椭圆的几何性质(罗武)
椭圆的一个几何性质和在物理学中的应用
椭圆的几何性质和在物理学中的应用1 几何性质为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。
定义1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a ）的点的轨迹。
命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。
【证明】：如图1所示，M 是椭圆外任一点，1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。
由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在21F MF ∆内。
所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。
下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。
命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。
【证明】：如图，M 是ABC ∆中任一点，我们要证明的是CB CA BM AM +<+。
延长AM 与BC 交于D 点。
在ADC ∆中，由于两边之和大于第三边，有MD AM CD CA +>+； 在BDM ∆中，由于两边之和大于第三边，有MB MD DB >+。
上面两式相加有CB CA BM AM +<+，命题得证。
命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。
图3图1ABCMD 图2【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N ，使M 位于21F NF ∆内。
由命题2可知命题正确。
我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。
定义2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。
命题4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。
【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。
命题5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。
椭圆的几何性质2(第二定义)-PPT
2
x
y
＋ ＝1上的点,P
100 36
2.已知P是椭圆
到右准线的距离为8.5,则P到左焦点
的距离为_________.
x 2 y2
3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到
两准线的距离.
4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴
端点与最近的焦点相距为1、与相近的一
x
∵ |MF2| =e
|MB|
∴ |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0
a2
x
c
注:所用焦点要与准线同侧,
焦点在y轴的同理可得.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
椭圆中的特殊三角形及通径
y
D (0, b)
A
(a, 0)
b a
Oc F
在Rt⊿OFD中，
常数e是椭圆的离心率.
y
x2 y2
对于椭圆 2 2 1(a b 0)
M
a b
(, 0)
相应与焦点 2
的准线方程是
x
2
2 =
a
c
0
(0
2
< a
<x1)
=
c
“三定”：
定点是焦点；
定直线是准线；
定值是离心率。
2
2
x 由椭圆的对称性,相应与焦点
2
=
′ (−, 0)
椭圆的几何性质2(第二定义)
标准方程
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
高中数学人教A版选修21之222椭圆几何性质
c
a
• 分析解答： • 在已知直角坐标系中，设 • M(x，y)为轨迹上任意一点。
y
x= a—c2
M
•
N
• —(x—-c—)2+—y2= —c | —ac2 - x| a
• (a2-c2)x2+a2 y2=a2(a2-c2)
o
•
F
x
• 设b2=a2-c2代入，两边同除a2b2得标准方程 —x2 + —y2 =1
完整版课件ppt
a2 b122
(四)椭圆的第二定义
1．定义 平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离 的比是常数 线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
2．说明
完整版课件ppt
13
e的几何意义是：
椭圆上一点到焦点的距离和它到 准线的距离的比
完整版课件ppt
14
练习
已 知 a x2 2椭 b y2 2 圆 1(ab0)上 一 P 的点 横x 坐 0,
解：2a22b a2b
当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为
x2 4b2
y2 b2
1，
椭圆过 (2点 ， 4)
4 4b2
1b261，
b2
17，椭圆方6x程 281y为 271.
当焦点在 y轴上时，设椭圆方程为
x2 b2
y2 4b2
1，
椭圆过 (2点 ， 4)
4 b2
16 4b2
1，
b2
8，
椭圆方x8程 23y为 221.
A2
o c F2 x
5、a、b、c的关系 a2=b2+c2
完整版课件ppt
B1
x2 y2 1ab0
a2 b2
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
椭圆的几何性质课件
(2)依题意可设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以 c＝b＝3， 所以 a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1．
求椭圆标准方程的常用方法 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法． (2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确 定焦点所在的坐标轴；②求出 a2，b2 的值；③写出标准方程．
x2 a2
y2 b2
=（1 a＞b＞0）
y
B2(0,b)
A1(-a, 0)
o
A2 (a, 0)
x
回顾：
B1(0,-b)
焦点坐标: F1(c,0), F2 (c,0)
23:22:07
59
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a.
短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b.
注意
焦 距 |F1F2|=2c.
23:22:07
67
强化训练
2、求下列椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上， a 6, e 1
x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上，c
3,
e
3
y2 x2
5
1
25 16
23:22:07
68
强化训练
3、求下列椭圆的标准方程：
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2)
x2 y2 1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
23:22:07
椭圆的简单几何性质ppt课件
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
椭圆的简单几何性质 课件
[思路探究]
联立两 个方程
―→
消去y得到关于 x的一元二次方程
―→
求Δ
―→
讨论Δ得结论
y＝x＋m，
①
[解] 联立方程组x42＋y2＝1. ②
将①代入②得：x42＋(x＋m)2＝1，
整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0. ③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当 Δ＞0，即－ 5＜m＜ 5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得 两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆y 得一个关于 x 的一元二次方程．
位置关系
解的个数
Δ 的取值
相交 相切 相离
两解 一解 无解
Δ> 0 Δ＝0 Δ< 0
思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？ (2)直线 y＝kx＋1 与椭圆x42＋y32＝1 有怎样的位置关系？
故 m∈54，5.]
弦长及中点弦问题
例 2、过椭圆1x62 ＋y42＝1 内一点 M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程． (2)求此弦长. [思路探究] (1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐 标公式求解． 法二：点差法 (2)设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
(2)设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)
x＋2y－4＝0，
由1x62 ＋y42＝1，
得 x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝ 1＋－122· 42－4×0＝2 5.
