常微分方程第四章考试卷4

常微分方程第四章测验试卷（4）

班级 姓名 学号 得分

一． 填空（30分）

1．———————————————————称为n 阶齐线性微分方程。

2．函数组e e e t

t t 2,,-的伏朗斯基行列式为———————————。

3．若()()n i t x i ,......2,1=为n 阶齐线性方程的解，则它们线性无关的充要条件——————————————————。

4．若()()n i t x i ,......2,1=为n 阶齐线性方程的解，则()t w 为其伏朗斯基行列式，则()t w 满足一阶线性方程——————————————。 5．设()01≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表示为——————————————————————。 6．形如———————————————————称为欧拉方程。 7．解线性方程的常用方法有———————————`—————————————`————————————————`——————————————————。

8．．若()()n i t x i ,......2,1=为齐线性方程的n 个线性无关的解，则这一齐线性微分方程的所有解可表示为——————————————————。

二． 计算（70分）

1. 求方程t

x x cos 1

=

+''的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解组为t t sin ,cos 。

2．2t x x t ='-'' 0≠t

3．求方程t t x dt

x

d 2sin 422=+的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解

组为t t 2sin ,2cos

4． 求033=-+''-'''x x x x 的解。

5．求0532

22

=++y dx dy

x dx

y d x 的解。

6．求()02='+''x x x 的解。

7．()02212=+'-''-y y x y x

常微分方程第四章测验试卷（4）参考答案

一． 填空

1．()()()0......1111=++++---x t a dt dx

t a dt

x d t a dt x d n n n n n n 。

2．t

t

t

t t t t t t

e e e e e e e e e 22242----。

3．()0≠t w 。 4．()01=+'w t a w 。

5．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰212110exp 1c dt ds s a x c x x t t 其中21,c c 为任意常数。

6．()()()0 (11)

1

11=++++----x t a dt dx t t a dt

x d t t a dt x d t n n n n n n n n

。

7．求常系数齐线性方程的基本解组的特定根法；

求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法； 求一般非齐线性方程的特解的常数变易法； 求一般二阶齐线性方程特解的幂级数解法。

8．()()∑==n

i i i t x c t x 1 其中()n i c i ,...2,1=为任意常数。

二． 计算

1．解：设()()()t t c t t c t x sin cos 21+=为非齐线性方程的解，则由下列

方程组得：

()()0sin cos 21='

+'t t c t t c

()()t

t t c t t c cos 1cos sin 21='

+'-

得：()t

t

t c cos sin 1-=' ，()12='t c ，

于是原方程的解为：()t t t t t t x sin cos ln sin cos 21+++=γγ。

2．解：由 0='-''x x t 得

t

x x 1

=''' 所以 At x =' B At x +=22

1 ，从而 1 ，2t 为齐线性方程的一个基本解组。 设()()()t c t t c t x 221+=，由 ()()0221='+'t c t t c ()t t t c =12

得：()112

1γ+=t t c ()2

12γ+-=t t c 于是原方程的解为：()32213

1

t t t x ++=γγ。

3．解：设 ()()()t t c t t c t x 2s i n 2c o s 21+= 则有 ()()02s i n 2c o s

21='

+'t t c t t c

()()02cos 22sin 221='

+'-t t c t t c

于是原方程的解为：()t t

t t t t t x 2sin 16

2cos 82sin 2cos 221+-+=γγ。

4．解：方程对应的特征方程为：013323=-+-λλλ， 得：1321===λλλ，

从而方程的解为：()t t t e t c te c e c t x 2321++=。

5．解：寻找形如k x y =的解，得到确定实数k 的方程： ()0531=++-k k k ，i k 212,1±-=，

故原方程的通解为：()()x x c x x c y ln 2sin ln 2cos 1211--+=。