第1课时等腰三角形(1)
13.3等腰三角形(第1课时)
C
D
CA=CB
CA、CB AB ∠A, ∠ B ∠C
CA=CB
CA、CB AB ∠ CAB、 ∠B ∠BCA
1.如图,点D在AC上，AB=AC，AD=BD.
你能在图中找到几个等腰三角形？分别 说出每个等腰三角形的腰，底边和顶角.
A
D
B
C
2.已知线段a，b(如图). 用直尺和圆规作
华东师大版八年级（下册）
第13章 全等三角形
13.3 等腰三角形(第1课时)
等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （isosceles triangle)
等腰三角形的有关概念
腰 底边 顶角
AB，AC BC ∠A
底角 底角
A
顶角
腰
腰
底角
∠B ，∠C
B
底边
Cห้องสมุดไป่ตู้
A B 条件 腰 底边 底角 顶角 AB=AC
等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a. a b
3. 在上图的基础上，画出它的顶角平分线AD，
然后沿着AD所在的直线把△ABC对折， 你发现了什么？由此你得出了什么结论？
等腰三角形是轴 对称图形，顶角平 分线所在的直线是 它的对称轴.
B
A
D
C
例2 如图,在△ABC中，AB=AC，D，E分别 是AB，AC上的点，且AD=AE. AP是△ABC 的角平分线，点D，E关于AP对称吗？DE与 BC平行吗？请说明理由. 解:点D，E关于AP对称, DE∥BC.
在平面内，分别用3根，5根，6根火柴棒首尾顺 次相接搭三角形，多少根火柴能搭成等腰三角形? 等边三角形呢？通过尝试，完成表格.
等腰三角形(1)
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SSS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
∴设∠A=x0,则∠ABD=x0
∵∠BDC=∠A+∠ABD
∴∠BDC=2x0
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底 角的度数．
2.如图，△ABC是等腰直角三角形（AB＝AC，∠BAC ＝90°），AD是底边BC上的高，标出∠B，∠C， ∠BAD，∠DAC的度数．图中有哪些相等的线段？
3.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°． 求∠B和∠C的度数．
6.如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
7.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交 AC于点D．求∠DBC的度．
10.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分 ∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N， 且MN∥BC．求证：△AMN的周长等于AB＋AC．
∴ ∠B = ∠C ，
B
C
1.（2012?海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平 分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ______．
小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
角为__7_5_°_ , 30°__； ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角
课后思考
2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
2.3.1等腰三角形 第1课时 课件(人教版八年级上)(1)
∴△ACF≌△AБайду номын сангаасE(SAS). ∴BE=CF.
【想一想】 等腰三角形底角的平分线、腰上的中线和腰上的高互相重合吗? 提示：不一定重合.
【微点拨】证明两条线段相等的思路
1.当两条线段在两个三角形中时，考虑两个三角形全等.
2.当两条线段在一个三角形中时，考虑三角形是不是等腰三角
形的两腰或者应用等腰三角形三线合一的性质来证明 .
顶角平分线 、 (2)“三线合一”：等腰三角形的___________
底边上的中线 、底边上的高 _____________ ___________相互重合. (3)轴对称图形：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是
顶角平分线(底边高或中线)所在的直线 ___________________________________.
【方法一点通】 等腰三角形的性质在证明中的应用 1.在证明边或角相等时，常考虑利用三角形全等，等腰三角形 的两个底角相等常常是隐含条件，注意挖掘和应用 . 2.利用等腰三角形三线合一的性质，不仅能够证明相关的线段 或角相等，还可以证明有关的线与线之间的关系 .
【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.( × )
2.等腰三角形的底边长为3cm，腰长为1cm，则周长为
5cm.( × )
3.有一个角是60°的等腰三角形，其他两个内角也是
60°.( √ ) 4.等腰三角形的底角都是锐角.( √ ) 5.钝角三角形不可能是等腰三角形.( × )
【互动探究】如上题图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°， 边AB的垂直平分线交边AC于点E，求∠EBC的度数. 【解析】∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB， ∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∵∠A=50°，∴∠ABC=65°，又因 为DE垂直且平分AB，∴∠ABE=∠A=50°，∴∠EBC=65°50°=15°.
