线性代数考研数学一真题
考研数学一-线性代数矩阵的特征值和特征向量(一)_真题-无答案
考研数学一-线性代数矩阵的特征值和特征向量(一)(总分100,考试时间90分钟)一、填空题1. 设A为n阶矩阵，｜A｜≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值是______．2. 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．3. 设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______．4. 若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为______.5. 设α1=(1，2，0)T和α2=(1，0，1)T都是方阵A的对应于特征值2的特征向量，又β=(-1，2．-2)T，则Aβ=______．6. 设λ1、λ2为n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，X1为对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=有两个特征值为______．7. 设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为，则行列式｜B-1-E｜=______．8. 设3阶矩阵A的特征值为，则行列式=______．9. 设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-An｜=______．二、选择题1. 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是______A.λ1≠0 B.λ2≠0 C.λ1=0 D.λ2=02. 设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于______A．B．C．D．3. 矩阵与相似的充分必要条件为这______A.a=0，b=2． B.a=0，b为任意常数． C.a=2，b=0． D.a=2，b为任意常数．4. 与矩阵相似的矩阵是______ A．B．C．D．5. n阶方阵A有n个两两不同特征值是A与对角矩阵相似的______A.充分必要条件． B.充分而非必要的条件． C.必要而非充分条件．D.既非充分也非必要条件．6. 设A、B为同阶方阵，则A与B相似的充分条件是______A.秩(A)=秩(B)． B.｜A｜=｜B｜．C.A、B有相同的特征多项式．D.A、B有相同的特征值λ1，λ2，…，λn且λ1，λ2，…，λn两两不同．7. 设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则______A.λE-A=λE-B． B.A和B有相同的特征值和特征向量． C.A和B都相似于同一个对角矩阵． D.对任意常数t，tE-A与tE-B都相似．8. 设A为n阶可逆矩阵A的一个特征根，则A的伴随矩阵A*的特征根之一是______A.λ-1｜A｜B.λ-1｜A｜．C.λ｜A｜．D.λ｜A｜．三、解答题已知矩阵与相似．1. 求x与y；2. 求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P．假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：3. 为A-1的特征值；4. 为A的伴随矩阵A*的特征值．设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为．又向量．5. 将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出．6. 求Anβ(n为自然数)．7. 设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求A．已知是矩阵的一个特征向量．8. 试确定参数a、b及特征向量ξ所对应的特征值；9. 问A能否相似于对角阵?说明理由．10. 设矩阵其行列式｜A｜=-1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(-1，-1，1)T，求a、b、c和λ0的值．某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工．设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成向量．11. 求与的关系式并写成矩阵形式：；12. 验证是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；13. 当，求．设A，B为同阶方阵，14. 如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．15. 举一个二阶方阵的例子说明逆命题不成立．16. 当A，B均为实对称矩阵时，试证逆命题成立．17. 设矩阵，矩阵B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．18.19.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．20. 求A的特征值与特征向量；21. 求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得TAQ=A．设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．22. 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；23. 求矩阵B．。
考研数学一线性代数-试卷48_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（线性代数）-试卷48(总分60, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设A=，则A与B( )．SSS_SINGLE_SELA 合同且相似B 相似但不合同C 合同但不相似D 既不相似又不合同分值: 2答案:C解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE一A｜=0，得A的特征值为λ1=1，λ2 =2，λ3=9，由｜λE一B｜=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选(C)．2.设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有X T AX=O，则( )．SSS_SINGLE_SELA ｜A｜=0B ｜A｜＞0C ｜A｜＜0D 以上都不对分值: 2答案:A解析：设二次型f=X T AX ，则f=X T AX=λ1 =0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=0，选(A)．2. 填空题1.f(x1，x2，x3，x4)=X T AX的正惯性指数是2，且A 2一2A=O，该二次型的规范形为___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：y12 +y22解析：A 2一2A=O→r(A)+r(2E—A)=4→A可以对角化，λ1 =2，λ2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1 =2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12 +y22．