中考数学满分之路(二)—四点共圆

中考数学满分之路（二） ——四点共圆一、使用定义解题圆的定义 平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 在题目中出现共端点的等线段时，可尝试作出圆辅助求解.例 （1）如图，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2，则BD 的长为______.（2）如图，在等腰△ABC中，AB AC =D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点F ，则AD AF ⋅的值为______.E1. 如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点. （1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△'BC D ，若点'C 恰好落在抛物线的对称轴上，求点'C 和点D 的坐标；（3）设点P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.2. 问题背景如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =12∠BAC =60°，于是2BC BDAB AB= 迁移应用（1）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．ⅰ)求证：△ADB ≌△AEC ；ⅱ)请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式. 拓展延伸（2）如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF .ⅰ)求证：△CEF 是等边三角形； ⅱ)若AE =5，CE =2，求BF 的长.图1图2图33. 如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 为半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点.（1）如图1，连接F A ，FC ，若2AFC BAC ∠=∠，求证：F A ⊥AB ；（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接F A ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF FG =.①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系，并证明；②连接OG ，若OE BD =，90GOE ∠=，⊙O 的半径为2，求EP 的长.图1 图2二、圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1 圆的内接四边形的对角互补.定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.圆周角定理的推论同弧所对的圆周角相等.判定圆内接四边形判定定理1 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.圆内接四边形判定定理2 如果一个四边形一边与一对角线的夹角等于其对边与另一对角线的夹角，那么这个四边形的四个顶点共圆.上述定理在应用时的书写格式如下①∵A，B，C，D四点共圆，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.②∵A，B，C，D四点共圆，∴∠DCE＝∠BAD.③∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ACB＝∠ADB. ④∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴A，B，C，D四点共圆.⑤∵∠DCE＝∠BAD，∴A，B，C，D四点共圆.⑥∵∠ACB＝∠ADB，∴A，B，C，D四点共圆.EE4. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AB 于点E ，若4BC =，△AOE 的面积为6，则sin BOE ∠的值为______.5. 如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=，BD BE ⊥，AD BC =. （1）求证：AC AD CE =+；（2）若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ DP ⊥，交直线BE 与点Q ；ii ）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长.DBP6. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且CD AE =，BD 与CE 相交于点P . （1）求证：△ACE ≌△CBD ；（2）如图2，将△CPD 沿直线CP 翻折得到对应的△CPM ，过C 作CG ∥AB ，交射线PM 于点G ，PG 与BC 相交于点F ，连接BG .ⅰ）试判断四边形ABGC 的形状，并说明理由；ⅱ）若四边形ABGC的面积为，1PF =，求CE 的长.图1图2三、与圆有关的比例线段相交弦定理 圆内的两条弦，被交点分成的两条线段长的积相等.割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项.上述定理在应用时的书写格式如下 由相交弦定理， 得PA PB PC PD ⋅=⋅.由割线定理， 得PA PB PC PD ⋅=⋅.由切割线定理， 得2PA PB PC =⋅.7. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD ＝BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P . 求证：PE ＝PC .P8. 如图1，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是CBD 上任意一点，AH ＝4，CD ＝16.（1）求⊙O 的半径r 的长度；10r =； （2）求tan ∠CMD ；（3）如图2，直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求H E H F ⋅的值.图1图29. 已知BC 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，C 为切点，AD ＝BD .