大学物理教程第十五章狭义相对论基础

大学物理教程第十五章狭义相对论基础第五篇近代物理学基础19世纪末物理学已经发展成为一套相当完整的理论，力学方面有牛顿力学，电磁学方面有麦克斯韦电磁理论，光学方面有光的波动理论，最后亦归结为麦克斯韦电磁理论，热现象方面有完整的热力学以及玻耳兹曼、吉布斯等人建立的统计物理学，日常所见的物理现象都可以用这套理论来解释．因此19世纪末许多物理学家认为物理学的发展已经是登峰造极，以后不会有多大发展了．但是，就在19世纪末和20世纪初，发现的许多新的实验事实不能用这套所谓经典物理学来解释．例如寻找以太的迈克耳孙—莫雷实验的结果是否定的，黑体辐射能谱、光电效应、康普顿效应和原子光谱等都不能用经典理论来解释．这些问题使经典物理学遭遇了极大困难，也使一些物理学家感到困惑．20世纪初期，爱因斯坦提出相对性理论，普朗克提出量子假设，爱因斯坦提出光子假设，玻尔等人又把量子概念应用于原子结构，使上述问题得到解决或初步得到解决．直到德布罗意提出实物粒子和光一样具有波粒二象性假设后，一个体系较完整的理论——量子力学才建立起来．近代物理学是对经典物理学而言的，相对论和量子力学是近代物理学的两大支柱，也是许多基础科学和工程科学的基础．本篇主要介绍狭义相对论，并说明一切微观粒子都具有波粒二象性，在此基础上简单介绍量子力学及其对原子结构、激光及半导体导电机制等的应用．第十五章狭义相对论基础在上册§2－l中讲过，牛顿力学只适用于低速运动的宏观物体，宏观物体的高速运动问题则要用相对论力学处理．相对论分为狭义相对论和广义相对论．局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系包括引力场在内的理论称为广义相对论．本章只对狭义相对论作简单介绍．本章重点是狭义相对论的两条基本原理、相对论时空观、洛伦兹变换和相对论动力学等，但为了更好地理解相对论的两条基本原理和其他有关问题，我们从伽利略相对性原理、经典力学时空观、伽利略变换讲起．§15－1 伽利略相对性原理经典力学时空观伽利略变换一、伽利略相对性原理在远古时代，人们认为大地是平坦的．古代中国有“天圆地方”之说，而西方人则以为平坦的大地是坐落在一只大龟的背上，而龟又漂浮在大海之中．直到两千多年前，亚里士多德才给出了一个精致而复杂的宇宙模型，主张地球是球形的，位于整个宇宙的中心，太阳、行星和恒星都环绕地球作完美的圆周运动．按照亚里士多德的观念，地球中心在空间位置上具有决定意义，而空间方向的“上”和“下”却相对化了，即没有一个方向具有绝对优越的性质，这就是空间方向上的相对性．这是人类走向科学时空观的第一步．哥白尼否定了地心作为宇宙中心的绝对意义，把宇宙中心移到太阳上，这是走向宇宙无中心论的关键的一步．此后，牛顿发现苹果落地与月亮绕地球旋转是由同一个原因引起的，在牛顿的力学方程中没有宇宙中心的位置，任何空间点都是平等的．因为没有宇宙中心，对于所有的参考系，物理规律都是一样的，所有的运动都是相对的．1632年，伽利略在《关于哥白尼和托勒玫两大世界体系的对话》中写道：“把你和一些朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几只苍蝇、蝴蝶和其他小飞虫．舱内放一只大水碗，其中放几条鱼．然后，挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的宽口罐里．船停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中．你把任何东西扔给你的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力．你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等．