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1=一ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1—ξ2—ξ3，Aξ3=2ξ1—2ξ2—ξ3． (1)求矩阵A的全部特征值； (2)求｜A * +2E｜．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(1)A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3) ，因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～=B．由｜λE一A｜=｜λE一B｜=一(λ+5)(λ一1) 2 =0，得A的特征值为一5，1，1． (2)因为｜A｜=一5，所以A *的特征值为1，一5，一5，故A * +2E的特征值为3，一3，一3．从而｜A * +2E｜=27．2.设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A * ) 2一4E的特征值为0，5，32．求A -1的特征值并判断A -1是否可对角化．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A * ) 2一4E的三个特征值为0，5，32，所以(A * ) 2的三个特征值为4，9，36，于是A *的三个特征值为2，3，6．又因为｜A *｜=36=｜A｜3—1，所以｜A｜=6．由=6，得λ1 =3，λ2=2，λ1=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A -1的特征值为，因为A -1的特征值都是单值，所以A -1可以相似对角化．3.设A= (1)求常数a，b，c； (2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P -1 AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：4.设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． (1)证明α，Aα线性无关；(2)若A 2α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，设k2≠0，则Aα=一，矛盾，所以α，Aα线性无关． (2)由A 2α+Aα一6α=0，得(A 2 +A—6E)α=0，因为α≠0，所以r(A 2 +A一6E)＜2，从而｜A 2 +A—6E｜=0，即｜3E+A｜．｜2E—A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E—A｜=0．若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E—A)α=0，得 (2E—A)α=，即Aα=2α，矛盾；若｜2E—A｜≠0，则2E—A可逆，由(2E—A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=一3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E—A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值一3，2，故A可对角化．5.设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(1)因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一个特征值为λ1 =2；又由A(α1—α2)=一(α1—α2)，A(α2—α3)=一(α2—α3 )，得A的另—个特征值为λ2=一1．因为α1，α2，α3线性无关，所以α1—α2与α2—α3也线性无关，所以λ2=一1．为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，一1，一1． (2)因为1—α2，α2—α3为属于二重特征值一1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．6.设A，B为三阶矩阵，且AB=A—B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA； (2)存在可逆矩阵P，使得P -1 AP，P -1 BP同时为对角矩阵．SSS_TEXT_QUSTI答案:正确答案：(1)由AB=A—B得A—B一AB+E=E，(E+A)(E—B)=E，即E—B与E+A 互为逆矩阵，于是(E一B)(E+A)=E一(E+A)(E一B)，故AB=BA． (2)因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi=λiBξi，i=1，2，3．若Bξi ≠0，则B是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi =μiξi；若Bξi=0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P -1 AP，P -1 BP同为对角阵．7.(1)若A可逆且A～B，证明：A *～B *； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(1)因为A可逆且A～B所以B逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P -1 AP=B，而A * =｜A｜A -1，B * =｜B｜B -1，于是由P -1 AP=B，得(P -1 AP) -1 =B -1，即P -1 A -1 P=B -1，故P -1｜A｜A -1 P=｜A｜B -1或P -1 A * P=B *，于是A *～B *． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P -1 AP=B，即AP=PB，于是AP=PBPP -1 =P(BP)P -1，故AP～BP．8.设A= 有三个线性无关的特征向量，求a及A n．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以A一定可对角化，从而r(E—A)=1，9.设方程组为矩阵A的分别属于特征值λ1 =1，λ2=一2，λ3=一1的特征向量． (1)求A； (2)求｜A * +3E｜．SSS_TEXT_QUSTI答案:正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以即2，一1，一2，A * +3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A * +3E｜=10．10.设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A 的特征值，对应特征向量为(一1，0，1) T． (1)求A的其他特征值与特征向量； (2)求A．