛】本题考查利用数列前n项和求数列通项公式，属于基础题目，解题中需要注意利用公式求解出通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.15. 在等差数列{an}中，公差d，前100项的和S100＝45，则a1+a3+a5+…+a99＝____．【答案】10【解析】【分析】由等差数列的性质，当n为偶数时，所有的偶数项和减所有的奇数项和，等于，故a2+a4+a6+…+a100可用a1+a3+a5+…+a99表示，再根据前100项是由奇数项和偶数项构成，可得关于要求式子的方程，解之可得．【详解】∵等差数列中（a2+a4+a6+…+a100）﹣（a1+a3+a5+…+a99）＝50d＝25，又∵S100＝（a2+a4+a6+…+a100）+（a1+a3+a5+…+a99），＝25+2（a1+a3+a5+…+a99）＝45，∴a1+a3+a5+…+a99＝10，故答案为10.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的性质的应用，整体法是解决问题的关键，属基础题．16. 已知数列{}的前n项和，则=________．【答案】100【解析】试题分析：．考点：数列求和．三、解答题：（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的各项都是正数，前项和为，且，，求首项及公比的值.【答案】，【解析】【分析】由，，可得，解出即可得出.详解】，，解得.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了运算能力，属于中档题.18. 在等比数列中，，，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前5项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列公比为q，由，得到，再结合，且，求得首项和公比即可..（2）根据（1）的结果，利用等比数列前n项和公式求解.【详解】（1）设等比数列公比为q，因为，所以，又，且，所以，所以，解得或（舍去）所以数列的通项公式为.（2）由（1）知：，所以数列的前5项的和.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.19. 已知数列的前n项和，则______．【答案】【解析】试题分析：当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是考点：已知求20. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列.（1）求的公比；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，化简求得.（2）根据已知条件求得，由此求得.【详解】（1）依题意，有，∴，由于，故，又，从而.（2）由已知，得，故，从而.【点睛】本小题主要考查等差中项，考查等比数列通项公式和前项和公式.21. 在中，已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由三角函数的基本关系式，结合cos A的值求出sin A的值，再利用正弦定理求出sin B即可；(2）利用sin B求出sin2B和cos 2B，这里特别注意角A为钝角，再根据两角和的正弦公式展开代入即可.【详解】（1）在中, ,由正弦定理知：，所以.（2）因为,所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是,,,.【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦，属于中档题.22. 已知中，三内角、、的度数成等差数列，边、、依次成等比数列.求证：是等边三角形.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据内角、、的度数成等差数列，易得，再由边、、依次成等比数列得到，然后利用余弦定理判断即可.【详解】因为内角、、的度数成等差数列，所以，又，所以，因为边、、依次成等比数列，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以是等边三角形.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.。

重庆高二高中数学月考试卷带答案解析

重庆高二高中数学月考试卷带答案解析

重庆高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（）A．B．C．D．2.圆的圆心坐标为（）A．B．C．D．3.法向量为的直线，其斜率为（）A．B．C．D．4.椭圆的一个焦点坐标为，那么的值为（）A．B．C．D．5.直线上三点，且点分的比为，那么点分的比为（）A．B．C．D．6.直线，椭圆，直线与椭圆的公共点的个数为（）A． 1个B．1个或者2个C． 2个D． 0个7.三角形，顶点，该三角形的内切圆方程为（）A．B．C．D．8.过点作直线与圆相交于两点，那么的最小值为（）A．B．C．D．9.以下叙述正确的是（）A．平面直角坐标系下的每条直线一定有倾斜角与法向量，但是不一定都有斜率；B．平面上到两个定点的距离之和为同一个常数的轨迹一定是椭圆；C．直线上有且仅有三个点到圆的距离为2；D．点是圆上的任意一点，动点分（为坐标原点）的比为，那么的轨迹是有可能是椭圆.10.已知直线：过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆截得的弦长为，若则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.一条直线的方向向量为，且过点，该直线的方程为2.点，点，动点满足，则点的轨迹方程是3.椭圆，斜率的直线与椭圆相交于点，点是线段的中点，直线（为坐标原点）的斜率是，那么4.如果直线与曲线有公共点，那么的取值范围是5.点是直线上的动点，点分别是圆和圆上的两个动点，则的最小值为三、解答题1.求满足下列条件的直线方程（13分）（1）直线过原点且与直线的夹角为；（2）直线过直线与的交点，且点到的距离为.2.三角形的顶点，重心（1）求三角形的面积；（2）求三角形外接圆的方程.3.椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，求的值.4.已知直线，圆（1）判断直线和圆的位置关系；（2）若直线和圆相交，求相交弦长最小时的值.5.标准方程下的椭圆的短轴长为，焦点，右准线与轴相交于点，且，过点的直线和椭圆相交于点.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）若，求直线的方程.6.在平面直角坐标系中，椭圆为（1）若一直线与椭圆交于两不同点，且线段恰以点为中点，求直线的方程；（2）若过点的直线（非轴）与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由.重庆高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线的方程为x+2y-6=0,那么可知斜率为，选B2.圆的圆心坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的一般式方程可知，圆心的横坐标为3，纵坐标为-4，那么圆心的坐标为（3，-4），故选D.3.法向量为的直线，其斜率为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】因为法向量为的直线，可知与已知直线垂直的直线的斜率为，那么可知已知直线的斜率为，选A.4.椭圆的一个焦点坐标为，那么的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为椭圆的一个焦点坐标为，那么可知焦点在x轴上，那么A=5,c=3,b=4,因此m=16,故选C5.直线上三点，且点分的比为，那么点分的比为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】因为分的比为，那么有，因此可知，故可知点分的比为，选A6.直线，椭圆，直线与椭圆的公共点的个数为（）A． 1个B．1个或者2个C． 2个D． 0个【答案】C【解析】要分析直线与椭圆的公共点的个数，只要联立方程组，结合判别似的情况来得到结论，因为与联立后判别式大于零，则必然有两个不同的交点，故选C.7.三角形，顶点，该三角形的内切圆方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为该三角形为等腰三角形，那么内切圆的圆心到三边的距离要相等，可知，利用点到直线的距离公式可知圆心坐标为（），半径为，那么圆的方程为，选D8.过点作直线与圆相交于两点，那么的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】要求|A.B|的最小值，必须求圆心到（2，0）的距离，转化到半径、半弦长的关系，利用勾股定理可知|A.B|的最小值为4，选B9.以下叙述正确的是（）A．平面直角坐标系下的每条直线一定有倾斜角与法向量，但是不一定都有斜率；B．平面上到两个定点的距离之和为同一个常数的轨迹一定是椭圆；C．直线上有且仅有三个点到圆的距离为2；D．点是圆上的任意一点，动点分（为坐标原点）的比为，那么的轨迹是有可能是椭圆.【答案】A【解析】因为根据圆锥曲线的定义可知A. 平面直角坐标系下的每条直线一定有倾斜角与法向量，但是不一定都有斜率；成立。

重庆市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析

重庆市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析

