最新高中数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章 推理与证明 2.2.2 Word版含解析

2.2.2间接证明明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明．2．反证法从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．3．反证法步骤反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真．4．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[情境导学]王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？答(1)与原题中的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；(3)与假设矛盾．思考3反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．例1已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α.证明因为a∥b，所以经过直线a，b确定一个平面β.因为a⊄α，而a⊂β，所以α与β是两个不同的平面．因为b⊂α，且b⊂β，所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾．所以a∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．跟踪训练1如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交．证明假设b与平面α不相交，即b⊂α或b∥α.①若b⊂α，因为b∥a，a⊄α，所以a∥α，这与a∩α＝A相矛盾；②如图所示，如果b∥α，则a，b确定平面β.显然α与β相交，设α∩β＝c，因为b∥α，所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⊄α，c⊂α，则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交．探究点二用反证法证明否定性命题例2求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，使得2＝m，从而有m＝2n，因此m2＝2n2，n所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．由上述矛盾可知假设错误，从而2不是有理数．反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b ，而b 2＝ac ，即b ＝ac ，∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，∴(a －c )2＝0.即a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾，故a ，b ，c 不成等差数列．探究点三 含至多、至少、唯一型命题的证明例 3 函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根． 证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．反思与感悟 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．跟踪训练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设__________________． 答案 三角形中至少有两个直角或钝角2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中________________．答案 每一个内角都小于60°3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设________．答案a与b相交4．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．[呈重点、现规律]1．反证法证明的3个步骤(1) 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2) 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3) 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．2．反证法与逆否命题区别反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的.一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是________(填序号)．①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．答案①②③④2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为______________________．答案a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c”中都是奇数或至少有两个偶数．3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有________．答案②解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．答案a，b都不能被5整除解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为__________________．答案a，b，c都不是偶数解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是______________________.答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c.①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．二、能力提升8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为__________________．答案 a ，b 不全为0解析 “a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”．9．设a ，b ，c 都是正数，则下面关于三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的说法正确的是________． ①都大于2 ②至少有一个大于2③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2答案 ③解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2， 则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a)<6. 又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．答案 a ≤－2或a ≥－1解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.11．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a 3＋b 3)13<(a 2＋b 2)12. 证明 因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，只需证[(a 3＋b 3)13]6<[(a 2＋b 2)12]6， 即证(a 3＋b 3)2<(a 2＋b 2)3，即证a 6＋2a 3b 3＋b 6<a 6＋3a 4b 2＋3a 2b 4＋b 6，只需证2a 3b 3<3a 4b 2＋3a 2b 4.因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以即证2ab <3(a 2＋b 2)．而a 2＋b 2≥2ab,3(a 2＋b 2)≥6ab >2ab 成立，以上步骤步步可逆，所以(a 3＋b 3)13<(a 2＋b 2)12. 12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14. 证明 假设三个式子同时大于14， 即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，① 又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14. 同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14， 所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143② ①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．三、探究与拓展13.已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R .证明下面两个命题：(1)若a ＋b ＞0，则f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )；(2)若f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＞0.证明 (1)因为a ＋b ＞0，所以a ＞－b ，b ＞－a ，又因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，由不等式的性质可知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )．(2)假设a ＋b ≤0，则a ≤－b ，b ≤－a ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，所以假设不正确，所以原命题成立．。