1.1 等腰三角形 第1课时 教案
人教版数学八年级上册《等腰三角形》第一课时教案
等腰三角形（第1课时）教学设计1探索并证明等腰三角形的性质问题1利用长方形纸片和剪刀，你能按照教材75页的方式剪出一个等腰三角形吗？仔细观察剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？设计意图:1为等腰三角形的性质探究作准备2让学生从一个等腰三角形开始研究，发现其特殊性问题2剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概况的特征？设计意图：通过丰富的感谢材料，让学生体会认识事物的一般方法——有特殊到一般，培养学生的抽象概括能力。
问题3你能通过严格的逻辑推理证明我们利用实验操作发现并概括出的性质1吗？（引导学生画出图形，写出已知，求证）设计意图：让学生逐步实现由实验几何到论证的过渡问题4你还能用其他方法证明性质1吗？设计意图：让学生在运用不同的方法证明性质1的过程中提高思维的深刻性和广阔性，提高添加辅助线的自觉性和能动性。
问题5等腰三角形是轴对称图形，你能找出它的对称轴吗？设计意图：让学生理解等腰三角形的轴对称性，并体会它在探索和证明等腰三角形性质的过程中的作用。
问题6从等腰三角形性质的结论中，你有何收获？设计意图：让学生进一步理解等腰三角形的性质的意义——它既是全等知识的运用和延续，又是证明两个角相等，两条线段相等，线段垂直关系的更为简捷的途径和方法。
启发学生在对比中建立知识之间的普遍联系，学会辩证地看问题。
2 巩固等腰三角形的性质练习教科书77页练习题1,2题设计意图：进一步巩固等腰三角形的性质1，性质23 例题教材76页设计意图：通过逻辑推理和方程思想求出等腰三角形中的角的度数，让学生进一步巩固等腰三角形的性质14 课堂小结让几名学生回顾本节所学内容设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容和研究方法，把握本节课的核心——等腰三角形的性质，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
5 当堂达标（1）等腰三角形的一个底角为75°，它的另外两个角为————。
（2）等腰三角形的的一个角为70°，它的另外两个角为————（3）等腰三角形的一个角为110°，它的另外两个角为————。
等腰三角形第1课时教学设计
等腰三角形第1课时教学设计本课旨在教授学生关于等腰三角形的定义、性质及相关计算方法。
以下是针对该课程的教学设计。
学科目标：1. 了解等腰三角形的定义，并能正确辨认等腰三角形；2. 掌握等腰三角形的性质，包括底角相等、等腰三角形的两边相等等；3. 能够应用等腰三角形的性质解决简单的计算问题；4. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 等腰三角形的定义和特点；2. 底角相等的证明；3. 等腰三角形的边长计算方法。
教学步骤：第一步：导入新知识为了激发学生的学习兴趣，我将引入一个与等腰三角形相关的场景，如一个等腰三角形的旗子。
我会请学生观察旗子，引导他们发现旗子上的两边是相等的，并与他们讨论等腰三角形的特点。
第二步：定义和特点在这一步中，我将给学生提供等腰三角形的定义，并讲解等腰三角形的特点，如两边相等、底角相等。
我会使用图示和实例来加深学生对等腰三角形概念的理解。
第三步：底角相等的证明在这一步中，我将教授学生如何证明等腰三角形的底角相等。
我将提供一个证明的示例，解释每一步的推理和推论。
然后，我会鼓励学生自己尝试进行底角相等的证明，并与他们分享他们的解决方案。
第四步：边长计算方法在这一步中，我将教授学生如何计算等腰三角形的边长。
我会提供几个实际应用的例子，并引导学生分析问题和解决方法。
然后，我会让学生互相讨论并分享他们的解决思路。
第五步：练习与巩固在这一步中，我将提供一些练习题，让学生巩固他们对等腰三角形概念和计算方法的理解。
我会给予他们足够的时间完成练习，并在完成后进行答案讲解和解析。
第六步：归纳总结在本课结束前，我将引导学生总结等腰三角形的定义、性质和计算方法。
我会鼓励学生用自己的话表述，并解答他们可能存在的疑问。
作业：作业是巩固学生对等腰三角形的概念和计算方法的理解。
我将布置一些练习题，要求学生独立完成，并在下节课前提交。
评估：评估可以通过以下方式进行：1. 教师观察：观察学生在课堂上的参与度和表现；2. 练习题：检查学生对等腰三角形的理解和计算方法的运用；3. 问题解答：鼓励学生在课堂上提问和回答问题，检查他们对等腰三角形的理解程度。
《等腰三角形》第1课时示范教学方案
第十三章轴对称13.3等腰三角形第1课时一、教学目标1．探索并证明等腰三角形的两个性质．2．能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．二、教学重点及难点重点：探索并证明等腰三角形的性质．难点：证明等腰三角形性质1时辅助线的添加和对性质2中“三线合一”理解和应用．三、教学用具略.四、相关资源按要求剪纸的视频,与教案一致五、教学过程本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了等腰三角形的两个性质，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】等腰三角形的性质.（一）问题导入在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．问题1：三角形是轴对称图形吗？有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．问题2：什么样的三角形是轴对称图形？满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．我们这节课就来认识一种是轴对称图形的三角形——等腰三角形．