高2025届高二（上）月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线330x ++=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】C 【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，得到tan α=.【详解】设直线的倾斜角为α，因为直线330x ++=，可得斜率k =tan α=又因为0180α≤< ，所以120α= .故选：C.2.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（）A.若,m n n α∥∥，则m αB.若,m βαβ⊥∥，则m α⊥C.若,m ββα⊥∥，则m α⊥D.若,m n n α⊥∥，则m α⊥【答案】B 【解析】【分析】由线面平行的判定，面面平行性质，线面垂直的判定可依次判断各选项.【详解】对A 选项，//m n ，//n α时，m 可能在平面α内，故A 错误；对B 选项，由//αβ，m β⊥，结合线面垂直的判定可得B 正确；对C 选项，由//m β，βα⊥，则直线m 可能在平面α内，可能与平面α平行，也可能与平面α相交，故C 错误；对D 选项，由m n ⊥，//n α，则直线m 可能在平面α内，可能与平面α平行，也可能与平面α相交，故D 错误.故选：B.3.过点()1,1P -且垂直于:210l x y -+=的直线方程为（）A.11022x y ++= B.230x y -++=C.210x y --= D.210x y +-=【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设所求直线的方程为20x y m ++=，代入点P 的坐标，求得m 的值，即可求解.【详解】设过点()1,1P -且垂直于1:210x y -+=的直线方程为20x y m ++=，将点()1,1P -代入，可得210m -+=，解得1m =-，所以所求直线方程为210x y +-=.故选：D.4.已知直线1:210l x my +-=与()2:31910l m x my m --+-=平行，则实数m =（）A.0B.16C.0或16D.0或16-【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行要求，若直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行,则满足122112210A B A B A C A C -=≠且计算即可.【详解】因为直线1:210l x my +-=与()2:31910l m x my m --+-=平行，所以()()12310m m m ⨯--⋅-=，解得0m =或16m =，经检验16m =时两直线重合.5.已知圆C 经过()()1,0,2,1A B -两点，且圆心C 在直线0x y +=上，则过点11,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与圆C 相交所截最短弦长为（）A.1 B.C.32D.2【答案】B 【解析】【分析】设圆心为(),a a -，半径为r ，代点求得圆方程，当直线与CD 垂直时，弦长最短.【详解】设圆C 的圆心为(),a a -，半径为r ，代入()()1,0,2,1A B -两点有222222(1),(2)(1)a a r a a r -+=-+-+=，解得圆22:(1)(1)1C x y -++=，圆心(1,1)C -，设圆心到直线的距离为d ，1||2CD ==，则弦长为≥，当直线与CD .故选：B.6.如图，在四面体ABCD 中，2AB AC AD ===，60BAC BAD == ∠∠，90CAD ∠= ，点M 为BCD △的重心，则AM 的长是（）A.3B.83C.3D.3【解析】【分析】计算得出3AM AB AC AD =++，再利用空间向量数量积的运算性质可求得AM 的长.【详解】因为M 为BCD △的重心，则0MB MC MD ++=，即0AB AM AC AM AD AM -+-+-= ，所以，3AM AB AC AD =++，所以，22229222AM AB AC AD AB AC AB AD AC AD=+++⋅+⋅+⋅223222cos602020=⨯+⨯⨯⨯⨯+=，故253AM =.故选：C.7.已知,A B 是圆C ：22260x x y y -+-=上两点，若存在()5,M t 满足MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（）A.[]1,3B.[]1,5 C.[]3,5 D.[]3,6【答案】B 【解析】【分析】利用题设条件，分析MA MB ⊥且与圆C 交于,A B 的临界情况，由点M 在临界点之间移动的变化情况运算即可得解.【详解】圆C ：22260x x y y -+-=可化为()()221310x y -+-=，()1,3C，如上图，对于直线5x =上任意一点()5,M t ，当,AM BM 均为圆的切线时AMB ∠最大，由题意，MA MB ⊥即90AMB ∠= 时，此时M 为满足题设条件的临界点，此时有sin 2AC AMC CM∠=≥.当M 在临界点之间移动时，有2ACCM ≥22≥，即有：2(3)4t -≤，解得：15t ≤≤.故选：B.8.正四棱锥P ABCD -的底面边长为，PA =PCD 截四棱锥P ABCD -外接球所得截面的面积为（）.A.1009π B.503π C.2009πD.1003π【答案】C 【解析】【分析】利用直角三角形求出外接圆的半径，设CD 中点为F ，连接PF ，过O 作OQ PF ⊥，则OQ 即为点O 到平面PCD 的距离，根据相似即可求出PQ ，得到外接球所得截面的面积.【详解】设正方形ABCD 边长为a =,E CD 中点为F ，连接,,,PE EF PF CE ，如图所示，由题意得8PE =，且正四棱锥的外接球球心O ，设外接球半径为R ，则OP OA OB OC OD R =====，在Rt OEC △中，222OC OE EC =+，且4EC =，所以2216(8)=+-R R ，解得5R =，即5OP =，在RT PEF !中，PF ==，过O 作OQ PF ⊥，则OQ 即为点O 到平面PCD 的距离，且Q 为平面PCD 截其外接球所得截面圆的圆心，所以PEF PQO ，则PQ OP PE PF ==，所以3PQ =，所以截面的面积22009S PQ ππ==.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出外接圆半径以及找到点O 到平面PCD 的距离.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点P 在圆22:66140C x x y y -+-+=上，直线:20AB x y +-=，则（）A.直线AB 与圆C 相交B.直线AB 与圆C 相离C.点P 到直线AB 距离大于12D.点P 到直线AB 距离小于5【答案】BCD 【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，即可判断A 、B ，结合图形知圆上点到直线距离的最值为圆心到直线的距离加减半径.【详解】解：由22:(3)(3)4C x y -+-=知，圆心为()3,3C ，半径2r =，直线:20AB x y +-=，则圆心到直线距离3322222d r +-===.所以直线AB 与圆C 相离，故A 错B 对；由圆心到直线的距离知，圆上点到直线距离的最大值为222r +=+最小值为222r -=，故CD 正确.故选：BCD10.正四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111D C B A 的边长为2，下底面ABCD 的边长为4，3，则下列结论正确的是（）A.该四棱台的体积为2833B.该四棱台的侧棱长为2C.1120AB B C CA ++= D.几何体1111C D D B A A -是三棱柱【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，利用棱台体积公式即可；对于B ，在直角梯形11AOO A 中即可求解；对于C ，1120AB B C CA AB BC CA ++=++=；对于D ，根据三棱柱的上下底面平行进行判断.【详解】解：在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112,4A B AB ==，令上下底面中心分别为1,O O ，连接111,,A O O O AO ，如图，对于A ，()11112212832244333A B C D ABCD V -=+⨯+⨯，A 正确；对于1B,OO ⊥平面ABCD ，在直角梯形11AOO A 中，1112,2,3AO A O OO ===，取AO 中点E ，连接1A E ，有111,A E OO A E AO ⊥∥，则113A E OO ==，22115AA AE A E =+=B 错；对于C ，1120AB B C CA AB BC CA ++=++=，C 正确；对于D ，几何体1111C D D B A A -中，没在任何两个平面平行，选项D 错误.故选：AC11.已知圆C ：224x y +=则（）A.圆C 与直线10mx y m +--=必有两个交点B.圆C 上存在4个点到直线:0l x y -=的距离都等于1C.圆C 与圆22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =，D.动点P 在直线240x y +-=上，过点P 向圆C 引两条切线，A B ､为切点，直线AB 经过定点()1,2【答案】ACD 【解析】【分析】对选项A ，直线过定点()1,1，定点在圆内，故A 正确，对选项B ，圆心到直线:0l x y -=的112r ==，即可得到只有三个点满足，故B 错误，对选项C ，根据；两圆外切即可判断C 正确，对选项D ，设点(),P m n ，根据题意得到AB 两点在以OP 为直径的圆上，AB 所在直线方程为4mx ny +=，再求定点即可判断D 正确.【详解】对于A ，直线10mx y m +--=，()()110m x y -+-=，直线过定点()1,1，22114+<，定点在圆内，故A 正确；对于B ，圆224x y +=的圆心到直线:0l x y -+=1=，如图所示：所以只有三个点满足，故B 错误.对于C ，圆22680x y x y m +--+=化简得到()()223425x y m -+-=-，2=，解得16m =，故C 正确.对于D ，设点(),P m n ，如图所示：因为,A B 为切点，所以,OA PA OB PB ⊥⊥，连接OP ，根据圆周角与圆直径关系可知，AB 两点在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，和224x y +=相减可得，两圆公共弦AB 所在直线方程为4mx ny +=，联立方程4142mx ny m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()4120x n y x -+-=，令1x =，则2y =，即直线AB 经过定点()1,2，故D 正确.故选：ACD12.四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA 与底面垂直，2,1PA AB ==，动点M 在线段PC 上，则（）A.存在点M ，使得AC BM ⊥B.MA MB +的最小值为6C.M 到直线AB 距离最小值为55D.