[规律方法] 1.直线与椭圆相交弦长的求法 (1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出 交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．
第8讲：椭圆的简单几何性质
第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一 由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二 由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。
椭圆的简单几何性质(共29张)-完整版PPT课件
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
焦点坐标 半轴长
离心率
a、b、c 的关系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
则|PayF22 1|=bx22a+（1eya0>，b>|P0F）2同|=下理a焦:-eya点c02P。F为2其x0F中1a，c|P上F1焦|、点|P为FF2|叫2，焦P0半（径x0.,y0）为椭圆上一点，
c a2
PF2
( a
c
x0 ) a ex0
本堂检测
练习：P42 T2、3、5
D 1.椭圆
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁； 离心率越小，椭圆越接近圆。
思考：当e＝0时，曲线是什么？
当e＝1时曲线又是什么？
[3]e与a,b的关系:
e c a
a2 b2 a2
b2 1 a2
内容升华
两个范围，三对称 四个顶点，离心率
定义 标准方程
与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)
c
三、椭圆的焦半径公式
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)上一点P的横坐标是x0 ,
F1、F2分 别 是 椭 圆
PF1 a ex0 , PF2
的 左 、 右 焦点
a ex0。
，
且e为
离
心率
Y
，
则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§8.2 椭圆的几何性质
广汉中学 罗武
教学目标：1．使学生了解并掌握椭圆的范围；
2．使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中
心；
3．使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、以及a 、b 、c 的几何意义
及几何关系；
4．使学生掌握离心率的定义及其几何意义。
教学重点：掌握椭圆的几何性质。
教学难点：理解坐标法中利用代数方法研究曲线几何性质的一般方法。
教学方法：发现式、启发式、师生共同探讨。
教学过程：
一、课题导入
前面，我们研究了椭圆的标准方程：22221x y a b +=或22
221x y b a
+=，其中0a b >>
这两种形式，本节课我们利用椭圆的标准方程进一步研究椭圆的几何性质。
[板书课题]
二、讲授新课
下面我们画出椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的图形，请大家观察该图形具有哪
些特征。
[多媒体演示][学生发言]
1．范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤
我们如何从代数的角度进行解释呢？[学生发言]
椭圆上点的坐标(,)x y 满足：22
221x y a b
+=，于是有221x a ≤，221y b ≤，
即2222
x a y b ≤≤，，|x|a,|y|b ∴≤≤，这说明椭圆落在直线x a =±和y b =±所
围成的矩形中。
2．对称性
标准方程表示的椭圆关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点成中心对称，椭圆的对称中心简称椭圆的中心。
[引导学生从代数角度解释]
在椭圆方程22
221x y a b
+=之中，
把x 换成x -，方程不变，说明：椭圆关于y 轴对称；
把y 换成y -，方程不变，说明：椭圆关于x 轴对称；
把x 换成x -，把y 换成y -，方程不变，说明：椭圆关于原点对称。
[诊断练习]课本P 103习题8.2第2题。
3．顶点
1(,0)A a -，2(,0)A a ，1(0,)B b -，2(0,)B b
在椭圆方程22
221x y a b
+=之中，令0x =，得y =b ±；令0y =，得x =a ±
这四个交点叫做椭圆的顶点，线段12A A 叫做椭圆的长轴，长度为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长；12B B 叫做椭圆的短轴，长度为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长。
222a b c -=的几何意义：[多媒体演示]
4．离心率
椭圆的焦距与长轴长的比c
e a
=
，叫做椭圆的离心率。
离心率的几何意义：01e <<
e 越接近1，则c 越接近a ，从而b 越接近0，椭圆越扁； e 越接近0，则c 越接近0，从而b 越接近a ，椭圆越圆。
当a b =时，0c =，此时两个焦点重合，图形变为圆，方程为2
2
2
x y a +=。
对以上几何性质推广到其他位置情况的椭圆。
三、例题讲解
例1．求椭圆2
2
1625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。
解：把已知方程化成标准方程22
22154
x y +=，
可知5a =，4b =，所以3c =。
因此，椭圆的长轴长210a =，短轴长28b =，离心率3
5
c e a =
=，两焦点坐标分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，四个顶点坐标分别为1(5,0)A -、2(5,0)A 、
1(0,4)B -、2(0,4)B 。
列表：
描点作图。
[多媒体演示] 总结作图步骤。
[诊断练习]课本P 102第2、3题。
例2．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(3,0)P -、(0,2)Q -；
（2）长轴的长等于20，离心率等于
35。
例3．已知椭圆22
55mx y m +=的离心率5
e =
，求m 的值。
解：由已知可得椭圆方程为:
22
1(0m 5)5m
x y m +=>≠且， 当焦点在x 轴上，即05m <<时，有m b a ==
,5,则,5m c -=
由题意得：
,5
10
5
5=
-m 解得：3m =； 当焦点在y 轴上，即5m >时，有5,==
b m a ，则,5-=m c
由题意得：
,5
10
5=
-m
m 解得：253m =。
四、随堂练习：课本P 102第4、5题。
五、知识小结
六、课后作业：课本P 103习题8.2第3、4、6题。