（1）如图1，求证：∠A ＝45°；（2）如图2，E 为⊙O 上一点，连接DE 交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线交BE 于点G ，求证：FG ＝FC ；（3）如图3，在（2）的条件下，若EG BDF 的面积为15（BF ＞BD ），求⊙O 的面积.图1BC图2CB图3BC10. （蝴蝶定理）如图，过⊙O的弦PQ的中点M引任意两条弦AB，CD，连接AD，BC分别交PQ于X，Y两点. 求证：MX＝MY.证明：分别取AD ，CB 的中点E ，F ， 连接OE ，OF ，OM ，OX ，OY ，ME ，MF ， ∵∠A ＝∠C ，∠D ＝∠B ，∴△ADM ∽△CBM ， ∴AM ADCM CB=，又AD ＝2AE ，CB ＝2CF ， ∴22AD AE AE CB CF CF ==，∴AM AECM CF=，又∠A ＝∠C ， ∴△AEM ∽△CFM ，∴∠AEM ＝∠CFM ，∵点M ，E ，F 分别是⊙O 的弦PQ ，AD ，CB 的中点， ∴OM ⊥PQ ，OE ⊥AD ，OF ⊥CB ，∴∠OEX ＋∠OMX ＝180°，∠OFY ＋∠OMY ＝180°， ∴O ，M ，X ，E 四点共圆，O ，M ，Y ，F 四点共圆， ∴∠MOX ＝∠AEM ，∠MOY ＝∠CFM ，又∠AEM ＝∠CFM ， ∴∠MOX ＝∠MOY ，又OM ＝OM ，∠OMX ＝∠OMY ＝90°， ∴△OMX ≌△OMY ，∴MX ＝MY . 证法二证明：过点D 作DE ∥PQ 交⊙O 于另一点E ，连接MO 并延长交DE 于E ， ①当PQ 为直径时，四边形ACBD 为矩形，易证MX ＝MY ； ②当PQ 不是直径时，由垂径定理推论，得OM ⊥PQ ，又DE ∥PQ ， ∴MN ⊥DE ，又MN 过圆心O ，∴MN 垂直平分DE ， ∴MD ＝ME ，∴∠MDE ＝∠MED ，又PQ ∥DE ，∴∠PMD ＝∠MDE ，∠QME ＝∠MED ， ∴∠PMD ＝∠QME ，∠QME ＝∠MDE ，∵C ，D ，B ，E 四点共圆，∴∠MDE ＋∠CBE ＝180°， ∴∠QME ＋∠CBE ＝180°， ∴M ，E ，B ，Y 四点共圆，∴∠MEY ＝∠MBC ，又∠MBC ＝∠ADC ，∴∠ADC ＝∠MEY ，又MD ＝ME ，∠PMD ＝∠QME ， ∴△MDX ≌△MEY ，∴MX ＝MY .证明：过X 作'XX AB ⊥于'X ，过X 作"XX CD ⊥于"X ， 过Y 作'YY CD ⊥于'Y ，过Y 作"YY AB ⊥于"Y ，∵∠A ＝∠C ，∠D ＝∠B ，''90AX X CY Y ∠=∠=，""90CX X BY Y ∠=∠=， ∴△'AX X ∽△'CY Y ，△"DX X ∽△"BY Y ， ∴''AX XX CY YY =，……①，""DX XX BY YY =，……②， ①×②，得'"'"AX DX XX XX CY BY YY YY ⋅=⋅， ∴'""'AX DX XX XX CY BY YY YY ⋅=⋅⋅，又由相交弦定理及平行线分线段成比例定理，得PX QX MX MXQY PY MY MY ⋅=⋅⋅， ∴22()()()()MP MX MP MX MX MP MY MP MY MY -⋅+=-⋅+，即222222MP MX MX MP MY MY -=-， 根据比例的基本性质，得22222222222222()1()MP MX MX MP MX MX MP MP MY MY MP MY MY MP --+====--+， ∴22MX MY =，∴MX ＝MY . 证法四证明：连接PA ，PD ，QC ，QB ，根据共圆定理，（共圆定理：同圆或等圆中的三角形面积比等于三边乘积之比） 得PAD QCB S PA PD AD PA PD ADS QB QC BC QB QC BC∆∆⋅⋅==⋅⋅⋅⋅， 又△PAM ∽△BQM ,△PDM ∽△CQM ，△ADM ∽△CBM ， ∴22PAD AMDQCB CMBS PA PD AD AM MP AM AM S S QB QC BC MQ MC MC MC S ∆∆∆∆=⋅⋅=⋅⋅==， ∴QCB PAD AMD CMB S S S S ∆∆∆∆=，即PX QYMX MY=， ∴1MY QY MY QY MQ MX PX MX PX MP +====+， ∴MX ＝MY .B证明：连接AO 并延长交⊙O 于另一点E ，连接CO 并延长交⊙O 于另一点F ，连接BF ，DE 交于点G ， 六边形CFBAED 内接于⊙O ，CF 交AE 于点O ，FB 交ED 于点G ，BA 交DC 于点M ，根据帕斯卡定理，得M ，O ，G 三点共线， 连接MG ，GX ，GY ，∵AE ，CF 为⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°，∠CBF ＝90°， ∵MP ＝MQ ，PQ 不是⊙O 的直径，（PQ 为直径时，易证） ∴OM ⊥PQ ，∴D ，G ，M ，X 四点共圆，B ，G ，M ，Y 四点共圆， ∴∠MGX ＝∠ADM ，∠MGY ＝∠CBM ，又∠ADM ＝∠CBM ， ∴∠MGX ＝∠MGY ，又MG ＝MG ，∠GMX ＝∠GMY ， ∴△GMX ≌△GMY ， ∴MX ＝MY .帕斯卡定理 如果一个六边形内接于一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上.B中考不考系列（二）——2019IMO第2题在三角形ABC中，点A1在边BC上，点B1在边AC上. 点P和Q分别在线段AA1和BB1上，且满足PQ平行于AB. 在直线PB1上取点P1，使得点B1严格位于点P与点P1之间，并且∠PP1C＝∠BAC. 类似地，在直线QA1上取点Q1，使得点A1严格位于点Q与点Q1之间，并且∠CQ1Q＝∠CBA.证明：点P，Q，P1，Q1共圆.证明：延长1AA ，1BB 分别交△ABC 的外接圆于2A ，2B ，连接22A B ， ∵PQ ∥AB ，∴22ABB PQB ∠=∠，又222ABB AA B ∠=∠， ∴222PQB AA B ∠=∠，∴22,,,P Q A B 四点共圆，连接2B C ，∵1PPC BAC ∠=∠，2BB C BAC ∠=∠， ∴12PPC BB C ∠=∠，∴121,,,P B B C 四点共圆，连接12PB ，∵11212B PB B CB ∠=∠，222AA B ACB ∠=∠， ∴2122B PP B A P ∠=∠，∴122,,,P A P B 四点共圆，连接2A C ，∵1CQ Q CBA ∠=∠，2CA A CBA ∠=∠， ∴12CQ Q CA A ∠=∠，∴121,,,Q A A C 四点共圆，连接12Q A ，∵11212AQ A ACA ∠=∠，222BB A BCA ∠=∠， ∴2122A QQ A B Q ∠=∠，∴122,,,Q B Q A 四点共圆， ∴2112,,,,,P Q A Q P B 六点共圆， ∴点11,,,P Q P Q 共圆.上述答案是从官方答案翻译而来.【附】官方答案.。