三棱锥A M BC -与A MDP -体积之和为13【答案】ACD 【解析】【分析】当M 在PC 中点时，由线面垂直的判定定理，证得AC ⊥平面BDM ，得到AC BM ⊥，可判定A 正确；将PBC 和PAC △所在的平面，沿着PC 展在一个平面上，在ABC 中，利用余弦定理得求得AB ，可判定B 错误；把M 到直线AB 距离最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，再转化为点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AE PD ⊥，证得AF ⊥平面PAD ，求得AF 的长，可判定C 正确；以A 为原点，建立空间直角坐标系，设CM CP λ=，利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】对于A 中，如图（1）所述，当M 在PC 中点时，连接BD ，且AC BD O = ，则点O 为AC 的中点，所以//OM PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM AC ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又因为BD OM O = ，且,BD OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC BM ⊥，所以A 正确；对于B 中，如图（2）所示，将PBC 和PAC △所在的平面，沿着PC 展在一个平面上，则MA MB +的最小值为AB ，可得()225cos cos6ACB PCA PCB ∠∠∠-=+==，在ABC 中，由余弦定理得，2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯⨯，解得3AB =，所以MA MB +的最小值为3，所以B 错误；对于C 中，M 到直线AB 距离最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为//AB CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ，设异面直线PC 与AB 的公垂线段为MN ，则,MN AB MN PC ⊥⊥，所以,MN CD MN PC ⊥⊥，因为CD PC C = ，且,CD PC ⊂平面PCD ，所以MN ⊥平面PCD ，所以MN 即为点M 到平面PCD 的距离，因为//AB 平面PCD ，所以点M 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AE PD ⊥，由CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以AE CD ⊥，因为PD CD D ⋂=，且,PD CD ⊂平面PAD ，所以AF ⊥平面PAD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图（3）所述，在直角PAD 中，2,1PA AD ==，可得PD =，所以5AF =，即点M 到平面PCD 的距离等于5，所以C 正确；对于D 中，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系，如图（4）所示，设CM CP λ=，可得()1,1,2M λλλ--，则11113232A MBC A MDP M ABC M ADP M M V V V V AB BC z AD AP x ----+=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯()1111111221132323λλ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯-=，所以D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小䞨，每小题5分，共20分.13.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，则此圆锥的体积是___________．【答案】3【解析】【分析】由圆锥的侧面积公式可求出母线长，再求出圆锥的高，由圆锥的体积公式即可得出答案.【详解】设圆锥的高为h SO =，母线长为l ，半径1r =，因为圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，所以12π12π2l ⋅⋅⋅=，所以2l =，所以h ==所以圆锥的体积是21π×1π33V ==..14.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,22AC BC CC AC BC ⊥==，则直线1AB 与直线1BC 夹角的余弦值为__________.【答案】10【解析】【分析】以C 为原点，建立空间直角坐标系，设1222CC AC BC ===，求得向量11,AB BC 的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，由1,AC BC CC BC ⊥⊥，因为1AC CC C = 且1,AC CC ⊂平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，以C 为原点，分别以1CA CC CB ､､所在的直线为x y z ､､轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1222CC AC BC ===，则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,2,1,0,0,1,0,2,0C A B B C ，可得()()111,2,1,0,2,1AB BC =-=- ，所以1130cos ,10AB BC = ，所以直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为3010.故答案为：10.15.棱长为2的正方体111ABCD AB C D -中，点M N ､分别是线段1,AC CD 的中点，则平面AMN 截正方体所得截面的面积为__________.【答案】【解析】【分析】首先取11A B 的中点P ，连接1PC ，PN ，AP ，得到平面AMN 截正方体111ABCD AB C D -所得截面为菱形1APC N ，再计算其面积即可.【详解】取11A B 的中点P ，连接1PC ，PN ，AP ，如图所示：由正方体的性质可知四边形1APC N 为平行四边形，且2211125AP PC C N AN ====+=所以四边形1APC N 为菱形，NP 过点M .所以平面AMN 截正方体111ABCD AB C D -所得截面为1APC N .221222223AC =++=，22222NP =+=所以面积为13262⨯=故答案为：616.已知P 是圆22:4460M x x y y -+-+=上动点，,A B 是圆222220x x y y +++-=的上两点，若3AB =，则PA PB + 的范围为__________.【答案】22,822⎡⎤-+⎣⎦【解析】【分析】设D 是AB 的中点，求得1CD =，得到D 点所在圆221:(1)(1)1C x y +++=，根据向量的运算法则，得到2PA PB PD += ，转化为圆M 上的点与圆1C 上的点的距离，结合圆圆圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意知，点P 点所在圆22(2)(2)2x y -+-=，且,A B 所在圆22:(1)(1)4C x y +++=的圆心为()1,1C --，半径为2，设D 是AB 的中点，连接CD ，则CD 垂直平分AB ，则2223212CD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 点在是以C 为圆心，半径为1的圆上，即D 点所在圆221:(1)(1)1C x y +++=，又由2PA PB PD += ，可得2PA PB PD += ，即PD 即为圆22:4460M x x y y -+-+=上的点与圆221:(1)(1)1C x y +++=上的点的距离，因为1MC ==11PD -≤≤+ ，即PA PB + 范围是2⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：2⎡⎤-⎣⎦.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,4AB AA ==，点D 是AB 的中点.（1）求正三棱柱111ABC A B C -的表面积；（2）求三棱锥11B A DC -的体积.【答案】（1）24（2）433【解析】【分析】（1）根据正三棱柱的特征，先求侧面和底面面积，即可求解表面积；（2）结合几何关系，代入三棱锥的体积公式，即可求解.【小问1详解】12222ABC S =⨯⨯⨯=△，侧面积6424=⨯=，表面积24S =+;【小问2详解】,AC BC D =是AB 的中点，AB CD ⊥，又1AA ⊥平面,ABC CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥，且11,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B ，所以CD ⊥平面11AA B B ，所以CD 是三棱锥11B A DC -的高，又1112442A B D S =⨯⨯=所以；111111133B A DC C A BD A B D V V S CD --==⨯= 18.已知圆O 的圆心为原点，斜率为1且过点M的直线与圆相切（1）求圆O 的方程；（2）过M 的直线l 交圆O 于A 、B ，若OAB 面积为2，求直线l 方程.【答案】（1）224x y +=（2）x =433y x =+【解析】【分析】（1）过点M且斜率为1的直线方程，再求出圆心到直线的距离即圆的半径，从而得到圆的方程；（2）设O 到直线l 的距离为d ，由面积求出d ，再分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论.【小问1详解】过点M 且斜率为1的直线为y x =+，则圆心()0,0到直线的距离12d ==，所以半径2r =，则圆O 的方程为224x y +=；【小问2详解】设O 到直线l 的距离为d，则2OAB S ==，解得d =，若直线l斜率不存在，方程为x =，满足题意；若直线l 斜率存在，设为k ，直线l的方程为(y k x =+，因为d ==，解得43k =，直线l的方程为(43y x =-+45233y x =+；综上，直线l方程为x =或433y x =+.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,224,2ABCD AD BC AD BC AB PA ====∥，且60ABC ∠= ，点E 为棱PD 上一点（不与,P D 重合），平面BCE 交棱PA 于点F.（1）求证：BC EF ∥：（2）若E 为PD 中点，求平面ACE 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行；（2）首先根据几何关系，建立空间中直角坐标系，分别求平面ACE 与平面PAD 的法向量，利用法向量表示二面角的余弦值.