千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第22炼 恒成立问题——参变分离法 Word版含解析
第22炼 恒成立问题——参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。
然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。
但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。
例如：()21log a x x -<，111axx e x-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。
（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <=②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >=（2）若()f x 的值域为(),m M① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()g a M ≥（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()g a M <（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()g a M <④ ()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()g a m >（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()g a m >5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。
则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
二、典型例题：例1：已知函数()xxf x e ae -=-，若'()f x ≥a 的取值范围是_______思路：首先转化不等式，'()x xf x e ae -=+，即xxa e e +≥a 与xe 便于分离，考虑利用参变分离法，使,a x 分居不等式两侧，()2x x a e ≥-+，若不等式恒成立，只需()()2maxxxa e ≥-+，令()()(223x x x g x ee =-+=-+（解析式可看做关于xe 的二次函数，故配方求最值）()max 3g x =，所以3a ≥ 答案：3a ≥例2：已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________思路：恒成立的不等式为2ln ax x x-<，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 解：233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞ ∴只需要()3max ln a x x x >-，令()3ln g x x x x =-'2()1ln 3g x x x =+- （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x 变为1x，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定()'gx 的符号，不妨先验边界值）()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程） ()'gx ∴在()1,+∞单调递减，()()''10()g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减()()11g x g ∴<=- 1a ∴≥- 答案：1a ≥-小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。
例3：若对任意x R ∈，不等式23324x ax x -≥-恒成立，则实数a 的范围是 ． 思路：在本题中关于,a x 的项仅有2ax 一项，便于进行参变分离，但由于x R ∈,则分离参数时要对x 的符号进行讨论，并且利用x 的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到a 的范围，2233322344x ax x ax x x -≥-⇔≤-+，当0x >时，m i n 32314a x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而3331311244x x x x-+=+-⋅-= 221a a ∴≤⇒≤；当0x =时，不等式恒成立；当0x <时，max 32314a x x ⎛⎫≥++⎪⎝⎭，而333113244x x x x ⎛⎫++=--+-≤- ⎪⎝⎭221a a ∴≥-⇒≥- 综上所述：11a -≤≤答案：11a -≤≤小炼有话说：（1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在本题中对x 进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变号。
（2）在求x 解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。
（3）注意最后确定a 的范围时是三部分取交集，因为是对x 的取值范围进行的讨论，而无论x 取何值，a 的值都要保证不等式恒成立，即a 要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。