设计意图：通过回顾轴对称图形及轴对称性质，引出本节课所要探究的内容，让学生明确探究方向．（二）探究新知如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？（添加此过程的视频）鼓励学生用不同的方法得到等腰三角形，例如还可以像下面这样来作一个等腰三角形．作一条直线l，在l上取一点A，在l外取一点B，作出点B关于直线l的对称点C，连结AB，BC，CA，则可得到一个等腰三角形．思考：（1）等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是折痕所在的直线．（2）要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并观察它的两个底角有什么关系．学生通过折叠，发现折痕两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．由此可以得到等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．此图片是动画缩略图，本资源演示了等腰三角形的两腰相等时，两底角的数量关系，加深了学生对性质1的理解，适用于等腰三角形性质的教学.若需使用，请插入【数学探究】等腰三角形的性质1.此图片是动画缩略图，本动画资源通过观察演示过程，归纳得出等腰三角形的性质2“三线合一”，适用于等腰三角形性质的教学.若需使用，请插入【数学探究】等腰三角形的性质2.等腰三角形的性质1的证明：证法1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，作底边BC 的中线AD ，则BD ＝CD ． 在△ABD 和△ACD 中， AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）． ∴∠B ＝∠C ．证法2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ， ∴∠1＝∠2．在△ABD 和△ACD 中， 1=2AB AC AD AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）． ∴∠B ＝∠C ．证法3：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，作底边BC 的高线AD ． ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°． 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中， AB AC AD AD =⎧⎨=⎩，， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）． ∴∠B ＝∠C ．几何语言表示：在△ABC 中，∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ．性质2可以分解为三个命题，下面我们来证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边BC 的中线．求证：∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ．证明：∵AD 是底边BC 的中线， ∴BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中， AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）． ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∠ADB ＝∠ADC ．∵∠ADB ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ADB ＝90°． ∴AD ⊥BC ．教师鼓励学生仿照示例口述另两个命题的证明过程． 几何语言表示：在△ABC 中，（1）∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ．（2）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，BD＝CD．（3）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此得到：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．设计意图：通过引导学生动手操作，探索和发现等腰三角形的性质，加深学生对等腰三角形性质的直观感知，并尝试构造全等三角形给出推理证明，锻炼学生探索和发现问题并解决问题的能力．（三）例题解析【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求：△ABC各角的度数．分析：根据“等边对等角”的性质，我们可以得到∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC，•再由∠BDC＝∠A＋∠ABD，就可得到∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．把∠A设为x的话，那么∠ABC，∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD（等边对等角）．设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x．于是在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°．∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．