最新高中数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章推理与证明 2.2.2 Word版含解析

2.2.2间接证明

明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．

1．间接证明

不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明．

2．反证法

从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．3．反证法步骤

反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真．

4．反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

[情境导学]

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．

探究点一反证法

思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？

答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．

思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？

答(1)与原题中的条件矛盾；

(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；

(3)与假设矛盾．

思考3反证法主要适用于什么情形？

答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．

例1已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α.

证明因为a∥b，

所以经过直线a，b确定一个平面β.

因为a⊄α，而a⊂β，所以α与β是两个不同的平面．

因为b⊂α，且b⊂β，所以α∩β＝b.

下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．

假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，

则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，

这与a∥b矛盾．所以a∥α.

反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．

跟踪训练1如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.

求证：直线b与平面α必相交．

证明假设b与平面α不相交，即b⊂α或b∥α.

①若b⊂α，因为b∥a，a⊄α，所以a∥α，

这与a∩α＝A相矛盾；

②如图所示，如果b∥α，

则a，b确定平面β.

显然α与β相交，

设α∩β＝c，因为b∥α，

所以b∥c.又a∥b，

从而a∥c，且a⊄α，c⊂α，

则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．

由①②知，假设不成立，

故直线b与平面α必相交．

探究点二用反证法证明否定性命题

例2求证：2不是有理数．

证明假设2是有理数．于是，

存在互质的正整数m，n，

使得2＝m

，从而有m＝2n，因此m2＝2n2，

所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有

4k2＝2n2，即n2＝2k2，

所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．

由上述矛盾可知假设错误，从而2不是有理数．

反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．

跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．

证明假设a，b，c成等差数列，则

a ＋c ＝2

b ，即a ＋

c ＋2ac ＝4b ，

而b 2＝ac ，即b ＝ac ，∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，

∴(a －c )2＝0.即a ＝c ，

从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾，

故a ，b ，c 不成等差数列．

探究点三含至多、至少、唯一型命题的证明

例 3 函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．证明假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)

反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．

跟踪训练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6

.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.

证明假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，

所以a ＋b ＋c ≤0，

而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6

)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，

所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，

故a 、b 、c 中至少有一个大于0.

1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设__________________．答案三角形中至少有两个直角或钝角

2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中________________．

答案每一个内角都小于60°

3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设________．

答案a与b相交

4．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．

证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．

设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.

∵4(n2＋n)是偶数，

∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶数．

[呈重点、现规律]

1．反证法证明的3个步骤

(1) 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；

(2) 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；

(3) 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．

2．反证法与逆否命题区别

反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的.

一、基础过关

1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是________(填序号)．

①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．

答案①②③④

2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为______________________．答案a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c”中都是奇数或至少有两个偶数．

3．有下列叙述：

①“a>b”的反面是“a

②“x＝y”的反面是“x>y或x

③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；

④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．

其中正确的叙述有________．

答案②

解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；

④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．

4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．

答案a，b都不能被5整除

解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．

5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为__________________．

答案a，b，c都不是偶数

解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．

6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是______________________.

答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．

证明设f(x)＝0有一个整数根k，则

ak2＋bk＝－c.①

又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，

∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；

当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．

二、能力提升

8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为

__________________．

答案 a ，b 不全为0

解析 “a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”．

9．设a ，b ，c 都是正数，则下面关于三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a

的说法正确的是________． ①都大于2 ②至少有一个大于2

③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2

答案 ③

解析假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a

<2，则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a

)<6. 又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c

)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.

10．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．

答案 a ≤－2或a ≥－1

解析若两方程均无实根，则

Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，

∴a <－1或a >13

. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，

∴－2

若两个方程至少有一个方程有实根，

则a ≤－2或a ≥－1.

11．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a 3＋b 3)13<(a 2＋b 2)12

. 证明因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，

只需证[(a 3＋b 3)13]6<[(a 2＋b 2)12

]6，即证(a 3＋b 3)2<(a 2＋b 2)3，

即证a 6＋2a 3b 3＋b 6

只需证2a 3b 3<3a 4b 2＋3a 2b 4.

因为a ，b ∈(0，＋∞)，

所以即证2ab <3(a 2＋b 2)．

而a 2＋b 2≥2ab,3(a 2＋b 2)≥6ab >2ab 成立，

以上步骤步步可逆，

所以(a 3＋b 3)13<(a 2＋b 2)12

. 12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14

. 证明假设三个式子同时大于14

，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14

，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，① 又因为0

. 同理0

，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143② ①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．

三、探究与拓展

13.已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R .证明下面两个命题：

(1)若a ＋b ＞0，则f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )；

(2)若f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＞0.

