八年级上册数学实数知识总结
八年级上册数学《实数》(含答案)
第1节 实数、平方根【基本知识】1、 有理数 包括有限小数和循环小数，有理数都可以表示为分数形式；2、 无限不循环小数，成为 无理数 ；3、平方根：（1）定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
（2）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。
（4）一个非负数x 有两个平方根a 和b ，则a+b = 0（5）运算：2a = ||a 2)(a = a ；2)(a -= a类型1A ：【求下列各数的平方根】（1）324 （2）9624 （3）3.61 （4）971 （5）289【答案】（1）18± （2）21± （3）9.1± （4）34± （5）17±类型1B ：【求下列各数的算术平方根】（1）64 （2）2)3(- （3）49151（4） 21(3)- 【答案】（1）8 （2）3 （3）78 （4）31类型2：【已知平方数或平方根，求数】（1）平方等于256的数是 16±（2）若3是x 的一个平方根，则x = 9（3）若一个正数的平方根为12-a 和a -4，则a = －3 ，这个正数为 49 .（4）一个数的平方等于9，则这个数是 3±（5）一个负数的平方等于100，则这个负数是 10-（6）已知2a －1的平方根是3±，3a+b －1的平方根是4±，则a = ，b = 2 5类型3：【开平方，求下列各式中x 的值】（1）09252=-x （2）x 2－144 = 0 （3）（2x ）2 = 16【解】 （1）53±=x （2）12±=x （3）2±=x（4）32-=x （5）32=x （6）225360x -=【解】（4）无实根 （5）3±=x （6）56±=x（7）9x 2－1= 0 （8）16)1(2=+x （9）（21x ）2 = 1【解】（7）31±=x （8）35或-=x （9）2±=x类型4：【计算】（1）= 3= 5= 7（2） =-2)4( 4 =2)182( 91 =2)5( 5（3）94±=32±-169.= －1.3102-=101（4）81±= 9± 16-= －4 259= 53（5）44.1= 1.2 36-= －6 4925± =75±（6）2)25(-= 25 2)4(-= 4类型5：【化简】（1）已知｜x －4｜+y x +2= 0，那么x =_______4_，y =________－8（2）=________π-4,)2x ≤=________x -2类型6：【根式的意义】1、如果1-x ＋x -9有意义，那么代数式|x －1|＋2)9(-x 的值为 8.类型6：【平方数与平方根相关训练】（1）21++a 的最小值是 ________2，此时a 的取值是 ________－1（2）如果一个正数的两个平方根为1a +和27a -，则这个正数是 9（3）若2+x = 2，则2x + 5的平方根是 3±（4）若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 0类型7：【能力提升训练】（1）已知501.6=x ，650.12 = 422630，则x = 42.263（2）已知2+x ＝3，则2)2(+x 等于 81（3）已知12++-b a ＝0，则a ＋b 的值是 1（4）一个自然数的算术平方根是x（5）一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 22+m（6）自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为29.4t h =，有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要 2 秒（7）若一个数a 的平方根等于它本身，数b 的算术平方根也等于它本身，则a b +的平方根 为 0或1±类型8：【比较实数大小】1、平方法：（1; （2）534< 11; （3） 2、求差法:215- < 13、求商法：23平方根 (作业)一、写出下列各数的平方根：（1）2)6(- （2）2)36(- （3）8116（4）16 （5）2)7(-【解】（1）6± （2）6± （3）94±（4）2± （5）7± 二、已知平方数或平方根，求数：（1）一个数的平方为719，这个数为 34±（2）一个数x 的平方根为9±，则x = 81（3）若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = －1 ，这个正数是 9三、开平方，求下列各式中x 的值：（1）2732=x （2）2516902x -= （3）()12892-=x【解】（1）3±=x （2）513± （3）1816或-=x（4）（x +5）2 = 144 （5）009.02=-x【解】（4）177-=或x （5）3.0±=x（6）（x +1）2=36 （7）27(x +1)3=64【解】（6）75-=或x （7）31=x四、化简：1、若x ＜2，化简|3|)2(2x x -+-的正确结果是 x 25-2、当21≤a 时，化简|12|4412-++-a a a = a 42-3、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图，b a ++2)1(+-b a = 12-b化简五、平方数与平方根相关训练：（1）若2m －10与3m 是同一个数的平方根，则m 的值是 2（2）使3+-x 有意义的x 的取值范围是 3≤x。
八年级上册实数的知识点
八年级上册实数的知识点实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合。
实数在数学中占有非常重要的地位。
本文将会介绍八年级上册学习的实数知识点。
一、实数的类别实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是指形如 $\dfrac{p}{q}$ 的数，其中 $p$ 和 $q$ 均为整数且$q$ ≠ 0 。
有理数包括整数、正有理数、负有理数、零和分数等。
例如，-2，$\dfrac{3}{4}$，和 0.5 都是有理数。
无理数是指不能表示为有理数形式的实数。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数。
例如，$\sqrt{2}$ 和$\pi$ 都是无理数。
二、实数的比较在实数中，有大小之分。
不同的实数可以通过比较大小来确定它们之间的大小关系。
下面提出了几个规则来比较实数的大小：1.正数大于负数。
