3.1原子间的相互作用
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第三章 晶体中的原子热振动
mM mM
q
2a
1 2
2 min m 1 2 2 max M
1 2
~ q 光学波
min
2 m
1 2
1 2
max
2
长波近似，类似于连续介质
1 2
2m M 2 1 sin qa 2 (m M )
2 qa mM
3. 声学波与光学波
mM 2 mM
4m M 2 sin aq 1 1 2 m M
1 2
从相邻原子的振幅比来讨论声学波与光学波的特点：
3.2 一维单原子的振动
近似与简化
晶格动力学方程
振动能量的量子化
一. 近似与简化
绝热近似：解除电子运动与离子运动间的耦合 简谐近似：将原子之间的互作用力看作弹性力 三个近似
1 d 2U 2 U r U a 2 2! dr a 最近邻近似：仅考虑最近邻原子之间的互作用
x2n1 x2n N 1
e
i 2 Naq
2 1 q l N 2a
对于双原子晶格，在一个布里渊区内，q取N个分立的值，而每 一个q又对应两个 值。 在一维双原子晶格中可以传播的格波数为2N，或者说有2N种振 动模式。其中N个声学波，N个光学波。
5. 三维晶格 (1) 运动方程及其解 设晶体原胞的基矢为a1、a2、a3；沿基矢方向晶体各有N1、
特点:晶体结合的稳定性导致导电性能差、熔点高、硬度高和热 膨胀系数小。
2. 共价键
共价键常由ⅣA碳族元素原子形成，如C、Si、Ge、Sn等。每个原 子有4个价电子，能与周围最邻近4个原子形成4个共价键，每个 键含有自旋相反的2个电子，它们来源于2个不同原子。这样，每 个原子周围拥有8个电子，使各原子的电子组态都变为满壳层。
双原子分子的结构1
1 R
aa ab
1 Sab
因为aa ≈1/R,故只有依靠 ab 才能使E1<EH ，而 ab又
是φa 、 φb相互重叠而产生的，所以φa 、 φb相互
重叠是使H+与H之间有可能成键的基本原因。
对H2+中共价键较全面的分析--收缩效应及极化效应
基态
1
1
(era erb )
2（1 Sab )
成键分子轨道吸引态
解久期方程式可得：
E1,2
1 2
(a
b
)
(a b)2 4 2
即: E1 b h
在上两式中
E2 a h
h 1 2
(a b )2 4 2 (a b )
1). 对称性一致(匹配)原
则
原子轨道具有各种类型，因而也有着各种不同的空间对称性（指原子轨 道的角度部分）。由下两图可见：由于相互组合的原子轨道的空间对称
将上式分别对 c1，c2 求偏导得久期方程组：
c1(H aa ESaa ) c2(H ab ESab ) 0 c1(H ab ESab ) c2(H bb ESbb ) 0
由久期方程组的非零解要求,得到久期行列式(方程)：
H aa ESaa H ab ESab
H ab ESab H bb ESbb
变分原理 对于给定体系的哈密顿算符Ĥ，如果存在任意归一化的
品优波函数（即合格波函数）φ，则有
(式中为变分函数，
E0 为Ĥ 的最低本征值， 即体系基态能量)
此式表明，体系的哈密顿算符Ĥ关于φ的平均能量Ē必是体系基态能量E0 的上限，这就是变分原理。如果φ不是归一化的,则有
线性变分法 选择若干个已知函数进行线性组合，即
按照定核近似，H2+的核间距可作为常数，核间排斥能成为恒 值，这样电子在核势场中的哈密顿算符和薛定谔方程分别为
固体物理答案第三章1
Ae i ωt naq
Be i ωt naq
2n i ωt a b q 2
将 x 2n , x 2n 1 的值代回方程得到色散关系
β1 β 2 ω 2mM
2
m M
3.3 一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为a，任一个原
子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子 的恢复力常数为 β 和 β ，试列出原子的运动方程并求出色散 关系。
1
2
3
n-1
n a
n+1 n+2
N-1 N
解： 此题为一维双原子链。设第 n 1, n, n 1, n 2 个原子的 位移分别为 un1 , un , un1 , un 2 。第 n 1 与第 n 1 个原子属 于同一原子，第 n 与第 n 2 个原子属于同一原子，于是
m M
2
16mMβ1 β2 2 aq sin 2 2 β1 β 2
（2）（a）当上式取‘+’号时为光学波 β1 β 2 8mMβ1 β2 2 2 1 cosaq ωo m M m M 2 2mM β1 β 2