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(1)因为A的每行元素之和为5，所以有又因为AX=0有非零解，所以R(A)＜3，从而A有特征值0，设特征值0对应的特征向量11.设A= ，求a，b及正交矩阵P，使得P T AP=B．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，｜A｜=｜B｜，即因为A～B，所以矩阵A，B的特征值都为λ1 =1，λ2=0，λ3=6．12.设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0为A，B公共的特征值， A的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解； B的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解，因为零解，即A，B有公共的特征向量．13.设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(1)令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，则 x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=0→x1α2+x2α3+…+xn—1αn=0 x1Aα2+x2Aα3+…+xn—1Aαn=0→x1α3+x2α4+…+xn—2αn=0 x1αn=0 因为an ≠0，所以x1=0，反推可得x2=…=xn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关．(2)A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)=B，则A与B相似，由｜λE一B｜=0→λ1=…=λn=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn =0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．14.设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为，求Aβ．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：因为A的每行元素之和为5，所以有，即A有一个特征值为λ1 =5，其对应的特征向量为ξ1= ，Aξ1=5ξ1．又AX=0的通解为，则r(A)=1→λ2=λ3=0，其对应的特征向量为ξ1= ，Aξ2=0，Aξ3 =0．令x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3=β，解得x1=8，x2=一1，x3 =一2，则Aβ=8Aξ1—Aξ2一2Aξ3=8Aξ1=4015.A= ，求a，b及可逆矩阵P，使得P -1 AP=B．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：由｜λE一B｜=0，得λ1 =一1，λ2=1，λ3=2，因为A～B，所以A的特征值为λ1 =一1，由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由｜A｜=b=λ1λ2λ3=一2，得b=—2，即A= 由(—E—A)X=0，得ξ1=(1，1，0) T；由(E—A)X=0，得ξ3=(一2，1，1) T；由(2E—A)X=0，得ξ3 =(一2，1，0) T，令P1= 由(一E一B)X=0，得η1=(一1，0，1) T；由(E—B)X=0，得η2 =(1，0，0) T；由(2E—B)X=0，得η3=(8，3，4) T，16.设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：｜λE一A｜= =(λ+a一1)(λ一a)(λ一a一1)=0，得矩阵A的特征值为λ1 =1一a，λ2=a，λ3=1+a． (1)当1—a≠a，1一a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠ 时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．(2)当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E—A)=2，所以方程组(E—A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当a= ，因为=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．17.设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：A T A的特征值全大于零．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：首先A T A为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的X＞0，X T (A T A)X=(AX) T (AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX) T(AX)=α T α=‖α‖ 2＞0，即二次型X T (A T A)X是正定二次型，A T A为正定矩阵，所以A T A的特征值全大于零．18.设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，P T AP为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：首先A T =A，因为(P T AP) T =P T A T (P T ) T =P T AP，所以P T AP为对称矩阵，对任意的X≠0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令PX=α，因为P可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以α T Aα＞0，即X T (P T AP)X＞0，故X T (P T AP)X为正定二次型，于是P T AP为正定矩阵．19.设P为可逆矩阵，A=P T P．证明：A是正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：显然A T =A，对任意的X≠0，X T AX=(PX) T (PX)，因为X≠0且P 可逆，所以PX≠0，于是X T AX=(PX) T(PX)=‖PX‖ 2＞0，即X T AX为正定二次型，故A为正定矩阵．20.设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：因为A，B正定，所以A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即A+B 为对称矩阵．对任意的X≠0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为A，B为正定矩阵，所以X T AX＞0，X T BX＞0，因此X T (A+B)X＞0，于是A+B为正定矩阵．21.三元二次型f=X T AX经过正交变换化为标准形f=y12 +y22—2y32，且A *+2E的非零特征值对应的特征向量为α= ，求此二次型．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：因为f=X T AX经过正交变换后的标准形为f=y12 +y22一2y32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=一2。