2.对于同号的两个实数，绝对值大的数更大。
3.对于不同号的两个实数，正数比负数大。
4.如果 $a > b$ 且 $b> c$ ，那么 $a> c$ 。
这被称为传递性。
三、实数的运算实数具有加、减、乘和除四种基本运算。
1.加法和减法：实数加法和减法之间满足交换律和结合律，即：交换律： $a+b=b+a$， $a-b=-b+a$结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$，$(a-b)-c=a-(b+c)$2.乘法和除法：二个实数之间的乘法和除法也满足交换律和结合律，并且它们的乘积和商也是实数。
交换律：$ab=ba$，$a÷b ≠b÷a$结合律：$(ab)c=a(bc))$，$a÷(bc) ≠ (a÷b) c$可以通过乘方表达式来快速表示乘积，例如 $a^3$ 可以代替$a×a×a$。
四、立方根和平方根1.立方根：如果一个数 $a$ 可以表示为 $b$ 的立方，即$a=b^3$ ，那么 $b$ 就是 $a$ 的立方根。
例如，立方根 $\sqrt[3]{8}$ 就是 2，因为 $2^3 = 8$。
八年级数学上册 第二章 实数
第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (1)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (4)知识要点六：实数的概念 (5)知识要点七：实数的性质 (5)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (8)知识要点10：实数的运算 (9)总练习题 (9)C 基础巩固 (9)B 能力提升 (10)A 拔尖训练 (11)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (13)知识要点一：二次根式的概念 (13)知识要点二：二次根式有意义的条件 (13)知识要点三：二次根式的性质与化简 (14)知识要点四：最简二次根式 (14)知识要点五：分母有理化 (15)知识要点六：二次根式的乘除法 (16)知识要点七：同类二次根式 (17)知识要点八：二次根式的加减法 (18)知识要点九：二次根式的混合运算 (18)知识要点十：二次根式的化简求值 (19)知识要点十一：二次根式的应用 (20)总练习题 (20)C 基础巩固 (20)B 能力提升 (21)A 拔尖训练 (22)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。
常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。
(完整版)八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。
八上数学第二章实数
八上数学第二章实数八年级数学上册第二章“实数”主要涉及实数的概念、性质及其运算。
以下是该章节的主要内容：1.平方根和算术平方根：非负实数a的算术平方根是满足x^2=a的实数x；非负实数a的平方根是满足x^2=a的实数x，正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，即0本身，负数没有平方根。
2.无理数：无限不循环小数称为无理数。
常见的无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数等。
3.实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数和分数，而无理数则是指不能表示为两个整数的比的数。
4.实数的运算：实数的加、减、乘、除运算与正数和0的运算规则相同，但需要注意负数的运算。
在运算过程中，需要注意运算法则和运算顺序，以免出现错误。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
在学习这一章时，学生需要理解并掌握实数的概念、性质和运算规则，同时还需要能够运用所学知识解决实际问题。
此外，学生还需要注意与之前所学有理数知识的联系和区别，以便更好地掌握数学基础知识。
实数这一章的重点内容还包括以下几个方面：1.平方根的性质：实数的平方根具有一些重要的性质，例如正实数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是算术平方根。
此外，当被开方数的小数点向右每移动两位时，其算术平方根的小数点会向右移动一位。
2.立方根的性质：实数的立方根也有其独特的性质。
例如，当被开方数的小数点每向右移动三位时，其立方根的小数点会向右移动一位。
3.实数的表示：实数可以用不同的方式来表示，例如根号形式、小数形式和分数形式等。
此外，实数还可以在数轴上表示出来，这样可以更直观地理解实数的性质和运算。
4.实数的运算性质：实数的加、减、乘、除等运算具有一些重要的性质，例如运算法则、运算律和运算顺序等。
学生需要理解和掌握这些性质，以便能够正确地进行实数的运算。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
北师版八年级数学上册 第二章 实数 知识归纳与题型突破(二十一类题型清单)
第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()()(22a a aa a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥等式子，都叫做二次根式.要点：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法)a b=≥00，＞商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并(13+=+-03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.14159260.2、1π、13111中，无理数的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练2．在实数22,1,37π-- ，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是（）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．无限小数都是无理数C ．实数可以用数轴上的点来表示D ．分数可能是无理数4．