当你仔细地观察这些事情后(虽然当船停止时，事情无疑一定是这样发生的)，再使船以任何速度前进，只要运动是匀速的、也不忽左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化，你也无法从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动．即使船运动得相当快，在跳跃时，你将和以前一样，在船底板上跳过相同的距离．你跳向船尾也不会比跳向船头来得远，虽然你跳到空中时，脚下的船底板向着你跳的相反方向移动．你把不论什么东西扔给你的同伴时，不论他是在船头还是在船尾，只要你自己站在对面，你也并不需要用更多的力．水滴将像先前一样，滴进下面的罐子，一滴也不会滴向船尾，虽然水滴在空中时，船已行驶了很多柞1．鱼在水中游向水碗前部所用的力，不比游向水碗后部来得大；它们一样悠闲地游向放在水碗边缘任何地方的食饵．最后，蝴蝶和苍蝇将继续随便地到处飞行，它们也绝不会向船尾集中，并不因为它们可能长时间留在空中，脱离了船的运动，为赶上船的运动显出累的样子．”这些现象表明在作匀速直线运动的大船中观察到的物体的行为与大船静止时相同，即物体的行为在所有惯性系中都是相同的，或者说，支配物体行为的物理规律在所有惯性系中都是相同的．这就是伽利略提出的相对性原理的基本思想．伽利略相对性原理可以表述为：一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受到系统作为整体的匀速直线运动的影响．二、经典力学时空观时空观，就是对有关时间和空间的物理性质的认识．什么是时间，什么是空间？这是两个人们最常用而又很难确切回答的问题．对于时间和空间这两个基本概念来说，重要的问题并不在于它们本身的定义，而是它们之间的关系，以及它们与物质运动的联系．在时空观上，伽利略、牛顿等建立的经典力学体系否定了亚里士多德体系中空间位置的绝对意义，但是在牛顿力学中仍然引入了绝对静止的空间和绝对不变的时间的概念．牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中写道：“绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变．”“绝对的、纯粹的数学的时间，就其本身和本性来说，均匀地流逝而与任何外在的情况无关．”表明空间、时间和“外在的情况”三者都是相互独立的、无关的，空间的延伸和时间的流逝都是绝对的．三、伽利略变换我们首先介绍事件概念．事件是在空间某一点和时间某一时刻发生的某一现象．例如一辆公交车在某一时刻到达某个车站，就是一个事件．宏观物体的运动可以分解为一系列的事件．公交车的运动就是由按固定线路顺序到达一系列站点及其时刻的事件构成的．事件是构成宏观物体运动的基本要素．一个事件是用它发生的地点和发生的时刻来描述的．在一个参考系中空间一点要用三个坐标x、y、z来描述，一个时刻要用一个坐标t来描述，所以一个事件在一个参考系中要用四个坐标x、y、z、t来描述．设S为一个惯性参考系，坐标系x、y、z固定于其中，S'为另一个以恒定速度u相对于S运动的惯性参考系，坐标系x'，y'，z'固定于其中．为简单起见，取x、x'轴在同一直线上，并且都指向u的方向．y'、z'轴分别与y、z轴平行，如图15－1所示．我们假定两个参考系中的观察者都备有米尺和时钟，可以用来1张开手时拇指尖到中指尖的距离，约为20 cm．测量事件的空时坐标．现在来考虑在P 点发生的一个事件．S 系中的观察者测出这一事件的空时坐标是(x ，y ，z ，t )，S'系中的观察者测出这一事件的空时坐标是(x'，y'，z'，t')．这两组坐标之间有什么关系呢？假设两个观察者所用的时钟已经校准且快慢相同，并且都从两个参考系的原点O 及O'重合的时刻开始计时(即在此时刻t = t' = 0)，则P 点发生的事件的两个时间坐标有如下关系： t' = t 又假设两个观察者所用的米尺已经比较过且长度相同．