设计意图：通过逻辑推理和方程思想求出等腰三角形中的角的度数，让学生进一步巩固等腰三角形的性质“等角对等边”．（四）课堂练习1．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC 的大小是（）．A．100°B．80°C．70°D．50°2．如图，在△ABC中，点D在BC上，且有AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各内角的度数．学生独立完成后，教师挑一名学生讲解解题思路．答案：1.A2．解：∵AB＝AC＝CD，∴∠B＝∠C，∠1＝∠2．∵BD＝AD，∴∠B＝∠3．又∵∠1＝∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．设计意图：综合运用等腰三角形性质、三角形内角和或者外角的性质等知识解决问题．使学生进一步巩固等腰三角形性质1，同时引导学生将与角有关的知识系统化，优化学生的知识结构．六、课堂小结1．等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．2．性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．3．性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．4．等腰三角形常用辅助线（作底边上的中线、作底边上的高、作顶角的平分线）．5．可以通过三角形全等或利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解等腰三角形的性质，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
北师大版八年级数学下第一章1.1等腰三角形第一课时教学设计
1.1等腰三角形（第一课时）教学设计一、教材的地位和作用“等腰三角形（第一课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第一节。
现实生活中，等腰三角形的应用比比皆是，利用“轴对称”的知识，进一步研究等腰三角形的特殊性质，不仅是现实生活的需要，而且从思想方法和知识储备上，为学生今后研究“四边形”和“圆”的性质打下坚实的基础。
本节课主要研究的是等腰三角形的重要性质，这是在已经学习过三角形的有关概念及性质、全等三角形、轴对称变换等知识的基础上进行的，它既是前面所学知识的深化和应用，又为两个角相等、两条线段相等、两条直线互相垂直这类问题的证明提供了新的依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
另外研究和学习本节课不仅让学生体会到数学图形的美及应用价值，而且对培养学生的思维能力、分析能力，使学生学会在等腰三角形中添加适当的辅助线，以及向学生渗透转化、类比思想都有很大作用。
二、学情分析就其知识掌握而言，学生虽然在学习三角形全等时已经具备初步的演绎推理能力，但是对规范的、需要经过缜密思维推理过程的表达，还需要教师在课堂上加以规范和引导。
就其生理、心理特点而言，八年级学生思维正处于活跃期，在课堂上能积极思考，敢于发表自己的见解，演绎推理能力已初步形成，动手能力较强，注意力比较集中，对直观生动的事物很容易产生浓厚兴趣。
因而，一方面教师要运用直观生动的形象激发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面教师要给学生创造更多发表见解的条件和机会，发挥学生在知识探究中的主体作用，让他们真正理解知识的形成过程。
三、教学目标1.掌握等腰三角形的性质定理及其推论，并能运用它们进行有关的证明和计算。
2.培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力；使学生进一步了解探究——猜想——归纳——论证的发现真理的方法。
3.通过对等腰三角形的观察、试验、归纳，体验数学活动充满着探索性和创造性。
等腰三角形第1课时教学设计
等腰三角形第1课时教学设计一、教学目标：1. 知识目标：学生能够正确地定义等腰三角形，并能确定等腰三角形的性质。
2. 技能目标：学生能够通过观察图形和计算，判断一个三角形是否为等腰三角形。
3. 情感目标：培养学生对几何图形的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
二、教学重难点：1. 重点：了解等腰三角形的定义和性质，能够判断一个三角形是否为等腰三角形。
2. 难点：通过观察和计算，判断一个三角形是否为等腰三角形。
三、教学过程：1. 情境导入教师拿起一把剪刀，将纸张剪成一个三角形，然后问学生：这是一个什么样的三角形？学生可以回答出各种三角形，如等边三角形、直角三角形等。
然后教师指出三角形的两条边是否相等，学生发现其中两条边相等，教师引导学生发现这是一个等腰三角形。
2. 概念解释教师向学生解释等腰三角形的定义：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
然后，教师再次展示剪纸做出的等腰三角形，引导学生回答：哪两边是相等的？学生可以指出等腰三角形的两边是相等的。
3. 性质探究教师将多个三角形的图形投影或分发给学生，让学生自主观察和研究这些三角形。
然后教师带领学生讨论以下问题：- 这些三角形中哪些是等腰三角形？为什么？- 如何判断一个三角形是否为等腰三角形？通过学生的观察和探究，引导学生总结出等腰三角形的性质：- 一个三角形两边相等时，这个三角形是等腰三角形。
- 在一个三角形中，如果两边相等，那么他们对应的两个角也相等。
4. 练习与巩固教师设计一些练习题目，让学生运用所学知识判断是否为等腰三角形。
例如：- 观察三角形ABC，AB = AC，∠A = 60°，请判断三角形ABC是否为等腰三角形。
- 观察三角形XYZ，XY = XZ，∠X = ∠Y = 45°，请判断三角形XYZ是否为等腰三角形。