把下列各数填人相应的集合内：143.10.8080080008...39π-，，，，（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），158,-142整数集合｛…｝负分数集合｛…｝有理数集合｛…｝无理数集合｛…｝题型二平方根与算术平方根例题5．下列说法正确的是（）A ．8-的立方根是2±B ．2(4)-的算术平方根是4-C 4±D ．0的平方根与算术平方根都是0巩固训练6．下列计算正确的是（）A ．23=B ．1=C 4=±D 3=-7．一个正数的两个平方根分别为42m -与1--m ，则这个正数为（）A ．1B ．2C ．3625D ．48．下列说法中错误的是（）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C ．916的平方根是34±D ．当0x ≠时，2x -有平方根9）A ．4B ．4±C ．2D ．2±题型三平方根、立方根的解方程问题例题10．解方程：(1)()21x -=(2)()312x -=-7巩固训练11．求出下列x 的值．(1)24490x -=；(2)()327164x +=-．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a 、b 20b -=，则23a b -的值为（）A ．12-B ．5-C ．910D ．13巩固训练13．已知x y ，()2320y +=，则x y -的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-14．已知2a b +(1)求a 、b 的值．(2)求23a b -的平方根．15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（）A ．S =B ．S 的平方根是aC ．a是S 的算术平方根D ．a =题型五立方根例题16）A ．表示8-的立方根B ．结果等于2-C ．与D ．没有意义巩固训练17．下列说法正确的是（）A ．任意实数都有平方根B ．任意实数都有立方根C ．任意实数都有平方根和立方根D ．正数的平方根和立方根都只有一个18=．19=，=．202=-）A ．2±B ．2C ．3±D ．3题型六立方根的性质及应用例题21，则x 和y 的关系是（）A ．x=y=0B ．x 和y 互为相反数C ．不能确定D ．x 和y 相等巩固训练22x =．23．21a -的平方根为3±，31a b -+的立方根为2的值为（）A ．3-B ．3C ．3±D ．不确定题型七平方根与立方根综合问题例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）A ．1B ．0或1C ．0D ．非负数巩固训练25．已知21a -的平方根是3±，1b -的立方根是2，则=a ，b =，b a -的算术平方根是．26．如果2a A -=为+3a b 的算术平方根，2a B -=为21a -的立方根，则+A B 的平方根为．题型八算术平方根、立方根的实际应用例题27．依次连结22⨯方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（）A ．2B CD ．2.5巩固训练28．如图在长方形ABCD 内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．1C D 129．已知一个正方体的体积是31000cm ，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为3936cm ，则截去的每个小正方体的棱长是cm ．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题30. 1.333≈ 2.872≈≈．巩固训练31a =）A ．0.1aB ．aC ．1.1aD ．10.1a32．1.166≈≈≈≈聪明的同学你能不用计算器得出（1）≈．（2≈．题型十用计算器开方例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．0.9巩固训练34．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（）A ．5B ．15C ．125D ．2535．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果为（）A ．8B ．4C ．18D ．14题型十一整数部分、小数部分问题例题36m，则m 的算术平方根的值最接近整数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练37．已知4a ，4b ，则()2023a b +=．38．已知正数x 的两个不等的平方根分别是214a -和2a +，1b +的立方根为3-；ca m n +＝，其中m 为整数，01n <<，则()()36n m +-=．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的近似值，得出1.4 1.5<<．利用“逐步逼近”法，请回答问题：a和b ，且a b <，那么=a ，b =；(2)ab ，求a b +的值；(3)已知：10x y ++，其中x是整数，且01y <<，求y x -的值．题型十二实数的大小比较例题40．在实数1，0，中，最小的是．巩固训练41（填写“＞”或“＜”或“＝”）．42313（选填“>”，“<”或“=”）题型十三实数与数轴例题43．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点巩固训练44．下列说法正确的是（）A ．有理数与数轴上的点一一对应B 2C ．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D ．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P （要求保留作图痕迹）；(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M ，点N 也在这条数轴上且MN MP =，直接写出点N 表示的数．题型十四无理数的估算例题46．估计262的值应在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间巩固训练47．已知5a b <<，a ，b 是连续的正整数，则a b +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．748．