则由图15－1看出，该事件的两组空间坐标有如下关系；x' = x – uty' = yz' = z合并以上结果得两组空时坐标之间的关系如下：='='='-='t t z z y y ut x x 或 '='='='+'=t t z z y y t u x x （15－1）上式中两组方程分别称为伽利略坐标变换及其逆变换．若写为矢量形式，则为='-='t t t u r r 或 ?=''+'=t t t u r r （15－2）其中r 、r '分别为P 点对S 系的原点O 及S'系的原点O '的径矢．由(15－1)式可以看出，在伽利略变换中t' = t ，即两个惯性系中的时间t 和t'被认为是相同的，而且空间变换式与时间无关，与S'系和S 系之间的相对运动情况无关．因此，伽利略变换体现了牛顿力学时空观的绝对时间和绝对空间的概念，体现了牛顿力学时空观的空间、时间和“外在的情况”三者都是相互独立的、无关的概念．当P 点为一个运动的质点时，将(15－2)式微分得d r ' = d r - u d td t' = d t将以上二式相除得u r r -=''tt d d d d 即 v ' = v - u （15－3）这就是伽利略变换下的速度合成定理．将(15－3)式对时间t' (= t )求导数并考虑到u 为常量，得图15－1tt d d d d v v ='' 即 a ' = a （15－4）上式表示质点相对于S'系的加速度与它相对于S 系的加速度相等，即质点的加速度在伽利略变换下是不变量．因S 系是惯性系，牛顿第二定律成立，即F = m a （15－5）用伽利略变换把这方程从S 系变换到S'系．为简单起见假设作用于质点的力F 只是该质点相对于其他质点的相对位置(即该质点相对于其他质点的相对径矢r - r i )的函数(此处r i 为任一其他质点i 对S 系的原点O 的径矢)，例如万有引力就是如此．由(15－2)式很容易证明r -r i 在伽利略变换下是不变量，因此力F 在伽利略变换下是不变量，即F ' = F在经典力学中物体的质量被认为是常量，与参考系无关，即m' = m将以上两式和(15－4)式代入(15－5)式得F ' = m'a ' （15－6）比较(15－5)及(15－6)两式看出，牛顿第二定律在S 系和S'系中(也就是在所有惯性系中)具有相同的形式，或者说牛顿第二定律在伽利略变换下形式不变．因为力和加速度在伽利略变换下都是不变量，所以牛顿第一和第三定律在所有惯性系中也具有相同的形式，或者说牛顿第一和第三定律在伽利略变换下形式不变．牛顿定律是整个经典力学的基础，经典力学中一切定律都是从牛顿定律推出的．既然牛顿定律在伽利略变换下形式不变，由牛顿定律推出的力学定律也必然在伽利略变换下形式不变．因此我们得出如下结论：在所有惯性系中力学定律具有相同的形式．因此，我们不能在一个惯性系内部通过力学实验来找出该惯性系相对于其他惯性系的运动情况，当然也无法测定其速度．这就表明伽利略变换得出的结论与伽利略提出的相对性原理的基本思想是一致的．现在已经清楚，伽利略变换只适用于低速的机械运动，对于电磁过程等力学范围之外的物理过程，即使低速情况下伽利略变换也不适用，而要采用洛仑兹变换．然而，伽利略相对性原理却被爱因斯坦作为狭义相对论的一条基本原理保留下来．§15－2 以太假设迈克耳孙—莫雷实验一、电磁学问题在上一节中已经指出，对于电磁过程等力学范围之外的物理过程，即使低速情况下伽利略变换也不适用．在经典物理学中电磁现象是由麦克斯韦方程组来处理的，这些方程支配着一切电磁现象的行为，正如牛顿定律支配着一切力学现象的行为一样．牛顿定律在伽利略变换下形式保持不变，然而麦克斯韦方程组在伽利略变换下形式却要发生改变．下面通过一个简单的例子来说明这一问题．第八章的习题8－18讨论了相距为d 的两个正电荷q 1、q 2当运动速度v 1和v 2相互垂直时的作用力的问题．如果将参考系改换到随一个电荷运动的惯性系上，其答案就会与题设的实验室参考系中得到的结果完全不同．