例4：设函数2()1f x x =-，对任意的23,,4()(1)4()2x x f m f x f x f m m ⎡⎫⎛⎫∈+∞-≤-+⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是________________思路：先将不等式进行化简可得：()()()222221411141x m x x m m ⎛⎫---≤--+- ⎪⎝⎭，即22221423m x x x m ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以2x ，可得： 2222min1234x x m m x ⎛⎫--⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222311321x x g x x x x --⎛⎫==--⋅+ ⎪⎝⎭，120,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 最小值2533g ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2422154125303m m m m ∴-≤-⇒--≥即()()2231430m m +-≥解得：,m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭答案：,m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭小炼有话说：本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系数为关于m 的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。
所以在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择例5：若不等式2322x x x ax ++-≥对()0,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．思路：2323min2222x x xx x x ax a x ⎛⎫++-++-≥⇒≤⎪ ⎪⎝⎭，令()2322x x xf x x ++-=，对绝对值内部进行符号讨论，即()222242222,0x x x x f x x x x x x x x ⎧++-<<⎪⎪=++-=⎨⎪++-<≤⎪⎩，而222y x x x=++-在)单调递增，222y x x x=++-在(单调递减，∴可求出()min f x f==a ∴≤答案：a ≤例6：设正数()()2221,x e x e xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是（ ） 思路：先将k 放置不等号一侧，可得()()211kf x g x k ≤+，所以()()21max 1kf x g x k ≥⎡⎤⎣⎦+，先求出()g x 的最大值，()()'21x g x e x e -=⋅-，可得()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减。
故()()max 1g x g e ==，所以若原不等式恒成立，只需()21kf x e k ≥+，不等式中只含1,k x ，可以考虑再进行一次参变分离，()()2211kf x k e e f x k k+≥⇒⋅≤+，则只需()2min 1k e f x k +⋅≤⎡⎤⎣⎦，()222112e x f x e x e x x +==+≥=，()2min2f x e =⎡⎤⎣⎦ 所以12k e e k+⋅≤解得：1k ≥ 答案：1k ≥例7：已知函数()()()221ln ,,1xf x ax a x x a Rg x e x =-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围思路：()f x 含有参数a ，而()g x 为常系数函数，且能求出最值，所以以()g x 为入手点：若()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()1min f x g x ≤⎡⎤⎣⎦。
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)第29炼图像变换在三角函数中的应用
第29炼 图像变换在三角函数中的应用在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。
要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。
一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） （二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换 （2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。
高中数学题型归纳大全函数与导数题型归纳四、恒成立问题
高中数学题型归纳大全函数与导数4题型归纳四、恒成立问题考点1.恒成立之参变分离1.已知函数f(x) = e“-% ax-l,其中a为实数.(1)当° = 一号时，求曲线v=/(x)在点(1，f(D)处的切线方程：(2)当xN：时，若关于x的不等式f(x)20恒成立，试求a的取值范用•2.已知函数f(x) = Mnx + kaA0).(I )求函数/ (x)的单调区间和极值：(II )已知对任意的x>0, ax (2-/nx) 恒成立，求实数a的取值范闱：(III)是否存在实数。
使得函数f (x)在［1, e］上最小值为0?若存在，试求出a的值; 若不存在，请说明理由.考点2.恒成立之分类讨论3.已知函数/ (x) =" (y- a) - a2x.(1)讨论f (x)的单调性：(2)若/(x) 20,求。
的取值范围.4.己知函数/ (x)满足/ (x) =f ⑴e* 1-/(0) x+32：(1)求/(X)的解析式及单调区间：(2)!?/(%) >^x2+ax + b,求(0+1) b 的最大值.考点3.恒成立之端点验证法+洛必达法则5.设函数/ (x) = (l-x2)*e\(1)讨论f (x)的单调性：(2)当x>0时，/ (x)《QX+1,求实数。
的取值范围.6.设函数 /(X)n/-l-X-QX2.(1)若Q = 0,求/(X)的单调区间；(2)若当*20时/(x) >0,求a的取值范围.考点4.必要性探路7.已知函数f(%) = e—底/ a〉。
，e为自然对数的底数)，f (x)是/(x)的导函数.4I(I )当 a=2 时，求证/ (x) >1；(II)是否存在正整数。
，使得/(X)>x2/〃x对一切x>0恒成立？若存在，求出。
的最题型归纳四、恒成立问题考点1.恒成立之参变分离1.已知函数f(x) =/—)以一1,其中。
为实数.(1)当a = T时，求曲线y=/(x)在点(1, /⑴)处的切线方程：(2)当X、称时，若关于x的不等式f(x) >0恒成立，试求a的取值范围.【分析】(1)把a=—2代入函数解析式，求出/(I),求出函数的导函数，得到/' (1),由点斜式写出切线方程；丫_12(2)把不等式/(X)>0恒成立转化为a 恒成立.利用导数求函数以%)=一 J的最小值，则。
千题百炼 高考数学100个热点问题(一)：第4炼 函数值域的求法