m n 、是连续的两个整数，若6m n <，则m n +的值为．49107的近似数的过程：∵面积为107107，且1010711<<，10x =+，其中01x <<，画出如图示意图，∵图中2210210S x x =+⨯+正方形，107S =正方形．∴2210210107x x +⨯+=，当2x 较小时，省略2x ，得20100107x +≈，得到0.35x ≈10.35≈．______；(2)的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到．．．0.1．．．）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈______．（用a 、b 的代数式表示）题型十五程序框图例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(||20)x x <的运算程序如图所示，若输出的y 时，则输入的实数x 可取的负整数值是．巩固训练51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x 的值为64时，则输出y 的值是．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x 为36时，输出的y 的值是_______；(2)若输入x 值后，始终输不出y 的值，则满足题意的x 值是_______；(3)若输出的2y >，则x 的最小整数值是_______.题型十六材料信息题例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论： 2.2801 1.51=；23409231041=；③只有3个正整数a 满足15.215.3a << 2.31 1.510<．其中正确的是．（填写序号）a 1515.115.215.315.4…a 2225228.01231.04234.09237.16…巩固训练54．对于任何实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不超过a 的最大整数，例如：[]22=，31⎡=⎣，[]2.53-=-．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（）A 37B ．12C 3D 7-巩固训练5614x-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．57()22a a a a --a 的取值范围是.58．已知n 51n +n 的最小值为．59．已知x 、y 为实数，且994y x x =--，则x 、y 的值分别为（）A ．9、4B ．2、3C ．4、9D ．3、4题型十八二次根式的化简例题60=巩固训练61．若0xy <）A ．B ．C ．-D ．-62．实数m ）A ．29m -B ．5-C ．5D ．92m-633x =-，那么x 的取值范围是（）A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥题型十九最简二次根式等有关概念例题64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 巩固训练65．下列根式中，是最简二次根式的是（）A BC D66．下列各组二次根式中，能合并的是()AB C D67．若最简二次根式是同类二次根式，则2xy =．68x 的值为（）A ．12-B ．34C ．2D ．5题型二十二次根式的运算例题69．下列运算正确的是（）A 2=±B ．(2=C=D．(÷巩固训练70．下列运算正确的是（）A+=B=C．=D．5= 71．计算：；1)．72．计算：+(2)-；(4)21)2)-+．7．例题74．李老师家装修，长方形电视背景墙BC，宽AB，中间要镶一个长为，的长方形大理石图案（图中阴影部分）．(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/2m，大理石造价为200元/2m，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）巩固训练75．快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸箱的高相同，底面规格如表：型号长宽小号20cm 18cm 中号25cm 20cm 大号30cm25cm已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为280cm ，2180cm ，两件礼品的高都小于包装纸箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱76．我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记1()2p a b c =++，那么三角形的面积为S =．根据上述知识，解决下列问题．(1)如图，ABC 中，7BC a ==，6AC b ==，5AB c ==，请利用上述公式求ABC 的面积；(2)在（1）的条件下，作BD AC ⊥于点D ，求BD ，CD 的长．第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）01思维导图02知识速记一、平方根和立方根类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()()(22a a aa a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法)a b=≥00，＞商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并(13+=+-03题型归纳题型一实数的概念与分类例题1．在下列各数：3.14159260.2、1π、13111中，无理数的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．52．在实数22,1,37π-- ，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是（）A ．两个无理数的和一定是无理数B ．无限小数都是无理数C ．实数可以用数轴上的点来表示D ．分数可能是无理数B.无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；C.实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；D.