杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
2_杆系结构有限元分析1
( x) Nii N j j
x x N 1 , N 其中 i 为形函数。 j l l
由材料力学扭转可知
d dN e e M GI p GI p θ GI p B θ dx dx
其中 B
dN 1 1 dx l l
§1-2 扭转杆单元
e
外力势能 V u
e
e T
fe
e
1 e T e e e T 总势能 U V u K u u f e 2
e e
§1-1 拉(压)杆单元
1 e T e e e T U V u K u u f e 2
e e e
根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件
空间杆单元坐标变换矩阵
0 T 0
单元在两个坐标系中刚度矩阵转换关系同样有
K e T T K ' T
e
矩阵中仅仅包含有坐标的倾角，仅平行移动坐标轴，刚度矩阵 中元素值不变，矩阵的阶数也不改变。
§1-2 扭转杆单元
结点位移向量θe i , j
T
结点力向量
平衡关系
杆单元结点力向量
f U i
e
Uj
T
单元在外力和内力作用下处于平衡状态，反映单元平衡状态 的关系式就是刚度方程。下面利用最小势能原理推导单元的 刚度方程。 最小势能原理：在满足连续条件和边界条件的位移中，满足 平衡条件的位移其总势能最小，反之亦然。 单元总势能
e U e V e
M e Mi , M j
T
杆件发生自由扭转时，待求位移是截面的扭转角 ( x) 在局部坐标系中，每一个点将具有一个基本未知位移，最简单 的单元位移函数可以设为
2 杆系结构有限元法
{F } = [K ]{δ }
[K ]
称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？ 系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
2-2 弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
0 u1 = 0 − kb u 2 k b u3
从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位 移就可计算出每个弹簧所受力的大小。
弹簧1－2受力 pa＝ka×（弹簧1－2长度的变化量） pa＝ka×（u2-u1）
有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤： ①形成每个单元的刚度矩阵
(b) F1c
u1＝0
2-3 有压力kbu2 F2b = (k a + kb )u2 分别对两弹簧求静力平衡，有 F1b = −k a u 2 , F3b = − kbu2
ka
F2c
u2＝0
kb
u3,F3c
3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有
F3c = kb u3 , F2 c = − F3c = −kbu3
0 0 0 k 2 22 2 0 k32
0 2 k 23 2 k33
三、方程求解（约束条件的引入）
由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列 式的值为零，矩阵的逆不存在。 对应线性代数方程组式（2－7）和式（2－9）无定解。 物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在 任何外力的作用下系统会发生刚体运动。
− ka k a + kb − kb
杆系结构有限元
有限单元法
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P-4
1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
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P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
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0
0
2杆系结构的有限元
2杆系结构的有限元有限元法是一种常用的数值计算方法，用于求解连续介质力学问题。
它将连续结构简化为有限个节点和单元，通过在这些节点上建立适当的位移函数，进而得到结构的应力、应变和位移分布。
有限元法的应用非常广泛，特别是在结构力学领域。
本文将重点介绍2杆系结构的有限元方法。
2杆系结构是指由两个杆件组成的简单结构，它们一端固定，另一端可以自由位移。
2杆系结构的分析问题可以用一维线弹性力学理论来描述。
首先，我们需要对2杆系结构进行离散化，将其简化为有限个节点和单元。
节点是结构的关键点，单元是相邻节点之间的连接。
我们可以选择线性单元，即每个单元内部的位移是线性分布的，也可以选择非线性单元，进行更为精确的计算。
然后，在每个节点上引入适当的位移函数，用来描述结构的变形情况。
接下来，我们需要确定2杆系结构的刚度矩阵和荷载向量。
刚度矩阵描述了杆件的刚度关系，荷载向量描述了外部施加的荷载。
通过求解结构的平衡方程，我们可以得到结构的位移。
这个过程可以通过线性代数方法来实现，也可以使用迭代方法求解非线性方程组。
最后，我们可以通过计算得到的位移来计算结构的应力和应变分布。
这些信息可以用来评估结构的稳定性和耐久性。
此外，我们还可以通过有限元法来模拟结构在不同工况下的响应，进一步优化设计。
总结来说，2杆系结构的有限元方法是一种有效的工具，用于分析和设计各种类型的结构。
它可以提供结构的应力、应变和位移分布，帮助工程师评估结构的性能和安全性。
这种方法的应用范围非常广泛，可以用于建筑、桥梁、机械等领域。
在实际工程中，我们可以使用专业的有限元软件，例如ANSYS、ABAQUS等，来进行2杆系结构的有限元分析。
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
第二部分 平面杆系结构的线弹性有限元法
§3 平面杆系结构的线弹性有限元法§3.1 概论在有限元法中，可以采用位移法，也可以采用力法或混合法。
其中提出最早并且应用最广的是位移法。
对于平面杆系结构来说，位移法实际上就是结构力学中的矩阵位移法（也称刚度法），在计算时以结点位移作为基本未知量。
杆系结构的矩阵分析实际上就是有限元法。
其基本思路是：先把结构离散成有限个数目的单元，然后再考虑某些条件，将这些离散的单元重新组合在一起进行分析计算。
这样使一个复杂的计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。
根据这个思路，杆系结构的有限元法可分为两大步骤：（1）单元分析。
研究单元的受力与变形之间的关系；（2）整体分析。
研究如何将这些离散的单元重新组合得到与实际问题相符合的（如边界条件、外界荷载等等）的计算模型—整体刚度方程。
在有限元中，一般采用矩阵形式进行分析求解，因为矩阵运算不仅使公式非常紧骤，而且形式统一，易于编程，适合在电子计算机上进行自动求解。
因此，在有限元法的一般格式中，应尽量采用矩阵形式进行运算。
§3.2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1 单元的划分。