2 1 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即
β β mω β β e 0 β β mω β β e
2 iqa 1 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
解上式可得
12 2 β1 β2 2m 4m2 16m β1 β2 sin2 qa 2 ω 2 2 2m β1 β2 2 12 β1 β2 1 1 4β1 β2 sin2 qa 2 m 2 β1 β2
原子间相互作用势解读
原子间相互作用势解读原子间相互作用势是描述两个或多个原子之间相互作用力的函数。
它是描述原子、分子或固体材料性质的关键因素，对于理解化学反应、材料力学性能、相变、晶体结构等都起着重要的作用。
本文将对原子间相互作用势进行解读。
一种显著的原子间相互作用势是范德华力(Van der Waals forces)，它是由电荷偶极、氢键、格列高利亚力和弥散力等组成。
这些力可以通过公式来描述，例如Lennard-Jones势能公式：V(r)=4ε[(σ/r)^12-(σ/r)^6]这个公式中，r是两个原子间的距离，ε和σ是相互作用的参数。
这个公式表示了势能和原子间距离的关系，当两个原子非常接近时，势能会变得非常大，当原子间距离较大时，势能会变得非常小。
除了范德华力，库仑力也是原子间相互作用势的重要组成部分。
库仑力是由原子间的电荷交互作用引起的，它可以通过库仑电势公式来描述：V(r)=k*q1*q2/r其中r是两个原子间的距离，q1和q2是原子的电荷，k是电常数。
这个公式表示，当两个原子带有相同的电荷时，它们之间会存在排斥力；当两个原子带有相反的电荷时，它们之间会存在吸引力。
除了范德华力和库仑力，还有其他一些原子间相互作用势也非常重要。
例如，金属间相互作用势(Metal-Metal Interaction Potential)用于描述金属之间的相互作用力，分子间相互作用势(Molecule-Molecule Interaction Potential)用于描述分子之间的相互作用力。
通过使用原子间相互作用势，我们可以研究原子间的排列方式和结构稳定性。
例如，在材料科学中，人们可以使用原子间相互作用势预测材料的熔点、弹性模量、黏度等性质。
在化学反应中，通过分析原子间相互作用势，我们可以了解反应的速率和过程。
虽然原子间相互作用势是描述原子间相互作用的重要工具，但是它并不是完美的。
由于原子间相互作用力很复杂，我们通常只能采用近似的方法来描述这些力。
结构化学03
n
(3-3)
i 为已知函数。显然，=(x,y,z,c1,c2,…,cn)，即变分
函数 是坐标与一些可调节量 ci 的函数。 将(3-3)代入(3-2)计算将得到：
E E (c1 , c2 cn ) (3- 4)
12
《结构化学》-双原子分子
E E (c1 , c2 cn ) (3- 4)
a a b b 1
2 2 c '2 (e2r 2e(r r ) e2r )
H aa E Hba ESba H ab ESab Hbb E 0
(3- 11)
ˆ 只要 H 是厄米的，a 和 b 是实函数，则必有 Hab Hba , Sab Sba
H aa H ab E1 1 Sab 1 S
(3- 12)
解之得
H aa H ab E2 1 Sab 1 S
(3- 13)
16
《结构化学》-双原子分子
H aa H ab 将 E1 1 Sab
代入(3-10)式，得到 ca cb
即 1 caa cbb ca (a b )
1 1 1 1 H aa a H a d a [( 2 ) ] a d 2 ra rb R 1 2 1 1 1 a ( ) a d a a d a a d 2 ra rb R
2 a 1 EH d R rb
(3- 16)
显然,当R=0时, Sab=Saa=Sbb=1。R=∞时 Sab=0
dSab R ( R 1)e R 0 dR 3
说明Sab是单调递减函数
第三章 晶体中的原子热振动 PPT课件
dU r 0 U a dr r a
U a
晶体的结合能
i , j =1 , 2 , , N
二. 原子间的键
1. 离子键 离子键是由正负离子通过库仑引力形成的。典型的如ⅠA族元素 (碱金属)与ⅦB族元素(过渡金属锰族元素：锰、铼、锝)之间形 成。ⅠA族元素易于失去电子而带正电荷，ⅦB族元素倾向于得 到一个电子而带负电荷，并使两者的电子组态都变为满壳层。
短波近似
满足力的平衡条件，质心基本不动。 以同一振幅刚性地振动。