分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．4．把下列各数填人相应的集合内：143.10.8080080008...39π-，，，，（相邻两个8之间0的个数逐步甲1），158,-142整数集合｛…｝负分数集合｛…｝有理数集合｛…｝无理数集合｛…｝例题5．下列说法正确的是（）A ．8-的立方根是2±B ．2(4)-的算术平方根是4-C 4±D ．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．【解析】解：A ．8-的立方根是2-，故此选项不符合题意；B ．2(4)-的算术平方根是4，故此选项不符合题意；6．下列计算正确的是（）A ．23=B ．1=C 4=±D 3=-7．一个正数的两个平方根分别为42m -与1--m ，则这个正数为（）A ．1B ．2C ．3625D ．4【答案】D【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据平方根的定义可知()4210m m -+--=，解方程即可．【解析】解：由题意得：()4210m m -+--=，解得：1m =，∴这个正数为()2424m -=，故选：D ．8．下列说法中错误的是（）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C．916的平方根是34±D．当0x≠时，2x-有平方根9）A．4B．4±C．2D．2±例题10．解方程：(1)()21x-=(2)()312x-=-711．求出下列x 的值．(1)24490x -=；(2)()327164x +=-．题型四算术平方根的非负性例题12．已知a 、b 20b -=，则23a b -的值为（）A ．12-B ．5-C ．910D ．1313．已知x y ，()2320y +=，则x y -的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-14．已知2a b +(1)求a 、b 的值．(2)求23a b -的平方根．15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（）A ．S =B ．S 的平方根是aC ．a是S 的算术平方根D ．a =例题16）A ．表示8-的立方根B ．结果等于2-C ．与D ．没有意义17．下列说法正确的是（）A．任意实数都有平方根B．任意实数都有立方根C．任意实数都有平方根和立方根D．正数的平方根和立方根都只有一个【答案】B【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．【解析】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意；C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．18=．202=-）A ．2±B ．2C ．3±D ．3例题21，则x 和y 的关系是（）A ．x=y=0B ．x 和y 互为相反数C ．不能确定D ．x 和y 相等22x =．【答案】6【分析】直接利用相反数的定义得出x 的值，进而代入计算得出答案．【解析】解：由题意可知：12370x x -+-=，解得：6x =．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确得出x 的值是解题关键．23．21a -的平方根为3±，31a b -+的立方根为2的值为（）A ．3-B ．3C ．3±D ．不确定例题24．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）A ．1B ．0或1C ．0D ．非负数【答案】B【分析】根据算术平方根及立方根定义，结合四个选项中的数逐项验证即可得到答案．【解析】解：0的算术平方根为0；0的立方根为0；1的算术平方根为1；1的立方根为1；∴若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是0或1，故选：B ．【点睛】本题考查算术平方根及立方根定义，理解题意，弄清楚一个数的算术平方根与它的立方根相同的含义是解决问题的关键．巩固训练25．已知21a -的平方根是3±，1b -的立方根是2，则=a ，b =，b a -的算术平方根是．26．如果2a A -=为+3a b 的算术平方根，2a B -=为21a -的立方根，则+A B 的平方根为．例题27．依次连结22⨯方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（）A．2B CD．2.528．如图在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（）A．12B．1C D129．已知一个正方体的体积是31000cm ，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为3936cm ，则截去的每个小正方体的棱长是cm ．【答案】2【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是cm x ，由题意得出310008936x -=，整理得38x =，再利用立方根的定义解方程即可得出答案．【解析】解：设截去的每个小正方体的棱长是cm x ，由题意得：310008936x -=，整理得：38x =，解得：2x =，∴截去的每个小正方体的棱长是2cm ，故答案为：2．题型九算术平方根、立方根小数点移动问题例题301.333≈2.872≈≈．31a =）A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a32．1.166≈≈≈≈聪明的同学你能不用计算器得出（1）≈．（2≈．例题33．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．0.5B．0.6C．0.8D．0.934．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（）A ．5B ．15C ．125D ．25题关键．35．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果为（）A ．8B ．4C ．18D ．14例题36m ，则m 的算术平方根的值最接近整数（）A ．2B ．3C ．4D ．5巩固训练37．已知4a ，4b ，则()2023a b +=．