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析一、前言在2024年的考研数学一科目中，线性代数占据着重要的位置。
掌握线性代数的核心概念和解题技巧对于考生来说至关重要。
为了帮助广大考生更好地备考，本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年真题进行全面解析，并分享一些解题技巧和注意事项。
二、基础知识回顾在开始解析之前，先回顾一下线性代数的基础知识是非常必要的。
包括向量、矩阵、行列式、线性空间、线性变换等概念都是线性代数的基本内容。
理解这些基础知识对于解答试题非常有帮助。
三、真题解析接下来，我们将对几道历年真题进行解析，以帮助考生更好地理解线性代数的应用。
1. 2018年真题题目描述：已知矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=-3，对应的特征向量分别为X1=(1,2)T，X2=(1,-1)T。
求矩阵A的逆矩阵。
解析：根据线性代数的知识，当一个矩阵存在特征值时，可以通过特征向量组成的矩阵P和特征值组成的对角矩阵D，利用相似矩阵的性质求得矩阵A的逆矩阵。
首先，我们将特征向量X1和X2组成的矩阵P为：2 -1]然后，根据特征值组成的对角矩阵D为：D = [2 00 -3]利用相似矩阵的性质，可以得到：A = PDP^(-1)由此可得：P^(-1) = [1/3 1/32/3 -1/3]最后，计算得到矩阵A的逆矩阵为：A^(-1) = P^(-1)DP2. 2019年真题题目描述：已知矩阵A是n阶方阵，且满足A^2 = -I，其中I为n 阶单位矩阵。
证明A的特征值一定满足λ^2+1=0。
解析：根据已知条件A^2 = -I，可得到：λI^2 = -I再根据特征值的性质，可以得到：进一步推导，可得：(λ^2+1)I = 0因为矩阵A是n阶方阵，所以λ^2+1=0。
证毕。
四、解题技巧和注意事项1. 理清概念：线性代数是一门较为抽象的学科，需要理清概念和定义。
对于一些概念的记忆和理解，可以通过做例题巩固。
2. 多做习题：做大量的习题是掌握线性代数的关键。
2024年考研数学一线性代数历年题目全扫描
2024年考研数学一线性代数历年题目全扫描在2024年的考研数学一试卷中，线性代数是一个重要且常出现的考点。
本文将对2024年考研数学一线性代数的历年题目进行全面扫描，以帮助考生更好地准备考试。
通过对历年题目的分析，考生可以深入了解考点的范围和难度，为备考提供指导。
一、行列式与矩阵1. 设A、B、C为n阶矩阵，则下列结论中正确的是（）A. det(ABC) = detA·detB·detCB. det(A+B) = detA + detBC. det(A^-1) = 1/detAD. det(kA) = k^n·detA2. 若行列式D = | a b c |，其中a,b,c为未知数，且D的值与a呈线性关系。
则以下选项中满足题设要求的是（）A. a = b+cB. a = b-cC. a = 2b-cD. a = 3b+c3. 设A为3阶非零矩阵，满足A^2 + 2A = O，则下列结论中正确的是（）A. det(A) = 0B. det(A^2) = 0C. det(3A) = 0D. det(-A) = 04. 已知A为3阶矩阵，且满足A^T = A，则以下选项中一定成立的是（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为单位矩阵D. A为零矩阵二、线性方程组1. 设线性方程组Ax=b有唯一解，则下列选项中正确的是（）A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的秩等于nD. b ∈ Col(A)2. 设线性方程组Ax=b有解，其中A为m×n矩阵，b为n维向量，则下列选项中一定成立的是（）A. 线性方程组有唯一解B. 线性方程组无解C. A的秩等于nD. A为方阵3. 设矩阵A为n阶方阵，若线性方程组Ax=b有无穷多解，则下列选项中一定成立的是（）A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A为可逆矩阵4. 已知矩阵A为n×n矩阵，若存在非零向量x，使得Ax=O，则以下选项中正确的是（）A. A的秩小于nB. A的秩等于nC. A的行向量组线性相关D. A为可逆矩阵三、特征值与特征向量1. 设n阶矩阵A的特征值全部为零，则下列选项中正确的是（）A. A为零矩阵B. A的秩等于nC. A不可逆D. A的行向量组线性相关2. 设矩阵A为3阶可对角化矩阵，若A有两个特征值为2，一个特征值为3，则以下选项中正确的是（）A. A的秩等于2B. A的秩等于3C. A为非奇异矩阵D. A的行向量组线性无关3. 设矩阵A为n阶方阵，若A有n个互不相同的特征值，则以下选项中一定成立的是（）A. A为可对角化矩阵B. A的秩等于nC. A的行向量组线性无关D. A为非奇异矩阵4. 已知矩阵A的特征值为1，2，3，若A的特征向量分别为x1，x2，x3，则下列选项中正确的是（）A. x1与x2线性无关B. x2与x3线性无关C. x1与x3线性无关D. x1，x2，x3线性无关通过以上题目的扫描，我们可以发现线性代数在考研数学一中占据了重要的地位。
考研数学一线性代数专项历年真题2024
考研数学一线性代数专项历年真题2024一、必修课程：线性代数概述线性代数是数学中的一门重要课程，它涉及到向量、矩阵、线性方程组等内容。
近年来，线性代数一直是考研数学一中必考的知识点，尤其是概述部分。
本文将针对2024年的线性代数专项历年真题进行分析和讨论，帮助考生更好地备考。
二、2024年真题回顾在2024年线性代数专项历年真题中，重点考察了以下几个内容：1. 向量空间和线性子空间在向量空间和线性子空间的知识点中，举例如下：例1：已知向量空间V是由向量{v1, v2, v3}生成的，其中v1=(1,0,1,2)，v2=(0,-1,1,1)，v3=(1,1,0,1)。
求向量w=(2,1,1,4)在向量空间V中的坐标。
解析：我们可以利用向量的线性组合来求解。
设w=a1*v1+a2*v2+a3*v3，其中a1、a2、a3为待求系数。
将w的分量和向量v1、v2、v3的分量对应相等，即得到线性方程组。
经过计算，最终得到w在向量空间V中的坐标为(3,-2,1)。
2. 线性变换和矩阵表示线性变换和矩阵表示是线性代数中的重要概念。
以下是一个实例：例2：设线性变换T：R3→R2，其矩阵表示M=[a1, a2, a3; b1, b2,b3]，已知向量v=(1,2,3)经过线性变换T后得到向量u=(4,5)。
求矩阵表示M的具体形式。
解析：我们可以利用矩阵乘法来求解。
将向量v和矩阵表示M相乘，得到u=M*v。
代入已知条件，得到方程组。
通过解方程组，可以求解出矩阵表示M的具体形式。
三、备考建议1. 强化基础知识线性代数是考研数学一中的重要科目，复习时要注重巩固基础知识。
可以通过查阅教材、参考资料等方式，针对性地进行复习。
2. 多做历年真题历年真题是备考的重要参考资料，通过做真题可以更好地了解考试形式和题型。
尤其是针对近几年的线性代数专项历年真题，可以系统性地进行解析和研究，提高解题能力。
3. 注意解题思路线性代数中的问题较为抽象，解题时要注意找到合适的解题方法和思路。