证明 (1)因为a ＋b ＞0，所以a ＞－b ，b ＞－a ，

又因为f (x )是R 上的增函数，

所以f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，

由不等式的性质可知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )．

(2)假设a ＋b ≤0，则a ≤－b ，b ≤－a ，

因为f (x )是R 上的增函数，

所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，

所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，

这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，所以假设不正确，所以原命题成立．

高中数学选修2-2疑难规律方法2：第二章推理与证明

1合情推理的妙用合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．一、归纳推理的考查 1．数字规律周期性归纳例1观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为() A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 [解析]∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 013＝54×502＋5末四位数字为3125. [答案]A 点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性． 2．代数式形式归纳

例2设函数f(x)＝x x＋2 (x>0)，观察： f1(x)＝f(x)＝ x x＋2， f2(x)＝f(f1(x))＝ x 3x＋4， f3(x)＝f(f2(x))＝ x 7x＋8， f4(x)＝f(f3(x))＝ x 15x＋16， …… 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________. [解析]依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n. 所以当n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x (2n－1)x＋2n . [答案] x (2n－1)x＋2n 点评对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．3．图表信息归纳例3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图(1) 图(2) 他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()

高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-2第二章《推理与证明1》单元测试题单元练习题一、选择题 1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 2．设,,(,0),a b c ∈-∞则111 ,,a b c b c a +++（） A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2- 3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2； ③+；④-2中，与等价的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2 ,0[)44sin(3)(π π 在+ =x x f 内（） A ．只有最大值 B ．只有最小值 C ．只有最大值或只有最小值 D ．既有最大值又有最小值 5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 6．若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（） A ．123 B ．105 C ．89 D ．58 7．函数x y 1= 在点4=x 处的导数是 ( ) A ．81 B ．81- C ．161 D ．16 1 - 二、填空题 1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。 2．已知实数0≠a ，且函数)1 2()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则 a =__________。

高二数学选修2-2第二章推理与证明

§2.1.1 合情推理学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义； 2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程一、课前准备（预习教材P 70~ P77，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是的思维过程. 二、新课导学探究任务一：考察下列示例中的推理问题：因为三角形的内角和是180(32)??-，四边形的内角和是180(42)??-，五边形的内角和是180(52)??-……所以n 边形的内角和是新知1：从以上事例可一发现：叫做合情推理。归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。探究任务二：问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的的推理归纳是的过程例子:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 归纳推理的一般步骤 1 。 2 。 ※ 典型例题例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n-1，……的前n 项和S n 的归纳过程。例2设2 ()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。练1. 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升※ 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2. 已知2() (1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2 ()21f x x =+ 3.111()1()23f n n N n +=+++???+∈，经计算得357 (2),(4)2,(8),(16)3,(32)222 f f f f f =>>>> 猜测当2n ≥时，有__________________________. 4 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n= (1) 2 n n +，观察下列立方和： 13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…… 试归纳出上述求和的一般公式。变式1 观察下列等式： 1+3=4=2 2， 1+3+5=9=2 3， 1+3+5+7=16=2 4， 1+3+5+7+9=25=25， …… 结论变式2 观察下列等式：1=1 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， …… 结论

高中数学选修2-2推理与证明复数期末复习学案

专题复习推理与证明、复数一、基础知识 1．推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推理一般分为合情推理与演绎推理两类。 2 然后提出猜想的推理，把它们通称合情推理。 3．演绎推理定义：从出发，推出某个下的结论的推理。特点：由到。模式：三段论——演绎推理的一般模式 “三段论”的结构：大前提——已知的；小前提——所研究的；结论——根据一般原理，对做出的判断。 “三段论”的表示：大前提：；小前提：；结论：S是P。 4 5．间接证明定义：要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设（即Q的反面非Q是正确的），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的的证明方法。 6. 数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤： (1)证明当n取n0时命题成立；（归纳奠基） (2)假设n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k＋1时命题也成立。（归纳递推）完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法就是数学归纳法。二、典型例题例1 已知函数) (x f= 2 2 1x x + 。 (1)分别求)2(f＋) 2 1 (f、)3(f＋) 3 1 (f、)4(f＋) 4 1 (f的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明； (3)求值：)1(f＋)2(f＋)3(f＋…＋) 2012 (f＋) 2 1 (f＋) 3 1 (f＋…＋) 2012 1 (f。例2．已知1 a≥-，求证方程：222 4430,(1)0 ax ax a x a x a +-+=+-+=,2220 x ax a +-=中至少有一个方程有实数根。