38．已知正数x 的两个不等的平方根分别是214a -和2a +，1b +的立方根为3-；ca m n +＝，其中m 为整数，01n <<，则()()36n m +-=．39．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的近似值，得出1.4 1.5<<．利用“逐步逼近”法，请回答问题：a和b ，且a b <，那么=a ，b =；(2)ab ，求a b +的值；(3)已知：10x y ++，其中x是整数，且01y <<，求y x -的值．例题40．在实数1，0，中，最小的是．例题43．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点44．下列说法正确的是（）A．有理数与数轴上的点一一对应BC．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数D．任意一个无理数的绝对值都是正数45．观察下图，每个小正方形的边长均为1．(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且MN MP=，直接写出点N表示的数．（3）解：如图，设点N表示的数为x，由题意得：1171-=-，x解得217x=-，所以点N表示的数为217-．【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十四无理数的估算例题46．估计262-的值应在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间47．已知a b <<，a，b 是连续的正整数，则a b +的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．748．m n 、是连续的两个整数，若m n <，则m n +的值为．∵2,3是连续的两个整数，∴2,3m n ==，∴235m n +=+=，故答案为：5．【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．49的近似数的过程：∵面积为107，且1011<<，10x =+，其中01x <<，画出如图示意图，∵图中2210210S x x =+⨯+正方形，107S =正方形．∴2210210107x x +⨯+=，当2x 较小时，省略2x ，得20100107x +≈，得到0.35x ≈10.35≈．______；(2)的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到．．．0.1．．．）(3)结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈______．（用a 、b 的代数式表示）∵图中22816S x x =++正方形∴2281674x x ++=，当2x 较小时，省略2x ，得16得到0.625x ≈，即748.6≈（3）如图，设m a x =+，正方形的面积为：22a ax ++当2x 较小时，省略2x ，得a例题50．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数(||20)x x <的运算程序如图所示，若输出的y 时，则输入的实数x 可取的负整数值是．51．如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x 的值为64时，则输出y 的值是．【答案】32【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据运算程序进行计算即可．【解析】解：根据步骤，输入64，先有3644=，是有理数，42=是有理数，返回到第一步，取2的立方根是32，是无理数，最后输出32故答案为：32．52．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；y>，则x的最小整数值是_______.(3)若输出的2【答案】(1)6(2)0和1(3)5【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；x，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．（3）先得出输入的>4例题53．观察上表中的数据信息：则下列结论： 1.51=；1=；③只有3个正整数a满足15.215.3<．其中正确的是．（填写序号）<< 1.510a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…54．对于任何实数a ，我们规定：用符号[]a表示不超过a 的最大整数，例如：[]22=，1=，[]2.53-=-．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．故答案为：255．【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．题型十七二次根式的概念、有意义的条件、求值例题55．下列式子属于二次根式的是（）C DA B．157a的取值范围是.a≥【答案】2【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案．58．已知n n 的最小值为．【答案】13【分析】根据当51n +是最小的完全平方数时，n 最小，从而得出答案．【解析】解：∵27=49，28=64，∴51=64n +，∴13n =．故答案为：13．【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键．59．已知x 、y 为实数，且4y =，则x 、y 的值分别为（）A ．9、4B ．2、3C ．4、9D ．3、4例题60=61．若0xy <）A ．B ．C ．-D ．-62．实数m ）A ．29m -B ．5-C ．5D ．92m-633x =-，那么x 的取值范围是（）A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥64．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）例题65．下列根式中，是最简二次根式的是（）A BC D。
初二数学上册第三章知识总结：实数
初二数学上册第三章知识总结：实数
实数
一.定义
1.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a叫做被开方数.