考研数学一(线性代数)-试卷21
考研数学一（线性代数）-试卷21(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1 -α2，α1 -2α2 +α3，(α1 -α3 )，α1 +3α2 -4α3，是导出组Ax=O的解向量的个数为 ( )（分数：2.00）A.4 √B.3C.2D.1解析：解析：由Aα1=Aα2=Aα3=b可知A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1-2α2+α3)=Aα1 -2Aα2 +Aα3 =b-2b+b=0，A(α1 +3α2 -4α3 )=Aα1 +3Aα2 -4Aα3 =b+3b-4b=0，因此这4个向量都是Ax=0的解，故选(A)．3.设A是秩为n-1的72阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是( ) （分数：2.00）A.α1 +α2B.kα1C.k(α1 +α2 )D.k(α1 -α2 ) √解析：解析：因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确．由规n-r(A)=1知Ax=0的基础解系由一个非零向量构成．α1，α1 +α2与α1 -α2中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说α1，α2是两个不同的解，那么α1可以是零解，因而kα1可能不是通解．如果α1 =-α2≠0，则α1，α2是两个不同的解，但α1 +α2 =0，即两个不同的解不能保证α1 +α2≠0．因此要排除(B)，(C)．由于α1≠α2，必有α1 -α2≠0．可见(D)正确．4.设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)A n x=0和(Ⅱ)A n+1 x=0，现有命题①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解．其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.①④B.①②√C.②③D.③④解析：解析：当A n x=0时，易知A n+1x=A(A n x)=0，故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．当A n+1 x=0时，假设A n x≠0，则有x，Ax，…，A n x均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，A n x是线性无关的．由于x，Ax，…，A n x均为n维向量，而n+1个n维向量都是线性相关的，矛盾．故假设不成立，因此必有A n x=0．可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，故②正确，④错误．故选(B)．5.n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数忌k 1，k 2，…，k s，使k 1α1 +k 2α2+…+k sαs =0B.α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关C.α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出√D.存在一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，使k 1α1 +k 2α2+…+k sαs≠0解析：解析：可用反证法证明之．必要性：假设有一向量，如αs可由α1，α2，…，αs-1线性表出，则α1，α2，…，αs线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出，充分性：假设α1，α2，…，αs线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α1，α2，…，αs线性无关．(A)对任何向量组都有0α1 +0α2+…+0αs =0的结论．(B)必要但不充分，如α1 =[0，1，0] T，α2 =[1，1，0] T，α3 =[-1，0，0] T任意两个向量均线性无关，但α1，α2，α3线性相关．(D)必要但不充分．如上例α1 +α2 +α3≠0，但α1，α2，α3线性相关．6.设有两个n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs，(Ⅱ)β1，β2，…，βs，若存在两组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，λ1，λ2，…，λs，使(k 1 +λ1 )α1 +(k 2 +λ2 )α2+…+(k s +λs )αs +(k 1 -λ1 )β1+…+(k s -λs )βs =0，则 ( )（分数：2.00）A.α1 +β1，…，αs +βs，α1 -β1，…，αs -βs线性相关√B.α1，…，αs及β1，…，βs均线性无关C.α1，…，αs及β1，…，βs均线性相关D.α1 +β1，…，αs +βs，α1 -β1，…，αs -βs线性无关解析：解析：存在不全为0的k 1，k 2，…，k s，λ1，λ2，…，λs使得 (k 1 +λ1 )α1 +(k 2 +λ2 )α2+…+(k s +λs )αs +(k 1 -λ1 )β1 +(k 2 -λ2 )β2+…+(k s -λs )βs =0，整理得 k 1 (α1 +β1 )+k 2 (α2 +β2)+…+k s (αs +βs )+λ1 (α1 -β1 )+λ2 (α2 -β2)+…+λs (αs -βs )=0，从而得α1 +β1，…，αs +βs，α1 -β1，…，αs -βs线性相关．7.已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3，α4线性无关，则与(Ⅰ)等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α4，α4 +α1B.α1 -α2，α2 -α3，α3 -α4，α4 -α1C.α1 +α2，α2 -α3，α3 +α4，α4 -α1D.α1 +α2，α2 -α3，α3 -α4，α4 -α1√解析：解析：因(A)α1 +α2 -(α2 +α3 )+(α3 +α4 )-(α4 +α1 )=0； (B)(α1 -α2 )+(α2 -α3 )+(α3 -α4 )+(α4 -α1 )=0； (C)(α1 +α2 )-(α2 -α3 )-(α3 +α4 )+(α4 -α1 )=0，故均线性相关，而 [α1 +α2，α2 -α3，α3 -α4，α4 -α1 ]=[α1，α2，α3，α4 ]=[α1，α2，α3，α4 ]C．其中故α1 +α2，α2 -α3，α3 -α4，α4 -α1线性无关，两向量组等价．8.设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)β1，β2，…，βt线性无关，且αi (i=1，2，…，s)不能由(Ⅱ)β1，β2，…，βt线性表出，βi(i=1，2，…，t)不能由(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性表出，则向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关√D.以上都不对解析：解析：只要对两种情况举出例子即可．