北师大2024八年级数学下册 1.1 第1课时 等腰三角形的性质 教案
1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?师生活动：教师播放课件，学生独立思考回答问题.问题 1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8 条基本事实？1.两点确定一条直线.2. 两点之间线段最短.3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4. 同位角相等，两直线平行.5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8. 三边分别相等的两个三角形全等.二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？师生活动: 教学时应鼓励学生独立完成. 教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，∠D +∠E +∠F = 180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，∴∠C =∠F (等量代换).∵BC = EF (已知)，∴△ABC≌△DEF (ASA).根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.设计意图：学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理.设计意图：七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它，因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用.知识点二：等腰三角形的性质及其推论问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?定理：等腰三角形的两个底角相等.推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？已知：如图，在△ABC中，AB = AC.求证：∠B = ∠C.方法一：作底边上的中线证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∵AB = AC，BD = CD，AD = AD∴△ABD≌△ACD (SSS).∴∠B =∠C(全等三角形的对应角相等).师：还有其他的证法吗？方法二：作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD =∠CAD.∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，∴△BAD≌△CAD (SAS).∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).师生活动:教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能设计意图：这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路，学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助.设计意图：教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法，实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS. 这两种证明方法都是受折纸的启发(轴对称)，通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等，教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识.教学时，可能会有学生通过作底边上的高并利用勾股定理来证明这一定理，对此，教师一方面要保护学生的学习积极性，另一方面也要引导学生认识力，关注证明过程及其表达的合理性.想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？由△BAD≌△CAD，可得BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.又∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB =∠ADC = 90°，即AD⊥BC.故AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高.师生活动: 让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论.定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).几何语言：如图，在△ABC中，∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一）.练一练1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，则∠AED的度数为( )A.60°B.90°C. 80°D. 20°到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据.设计意图：这一结论通常简述为“三线合一”, 即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高) 之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.设计意图：综合运用全等三角形和等腰三角形的相关知识解决问题,加深学生印象，考察学生对于知识的掌握情况.三、当堂练习，巩固所学师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.典例精析例1 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1) 如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.证明：(1) 如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG－DG＝CG－EG，即BD＝CE.(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.三、当堂练习，巩固所学1. 如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使∠ABC∠∠AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．2. (1) 等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__________；(2) 等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，提高学生解题技巧.设计意图:考查对全等三角形判定的掌握.设计意图:结论：在等腰三教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).全等三角形的对应边相等，对应角相等.。
人教版八年级数学上册《等腰三角形》(第1课时)课件
底边BC上的高AF，得出AF是顶角∠BAC的
平分线，再证AF∥DE即可. 1
1
2
证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，AF⊥BC于F，
F
∴AF平分∠BAC，∴∠1＝ ∠BAC.
又∵∠BAC＝∠D＋∠AED，AD＝AE， ∴∠D＝∠AED，∴∠AED＝ 1 ∠BAC.
2 ∴∠1＝∠AED， ∴AF∥DE， ∴DE⊥BC.
20cm或22cm
20 36°或90°
70°或40°
解：设∠A＝x， ∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝x， 又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2x, ∵CD=CB，∴∠B＝∠BDC＝2x， 在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA＝2x， 又∵∠A＋∠B＋∠BCA＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°， ∴∠A＝36°，∠B＝∠BCA＝72°
13.3.1 等腰三角形
（第一课时）
1.了解等腰三角形的概念. 2.掌握等腰三角形的性质. 3.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.
重点：等腰三角形的概念和性质及其应用. 难点：等腰三角形的“三线合一”的性质的理解及 其应用.
阅读课本P75-77页内容，了解本节主要内容.
等腰
轴对称 底边上的高（顶角的平分线或底边上的中线） 所在的直线；
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD ＝BC＝AD.求△ABC各角的度数. 解析：根据等腰三角形的性质，两底角相 等，利用三角形内角和定理建立方程. 解：设∠A＝x°，
∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°. 在△ABC中, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°,x°+2x°+2x°=180°， ∴x＝36°，∴∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°.