【小问1详解】因为,BC AD AD ⊂∥平面,PAD BC ⊄平面PAD所以BC 平面PAD ，又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面PAD EF =，所以BC EF ∥；【小问2详解】取BC 中点为M ，连接AM ，因为AB BC =，且60ABC ∠= ，所以ABC 为等边三角形，所以AM BC ⊥，又AD BC ∥所以AM AD ⊥，以A 为原点，以,,AM AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则())()0,0,0,,0,2,1A C E ，所以()0,2,1AE =，)AC =，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =r ，则200AE n y z AC n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令x =3,6y z =-=，得)3,6n =- 因为AM ⊥平面PAD ，所以平面PAD 得法向量()1,0,0m = 设平面ACE 与平面PAD 夹角为θ，则1cos cos ,4m n m n m nθ⋅===⋅ .20.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ABCD ⊥平面CDEF ，四边形CDEF 为荾形，π3DCF ∠=，底面ABCD 为直角梯形，,AB CD AB BC ⊥∥，24,3DC BC AB ===，（1）证明：BE DF ⊥；（2）在棱FB 上是否存在点M ，使得二面角M DC B --的余弦值为12，若存在求FM FB ：若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12FM FB =【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判断定理和性质定理，即可证明线线垂直；（2）利用垂直关系，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面DMC 和平面ABCD 的法向量，根据二面角的余弦值，结合法向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图，连接CE ，因为四边形CDEF 为菱形，则CE DF ⊥，因为四边形ABCD 为梯形，,AB CD AB BC ⊥∥，则BC CD ⊥，因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面,CDEF CD BC CD =⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以，BC ⊥平面CDEF ，又因为DF ⊂平面CDEF ，所以，BC DF ⊥，因为BC CE ⊂､平面,BCE BC CE C ⋂=，所以DF ⊥平面BCE ，因为BE ⊂平面BCE ，所以，BE DF ⊥.【小问2详解】取CD 的中点为H ，连接FH ，则FH DC⊥因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，所以FH ⊥平面ABCD ，如图，以C 为原点，过点C 做FH 的平行线为z 轴，,CD CB 所在直线为x 轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示：()()()((0,0,04,0,00,2,02,0,6,0,2C D B F E ，则(2,2,FB =-- ，设(0)FM FB λλ=> ，则()()2,2,,22,2,2FM CM CF FM λλλλ=--=+=- ，()4,0,0CD = 设平面DMC 的法向量为()1,,n x y z = ，()()22200CM n x y z CD n λλ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=⎩ ，令1y =，则0z x ==，所以1n ⎛= ⎝ ，由题意平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ，且二面角M DC B --为锐二面角，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅==⋅ ，得12λ=，此时12FM FB =.21.已知三棱锥-P ABC 中，平面PBC ⊥平面,22,tan 2ABC AB AC PBC ∠===，PB PC ⊥.（1）若BC AB =，求PA 与平面ABC 所成角的正切值；（2）当二面角P AB C --最小时，求三棱锥-P ABC 体积.【答案】（1）5（2）26【解析】【分析】（1）作PD BC ⊥，由题意易得PA 与平面ABC 所成角为PAD ∠，再根据tan 2PBC ∠=，求得PD ，BD ，在ABC 中，利用余弦定理求得AD 即可；（2）作DE AB ⊥，连接PE ，易得二面角P AB C --的平面角为PED ∠，由22tan 2sin BD PD PED ED ED ABC∠∠===，在ABC 中，利用正弦定理得到π2ACB ∠=时，sin ABC ∠最大，PED ∠最小求解.【小问1详解】解：如图所示：作PD BC ⊥，因为平面PBC ⊥平面ABC ，所以PD ⊥平面,ABC PA 与平面ABC 所成角为PAD ∠；因为tan 2PBC ∠=，所以sin 3PBC ∠=，cos 3PBC ∠=在直角BPC △中，则3333PD PB ==⋅=；则42,tan 33PD BD DC BC BD PBC ===-=∠，在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 22AB BC AC AB BD AD ABC AB BC AB BD∠+-+-==⋅⋅，即2222224222134222223AD ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭=⨯⨯⨯⨯，解得3AD =，所以25tan 5PD PAD AD ∠==.【小问2详解】作DE AB ⊥，连接PE ，由（1）知：PD ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以PD AB ⊥，又DE PD D ⋂=，DE ⊂平面PED ，PD ⊂平面PED ，所以AB ⊥平面PED ，又PE ⊂平面PED ，所以AB PE ⊥，所以二面角P AB C --的平面角为PED ∠；22tan 2sin BD PD PED ED ED ABC∠∠===，在ABC 中，由正弦定理得sin 1sin 2ABC AC ACB AB ∠∠==，当π2ACB ∠=时，sin ABC ∠最大，PED ∠最小.此时BC ==所以1,2233ABC S AC BC PD =⋅=== ，所以1236P ABC ABC V S PD -=⋅=V .22.已知圆22:9O x y +=，动点A 在圆O 上，点A 关于x 轴的对称点为点C ，点C 与点9,04D ⎛⎫⎪⎝⎭所在直线交圆O 于另一点B ，直线AB 交x 轴于点T ，（1）求AD 中点P 的轨迹方程；（2）若A 在第二象限，求TBC 面积的最大值.【答案】（1）229984x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（2）72【解析】【分析】（１）根据中点坐标公式，即可得92,24A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将其代入圆的方程即可求解，（2）联立直线与圆的方程得韦达定理，即可根据两点坐标可求解直线的方程，进而可得T 为定点()4,0；根据面积公式求解表达式，结合二次函数的性质即可求解最值.【小问1详解】设AD 中点(),P x y ，则92,24A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入圆22:9O x y +=，化简得轨迹方程为229984x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】设()()()221111,,,,,B x y C x y A x y -，直线BC 方程为94x my =+，联立圆22:9O x y +=得()2296310216m y my ++-=，有121222639162,;11m y y y y m m --+==++直线AB 方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，得1221122112121212992997444444T y my y my y x y x my y x y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===+=+=+++，所以点T 为定点()4,0；又2119424BCT S y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 而()()()2222121212214463441m y y y y y y m +-=+-=+，令21t m =+，可得221448*********t t t t -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当189t =即4m =（依题意舍去负值）时，21max 4y y -=，所以TBC 面积的最大值为72.【点睛】解析几何简化运算的常见方法：（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；。

学2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)

学2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)