千题百炼高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法第二章第4章值域函数及其精化函数的性质第4炼求函数的值域函数值域问题作为函数的三要素之一，也是高考中的一个重要考点，值域问题往往渗透到各种问题中，成为问题解决过程的一部分。
因此，掌握一些求取取值范围的基本方法。
当你需要找到函数的取值范围时，你可以掌握解析式的特点，找到相应的方法冷静地解决它。
1、基本知识：1。
寻找值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2.寻找数值范围的常用工具：虽然有时，寻找数值范围就像仙女的拼写公式。
分析特征对应于寻找值范围的方法。
只要你掌握了每种方法并对功能进行了分类，你就可以进行操作，但你也应该掌握一些常用的想法和工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若f?x?为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数图像（数字与形状的组合）：如果可以制作函数图像，则值范围一目了然（3）换元法：f?x?的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最大值法：如果函数f？十、哪里a、 b？连续的，f？十、M的最大值和最小值，然后是f？十、数值范围是多少？m、 m？注：一定在f?x?连续的前提下，才可用最值来解得值域3.常用函数的取值范围：在处理常用函数的取值范围时，通常可以通过组合数字和形状以及使用函数图像来求解取值范围。
巧妙地处理公共函数的取值范围，也便于通过变形和变换将复杂的解析公式转换为公共函数。
（1）一次函数（y?kx?b）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（y？Ax？BX？C）：二次函数的图像是抛物线。
一般来说，这个公式可以用来确定函数的对称轴，然后用图像来求解它。
高考数学大招-恒成立问题
上大于
所以 在 上单 增 在
上单 减 在
上单 增
当
时 函数 在 上单 增
所以函数 在 上的最大值是
由 意得
得
因为
所以此时 的值不存在
当
时
此时 在 上 增 在 上 减
所以函数 在 上的最大值是
由 意得
得
上 的取值 围是
【出 意图】 接分
恒成 一 分两 情况：一 就是分 出参数后，我们 新构
函数，再求导和判断单 性 时候，
例12
★★★☆☆ 2018
已 函数
在 上是增函数 则实数 的取值 围是
案: :依 意
在 上是增函数 在 上恒成
且不恒为
即
在 上恒成
在 上恒成
在 上恒成
成
当且仅当
故 案为
即
时号
例13
★★★☆☆ 2018
已 函数
1
函数
的单 区
2 函数 在区
内是减函数 求 的取值 围
:1
当
时即
当
时即
时
或
时
求得两根为
即在
在 上当
存在
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A.
案: A : 函数
【2020秋】快数学高考讲义 一轮复习 理科
.
踽踽学者[. jǔ jǔ
.
为减函数 在
得 上有极值
为增函数
得
或
在
处取极小值也是最小值
即
使得
即
使得
,
,
,易求 在 单 减
22 恒成立问题-参变分离法
第22炼 恒成立问题——参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。
然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。
但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。
例如：()21log a x x -<，111ax x e x-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。
（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤=()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <=②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M >③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤=()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <=④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >=（2）若()f x 的值域为(),m M① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()g a M ≥（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()g a M <（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()g a M <④ ()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()g a m >（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()g a m >5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第26炼-求未知角的三角函数值-Word版含解析
第26炼求未知角的三角函数值在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上 有两个，一是从角本身出发，禾U 用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角(即三角函数 值已知)靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求 解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧 一、基础知识：1、与三角函数计算相关的公式： (1) 两角和差的正余弦，正切公式：1 tansinsin cos sin cos sin③ coscos cossin sin④cos⑤ ta ntan tan⑥tan1 tan tan(2)倍半角公式：① si n2 2si n cos② cos2 2cos・2 sin 2cos 211 2sin 2③ tan2 2ta nsin cos sin cos cos cos sin sintan tan 1 tan tan(3)辅助角公式： asinbcos.a 2 b 2 sin，其中tan -a2、解决此类问题的方法步骤：(1) 考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 (2) 等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 (3) 禾U 用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定 其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。