5. 拓展与延伸教师提出更高层次的问题，让学生思考和探究。
例如：- 一个三角形两个角相等时，这个三角形一定是等腰三角形吗？- 如果一个三角形两个边相等，这个三角形一定是等腰三角形吗？四、教学反思：通过本堂课的教学设计，学生通过观察和探究，正确理解了等腰三角形的定义和性质，并能够用所学知识判断一个三角形是否为等腰三角形。
教学设计：等腰三角形(第1课时).doc
教学设计：等腰三角形（第1课时）一、教材版本：人教版第十四章第三节二、设计思想：本节课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（上）§14.3.1 等腰三角形第一课时,主要内容是等腰三角形概念及利用等腰三角形的轴对称性，探索发现等腰三角形的性质．新课标对本节课的要求是：“了解等腰三角形的有关概念，探索并掌等腰三角形的性质．”本节课是在学生已经学习了三角形的有关概念和“轴对称”的基础上接着学习的．这节课的内容不仅是对前面所学知识的运用，也是今后证明角相等、线段相等及直线垂直的重要工具，它在教材中处于非常重要的地位．根据学生认识基础、年龄特征及教学内容的特点，依据《数学课程标准》“在教学中应注重所学内容与现实生活联系，注重使学生经观察、操作、推理、想象等探索过程．”“有效的数学学习活动，不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．”确立了本节课的设计思路．即在教师的组织、引导、点拨启发下，采用直观教学，探究、发现的教学方法，让学生主动参与，直观感知、积极动手、动脑、自主探索、合作交流，形成师生互动、情感交流，培养学生多观察、动脑想、大胆猜的研讨式学习模式．三、教学目标1、知识与技能(1)理解掌握等腰三角形的性质．(2)运用等腰三角行的性质进行证明和计算．(3)发展合情推理，培养观察、分析、归纳问题的能力．2、过程与方法通过动手操作、观察、归纳，经历探索等腰三角形的性质的过程，体会获得数学结论的过程，逐渐形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略．3、情感态度与价值观（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐．（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．四、教学重点：等腰三角形的性质的发现过程和性质的应用．五、教学难点：“三线合一”这一性质的运用．六、教学准备七、教学过程(一) 创设情境，自然导入演示课件(1)：播放建筑物、生活用品等图片，学生在欣赏过程中，体会等腰三角形在生活中随处可见．师：仔细观察这些三角形，你能剪出这样三角形吗？它有什么特征？ （动手操作，独立尝试后在小组中交流）生：把一张长方形的纸片对折，剪去阴影部分，再把它展开， 就得到的了这样的三角形．（如图1） 生：(仔细观察)它是有两边相等的三角形． 师：像这样有两边相等的三角形叫等腰三角形． 板书课题：14.3.1等腰三角形教师引导：回忆小学学过的等腰三角形，你还记得它的边、角的名称吗？ 学生回忆用自己剪出的等腰三角形指出等腰三角 形的腰、底边、顶角、底角．教师配合学生说出的等腰三角形的腰、底边、顶 角、底角，演示课件（2）．（二）动手实践， 探索发现教师演示课件(3)学生动手折叠能发现等腰三角形ABC 是轴对称图形． 教师出示问题（1）：从本身边角而言，有相等的线段和角吗？ 学生动手操作、自主探索后小组交流，代表发言． 学生甲：从本身边角而言相等的有 ∠B =∠C ． 教师：能归纳出等腰三角形有什么性质吗？ 学生乙：等腰三角形的两个底角相等．（图1）ACB底角底角顶角腰 腰 课件（2）教师：你能证明你的猜想吗？学生：在△ABC 中AB ＝AC ，求证：∠B =∠C （会感到写出证明过程有些困难．） 教师引导:不能独立完成的小组合作完成．（参与学生的讨论，适当提示折痕的作用，指导作辅助线．）学生写出证明过程，并利用投影仪展示．（分别展示作不同辅助线的证明过程．） 教师板书：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 学生对照图形说出符号语言． 演示课件（4）学生独立完成练习，共同评价．教师演示课件(3)出示问题（2）：从由折痕产生的边角而言，有相等的线段和角吗？ 学生动手操作，将自己所剪出的等腰三角形反复折叠．学生能发现：从由折痕产生的边角而言相等的有：∠BAD ＝∠CAD BD ＝CD ∠BDA ＝∠BDC ＝90°教师：由此你能归纳出等腰三角形还有什么性质吗？ 学生思考并组织语言．教师配合板书：性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 教师演示课件（5）：学生完成填空，体会性质2的符号表示． 演示课件（6）课件(5)练一练在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．（2）120°（3）（1）36°课件(4)学生解答，共同评价 （三）应用深化，巩固提高出示例题1：如图，在△ABC 中AB ＝AC ， 点D 在AC 边上，且BD ＝BC ＝AD ， 求△ABC 各角的度数．学生认真读题并把已知的条件在图中标示出来． 学生尝试说出自己的解答思路．学生甲：求△ABC 各角的度数，就要将所给的边的条件转化为角的条件，利用“等边对等角”就能达到转化．学生乙：相等的角会有很多，可以找一个作为未知数，列方程解决。
等腰三角形教案第一课时
等腰三角形教案第一课时
一、学习内容
今天我们学习等腰三角形，掌握以下知识：
1、什么是等腰三角形？
2、什么是等腰三角形的特征？
3、怎么求等腰三角形的边长和面积？
二、学习过程
1、什么是等腰三角形
首先我们简单了解一下等腰三角形，它是一种特殊的三角形，它的三条边长是相等的，它
的轴对称，其两个相等的锐角的夹角是60度，这个三角形的对边也就是两个相等的角的