学2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一､选择题1. 设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是（）A. a＋c＞b＋dB. a－c＞b－dC. ac＞bdD.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，可得的正误；再令，可判断的正误.【详解】由，根据不等式的性质，可得，故正确；令，：不成立，故错误；：不成立，故错误；：不成立，故错误.故选：.【点睛】本题考查不等式的性质，考查特殊值法的应用，属于基础题.2. 设等差数列的前项和为，且．则过点的直线斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵数列等差数列，设其公差为，∵，∴，即；∴过点的直线斜率，故选B．考点：等差数列的性质．3. 已知函数的最小正周期为，则（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据的周期公式及条件，可求出的值，代入数据，即可得答案.【详解】∵函数的最小正周期为，∴周期，解得，即，∴，故选：A4. 若不等式的解集是R，则的范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：将问题转化为不等式在上恒成立解决，解题时注意对的取值要分类讨论．详解：由题意得不等式在上恒成立．①当时，不等式为，不等式恒成立．符合题意．②当时，由不等式恒成立得，解得．综上，所以实数的范围是．故选A．点睛：不等式解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．5. 设，.若是与的等比中项，则的最小值为（）A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】是与的等比中项，可得.利用及其基本不等式的性质即可得出.【详解】∵是与的等比中项，∴，∴.∵，.∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6. 已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，线段的中点为，，，故选B.7. 已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，当n2时，an＋1－an0，当n2时，an ＋1－an0，从而可得到n＝2时，an最大.【详解】解：，当n2时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n2时，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以数列中的最大项为a2或a3，且.故选：A.【点睛】此题考查数列函数性质：最值问题，属于基础题.8. 若满足，且的最大值为6，则的值为（）A. -1B. -7C. 1D. 7【答案】C【解析】【分析】画出确定的可行域，由图象可知当时，可行域不存在；当时，与题意不符；当时，通过可行域可知当过时，取得最大值；将点坐标代入可构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】由可得可行域如下图阴影部分所示：则若，则可行域不存在，不符合题意若，则只有一个可行解，此时不合题意当时，可行域如下图阴影部分所示：可知当过点时，取得最大值又，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中，根据最优解补全约束条件的问题；关键是能够排除含变量的条件得到区域，再根据含变量的条件确定最终的可行域，通过最优解的位置构造方程求得结果.9. 设函数则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，；令两式相加，得,则所求值为201.考点：倒序相加法.10. 设各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且S10＝0，则使不等式成立的正整数n 的最小值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】由S10＝0及等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质可得：，可得：，由可推得，利用的单调性即可得解．【详解】解：在等差数列{an}中，由S10＝0，得，则．又∵，可知数列{an}为递增数列，则．又．∴当n＝10时，0，当n＝11时，，∴使不等式成立的正整数n的最小值是11．故选C．【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题．11. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（）A. 41B. 45C. 369D. 321【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果．【详解】由等差数列的性质得：九阶幻方中所有数字之和为，由于每行每列和对角线上的数字和都相等，所以对角线上的数字之和为，所以.故选．【点睛】本题主要考查等差数列的性质和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12. 已知两条直线：y=m和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，由= m，得，= ，得.依照题意得.，.【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得.二､填空题13. 已知是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是________．【答案】【解析】【分析】根据是单位向量，且，求得，利用平面向量的夹角公式，求得与夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为是单位向量，且，所以，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 已知等差数列的前项和是，如果，则=________．【答案】40【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【详解】等差数列的前项和是，，，，解得，，．故答案为40．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】.【解析】【分析】在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.【详解】，，且，在等式两边同时除以得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，由于不等式恒成立，则，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.16. 已知函数，则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】由题意知函数的周期为，考虑在，内的最大值即可；计算，利用求得极值点，再求在，内的最值．【详解】由题意知函数的周期为，只需考虑在，内的最大值即可；计算，令，得，即，解得或，所以在，时，有，或；所以的最大值只能在、或和边界点处取到，计算，，，；所以的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查了三角函数最值的应用问题，也考查了利用导数求函数单调性与极值的应用问题，是中档题．三､解答题17. 已知等差数列，，为其前项的和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先解方程组得再求出数列的通项公式；（2）由（1）可知，再利用等比数列的前n项和公式求数列的前项的和.【详解】（1）依题意解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知，所以，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，.所以数列的前项的和为.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列的判断和等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18. 在中,角、、所对的边分别为、、,.（1）求角的值；（2）若,的面积为,求边上的中线长.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由条件知，解得，即可求解角的值；（2）由于题设条件，求得，再由正弦定理，求解，进而得到的值和的值，即可求解边上的中线长.试题解析：（1）由条件知，即，解得或（舍去）又，.（2）由于. ①又由正弦定理得，, 又，②由①②知，，由余弦定理得，边上的中线.考点：解三角形问题.19. 已知圆的圆心为，且直线与圆相切.设直线的方程为，若点在直线上，过点作圆的切线，，切点为，（1）求圆的标准方程；（2）若，试求点的坐标；（3）若点的坐标为，过点作直线与圆交于，两点，当时，求直线的方程；【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】分析】（1）先利用直线与圆相切，求出圆的半径，即可写出圆的标准方程；（2）设，由题分析知，解方程即可求出的值，进而得到点的坐标；（3）对直线的斜率分两种情况讨论，利用圆心到直线的距离为，即可得斜率的值，进而可得直线的方程；【详解】解：（1）因为直线与圆相切，所以圆的半径为，故圆的标准方程为.（2）因为，所以，所以在中，，因为点在直线上，不妨设点的坐标为，所以，解得或，所以点的坐标为或.（3）①当直线的斜率不存在时，其方程为，此时直线与圆相离，不符合题意；②当直线的斜率存在时，设其方程为，由勾股定理得，圆心到直线的距离为，即，解得或，故所求直线方程为或.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键点是直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与圆相交时，弦心距、弦长的一半和圆的半径构成直角三角形，属于中档题.20. 在平行四边形中，，分别是，上的点且，，与交于点.（1）求的值；（2）若平行四边形的面积为21，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据向量共线基本定理，可用表示，再根据平面向量基本定理列出方程组求得向量模的比值．（2）根据三角形面积的比例关系，得到高的比值．进而通过给出的三角形面积求出△BOC的面积．详解：（1）设，，据题意可得，从而有.由，，三点共线，则存在实数，使得，即，由平面向量基本定理，解得，从而就有.（2）由（1）可知，所以∴.点睛：本题考查了向量在平面几何中的综合应用，向量共线基本定理、向量共面基本定理是解决问题的关键，属于中档题．21. 已知数列是递增等比数列，，且数列的前3项和，，点在直线上.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.（2）利用错位相减法在数列求和中的应用和放缩法的应用，利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围.【详解】（1）设数列是公比为且为递增等比数列，，且数列的前3项和，则：，解得或，由于数列为单调递增数列，所以.所以，由于数列的，点在直线上.所以(常数)，所以.（2）由于数列，，所以，①，②①-②得：整理得，解得由于恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.22. 