1第1课时等腰三角形的性质-冀教版八年级数学上册课件
目录
归纳： 等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都_相__等___，并且每一个角都等于__6_0_°__. 等边三角形的顶角_平__分__线__、底边上的__中__线__及底边上的__高____ 互相重合(__三__线__合__一____）.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
等边三角形的性质
目录
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
目录
等腰三角形的性质
问题3.2 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
线段
角
AB与__A__C__重合 ∠BAD与∠合__C_A__D__重 AD与__A_D___重合 ∠ABD与∠合__A_C_D___重
BD与__C_D___重合 ∠ADB与合∠__A_D__C__重
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
目录
CONTENTS
4
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
等腰三角 形的性质
等腰三角形 的性质
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线及底边上的高互相重合
等边三角形 的性质
等边三角形的三个角都相等，并 且每一 个角都等于60°.
目录
A
B
C
目录
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
目录
等边三角形的性质
问题2 等腰三角形“三线合一”的性质同样存在与等边三角形中吗?
等腰三角形
等边三角形
等腰三角形顶角的平分线、底边的高、 等边三角形顶角的平分线、底边的高、 底边的中线三线合一（一条对称轴） 底边的中线三线合一（三条对称轴）
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 等边三角形的性质
等腰三角形的性质(第1课时)
目
CONTENCT
录
• 等腰三角形的定义 • 等腰三角形的性质 • 等腰三角形的判定 • 等腰三角形的应用
01
等腰三角形的定义
什么是等腰三角形
02
01
03
等腰三角形是两边长度相等的三角形。 等腰三角形两腰之间的夹角相等，称为底角。 等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一。
03
等腰三角形的判定
角平分线判定
总结词
若一个三角形中存在角的平分线，则该三角形为等腰三角形 。
详细描述
角平分线判定定理指出，如果一个三角形中存在角的平分线 ，则该三角形必定是等腰三角形。这是因为角平分线将相对 边分为两段相等的线段，从而使得相对的两边相等。
中线判定
总结词
若一个三角形中存在中线，则该三角 形为等腰三角形。
详细描述
在几何学中，等腰三角形是研究轴对称和中心对称的重要工具。此外，等腰三角形还与三角函数、勾 股定理等数学概念密切相关，是解决数学问题的重要工具。
等腰三角形在物理学中的应用
总结词
等腰三角形在物理学中也有着广泛的应 用，如力学、电磁学和光学等领域。
VS
详细描述
在力学中，等腰三角形结构可以提供稳定 的支撑，如桥梁的斜拉索。在电磁学中， 等腰三角形结构可以用于设计天线和微波 暗室。在光学中，等腰三角形则被用于反 射和折射实验，如棱镜和反射镜等。
04
等腰三角形的应用
生活中的等腰三角形
总结词
等腰三角形在日常生活中有着广泛Βιβλιοθήκη 应用，如建筑、艺术、工程 等领域。
详细描述
在建筑学中，等腰三角形被广泛应用于结构设计，如桥梁、塔吊 等。在艺术领域，等腰三角形则被用于创作各种图案和装饰，如 纺织品、壁画和雕塑等。
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10.3等腰三角形
第1课时等腰三角形(1)
教学目的
1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质。
2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。
重点、难点
重点：等腰三角形等边对等角性质。
难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。
教学过程
一、复习引入
1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形?
△ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。
2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象?
二、新课
1．指出△ABC的腰、顶角、底角。
相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。
2．实验。
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。
可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：
(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C (3)BD＝CD，AD为底边上的中线。
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
(5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线。
结论(2)用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么?
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)。
例l已知：在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，求∠C和∠A的度数。
本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程。
引申：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，求∠B和∠C的度数。
小结：在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角。
三、练习巩固
P97 练习1、2、3
补充：
填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，
1．如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______
2．如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______
3．如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______
四、小结
本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等(简写“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用。
用数学语言表述如下：1．△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C。
2．△ABC中，如果A月＝AC，D在BC上，那么由条件(1)∠BAD＝∠CAD，(2)AD ⊥AC，(3)BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个。
五、作业
P99习题第1、2、3题。