对边也是相等的。
2、什么是等腰三角形的特征
首先，它的三边相等，也就是说它的所有有关的边长都是一样的；其次，它的三个内角也
是相等的，两个锐角是60度，另外一个内角是180-60=120度；最后，等腰三角形的边
也是对称的，即有一条对称轴，两头是等腰三角形两个相等的锐角。
3、怎么求等腰三角形的边长和面积
根据等腰三角形的属性，由等腰三角形中任意两边a和b及夹角A、60°可求得它的公式：边长= a = b = 2a*cos60° = a* √3
面积= S = a2* √3 / 4
三、总结
通过本节课的学习，我们了解了什么是等腰三角形，理解了它的特点及求边长和面积的公式，掌握了等腰三角形的基本知识，为今后的学习打下了良好的基础。
等腰三角形第一课时优秀教案
课题：§12．3．1.1 等腰三角形（一）新授课教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．等腰三角形的性质．等腰三角形的概念及性质的应用．2．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．教学重点1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教学过程Ⅰ．复习导入，创设情境1. 先导入三角形图片，激起学生的兴趣2. 引入复习题，复习前面的内容，为学等腰三角形做铺垫（1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长（2）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是（3）等腰三角形的周长为13，一边长为3，则另两边为（4）等腰三角形底边BC=8，且| AC-BC |=2,求腰长AC.Ⅱ．导入新课[师]大家把做的等腰三角形拿出来，观察一下等腰三角形除了两腰相等，还有什么特点？如何证明？[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为 ,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）．所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD(SAS ）所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°． [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．其实还可以作底边的高线来证明（HL ），大家下来自己证明一下∴得出结论：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）几何语言：∵在△ABC 中，AB=AC∴∠B=∠C下面我们来看例题．[例]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷．[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ，所以∠ABC=∠C=∠BDC ．∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC 中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．由于等腰三角形的顶角的角平分线、底边中线、底边高线是一条线，所以得出结论：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（等腰三角形三线合一） D CA B D C A B补充：几何语言：性质 2 ( 1 ) ∵ AB=AC，AD是角平分线，∴______⊥______，________=________ ；( 2 ) ∵ AB=AC ，AD是中线，∴ ______ ⊥______ ，∠ ______ = ∠______；( 3 ) ∵ AB=AC ，AD⊥BC，∴∠_____=∠______，_____=______Ⅲ．1、能力训练△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
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一、情境导入探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？二、合作探究探究点一：全等三角形的判定和性质【类型一】全等三角形的判定如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是()A．BD＝CDB．AB＝ACC．∠B＝∠CD．∠BAD＝∠CAD解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若BD＝CD，则△ABD≌△ACD(SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若AB＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD(AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠BAD＝∠CAD，则△ABD≌△ACD(ASA)；故选B.方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.要注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】全等三角形的性质如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是()A．∠1＝∠2 B．AC＝CAC．∠D＝∠B D．