这里我们将问题再作一些简化，假设在实验室参考系S 中相距为d 的两个正电荷q 1、q 2相对静止(图15－2a )．两个正电荷之间无磁场力，根据库仑定律，存在着库仑力F e ．如果在另一个相对于S 系以速度v 向右运动的惯性系S'中观察，这两个正电荷都显示出向左的运动速度-v ．那么这两个正电荷之间除了存在着库仑力F 'e 之外，由于都处于对方电荷运动所产生的磁场中，将受到磁场引力F 'm 的作用(图15－2b )．在牛顿力学中，两个惯性系中正电荷q 2所受的作用力应该相等，即F e = F 'e +F 'm ．由此可得F'e > F e ，如果假定在两个惯性系中电荷为不变量，则q 1在q 2处的电场强度存在如下关系：E' > E同理，在包围电荷q 1半径为d 的闭合球面上都可以得到如上结果．以此球面作为高斯面，将上式积分得 >?'S E S E d d （15－7）如果高斯定理在实验室参考系中成立，则01d εq =??S E 那么由(15－7)式可以看出，高斯定理在参考系S'中就不成立．19世纪末的一些物理学家希望伽利略变换不但适用于力学现象，也应适用于电磁现象，于是假定通常形式的麦克斯韦方程组只在一个特定的参考系成立，而且认为这个特定参考系就是相对以太静止的参考系，称为以太系．当时认为传播电磁波需要有介质，正如传播声波需要有介质——空气一样，并且将传播电磁波的介质称为以太．二、速度合成定理应用于光的传播过程由伽利略坐标变换导出的速度合成定理，是经典力学的重要规律之一．但是速度合成定理的正确性是有限度的．为了说明这一问题，我们应用速度合成定理来分析一下有关光的传播现象．900多年前，北宋年间的史书《宋会要》中记载了一次非常著名的超新星的爆发事件．书中提到，在宋仁宗至和元年(公元1054年)，超新星出现在金牛座ζ星(天关)附近，非常之亮，白天也能看到，历时23天才慢慢暗下来， 22个月后隐没．这次爆发的残骸形成了著名的金牛星座的蟹状星云(图15－3)．这一历史记录与光速有关．当一颗恒星发生超新星爆发时，它的外围物质向四面八方飞散．因此，有些抛射物向我们运动，有些则沿横向运动．假设抛射物的运动速度为u ，如果光线服从伽利略坐标变换的速度合成定理，向我们运动的抛射物发出的光线的速度为c + u ，横向运动的抛射物发出的光线的速度大约仍为c ．这些光线到达地球的时间分别应为t = l /(c + u )和t' = l /c ，蟹状星云到地球的距离l 大约是5千光年，爆发中抛射物的速度大约是1500 km/s ，代入这些数据可得t' - t ≈ 25 年．即至少在25 年的时间里都可以看到开始爆发时所发出的(a) (b)图15－2 图15－3强光，而史书中记录的是“岁余稍没”．结论似乎是：超新星发出的光速是一样的，与发光物体本身的速度无关．即光速不服从经典的速度合成定理．对于上面天文观测所得出的结论，曾经一度做出这样的解释：由于光具有波动特性，光的传播速度与光源的速度无关，只与传播光的介质——以太的运动状态有关，这样就能避免出现上述的矛盾．到十九世纪末，人们认为电磁波和光波的传播介质是以太，而且对以太的兴趣剧增．当时似乎感觉到，以太是可以观察到的．按照伽利略变换下的速度合成定理，在相对于以太以速度u 运动的参考系中光的速度应该不相同，这样在地球上就可以通过光学实验测定地球相对于以太的速度．相对于以太的速度称为绝对速度，相对于以太的运动称为绝对运动．只要找出地球的绝对速度，以太这个参考系就算找到了．三、迈克耳孙—莫雷实验迈克耳孙—莫雷实验(1887年)就是为测量地球相对于以太的绝对运动而设计的．迈克耳孙—莫雷实验所用的仪器就是§14－8所讲的迈克耳孙干涉仪．实验装置如图15－4(a)所示，测试仪器安装在边长为1.5 m 的正方形厚石板上，石板浮于水银槽中，以便于整个装置能在无形变的情况下缓慢旋转，采用多次镜面反射使干涉仪的臂长l 达到11 m ．图15－4(b)为干涉仪的实验原理图．