2.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
3.一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
4.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
5.无限不循环小数又叫无理数.
6.有理数和无理数统称实数.
7.数轴上的点与实数一一对应.平面直角坐标系中与有序实数对之间也是一一对应的.
二.重点
1.平方与开平方互为逆运算.
2.正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的平方根就是这个数的算术平方根.
3.当被开方数的小数点向右每移动两位,它的算术平方根的小数点就向右移动一位.
4.当被平方数小数点每向右移动三位,它的立方根小数点向右移
动一位.
5.数a的相反数是-a[a为任意实数],一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
三.注意
1.被开方数一定是非负数.
2.0,1的算术平方根是它本身;0的平方根是0,负数没有平方根;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
3.带根号的无理数的整数倍或几分之几仍是无理数;带根号的数假设开之后是有理数那么是有理数;任何一个有理数都能写成分数的形式.。
八年级上册实数知识点讲解
八年级上册实数知识点讲解在数学学科中，实数是非常重要的一个概念。
它是指所有普通数字的集合，包括正数、负数和零。
在八年级上册中，实数也是重点学习内容之一。
本文将对八年级上册实数的知识点进行全面讲解，以便帮助学生加深对实数的理解。
一、实数的基础概念实数是指所有常见的数字集合，包括正数、负数和零。
实数的表示方法可以用数轴来表示。
其中，数轴的正方向表示正数，反方向表示负数，原点表示零。
在数轴上，任何一个实数都可以表示为一个唯一的点。
二、绝对值的概念绝对值是一个实数的非负值，表示这个数到零的距离。
比如绝对值为5的实数表示这个数与零的距离为5。
绝对值的表示方法可以用两个竖线（如|4|表示4的绝对值为4）来表示。
三、实数的运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
具体表示为：①交换律：a + b = b + a②结合律：(a + b) + c = a + (b + c)③分配律：a * (b + c) = a * b + a * c2. 实数的减法实数相减，可以转换为实数相加，即 a - b = a + (-b)。
其中，-b 表示b的相反数。
实数的减法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
3. 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
具体表示为：①交换律： a * b = b * a②结合律： (a * b) * c = a * (b * c)③分配律： a * (b + c) = a * b + a * c4. 实数的除法实数的除法用分数表示。
若b不为0，则a/b = a * (1/b)。
其中，1/b表示b的倒数。
实数的除法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
四、实数的大小比较实数的大小比较可以通过比较它们的绝对值大小来实现。
其中，绝对值越大的实数，其大小越大；绝对值相等的实数，需要进一步比较它们的正负。
五、实数的平方与平方根实数的平方是该实数与自身相乘的结果，即a² = a * a。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根:一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a bab a b a b a b a<⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22。
五、算术平方根有关计算（二次根式） 1、含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、性质：（1）)0()(2≥=a a a)0(≥a a （2）==a a 2)0(<-a a （3）)0,0(≥≥•=b a b a ab （)0,0(≥≥=•b a ab b a ）（4）)0,0(>≥=b a bab a （)0,0(>≥=b a baba ） 3、运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序:先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律加法交换律 a b b a +=+ 加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 )()(bc a c ab =乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(实数 同步复习 知识点1 平方根一、基本知识1．一般的，如果一个________的平方等于a ，即______，那么这个______叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为______，a 叫做______． 规定：0的算术平方根是______．2．一般的，如果______，那么这个数叫做a 的平方根．这就是说，如果______，那么x 叫做a 的平方根，a 的平方根记为______． 3．求一个数a 的______的运算，叫做开平方．4．一个正数有______个平方根，它们______；0的平方根是______；负数______． 5.25的算术平方根是______；______是9的平方根；16的平方根是______． 6．计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-412______． 二、练习1．下列各数中没有平方根的是（ ） A ．（－3）2B ．0C ．81 D ．－632．下列说法正确的是（ ） A ．169的平方根是13 B ．1.69的平方根是±1.3 C ．（－13）2的平方根是－13 D ．－（－13）没有平方根 3．下列语句不正确的是（ ）A ．0的平方根是0B ．正数的两个平方根互为相反数C ．－22的平方根是±2D ．a 是a 2的一个平方根 4．