①取α1 = 线性无关，且显然不能相互线性表出，但4个3维向量必定线性相关；②取α1线性无关，且显然不能相互线性表出，且4个向量仍然线性无关．由①，②知，应选(C)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.已知ABC=D，其中 B * = 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：B -1 = ，B * =｜B｜B -1，且 B -1 =(A -1 DC -1 ) -1 =CD -1 A= 所以10.设α1 =[1，0，-1，2] T，α2 =[2，-1，-2，6] T，α3 =[3，1，t，4] T，β=[4，-1，-5，10] T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-3）11.已知3维向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1 -α2，α2 -kα3，α3 -α1也线性无关的充要条件是k 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：≠1）解析：解析：[α1 -α2，α2 -kα3，α3 -α1 ]=[α1，α2，α3 ] 因α1，α2，α3线性无关，故α1 -α2，α2 -kα3，α3 -α1线性无关的充要条件是12.设n维向量组α1，α2，α3满足2α1-α2+3α3=0，对于任意的n维向量β，向量组l 1β+α1，l 2β+α2，l 3β+α3都线性相关，则参数l 1，l 2，l 3应满足关系 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2l 1 -l 2 +3l 3 =0）解析：解析：因l 1β+α1，l 2β+α2，l 3β+α3线性相关k 1，k 2，k 3，使得 k 1 (l 1β+α1 )+k 2 (l 2β+α2 )+k 3 (l 3β+α3 )=0，即 (k 1 l 1 +k 2 l 2 +k 3 l 2 )β+k 1α1 +k 2α2 +k 3α3 =0．因β是任意向量，α1，α2，α3满足2α1 -α2 +3α3 =0，故令2l 1 -l 2 +3l 3 =0时上式成立．故l 1，l 2，l 3应满足2l 1 -l 2 +3l 3 =0．13.设A是5阶方阵，且A 2 =O，则r(A * )= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 A 2 =AA=O，r(A)+r(A)≤5，r(A)≤2，从而 A * =O，r(A * )=0．三、解答题(总题数：12，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一线性代数历年真题全解2024
考研数学一线性代数历年真题全解2024线性代数是数学的一个分支，是研究向量空间和线性变换的理论。
在考研数学一科目中，线性代数占据了一定的比重，因此熟练掌握线性代数的知识是非常重要的。
本文将针对考研数学一线性代数部分历年真题进行全面解析，以帮助考生更好地备考。
第一部分：向量空间向量空间是线性代数中的重要概念，也是线性代数的基础知识之一。
在考研数学一中，向量空间的相关知识经常会出现在选择题和计算题中。
下面我们将从历年真题中选取一些典型题目，进行详细解析。
题目1：已知向量空间V中的两个非零向量a，b满足a+b和2a-3b线性相关，求向量a和向量b的线性相关关系。
解析：根据已知条件，可以得到方程组：k1(a+b) + k2(2a-3b) = 0化简可得：(2k1+k2)a + (k1-3k2)b = 0由于a和b非零，所以方程组只有零解。
即：2k1+k2=0k1-3k2=0解得k1=3，k2=-6所以，向量a和向量b的线性相关关系为：3a-6b=0。
题目2：设V是数域K上的线性空间，W是V的子空间。
证明：W和V/W的维数之和等于V的维数。
解析：设V的维数为n，W的维数为m，V/W的维数为k。
由定义可知，W是V的子空间，所以m≤n。
而V/W的维数k的定义是：V中所有代表元素的集合构成的集合的维数。
所以，V中任意一组代表元素的集合都可以作为V的一组基，维数为n。
而V中所有代表元素的集合的元素个数为k，所以k≤n。
综上所述，m+k≤n，并且n=m+k。
第二部分：线性变换线性变换在线性代数中扮演着重要的角色，在考研数学一线性代数部分也是一道重要的考点。
线性变换的相关内容通常会涉及到矩阵、特征值等知识。
下面我们将通过历年真题来进行详细解析。
题目3：设A是n阶方阵，证明：矩阵A与其伴随矩阵A*相乘的结果为A的行列式的n次方。
解析：根据定义，矩阵的伴随矩阵满足以下性质：AA*=|A|E其中，|A|为A的行列式，E为单位矩阵。
数学一考研线性代数2024历年真题精析
数学一考研线性代数2024历年真题精析数学一考研线性代数是考研数学一科目中的一部分，对于考生来说是一道重要的难题。
为了帮助广大考生更好地应对这道题目，本文将对2024年数学一考研线性代数的历年真题进行精析，希望能够给考生们提供一些参考和帮助。
第一部分：线性代数概述在开始具体分析题目之前，我们首先对线性代数的一些基础概念进行概述，以帮助考生们更好地理解后面的解题过程。
线性代数是数学的一个分支领域，研究的是向量空间及其上的线性运算。
在线性代数中，我们常常会涉及到矩阵、向量、线性方程组等概念。
掌握这些基本概念是解决线性代数问题的基础。
第二部分：历年真题精析1. 题目一这道题目涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。
首先，我们要根据给定的矩阵，求出其特征值。
具体的计算步骤如下：（省略具体计算过程，只给出解题思路）。
然后，我们要根据求得的特征值，进一步计算特征向量。
特征向量的计算步骤如下：（省略具体计算过程，只给出解题思路）。
最后，根据求得的特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式。
2. 题目二这道题目需要我们对矩阵的秩进行计算。
根据秩的定义，我们知道秩是指矩阵的列向量组的极大线性无关组的向量个数。
因此，我们的解题思路是先找到矩阵的列向量组，然后找到其极大线性无关组，最后计算向量个数即可。
第三部分：解题技巧和方法总结在历年真题的精析过程中，我们可以总结一些解题技巧和方法，以帮助考生们更好地应对线性代数题目。
1. 熟悉基本概念和定义：线性代数是一个基础性的学科，熟悉其中的基本概念和定义是解题的前提。
2. 多做练习题：通过大量的练习题，可以加深对知识点的理解，并且积累解题经验。
3. 注意思维转换：线性代数问题往往需要运用抽象的数学思维进行分析，要善于将问题进行思维转换，寻找问题的本质。
4. 关注常见考点：通过对历年真题的分析，我们可以发现一些常见的考点，针对这些考点要着重进行准备和复习。
第四部分：总结通过对2024年数学一考研线性代数历年真题的精析，我们可以看出，线性代数题目涉及的内容较为广泛，需要考生对基础知识有深入的理解和熟练的运用。