由光源S 发出波长为λ的光入射到半镀银的玻片G 1后，一部分由G l 反射到平面镜M 2，再由M 2反射回来透过G 1到达望远镜T ，另一部分透过G 1到达平面镜M 1，再由M 1和G 1先后反射到达T ．在实验中两臂长相等G 1M 1 = G 1M 2 = l ．假设地球(即仪器)相对于以太以速度u 沿G 1M 1方向运动，光相对于地球(仪器)的速度为v ．取以太为S 系，地球为S'系，则由伽利略变换下的速度变换法则，光对地球(仪器)的速度v 等于光对以太的速度c 减去地球对以太的速度u ，即v = c - u （15－8）由(15－8)式看出，u 的大小和方向都是一定的，c 的大小也是一定的，但其方向可以变化，所以光对地球的速度v 的大小随方向而变化．沿u 方向v = c - u (图15－5a)，逆u 方向v = c + u (图15－5b)，垂直于u 的方向22u c -=v (图15－5c)．所以来回于G 1、M 1之间的光束所需时间为+≈???? ??-=-=++-=-2212222212122c u c l c u c l u c cl u c l u c l t(a) (b)图15－4来回于G 1、M 2之间的光束所需时间为+≈???? ??-=-=-222/122221212122c u c l c u c l u c l t 所以这两个时间之差为3222221221212c lu c u c l c u c l t t =+-???? ??+=- （15－9）因此两光束的光程差为()2212clu t t c =-=δ 如果把整个仪器绕中心支轴旋转90°，则两光束互换位置，其光程差由δ变为-δ，可见这一旋转引起了光程差的改变为2δ．这相当于仪器中的反射镜M 2移动了一段距离d ：2222clu d ==δ 所以在转动过程中，应看到干涉条纹移过视场．当转至90°时，由上式及(14－30)式得移过视场的干涉条纹数为22222/Δc lu d N λλδλ=== 现在来估计一下ΔN 的数值．在上式中c = 3.0×108 m/s ，l = 11 m ，又取地球相对于以太运动的速度等于地球绕太阳运动(公转)的速度，即u = 3.0×104 m/s ，实验中所用光波波长λ = 5.9×10-7 m ，代入上式得4.0)100.3(109.5)100.3(112Δ28724≈=-N 这相当于在仪器旋转以前的亮条纹在旋转以后几乎变为暗条纹．实验的精确度很高，可以观察到0.01条条纹的移动，因此应当毫无困难地观察到0.4条条纹的移动．但仔细观察并没有看到这个预期的条纹的移动．以上设u = 3.0×104 m/s 为地球绕太阳运动的速度，不一定是地球相对于以太运动的速度．但是一方面地球绕太阳运动，其速度的方向是连续地变化的，另一方面太阳又在运动，以每秒几百公里的速度绕银河系的中心运动，银河系也在运动，人们曾经推测在一年中总有某个时候会观察到与这个速度相对应的条纹的移动．但情况不是这样，迈克耳孙等人在白天、晚上以及一年中所有季节都进行了(a) (b) (c)图15－5实验，观察到的条纹移动比预期的要小得多．近年来更加精确的实验指出，在非常小的误差范围内根本不存在条纹的移动．寻找以太的迈克耳孙—莫雷实验的结果是否定的，那么出路只有两条：要么是地球相对于以太的速度总为零；要么以太假设本身是不对的，二者必居其一．由于自哥白尼以后，人们再也不能同意任何形式的地球为宇宙中心的观念了，因此前一个答案是不能接受的．结论只能是：以太假设并不成立，以太根本不存在．§15－3 爱因斯坦假设当时有许多科学家提出种种不同的假说来解释迈克耳孙—莫雷实验，但他们对以太的假说和绝对时空观——伽利略变换都采取毫不怀疑的态度，因而他们的努力都失败了．1905年，爱因斯坦发表了一篇关于狭义相对论的论文，抛弃了没有事实根据的以太假说和经典力学的绝对时空观——伽利略变换，提出如下两个假设：1．相对性原理在所有惯性系中一切物理定律都具有相同的形式，即是说所有惯性系对于描写一切物理现象的规律性都是等价的．2．