确定角的范围 有以下几个层次：(1) 通过不等式的性质解出该角的范围(例如： (2) 通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
(3) 利用特殊角将该角圈在一个区间内(区间长度通常为 (4)通过题目中隐含条件判断角的范围。
例如：sin5 12 2)46cos —,可判断出在第一象限5例1 ：已知sin_ 3 ,，求352 6,故可以考虑3 3而Q，- J—而 sin-3 故 在第一象限2 636 23 5341 3.34 3 4 3cos— sin— —352 52 5 10（2）与（1） 类似。
备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略（1）参变分离（原卷版）
备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略（1）参变分离 【知识与方法储备】1、参变分离：顾名思义，就是在不等式（方程）中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号（等号）的两侧，即不等号（等号）的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、判断是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式（方程）中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式（方程）中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等；（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题. 4、常见三种具体的参变分离思路：（1）直接法参变分离，其基本步骤：第一步、首先对待含参的不等式（方程）问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式（等式）的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式（等式）；第二步、求出含变量一边的式子的最值；第三步、由此推出参数的取值范围即可得出.简称直接分参求最值（2）分段法参变分离，其基本步骤：第一步、首先对待含参的不等式（方程）问题利用参数的系数正负符号，可以根据不等式（等式）的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的两个不等式（方程）组；第二步、求出含变量一边的式子的最值；第三步、由此推出参数的取值范围即可得出.简称分段分参求交集3.同构法参变分离，其基本步骤：第一步、可以根据不等式（方程）的性质分离表达式，合理变形得到一个两端是同一函数结构的不等式(形如g(m(x))>g(n(x))等）（方程）；第二步、求出第一步构造函数g(x)的单调性，进而构造m(x)与n(x)的不等式（方程）；第三步、把m(x)与n(x ）的不等式（方程）再用参变分离参变分离处理.简称同构函数再分参 5、常见的参变分离不等式关系表：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式） （1）若的值域为①，则只需要()()x f a g ,D x <∈∀，则只需要()21log a x x -<111axx e x-+>-x D ()f x a ()g a ()f x [],m M ()(),x D g a f x ∀∈≤()()min g a f x m ≤=()()ming a f x m <=②，则只需要 ，则只需要 ③，则只需要 ，则只需要 ④，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为① ，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要x/k-+w含参的不等式（方程）求参数范围（或者值），优先考虑参变分离，简化结构，优先思路.【常见题型与解法探究】题型一、参变分离与函数可求最值结合【罗师导航】当参数结构单一，参数的系数因数的符号确定时，直接分离参数，另一侧的函数最值可求.【典例1-1】（不等式）已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，求k 的取值范围．()(),x D g a f x ∀∈≥()()max =g a f x M ≥()(),x D g a f x ∀∈>()()max =g a f x M >()(),x D g a f x ∃∈≤()()max g a f x M ≤=()(),x D g a f x ∃∈<()()max g a f x M <=()(),x D g a f x ∃∈≥()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>()()min g a f x m >=()f x (),m M ()(),x D g a f x ∀∈≤()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈≥()g a M≥()(),x D g a f x ∀∈>()g a M ≥()(),x D g a f x ∃∈≤()g a M <()(),x D g a f x ∃∈<()g a M <()(),x D g a f x ∃∈≥()g a m >()(),x D g a f x ∃∈>()g a m >【典例1-2】（方程）已知函数2()(1)()f x xlnx a x a R =+-∈．