考研数学一线性代数-试卷50_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（线性代数）-试卷50(总分68, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．SSS_SINGLE_SELA存在可逆矩阵P1，P2，使得P1—1 AP1，P2—1 BP2为对角矩阵B存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1T AQ1，Q2T BQ2为对角矩阵C存在可逆矩阵P，使得P —1 (A+B)P为对角矩阵D 存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B分值: 2答案:D解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选(D)．2.n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．SSS_SINGLE_SELA A无负特征值B A是满秩矩阵C A的每个特征值都是单值DA *是正定矩阵分值: 2答案:A解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件．3.下列说法正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 任一个二次型的标准形是唯一的B 若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C 若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D 二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的分值: 2答案:D解析：(A)不对，如f=x1 x2，令，则f=y12一9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．4.设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T Ax与X T A —1 X( )．SSS_SINGLE_SELA 规范形与标准形都不一定相同B 规范形相同但标准形不一定相同C 标准形相同但规范形不一定相同D 规范形和标准形都相同分值: 2答案:B解析：因为A与A —1合同，所以X T AX与X T A —1 X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．5.设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．SSS_SINGLE_SELA 可逆矩阵B 实对称矩阵C 正定矩阵D 正交矩阵分值: 2答案:B解析：6.设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．SSS_SINGLE_SELA A，B合同B A，B相似C 方程组AX=0与BX=0同解D r(A)=r(B)分值: 2答案:D解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D)．7.设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．SSS_SINGLE_SELA r(A)=r(B)B |A|=|B|C A～BD A，B与同一个实对称矩阵合同分值: 2答案:D解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．8.设A=，则A与B( )．SSS_SINGLE_SELA 相似且合同B 相似不合同C 合同不相似D 不合同也不相似分值: 2答案:C解析：由|λE一A|=0得A的特征值为1，3，一5，由|λE一B|=0得B的特征值为1，1，一1，所以A与B合同但不相似，选(C)．9.设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：(1)A～B；(2)A，B 合同；(3)A，B等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )．SSS_SINGLE_SELA 1个B 2个C 3个D 4个分值: 2答案:B解析：因为A，B的特征值为一2，1，1，所以|A|=|B|=一2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选(B)．2. 填空题1.二次型f(x1，x2，x3)=(x1—x2) 2 +4x2x3的矩阵为___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：因为f(x1，x2，x3)=x12 +4x22一4x1x2+4x2x3，所以A=．2.设α1 = ，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：3.设二次型2x12 +x22 +x32 +2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：该二次型的矩阵为A=．4.设5x12 +x22 +tx32 +4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：t＞2解析：二次型的矩阵为A==1＞0，|A|＞0，解得t＞2．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16.doc
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编16一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0，必有（A）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．（B）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．（C）(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．（D）(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．2 4个平面a i x+b i y+c i z=d i(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵=（A）1（B）2（C）3（D）43 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且则线性方程组（A）Ax=α必有无穷多解．（B）Ax=α必有唯一解．（C）=0仅有零解．（D）=0必有非零解．4 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（A）不存在．（B）仅含一个非零解向量．（C）含有两个线性无关的解向量．（D）含有3个线性无关的解向量．5 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为（A）+k1(η2—η1)．（B）+k1(η2—η1)．（C）+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．（D）+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 对于方程组问k1与k2各取何值，方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在有无穷多解时．求其一般解．7 设方程组有解．(1)确定a、b的值；(2)求其导出组的基础解系，并用之表示原方程组的全部解．8 设向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．