如图，山顶有一座石塔，已知石塔的高度为.（1）若以为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，用表示山的高度；（2）若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的射影. 已知石塔高度,当观测点在上满足时看的视角(即)最大，求山的高度.【答案】（1);(2).【解析】试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：解：在中，由正弦定理得：则设当且仅当即时，最大，从而最大由题意，，解得考点：基本不等式的实际应用.学2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一､选择题1. 设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是（）A. a＋c＞b＋dB. a－c＞b－dC. ac＞bdD.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，可得的正误；再令，可判断的正误.【详解】由，根据不等式的性质，可得，故正确；令，：不成立，故错误；：不成立，故错误；：不成立，故错误.【点睛】本题考查不等式的性质，考查特殊值法的应用，属于基础题.2. 设等差数列的前项和为，且．则过点的直线斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵数列等差数列，设其公差为，∵，∴，即；∴过点的直线斜率，故选B．考点：等差数列的性质．3. 已知函数的最小正周期为，则（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据的周期公式及条件，可求出的值，代入数据，即可得答案.【详解】∵函数的最小正周期为，∴周期，解得，即，∴，故选：A4. 若不等式的解集是R，则的范围是A. B. C. D.【答案】A分析：将问题转化为不等式在上恒成立解决，解题时注意对的取值要分类讨论．详解：由题意得不等式在上恒成立．①当时，不等式为，不等式恒成立．符合题意．②当时，由不等式恒成立得，解得．综上，所以实数的范围是．故选A．点睛：不等式解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．5. 设，.若是与的等比中项，则的最小值为（）A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】是与的等比中项，可得.利用及其基本不等式的性质即可得出.【详解】∵是与的等比中项，∴，∴.∵，.∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6. 已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，线段的中点为，，，故选B.7. 已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，当n2时，an＋1－an0，当n2时，an＋1－an0，从而可得到n＝2时，an最大.【详解】解：，当n2时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n2时，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以数列中的最大项为a2或a3，且.故选：A.【点睛】此题考查数列函数性质：最值问题，属于基础题.8. 若满足，且的最大值为6，则的值为（）A. -1B. -7C. 1D. 7【答案】C【解析】【分析】画出确定的可行域，由图象可知当时，可行域不存在；当时，与题意不符；当时，通过可行域可知当过时，取得最大值；将点坐标代入可构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】由可得可行域如下图阴影部分所示：则若，则可行域不存在，不符合题意若，则只有一个可行解，此时不合题意当时，可行域如下图阴影部分所示：可知当过点时，取得最大值又，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中，根据最优解补全约束条件的问题；关键是能够排除含变量的条件得到区域，再根据含变量的条件确定最终的可行域，通过最优解的位置构造方程求得结果.9. 设函数则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，；令两式相加，得,则所求值为201.考点：倒序相加法.10. 设各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且S10＝0，则使不等式成立的正整数n的最小值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】由S10＝0及等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质可得：，可得：，由可推得，利用的单调性即可得解．【详解】解：在等差数列{an}中，由S10＝0，得，则．又∵，可知数列{an}为递增数列，则．又．∴当n＝10时，0，当n＝11时，，∴使不等式成立的正整数n的最小值是11．故选C．【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题．11. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（）A. 41B. 45C. 369D. 321【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果．【详解】由等差数列的性质得：九阶幻方中所有数字之和为，由于每行每列和对角线上的数字和都相等，所以对角线上的数字之和为，所以.故选．【点睛】本题主要考查等差数列的性质和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12. 已知两条直线：y=m和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，由= m，得，= ，得.依照题意得.，.【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得.二､填空题13. 已知是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是________．【答案】【解析】【分析】根据是单位向量，且，求得，利用平面向量的夹角公式，求得与夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为是单位向量，且，所以，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 已知等差数列的前项和是，如果，则=________．【答案】40【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【详解】等差数列的前项和是，，，，解得，，．故答案为40．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】.【解析】【分析】在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.【详解】，，且，在等式两边同时除以得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，由于不等式恒成立，则，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.16. 已知函数，则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】由题意知函数的周期为，考虑在，内的最大值即可；计算，利用求得极值点，再求在，内的最值．【详解】由题意知函数的周期为，只需考虑在，内的最大值即可；计算，令，得，即，解得或，所以在，时，有，或；所以的最大值只能在、或和边界点处取到，计算，，，；所以的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查了三角函数最值的应用问题，也考查了利用导数求函数单调性与极值的应用问题，是中档题．三､解答题17. 已知等差数列，，为其前项的和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先解方程组得再求出数列的通项公式；（2）由（1）可知，再利用等比数列的前n项和公式求数列的前项的和.【详解】（1）依题意解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知，所以，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，.所以数列的前项的和为.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列的判断和等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18. 在中,角、、所对的边分别为、、,.（1）求角的值；（2）若,的面积为,求边上的中线长.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由条件知，解得，即可求解角的值；（2）由于题设条件，求得，再由正弦定理，求解，进而得到的值和的值，即可求解边上的中线长.试题解析：（1）由条件知，即，解得或（舍去）又，.（2）由于. ①又由正弦定理得，, 又，②由①②知，，由余弦定理得，边上的中线.考点：解三角形问题.19. 已知圆的圆心为，且直线与圆相切.设直线的方程为，若点在直线上，过点作圆的切线，，切点为，（1）求圆的标准方程；（2）若，试求点的坐标；（3）若点的坐标为，过点作直线与圆交于，两点，当时，求直线的方程；【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】分析】（1）先利用直线与圆相切，求出圆的半径，即可写出圆的标准方程；（2）设，由题分析知，解方程即可求出的值，进而得到点的坐标；（3）对直线的斜率分两种情况讨论，利用圆心到直线的距离为，即可得斜率的值，进而可得直线的方程；【详解】解：（1）因为直线与圆相切，所以圆的半径为，故圆的标准方程为.（2）因为，所以，所以在中，，因为点在直线上，不妨设点的坐标为，所以，解得或，所以点的坐标为或.（3）①当直线的斜率不存在时，其方程为，此时直线与圆相离，不符合题意；②当直线的斜率存在时，设其方程为，由勾股定理得，圆心到直线的距离为，即，解得或，故所求直线方程为或.