光速不变原理在所有惯性系中的观察者测得光在真空中沿各方向传播的速度都等于恒定的值c，与光源和观察者的运动无关．爱因斯坦的狭义相对论的相对性原理与伽利略的相对性原理的基本思想是一致的，即我们不能在一个惯性系内部通过任何物理实验来找出该惯性系相对于其他惯性系运动的速度，因而不能找到绝对静止惯性系，这就否定了绝对静止惯性系存在的可能性．但是伽利略给出的具体变换式(15－1)却只能适用于牛顿力学，而不能保证电磁现象(包括光)也满足相对性原理．爱因斯坦的相对性原理则希望能适用于一切物理规律．按照光速不变原理可以很简单地解释迈克耳孙—莫雷实验的结果．因为在仪器中沿两臂来回传播的光速都是c，所以两束光同时到达望远镜T，而不会有(15－9)式所预期的时间差．上述两条原理是狭义相对论的基础，狭义相对论是建立在这两条原理的基础之上的．§15－4 狭义相对论的时空观本节将从狭义相对论的两条原理出发，导出“同时”的相对性、时间的相对性即“时间延迟”、长度的相对性即“长度收缩”，说明狭义相对论时空观与经典力学时空观的主要区别．一、“同时”的相对性经典力学认为所有惯性系具有同一的绝对时间，即如果有两个事件，在某一惯性系中观察是同时的，那么在所有惯性系中观察也都是同时的．在狭义相对论中情况却不是这样．所谓两个事件是同时发生的，是指两个事件空间位置可以不同，但发生的时刻是相同的．例如，当电台发出整点报时信号时，处于不同地点的人都可以对一下表，校准自己的时钟．通常认为不同地点的人对钟的时刻是同时的，因此各地的时钟也就可以依此而校准．但是电磁波是以光速传播的，报时信号从电台传到接收机需要时间，不同地点间因距离电台的远近出现的时间差虽然按日常生活的标准是难以觉察的，但是当我们讨论原则性问题时，哪怕再小的差异也是不允许的．根据爱因斯坦的光速不变原理，有一个异地对钟的准则．将两个要校准的钟放在A 、B 两点，令它们与电台的距离相同，均为l ，如图15－6所示．电台在t = 0时发出整点报时信号，在t = l /c 时同时到达A 、B 两点．也就是说，信号到达A 和B 的两个事件是同时发生的，则A 、B 两点依此校正自己的时钟．用这样的方式，可以将同一个惯性系中的时钟全部校准．按照上面的准则，在同一个惯性系中的观察者对两个事件是否同时发生的看法是一致的．下面我们将会发现，根据爱因斯坦的光速不变原理，处于相对运动状态的几个观察者，对两个事件是否同时发生的看法则是不一致的．为了说明这一点，爱因斯坦提出了一个理想实验．设想有一高速列车，它相对于站台以速度u 向右作匀速直线运动．在车厢正中点C 处安置有一车灯，如图15－7所示．当车中C 处的灯打开后，列车中的观察者将断定灯光相对于他以同等的速率传播，并同时到达车的首尾两端A 和B ．但是对于站台上的观察者来说，他也声称光相对于他以不变的速率传播，因为车尾B 端以速率u 向光靠近，而车头A 端以速率u 离开光，所以光应先到达车尾B 端，后到达车头A 端．即表明，对于列车中的观察者，在不同地点同时发生的两个事件(灯光同时到达A 、B 两端)，对于站台上的观察者来说，却并不是同时发生的．这就是说，对于列车参考系为同时发生的事件，对于站台参考系则不是同时的．由此可见，同时性与参考系有关．这就是同时性的相对性．从以上的讨论可以看出“同时”是相对的，有些情况下，两事件的先后时序也是相对的，这是光速不变原理的直接结果．如果光速为无限大，“同时”便是绝对的了．经典力学就是建立在作用的传递不需要时间的假定之上的，因此认为时间是绝对的，时间、空间与物质运动无关，这在高速运动的情况是不正确的．二、时间间隔的相对性(时间膨胀)现在考虑另一个理想实验，希望给出在两个惯性系中时间间隔差别的定量结果．设想高速列车相对于站台以速度u 向右作匀速直线运动．光源B 安装在车厢顶棚，其正下方车厢地板上有一面反射镜M ，车厢高度为h ，如图15－8所示．车厢中的观察者测量到光脉冲从光源B 发出经镜面M 反射再回到顶棚B 所需时间图15－6图15－7间隔为。