若()0f x =在(0,)+∞内有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【能力达标训练】 【1-1】已知函数21()2f x x alnx =-在(0,)+∞无零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,)eB ．[0，)eC ．[0，]eD ．(0，)(e e ⋃，)+∞【1-2】已知函数()(1)x f x e a x =++，若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【1-3】已知不等式012ln >+-ax x 对任意[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．【1-4】若函数f (x )＝a x －x 2(a >1)有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.【1-5】已知()()ln ln ,f x a x x x f x =-⋅'为()f x 的导函数，若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围.【1-6】已知函数()2ln f x ax x x =-（a R ∈），若()0f x ≥恒成立，求a 的最小值.【1-7】已知函数()()ln 1.f x ax x a R =++∈ (1)讨论函数()f x 零点的个数；(2)对任意的()20,e xx f x x >≤恒成立，求实数a 的取值范围.题型二、分段参变分离【罗师导航】当参数的系数（自变量x 的数学关系）的符号不确定时，常与两边夹逼原理结合，对自变量x 进行分类讨论，对各种情况下的参数的取值范围取交集，即分段分参求交集. 【典例2-1】已知函数f (x )=ax 3－3x +1，对∀x ∈[−1,1]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围.【典例2-2】已知函数()211e 2x x f x x =++-．若对任意的0x ≥，都有()2312ax x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．【能力达标训练】【2-1】不等式2(cos 3)sin 3a x x -≥-对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是________．【2-2】已知函数()()21e x ax xf x a R -+=∈.当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围.【2-3】已知函数()ln 1f x x ax =-+，R a ∈.若关于x 的不等式()120x e f x a x-++-≥对任意的实数1≥x 恒成立，其中e 为自然对数的底数，求a 的取值范围.【2-4】已知函数2()()x f x e ax x a R =+-∈，若0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．题型三、参变分离与洛必达法则结合【罗师导航】当不等式（方程））参变分离后，另一侧的函数最值不可求，则可利用洛必达法则求得极限值，转化为最值.详见专题端点效应（1）洛必达法则的应用 【典例3-1】已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直. (1)求实数,a b 的值；(2)若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围.【能力达标训练】【3-1】已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（1）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式； （2）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.题型四、参变分离与同构函数结合【罗师导航】当参数的系数比较复杂时，特别是指对式共存，常考虑同构函数，构造不等式为同一单调函数的不同函数值，利用单调性转化为自变量结构的不等式，详见同构函数专题.【例4-1】（积商型同构）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式1(ln 1)ln x xa x e x a-+->恒成立，求实数a 的取值范围．【例4-2】（和差型同构）已知函数()e ln 1xf x a a =+-．若不等式()()ln 21f x x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围．【例4-3】（换元型同构）已知函数()()e ,ln xf x xg x x x ==，若()()(0)f m g n t t ==>，则ln mn t ⋅的取值范围．【例4-4】（换元型同构）已知函数()()e ln 1R xf x ax x x a =---∈.(1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若对任意()0,x ∈+∞都有ln 1e 1x x a x+≤-恒成立，求实数a 的取值范围.【例4-5】（换元型同构）已知函数()()2x f x a e x =--（a R ∈）． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若不等式()()2ln 2f x a x x ≤-对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．。
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第21炼-多元不等式的证明-Word版含解析
第21炼 多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。
一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。