q
2a
A
B A
B
0
即A B 即A B
质量小的原子对短光学 波贡献大。
质量大的原子对短声学 波贡献大。
4. 周期性边界条件 设晶体由N个原胞构成，则周期性边界条件为：
﹡ 各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。相邻原子
的位相差为qa
﹡﹡ xm xn时
Aeiqmat Aeiqnat
则, ma na 2 l l取整数
q
(3) 在不同时间观察整个晶格
整个晶格的振动（原子振动的集体行为），构成了一个波矢
为 q的前进波———格波。
mM
3. 声学波与光学波
2
mM mM
1
1
4mM
m M 2
sin 2
aq
1 2
从相邻原子的振幅比来讨论声学波与光学波的特点：
从前面的方程组
m2 2
A 2 cos qa B 0
，得：
2 cos qa A M2 2 B 0
材料科学化学键
§3 化学键3.1 原子间的相互作用当两个原子相互靠近时，它们之间存在的相互作用力包括原子核与核外电子之间的吸引力，以及原子核、核外电子之间的排斥力。
这种原子之间的相互作用可用图2.2表示，在某一间距r0处，吸引力和排斥力达到平衡，势能最低，原子最稳定。
图2.4 两个原子之间的相互作用力、势能与原子间距的关系由于核外电子，特别是价电子的不同，原子之间的结合方式（化学键）也不同,包括：依靠电子的转移或共享形成的强键（一次键）,如金属键,离子键,共价键；借分子之间的偶极吸引力而形成的弱键（二次键），如范德华（V an der waals）键、氢键。
3.2 金属键金属原子形成晶体时，金属中的自由电子为整个晶体所共有，可以在整个晶体中自由运动，失去价电子的金属正离子则在三维空间中作周期性排列，这种键合称为金属键。
金属键的主要特点是无饱和性和方向性，从而导致密堆结构和良好延展性；价电子的自由运动则使金属具有良好的导电和导热性能。
图2.5 金属键示意图3.3 离子键金属原子和非金属原子分别形成正离子和负离子，正、负离子相互吸引结合在一起形成离子晶体，这种键合称为离子键。
由离子键构成的化合物称为离子化合物，如NaCl等。
由于负离子的体积比正离子的体积大，所以离子化合物的晶体结构特点是：负离子在三维空间中作周期性排列，正离子占据负离子所形成的间隙。
离子键的特点是键合作用强、无方向性。
另外，由于很难产生自由运动的电子，离子化合物都是良好的电绝缘体。
但当处在高温熔融状态时，正负离子在外电场作用下可以自由运动，即呈现离子导电性。
图2.6 离子键示意图3.4 共价键两个或多个电负性相差不大的原子间通过共用电子对而形成的化学键即为共价键。
共价键特点是有饱和性和方向性，因此以共价键形成的晶体结构稳定、熔点高、坚硬无塑性，一般是绝缘体。
图2.7 共价键示意图3.5 范德华力在某一瞬间，一个原子（分子）的正负电荷重心可能不重合，从而形成小的偶极子。
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化学键
从上述讨论中，我们可以看到，由原子结合 成分子时，或由离子构成化合物时，原子或 离子之间存在着强烈的相互作用，这种强烈 的相互作用存在于直接相邻的原子或离子之 间。通常我们把物质中直接相邻的原子或离 子之间存在的强烈的相互作用叫做化学键。
化学键的定义 离子键 化学键 化学键的类型
共价键
金属键
不同类型化学键的形成特点
理解：化学键
• 物质中直接相邻的原子之间存在的强 烈的相互作用 • 注：1、直接相邻 • 2、强烈的相互作用 • 3、化学键的分类：
A、离子键 B、共价键 C 、金属键
第三章 探索原子构建物质的奥秘 3.1原子间的相作用
二氧化硅晶体
石英
玛瑙手镯
金刚石
石墨笔芯
议一议：构成物质的基本微粒有哪几种？ 分别举例说明。 想一想：不同的物质含有不同的微粒， 这些微粒是如何彼此结合而构成物质的？
例如：水在直流电的作用下分解 2H2O
通电
2H2↑ +
O2↑
水在通电条件下能够发生分解，为 什么要通电？
水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的， 氢原子和氧原子之间存在着很强的相互作用，要 破坏这种相互作用就需要消耗能量，通电正是为 了提供使水分解所需要的能量。
氯化钠和氯化镁是由阴、阳离子构成的， 离子间存在强烈的相互作用； 氯气是由许多氯分子构成的，分子中两 个氯原子间存在着强烈的相互作用； 金刚石是由许多碳原子彼此结合形成的 空间网状晶体，在晶体中，直接相邻的碳原 子间存在强烈的相互作用。