问k取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并求出此线性表示式．8 设有线性方程组9 证明：当a1，a2，a3，a4两两不等时，此方程组无解；10 设a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)时，β1=(一1，1，1)T，β2=(1，1，一1)T是方程组的两个解，写出此方程组的通解．11 设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B)．12 设A=X=(x ij)3×3问a、b、c各取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时，求出全部解．13 设已知方程组Ax=0的解空间的维数为2，求c的值，并求出方程组Ax=0的通解．14 求解线性方程组，(a、b为参数)15 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，求证：β，β+α1，…，α+αt线性无关．16 设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*，r(A)=r＜n，证明：方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解．17 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．18 设齐次线性方程组A m×n x=0的解全是方程b1x1+b2x2+…+b n x n=0的解，其中x=(x1，x2，…，x n)T．证明：向量b=(b1，b2，…，b n)可由A的行向量组线性表出．19 设α1，α2，…，αk(k＞n)是R n中k个线性无关的列向量，证明：存在行阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．20 设矩阵A=(a ij)n×n的秩为，2，记A的元素a ij的代数余子式为A ij，并记A的前r 行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组α1=(A r+1，1，…，A r+1，n)Tα1=(A r+2，1，…，A r+2，n)T…… αn—r=(A n1，…，A nn)T是齐次线性方程组Bx=0的基础解系．21 设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：r(A*)=22 设有两个线性方程组：其中向量b=(b1，b2，…，b m)T≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，y m)T都满足方程b1y1+b2y2+…+b m y m=0．23 已知齐次线性方程组其中a i≠0．试讨论a1，a2，…，a n和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．24 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，一1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?25 讨论三个平面：x+2y+z=1，2x+3y+(a+2)z=3，x+ay一2z=0的相互位置关系．26 设有向量α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T．试讨论当a、b为何值时， (1)β不能由α1，α2，α3线性表示；(2)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式； (3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．27 已知(1，一1，1，一1)T是线性方程组的一个解，试求： (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．28 确定常数a的值，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，a)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．29 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．。
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线性代数考研数学一真题
线性代数是考研数学一中的一个重要部分，也是许多考生头疼的难点。
在考试中，线性代数的题目往往涉及到矩阵、向量、线性方程组等内容。
为了更好地应对考试，我们需要对线性代数的知识有一个全面的了解和掌握。
首先，我们来看一道线性代数的考研数学一真题：
已知矩阵A=
[1 2 3
4 5 6
7 8 9]
1. 求矩阵A的秩。
2. 求矩阵A的特征值和特征向量。
对于第一问，我们需要求矩阵A的秩。
秩是矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵中线性无关的行的最大个数。
为了求矩阵A的秩，我们可以通过高斯消元法来进行计算。
将矩阵A进行行变换，使其化为行阶梯形矩阵，然后统计非零行的个数即可得到矩阵A的秩。
对于第二问，我们需要求矩阵A的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵A的重要性质，它们可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特点。
特征值是一个数，特征向量是一个非零向量，满足方程Av=λv，其中A是矩阵，v是特征向量，λ是特征值。
为了求矩阵A的特征值和特征向量，我们需要先求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
然后，根据特征方程求出特征值λ，再将特征值代入方程(A-λI)v=0，解得特征向量v。
通过以上两个问题的解答，我们可以看出，线性代数的考试题目往往涉及到矩
阵的性质和运算，以及特征值和特征向量的求解。
因此，我们在备考线性代数时，需要对这些知识点进行深入的学习和理解。
除了上述的知识点，线性代数的考试题目还可能涉及到矩阵的相似性、正交性、对角化等内容。
相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵，它们之间存在一种特殊
的关系。
正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的矩阵，它具有一些特殊的性
质和应用。
对角化是指将一个矩阵化为对角矩阵的过程，对角矩阵具有简洁明
了的形式，便于计算和分析。
在备考线性代数时，我们需要掌握这些知识点，并能够熟练地运用它们解决问题。
除了理论知识的学习，我们还需要多做一些习题，加深对知识点的理解和
掌握。
通过反复的练习，我们可以提高解题的速度和准确性，为考试做好充分
的准备。
总之，线性代数是考研数学一中的一个重要部分，也是许多考生的难点。
通过
对线性代数的全面了解和深入学习，我们可以更好地应对考试，并取得好的成绩。
在备考过程中，我们需要注重理论知识的学习，多做习题，加深对知识点
的理解和掌握。
相信只要我们付出足够的努力，就一定能够取得优异的成绩。