二、典型例题：例1：已知()()2ln ,()f x x g x f x ax bx ==++，其中()g x 图像在()()1,g 1处的切线平行于x 轴 （1）确定a 与b 的关系（2）设斜率为k 的直线与()f x 的图像交于()()()112212,,,A x y B x y x x <，求证：2111k x x << 解：（1）()2ln g x x ax bx =++ ()'12gx a x bx∴=++，依题意可得： （2）思路：21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，所证不等式为2122111ln ln 1x x x x x x -<<- 即21221211ln x x x x x x x x --<<，进而可将21xx 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式 解：依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，故所证不等式等价于：令21,(1)x t t x =>，则只需证：11ln 1t t t-<<- 先证右边不等式：ln 1ln 10t t t t <-⇔-+< 令()ln 1h x t t =-+ ()'111th t t t-=-=()h t ∴在()1,+∞单调递减 ()()10h t h ∴<=即ln 10t t -+<对于左边不等式：111ln ln 10t t tt-<⇔+->令1()ln 1p t t t =+-，则()'22111t p t t t t-=-=()p t ∴在()1+∞，单调递增 ()()10p t p ∴>=小炼有话说： （1）在证明不等式2122111ln ln 1x x x x x x -<<-时，由于12,x x 独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式()12,f x x ：使得不等式以()12,f x x 为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式 （2）所证不等式为轮换对称式时，若12,x x 独立取值，可对12,x x 定序，从而增加一个可操作的条件 例2：已知函数()ln f x x x =． （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，且12x x ≠，证明：()()'2112212f x f x x x f x x -+⎛⎫< ⎪-⎝⎭解：（1）定义域为()0,+∞ 令()'0fx > 解得：1x e>∴()f x 的单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴的极小值为1111ln f e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无极大值（2）思路：所证不等式等价于证22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+-，轮换对称式可设12x x <，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设12x x <121222112121ln ln ln ln 22x x x xx x x x x x x x ++-<-+- （由于定序12x x <，去分母避免了分类讨论） 212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++ （观察两边同时除以1x ，即可构造出关于21x x 的不等式）两边同除以1x 得，2212221111122ln ln 111x x x x x x x x x x ⋅<+-++ 令21x x t =，则1t >，即证：22lnln 111t t t t t <+-++ 令22()ln ln 111t g t t t t t=--+++令()101t m m t -=>+，()()ln 1h m m m =+- （再次利用整体换元） ()'11011mh m m m=-=-<++，()h m 在()0,+∞上单调递减，所以()()00h m h <=即()ln 1m m +<，即()g t '11ln(1)011t t t t --=+-<++恒成立∴()g t 在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)0g t g <=∴22ln ln 111t t t t t<+-++得证 所以12()2AB x x k f +'<成立小炼有话说：（1）本题考验不等式的变形，对于不等式212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以1x ，结果为21x x 或者1，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以1x ，结果为21x x 或者1，进而就将不等式化为以21xx 为核心的不等式 （2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式 例3：已知函数21()2x f x e x ax =--（a ∈R ）． （1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）如果函数()()212g x f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭恰有两个不同的极值点12,x x , 证明：12ln 22x x a +<． 解： （1）()f x 是R 上是增函数()',0x x R fx e x a ∴∀∈=--≥ (注意：单调递增→导数值0≥）设()x h x e x =- ()'1x h x e =-令()'0h x >解得0x > 故()h x 在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增（2）思路：()()2212x g x f x a x e ax ax ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()'2xg x e ax a =--。
第5讲：恒成立之参变分离选讲