AC＝BC解析：由△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，AC和CA是公共边，可知∠1和∠2，∠D和∠B是对应角．全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．AC和BC不是对应边，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角，∴∠1＝∠2，∠D＝∠B，∴AC和CA是对应边，而不是BC，∴A、B、C正确，错误的结论是D.故选D.方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．探究点二：等边对等角【类型一】运用“等边对等角”求角的度数如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝()A．80°B．100°C．140°D．160°解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值．∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝280°.∵AB＝AC ＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝280°÷2＝140°，故选C.方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.【类型二】分类讨论思想在等腰三角形求角度中的运用等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数．解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°；②顶角即为30°.因此等腰三角形的顶角的度数为30°或120°.方法总结：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．探究点三：三线合一【类型一】利用等腰三角形“三线合一”进行计算如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC.解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE ＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180－(∠B ＋∠ACB)＝40°.方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．【类型二】利用等腰三角形“三线合一”进行证明如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到E使得AE＝AD，连接DE，求证：DE⊥BC.解析：作AF∥DE，交BC于点F.利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝∠F AC.在△ABC中由“三线合一”得AF⊥BC.再结合AF∥DE可得出结论．证明：过点A作AF∥DE，交BC于点F.∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE.∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠F AC＝∠ADE.∴∠BAF＝∠F AC.又∵AB＝AC，∴AF⊥BC.∵AF∥DE，∴DE⊥BC.方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合．三、板书设计1．全等三角形的判定和性质2．等腰三角形的性质：等边对等角3．三线合一：在等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其中一个条件，就能得出另外的两个结论．作业设计1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）A．60°B．70°C．75°D．80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A． 8 B． 9 C．10或12D．11或136.如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF===，，；②AB DE B E BC EF=∠=∠=，，；③B E BC EF C F∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF△≌△的条件共有（）A．1组 B．2组C．3组 D．4组7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A． 7 B．11 C．7或11D．7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=_________ ．第10题 第11题 第12题 第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．第14题 第15题 第16题 第17题 第18题15.如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°，则∠D的度数为_____.16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF= _________ 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=D B+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．。