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键点是直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与圆相交时，弦心距、弦长的一半和圆的半径构成直角三角形，属于中档题.20. 在平行四边形中，，分别是，上的点且，，与交于点.（1）求的值；（2）若平行四边形的面积为21，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据向量共线基本定理，可用表示，再根据平面向量基本定理列出方程组求得向量模的比值．（2）根据三角形面积的比例关系，得到高的比值．进而通过给出的三角形面积求出△BOC的面积．详解：（1）设，，据题意可得，从而有.由，，三点共线，则存在实数，使得，即，由平面向量基本定理，解得，从而就有.（2）由（1）可知，所以∴.点睛：本题考查了向量在平面几何中的综合应用，向量共线基本定理、向量共面基本定理是解决问题的关键，属于中档题．21. 已知数列是递增等比数列，，且数列的前3项和，，点在直线上.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.（2）利用错位相减法在数列求和中的应用和放缩法的应用，利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围.【详解】（1）设数列是公比为且为递增等比数列，，且数列的前3项和，则：，解得或，由于数列为单调递增数列，所以.所以，由于数列的，点在直线上.所以(常数)，所以.（2）由于数列，，所以，①，②①-②得：整理得，解得由于恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.。

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重庆市秀山高级中学校2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题本试卷共22题，共150分，共1张4页。

考试结束后，将答题卡交回。

考试时间：9月29日15：00—17：00 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填涂清楚。

2．答题时请按要求用0.5的黑色签字笔书写。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆C 的圆心为（1，2），半径为3，则圆的方程为（ ） A ．()()32122=-+-y xB ．()()32122=+++y xC ．()()92122=-+-y x D ．()()92122=+++y x2．空间直角坐标系中，点P （2，﹣1，3）关于点M （﹣1，2，3）的对称点Q 的坐标为（ ） A ．（﹣4，5，3）B ．（﹣5，3，4）C ．（4，﹣3，1）D ．（4，1，1）3．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为72πcm 3的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为（ ）（单位：cm 3） A ． B ．C ．D ．5．若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则实数m＝（）A．﹣24B．﹣16C．24D．166．已知命题P：“若对任意的x＞0都有2x﹣1＞a，则a≤﹣1”，则命题P的否命题为（）A．若存在x＞0使得2x﹣1＞a，则a＞﹣1B．若存在x＞0使得2x﹣1≤a，则a＞﹣1C．若a＞﹣1，则存在x＞0使得2x﹣1＞a D．若a＞﹣1，则存在x＞0使得2x﹣1≤a 7．若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（）A．B．C．D．8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都相等，D是侧棱BB1的中点，则异面直线AB1与C1D所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．命题p：∃x∈R使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2﹣x+1≥0，下列结论正确的是（）A．p∨q是真命题B．p∧q是真命题C．（￢p）∨q是假命题D．（￢p）∧（￢q）是真命题10．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥n，n⊂α，则m∥α；③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥β，m∥α，则α⊥β．其中所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．①④11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，且MN＝2．则AP长度的最小值为（）A．B．3C．4D．212．已知球O为三棱锥S﹣ABC的外接球，SA=SC=AB=AC=2,BS=BC=2，则球O的表面积是（）A．B．C．7πD．8π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l的倾斜角是直线y＝x+1的倾斜角的2倍，且过定点P（3，3），则直线l的方程为．14．以点C（1，0）为圆心，且被y轴截得的弦长为2的圆的标准方程为．15．若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则“a1＞1，且q＞1”是“∀n∈N*，都有a n+1＞a n”的条件．16．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E,F,G,分别是棱AB,B1B,C1D1,上的点，且AE=B1F=GC1=1，过E，F，G三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ABCD作投影，则投影图形的面积为．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）已知p：对于∀x∈R，x2+kx+k＞0成立，q：关于k的不等式（k﹣m）（k﹣2）≤0（m＜2）成立．-,且p∧q为真命题，求k的取值范围；（1）若m=1（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．18．（本题12分）直线l的y轴截距为4，且过直线x﹣y+11＝0和直线2x﹣y+14＝0的交点Q.（1）求直线l的方程；（2）直线kx﹣y+2k+5＝0所过的定点为M，直线a过M且与l平行，求直线a和直线l间的距离.19．（本题12分）如图．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上， 且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1．（1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面; （2）求证：平面 11C DA 平面EBFD 1．20．（本题12分）已知圆C 经过A （﹣1，5），B （5，5），D （6，﹣2）三点． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）求经过点E （﹣3，2）且和圆C 相切的直线l 的方程．21．（本题12分）在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为长方形，平面SAB ⊥底面ABCD ，其中BS ＝2，BA ＝2，SA ＝22，BC ＝23． （1）求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；（2）线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1﹣SB ﹣E 2的大小．1A 1B 1C 1D22.（本题12分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1交于点C，D．（1）若AB＝273，求CD的长；（2）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．参考答案重庆市秀山高级中学校2022级2020年秋期半期考试数学试题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．C2．解：设空间直角坐标系中，点P（2，﹣1，3）关于点M（﹣1，2，3）的对称点Q的坐标为（a，b，c），则，解得a＝﹣4，b＝5，c＝3，∴Q点坐标为（﹣4，5，3）．故选：A．3．解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h，则沙堆的体积为，解得h＝6．故选：B．4．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个底面半径为2，高为4的圆柱体和一个底面边长为2，高为的正四棱锥体组成．所以该几何体的体积为：＝16．故选：C．5．解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为R＝2，圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，圆心为（3，4），半径r＝若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则有|C1C2|＝＝5＝2+，解可得m＝16，故选：D．6．解：否命题是条件、结论都否定，“若对任意的x＞0都有2x﹣1＞a，则a≤﹣1”的否命题为“若存在x＞0使得2x﹣1≤a，则a＞﹣1．故选：B．7.解：向量，，不共面，则下列选项中三个向量A，﹣与+共面，进而得出三个向量共面．B.三个向量不共面C．++＝（+）+，因此三个向量共面．；D．不含有，三个向量一定共面．故选：B．8．解：设BC的中点为E，连接AE，由△ABC为等边三角形，可得AE⊥BC，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1可得B1B⊥平面ABC，而AE⊂平面ABC，即有AE⊥B1B，则AE⊥平面BC1，连结B1E，由tan∠BB1E•tan∠B1DC1＝•＝•2＝1，可得∠BB1E+∠B1DC1＝90°，则B1E⊥C1D，由三垂线定理得AB1⊥C1D，故选：D．9．解：根据题意，命题p，由于﹣1≤sin x≤1，则：∃x∈R使sin x＝不会成立，p为假命题，对于q，x2﹣x+1＝（x﹣）2+，则∀x∈R，都有x2﹣x+1≥0，q为真命题，故p∨q、（￢p）∨q为真命题，p∧q、（￢p）∧（￢q）是假命题，则A正确，BCD错误，故选：A．10．