菱形的判定方法

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边 形； （2）菱形的性质 1 菱形的四条边都相等；
程 （2）对角线互相垂直的平行四边形是
性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每
菱形；
条对角线平分一组对角；
（3）四条边均相等的四边形是菱形。 3、本节课重点题型讲解分析
二：提出教学过程中的问题 2,3 并让学生自己
一：选择题 1．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
2
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A．对角线相等的平行四边形
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B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点 A，B，C，D 在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；
于点 D，CH⊥AB 于 H，且交 BD 于点 F，DE⊥AB 于 E，四边形 CDEF 是菱形吗？请说明 理由．
C
D F
B
H EA
（二）、知识交叉题
课
2．（科内交叉题）如图所示，已知△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，过点 D•
后
习 作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，再过 E，F 作 EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为 G，
平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F．
求证：四边形 AFCE 是菱形．
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴
例
∴
题/
课
又
上
∴
习 形)．
EO=FO． 四边形 AFCE 是平行四边形． EF⊥AC，
AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱
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又因为∠1=∠2，所以 BD⊥CE，且 OC=OE．
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因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，
所以∠3=∠4．所以 CF=CD．
又因为 CE⊥DF，所以 OF=OD．所以四边形 CDEF 是平行四边形，•
又因为 DF⊥CE，所以 CDEF 是菱形．
(三)、3．解：（1）因为墙壁的总面积为 4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积
为 0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖 11.76÷0.06=196（块）．
（2）因为每相邻 4 块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），
在长 4.2m，宽 2.8m 的墙壁上贴长 30cm，宽 20cm 的长方形瓷砖，
BC 相交于点 E，∠ABC 的平分线 BF 与 AD 相交于点 F，AE•与 BF•相交于点 O，•求证：
•四边形 ABEF 是菱形．
证 明 ： ① 因 为 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ； ② 所 以 AD∥BC ； ③ 所 以
∠ABE+∠BAF=180°；④因为 AE，BF 分别平分∠BAF，∠ABE；⑤所以∠1=∠2= 1 ∠BAF， 2
3．【探究】（对教材的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，
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做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四 边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到： 菱形判定方法 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
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课题
菱形的判定方法
学生姓名
学生年级
学科
数学
教师姓名
学管师姓名
咨询师姓名
上课时间 教学目标 教学重点/难点
教案 1（ ）教案 2（ ）
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关 的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手 能力及逻辑思维能力．
∠3=∠4= 1 ∠ABE；⑥所以∠1+∠3= 1 （∠ABE+∠BAF）=90°；⑦所以∠AOB=90°；
2
2
⑧所以 AE⊥BF；⑨所以四边形 ABEF 是菱形，问：
（1）上述证明是否正确？
答：___________；
（2）如有错误，在第______步推理错误，应在第_____步后添加如下证明过程：
⑤AD∥BC．这 5 个条件中任选三个，能使四边形 ABCD 是菱形的选法有（ ）．
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
3．菱形的周长为 32cm，一个内角的度数是 60°，则两条对角线的长分别是（ ）
A．8cm 和 4 3 cm B．4cm 和 8 3 cm C．8cm 和 8 3 cm D．4cm 和
题 H，且 EG，•FH 相交于点 K，试说明 EF 和 DK 之间的关系．
A
H KG
E
F
（三）、实际应用题
B
DC
3．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如
图所示是一块长 30cm，宽 20cm 的长方形的瓷砖，E，F，G，H 分别是边 BC，CD，DA，
•AB 的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长 4.2m，宽 2.8m•
因为 AB=AC，所以∠B=∠C．又因为 BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，
所以△BDE≌△CDF，所以 DE=DF．所以 DEKF 是菱形，•
所以 EF 与 DK 互相垂直平分．
点拨：要说明 EF 与 DK 互相垂直平分，只要说明四边形 DEKF 是菱形，•要说明四
边形 DEKF 是菱形，可先说明四边形 DEKF 是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．
四、思考题
9．如图，矩形 ABCD 的对角线相交于3点 O，PD∥AC， PC∥BD，PD，PC 相交于点 P，四边形 PCOD 是菱形吗？
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试说明理由．
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一：课本练习题（略） 二：学生自己的辅导资料（同步练习，略） 三，开发智力题
（一）、七彩题 1．（一题多解题）如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线 BD•交 AC
（五）、探究学习篇 1．（结论开放题）如图所示，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且
CE=CF．请你仔细观察图，除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外，请你选 取一个角度提出一个问题，并加以说明．
2．阅读下列材料，完成后面的问题：如图，在 ABCD 中，∠BAD 的平分线 AE 与
的墙壁准备贴这种瓷砖，试问： （1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
AG
D
H
F
（四）、经典中考题
B
EC
4．（宜宾）已知：如图所示，菱形 ABCD 中，E，F 分别是 CB，CD 上的点，且 BE=DF．
（1）试说明：AE=AF；
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（2）若∠B=60°，点 E，F 分别为 BC 和 CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角 形．
题
※例 2（选讲） 已知：如图，△ABC 中， ∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，CD⊥AB 与 D，EH⊥AB 于 H，CD 交 BE 于 F． 求证：四边形 CEHF 为菱形．
略证：易证 CF∥EH，CE=EH，在 Rt△ BCE 中，∠CBE+∠CEB=90°，在 Rt△ BDF 中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE， 所以 CE=CF． 所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形 CEHF 为菱形．
4 3 cm
二、学生课堂练习 二．填空题 4．如图 1 所示，已知□ABCD，AC，BD
相交于点 O，•添加一个条件使平行四边形 为菱形，添加的条件为________．（只写出 符合要求的一个即可）
图1
图2
5．如图 2 所示，D，E，F 分别是△ABC 的边 BC，CA，AB 上的点，且 DE∥AB，DF∥CA，
点拨：解法一利用了菱形的定义，•解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边
形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱
形”的方法解决，请同学们再进行探讨．
(二)、2．解：EF 与 DK 互相垂直平分．理由：因为 DE⊥AB，FH⊥AB，所以 DE∥FH．
因为 DF⊥AC，EG⊥AC，所以 DF∥EG．所以四边形 DEKF 是平行四边形．
1．教学重点：菱形的两个判定方法． 2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．
教师活动
学生活动
1、上节课作业检查及知识点回顾，解
决上节课遗留的问题
一：让学生复习上节课所学内容，回答下列问
2、本节课知识点讲解：
题来检验学生对上节课知识的掌握程度。
菱形判定方法：
教 学 过
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱 形；
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因为 CH⊥AB，DE⊥AB，所以 CH∥DE．所以 CF // DE．•
所以四边形 CDEF 是平行四边形． 又因为 CF=CD，所以□CDEF 是菱形．
解法二：四边形 CDEF 是菱形．理由：如答图 20-3-4 所示，连结 CE 交 DF 于点 O． 因为∠1=∠2，∠BCD=∠BED=90°，BD=BD，所以△BCD≌△BED．所以 BC=BE．
通过探究教材对菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法： 菱形判定方法 2 四边都相等的四边形是菱形．