一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8数是（ ）A ．a ＋8B ．a －4C ．a 2－8D ．a 2＋8 5. 判断：3是9的算术平方根．（ ） 3是9的一个平方根．（ ） 9的平方根是－3．（ ） （－4）2没有平方根．（ ） －42的平方根是2和－2．（ ） 6. 25111的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 7．2)4(-的算术平方根是______：81的算术平方根的相反数是______． 8．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______．9．若a 有意义，则a 满足______；若a --有意义，则a 满足______．11-+-x x 中的x 的取值范围是______．10．若3x 2－27＝0，则x ＝______． 11求下列各式的值：（1）325 （2）3681+ （3）25.004.0- （4）121436.0⋅ 12．要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？13．要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？14.思考题：估计与35最接近的整数．知识点2：立方根一、基本知识1．一般的，如果______，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果______，那么x 叫做a 的立方根，a 的立方根记为________． 2．求一个数a 的______的运算，叫做开立方．3．正数的立方根是______数；负数的立方根是______数；0的立方根是______． 二、练习：1．125的立方根是______；81-的立方根是______．2．计算：（1）=-3008.0______；（2）=364611______；（3）=--312719______． 3．体积是64m 3的立方体，它的棱长是______m ． 4．64的立方根是______；364的平方根是______．5．=3064.0______；=3216______；=-33)2(______； =-38______；=-38______； 6．下列结论正确的是（ ）A ．6427的立方根是43±B ．1251-没有立方根 C ．有理数一定有立方根D ．（－1）6的立方根是－17．下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4 B ．21-是61-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-8．比较大小：（1）;11______1033（2）;2______23（3）.27______93 9．求出下列各式中的a ：（1）若a 3＝0.343，则a ＝______；（2）若a 3－3＝213，则a ＝______； （3）若a 3＋125＝0，则a ＝______；（4）若（a －1）3＝8，则a ＝______． 10．若x 的立方根是4，则x 的平方根是______． 11．－27的立方根与81的平方根的和是______． 12．若,033=+y x 则x 与y 的关系是______． 13．如果,443=+a 那么（a －67）3的值是______． 14．若m ＜0，则=-33m m ______．15.判断正误负数没有平方根，但负数有立方根．（ ）94的平方根是278,32±的立方根是⋅±32（ ） 如果x 2＝（－2）3，那么x ＝－2．（ ） 算术平方根等于立方根的数只有1．（ ） 16.求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯（3）336418-⋅（4）3231)3(27---+-17.已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．知识点3 实数一、基本知识1．______叫无理数，______统称实数． 2．______与数轴上的点一一对应． 3．把下列各数填入相应的集合：－1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ． （1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝． 4．2的相反数是________；21-的倒数是________；35-的绝对值是________． 5．如果一个数的平方是64，那么它的倒数是________．6．比较大小：（1）;233--________（2）.36________1253--7．22-的相反数是____；32-的绝对值是____．大于17-的所有负整数是______． 二、练习 1．判断：实数是由正实数和负实数组成．（ ） 0属于正实数．（ ）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ） 若,2||=x 则2=x （ ）2．下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对D ．2是近似值，无法在数轴上表示准确3．下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数 4．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）A ．±1B ．0和1C ．0和－1D ．0和±1 5.若实数a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则式子3cd b a ++-＝______． 6．在数轴上与1距离是的点2，表示的实数为______．7、计算题32716949+- 2336)48(1÷--- 23)451(12726-+-8.已知,0|133|22=--+-y x x 求x ＋y 的值．9.若无理数a 满足不等式1＜a ＜4，请写出两个符合条件的无理数______． 10．已知a 是10的整数部分，b 是它的小数部分，求（－a ）3＋（b ＋3）2的值．12．已知nm m n A -+-=3是n －m ＋3的算术平方根，322n m B n m +=+-是m ＋2n 的立方根，求B －A 的平方根．13.已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根．。