恒成立问题选讲---参变分离【A 】题目类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【B 】例题分析例1、若对任意的]5,0[∈x 不等式042≥--a x x 恒成立，则a 的取值范围是_____________例2、若存在]5,0[∈x 使得不等式042≥--a x x 成立，则a 的取值范围是____________例3、若对任意的)3,21(∈x 不等式012<++ax x 恒成立，则a 的取值范围是______________例4、已知12)(+-=a x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ，若对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，则a 的取值范围是_______________【C 】拓展应用1、若对任意x R ∈，不等式23324x ax x -≥-恒成立，则实数a 的范围是 ．2、设函数2()1f x x =-，对任意的23,,4()(1)4()2x x f m f x f x f m m ⎡⎫⎛⎫∈+∞-≤-+⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是___________________________3、若不等式2322x x x ax ++-≥对()0,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________________________4、（基本不等式）若不等式()x a x y +≤+对任意正数,x y 恒成立，则正数a 的最小值是_____5、已知函数()x xf x e ae -=-，若32)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是______________________6、已知两个函数m x g x x f x-==)21()(,)(2，若对任意的],2,0[1∈x 存在],2,1[2∈x 使得)()(21x f x f ≥，则实数m 的取值范围是______________。
(完整版)导数与恒成立、能成立问题及课后练习(含答案),推荐文档
导数与恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化： a >f (x)恒成立⇒a >f (x)2、能成立问题的转化： a >f (x)能成立⇒a >f (x) ； a ≤f (x)恒成立⇒a ≤f (x) ； a ≤f (x)能成立⇒a ≤f (x)minmax3、恰成立问题的转化： a >f (x)在 M 上恰成立⇔a >f (x)的解集为 M ⇔⎨⎪a >f (x)在上M恒成立⎩a ≤f (x)在上C R恒M成立另一转化方法：若x ∈D, f (x) ≥A 在D 上恰成立，等价于f (x) 在D 上的最小值f min (x) =A ，若x ∈D, f (x) ≤B 在 D 上恰成立，则等价于 f (x) 在 D 上的最大值 f max (x) =B .4、设函数f (x)、g(x)，对任意的x1∈[a , b]，存在x2∈[c , d ]，使得f (x1)≥g(x2)，则f min (x)≥g min (x)5、设函数f (x)、g(x)，对任意的x1∈[a , b]，存在x2∈[c , d ]，使得f (x1)≤g(x2)，则f max(x)≤g max(x)6、设函数 f (x)、 g(x)，存在 x1∈[a , b]，存在 x2∈[c , d ]，使得 f (x1)≥g(x2)，则f max(x)≥ g min(x)7、设函数 f (x)、 g(x)，存在 x1∈[a , b]，存在 x2∈[c , d ]，使得 f (x1)≤g(x2)，则f min(x)≤ g max(x)8、若不等式 f (x)>g (x)在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 y = 象上方；9、若不等式 f (x)<g (x)在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 y = 象下方；f (x)和图象在函数y =g (x)图f (x)和图象在函数y =g (x)图max min> 0 4 与题型一、简单型二、经典题型解析例 1、已知函数 f (x ) = x 2 - 2ax + 1， g (x ) = a，其中 a > 0 ， x ≠ 0 ．x1）对任意 x ∈[1,2] ，都有 f (x ) > g (x ) 恒成立，求实数 a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意 x 1 ∈[1,2], x 2 ∈[2,4]，都有 f (x 1 ) > g (x 2 ) 恒成立，求实数 a 的取值范围；（转化）x 2 - 2ax + 1 - a > 0 ⇒ a < x 3 + x (x ) = x 3+ x简解：（1）由 x 3 + x x 2x 2 + 1 成立，只需满足 ' 2x 4 + x 2 + 1 2x 2 + 1 的最小值大于 a 即可．对(x ) = 2x 2 + 1 求导， (x ) = (2x 2 + 1)2 ，故(x ) 在 x ∈[1,2] 是增函数， min(x ) = (1) = 23 ，所以 a的取值范围是 0 < a < 2 3 ． a 例 2、设函数 h (x ) x x b ，对任意 a ∈[ 1 ,2] 2 ，都有 h (x ) ≤ 10 在 x ∈[ 1,1] 4 恒成立，求实数b 的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最 值解决．方法 1：化归最值，h (x ) ≤ 10 ⇔ h max (x ) ≤ 10 ；b ≤ 10 - ( a + x )方法 2：变量分离， x 或a ≤ -x 2 + (10 - b )x ；(a ) = 1 ⋅ a + x + b - 10 ≤ 0 a ∈[ 1 ,2]方法 3：变更主元（新函数， x ，2 h '(x ) = 1- a= 简解：方法 1:对h (x ) = a + x + b 求导， x 2x 1 1 x 2 ，（单调函数）由此可知， h (x ) [ ,1] 在 4 h ( 上的最大值为 ) h (1) 中的较大者． ⎧ 1 ⎧ 1 ⎧ 39∴⎪h (4) ≤ 10 ⇒ ⎪4a + 4+ b ≤ 10 ⇒ ⎪b ≤ 4 - 4a 1 7 ⎨ ⎩h (1) ≤ 10 ⎨ ⎩1 + a + b ≤ 10 f (x ) = x 2 ⎨ ⎩b ≤ 9 - a ，对于任意g (x ) =⎛ 1 ⎫ xa ∈[ 2 ,2]b ≤，得b 的取值范围是4 ．2 ⎪ - m x ∈ [0,2] x ∈ [1,2] f (x ) ≥ g (x )例 3、已知两函数 ，⎝ ⎭ ，对任意 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，(x - a )(x + a )3 m ≥1则实数m 的取值范围为答案：4题型二、更换主元和换元法例 1、已知函数f (x) = ln(e x +a )(a为常数）是实数集R 上的奇函数，函数g (x)= f (x) + sin x 是区间[-1,1]上的减函数，(Ⅰ) a g(x) ≤t 2+t+ 1在x ∈[-1,1]t求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。