解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：对于①，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得m⊥n，故①正确；对于②，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故②错误；对于③，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；对于④，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的性质定理得α⊥β，故④正确．故选：D．11．解：以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系系，在矩形ABCD中，AB＝4，AD ＝3，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，设M（4，y），N（x，3），则，∵MN＝2．∴MN2＝（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，表示（x，y）以（4，3）为圆心，半径为2的圆，∴，AP长度表示圆上的点（x，y）到（﹣4，3）距离最小得一半，距离的最小值为4+4＝8，∴AP长度的最小值为4．故选：C．12．解：取SC中点M，连接AM、MB，因为△SAC是等边三角形，且SB＝BC，∴AM⊥SC，MB⊥SC，∴SC⊥平面AMB，∴平面SAC⊥平面AMB，由三余弦定理，可知，cos∠SAM•cos∠MAB＝cos∠SAB，由边长条件可知，∠SAM＝30°，∠SAB＝90°，代入上式解得cos∠MAB＝0，∴∠MAB＝90°，因为SC⊥平面AMB，∴球心O在平面AMB上，作OO1⊥平面SAC，易得，，取AB中点N，连接ON，∴ON⊥AB，∴OO1AN四点共圆，AO为这四点共圆的直径，也是三棱锥S﹣ABC的半径，连接O1N，∵∠MAB＝90°，由勾股定理，得，∴O1N为三棱锥S﹣ABC的半径R，∴．故选：A．二．填空题（共4小题）13．x ＝3． 14．（x ﹣1）2+y 2＝2． 15．充分不必要 16． 215． 三．解答题（共6小题）17．已知p ：对于∀x ∈R ，x 2+kx +k ＞0成立，q ：关于k 的不等式（k ﹣m ）（k ﹣2）≤0（m ＜2）成立．（1）若m=-1且p ∧q 为真命题，求k 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：（1）若p 为真命题，则判别式△＝k 2﹣4k ＜0，得0＜k ＜4，即实数k 的取值范围是（0，4）．由（k ﹣m ）（k ﹣2）≤0（m ＜2）得m ≤k ≤2，即q ：m ≤k ≤2,m=-1则-1≤k ≤2p ∧q 为真命题，0<k ≤2. （2）若p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，反之不成立，即当m ≤k ≤2时，x 2+kx +k ＞0恒成立， 即[m ，2]⫋（0，4），即0＜m ＜2，即实数m 的取值范围是（0，2）．20．直线l 在y 轴的截距为4，且过直线x ﹣y +11＝0和直线2x ﹣y +14＝0的交点Q. （1）求直线l 的方程；（2）直线kx ﹣y +2k +5＝0所过的定点为M ，直线a 过M 且与l 平行，求直线a 直线l 间的距离.解：（1）根据题意，点Q 满足⎩⎨⎧=+-=+-0142011y x y x 解得Q(-3，8)，则直线l 过点（0，4），则直线l 的斜率为340348'-=---=k ，则直线l 的方程为4x +3y ﹣12＝0（2）直线kx ﹣y +2k +5＝0，即y ﹣5＝k （x +2），过定点（﹣2，5），直线l 的斜率为34-，则直线a 的斜率为34-，过点（﹣2，5）， 直线a 其方程为y ﹣5＝34-（x +2），变形可得4x +3y ﹣7＝0，则直线a 直线l 间的距离14371222=+-=d ,即直线a 直线l 间的距离为1.19．如图．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1．1A C 1D（1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面; （2）求证：平面⊥11C DA 平面EBFD 1． 证明：（1）如图：在DD 1上取一点N 使得DN ＝1，连接CN ，EN ，则AE ＝DN ＝1．CF ＝ND 1＝2、 因为CF ∥ND 1所以四边形CFD 1N 是平行四边形，所以D 1F ∥CN ． 同理四边形DNEA 是平行四边形，所以EN ∥AD ，且EN ＝AD ，又BC ∥AD ，且AD ＝BC ，所以EN ∥BC ，EN ＝BC ，所以四边形CNEB 是平行四边形， 所以CN ∥BE ，所以D 1F ∥BE ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面； （2）连接11111,,,BA C D BD D B B D ，,D D BB C A B D B BB D B C A C A BB D C B A BB 11111111111111111111,平面平面⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥⇒⊥111BD C A ⊥⇒,同理可得11BD DC ⊥ 11BD DC ⊥111BD C A ⊥，1111C DC C A = ，111C DA BD 平面⊥⇒,11EBFD BD 平面⊆,⇒平面⊥11C DA 平面EBFD 120．已知圆C 经过A （﹣1，5），B （5，5），D （6，﹣2）三点． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）求经过点E （﹣3，2）且和圆C 相切的直线l 的方程．解：（Ⅰ）根据题意，设过A （﹣1，5），B （5，5），C （6，﹣2）三点的圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， 则有，解可得D ＝﹣4，E ＝﹣2，F ＝﹣20，故所求圆的一般方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣20＝0，变形可得（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝25， 故圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝25，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝25，其圆心C （2，1），半径r ＝5，若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x ＝﹣3，圆心（2，1）到直线l 的距离d ＝5，与圆相切，符合题意，若直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ﹣2＝k （x +3），即kx ﹣y +3k +2＝0，则有d ＝＝5，解可得k ＝，故直线l 的方程为12x ﹣5y +46＝0；综合可得：直线l 的方程为x ＝﹣3或12x ﹣5y +46＝0．21.在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为长方形，平面SAB ⊥底面ABCD ，其中BS ＝2，BA ＝2，SA ＝22，BC ＝23． （1）求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；（2）线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1﹣SB ﹣E 2的大小．解：（1）∵BS ＝2，BA ＝2，SA ＝22，∴222SA AB BS =+∴SB ⊥AB∵平面SAB ⊥底面ABCD ，SB ⊥AB,平面SAB 底面ABCD=AB∴SB ⊥底面ABCD ，∴∠SAB 即为直线AS 与平面ABCD 所成角．在Rt △SAB 中，∴sin ∠SAB ＝．故直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值为． （2）以B 为原点，BC 、BA 、BS 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CE ＝m ，则A （0，2，0），S （0，0，2），E （23，m ，0），B （0，0，0）， ∴＝（23，m ﹣2，0），＝（23，m ，﹣2）， ∵AE ⊥SE ，∴•＝（23，m ﹣2，0）•（23，m ，﹣2）＝+m （m ﹣2）＝0，m ∈[0，2]，解得m＝或．不妨取E1（，，0），E2（，，0），∴＝（0，0，2），＝（，，0），＝（，，0），设平面BSE1的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝，z＝0，∴＝（1，，0），同理可得，平面BSE2的法向量为＝（，﹣1，0），∴cos＜＞＝＝＝，∴＜＞＝．由题可知，二面角E1﹣SB﹣E2为锐角，故二面角E1﹣SB﹣E2的大小为.22.在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1交于点C，D．（1）若AB＝，求CD的长；（2）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．解：（1）由题可知，直线AB斜率显然存在，设其斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx+1．因为O点到直线AB的距离d1＝，则+＝4，变形可得AB＝2，又由AB＝，则2＝，解可得k2＝15．因为直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD：y＝x+1，则M点到直线CD的距离d2＝，又由＝1﹣，则CD＝2＝2＝．（2）当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S＝×4×2＝4；当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB：y＝kx+1，k≠0，直线CD：y＝﹣x+1．由＜1得k2＞3，所以k∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．因为+＝4，所以AB＝2．因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d＝＝，所以△ABE的面积S＝AB•d＝2．令t＝k2+1＞4，则S＝，又由t＞4，则0＜＜，故S∈．综上，△ABE面积的取值范围是．。

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