在杆系结构的有限元法中，一般将由相同材料、具有相同横截面的一根杆件（即等截面直杆）当成一个单元，整个结构就是由有限个杆件单元组成的集合体。
杆件单元具有2个结点，即首结点和末结点，但一般是先确定结点的位置，结点一旦确定，则结点之间的单元也就确定了。
在进行杆系结构的单元划分时，应注意如下事项：○1结点位置的确定。
结点一般选在杆件的如下位置：杆件的转折点、杆件汇交点、支承点、截面或材料的突变点，这些点都是结构的构造点，有时为了使结构只承受结点荷载，在集中荷载的作用处也设置一个结点。
○2结点的编号。
为了使集合以后的总刚的带宽最小，一般应遵循尽量使相关结点（有单元相连的结点）编号差值的最大值最小的原则进行。
2 单元刚度矩阵考虑一等截面的平面梁单元，单元首末结点分别为j i ,，单元长为l ，单元抗弯刚度为EI ，E 为材料的弹性模量，I 是截面的抗弯惯矩，取x 轴为沿梁单元中心轴，y 轴与x 轴成90o，如图1所示。
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.1 拉压直杆 （单元描述）
? 几何形状：等截面A,长度为l
? 载荷q：沿轴线分布
? 节点：2个
? 局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系 ox
因此， ? 节点坐标
在x轴的坐标： xi , xj ? 节点位移（自由度）
ui
i l
沿x轴的位移： ui , uj ? 单元节点位移列阵
O
ui Ui
Vj uj x
Uj j
?
X
从整体坐标到局部坐标的
[ 坐标变换矩阵 T ]
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析 推导：
注意：局部
坐标系下的 应力和应变
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：
4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)
? 几何形状：长度l，横截面为A。 ? 材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。 ? 节点：i , j 共2个 ? 局部坐标系：oxy
4.3 梁的有限元分析
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 网格离散
Y
? 单元分析
? 整体分析
④
4
③ 300mm
① 1
400mm
25kN 3
②
2
X
20kN
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 网格离散 ? 单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程 ? 整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程
因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：
? 整体坐标系:OXY ? 局部坐标系: Oxy
Y y
i ?
O
jx X
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 整体坐标系OXY ：节点位移为Ui ,Vi (i , j)
? 局部坐标系 Oxy： 节点位移为ui ,uj 则有：
Y
y
Vi i
d3v Q?EdI 3x
应变和应力???公ydd2式2vx ?：?E???Eydd2v2x
4.3 梁的有限元分析
4.3.4 应力 4.3.5 单元刚度矩阵
单元平衡方程：
?F? e ? ?k???? e
4.3 梁的有限元分析
4.3.6 等效节点载荷
? 若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点 ? 若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算
? 工程中常见类型 ? 拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架 （平面和空间）
4.1 概述
4.1.2 杆系单元
? 定义 杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。 杆系单元为一维单元。
? 结构离散
一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺 寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。
?F? e ? ??N ?T q?x?dx
? 适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。 原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。
4.3 梁的有限元分析
4.3.7 应用实例
12kN/m
1 1m
2
3
1m
4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架
? 相互独立的两种变形形式 ? 轴向拉压 ? 面内弯曲
刚架的有限元分析
? 4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）
因此，局部坐标系下： 单元节点位移列阵： 单元节点载荷列阵：
4.4 刚架的有限元分析
第四章 杆系结构的有限元法
章节目录 4.1 概述 4.2 拉压直杆的有限元分析 4.3 梁的有限元分析 4.4 刚架的有限元分析
4.1 概述
4.1.1 杆系结构
? 定义 由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构
? 分类 ? 平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内 ? 空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内
F
节点1
单元①
节点2
节点2
单元②
节点3
4.1 概述
4.1.2 杆系单元
? 分类
? 桁架单元：桁架中的杆件 ? 刚架单元：刚架中的杆件
? 区别：
桁架节点：铰节点
传递力！
刚架节点：刚节点
传递力和力矩！
4.1 概述
4.1.3 杆系单元的有限元分析
与平面问题和空间问题比较， ? 基本流程完全相同； ? 具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。
因此，
? 单元位移列阵：
? ? ?? ?
?
单元载荷列阵：
e?
vi
?i
vj
?T j
? ? ? ?F e ? Qi M i Qj M j T
4.3 梁的有限元分析
4.3.2 位移模式
代入单元两个节点的坐标和 位移条件，即可求解四个待定 常数a1-a4：
4.3 梁的有限元分析
4.3.3 应变
弯曲公??式ddxv：M?EIdd2v2x
uj
x j
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.2 位移模式
? 单元位移模式的推导
? 位移模式
ui
i l
uj
x j
? 形函数
NN? [ i
N
j
]
?
1[(l
l
??x j
x) ??(xi
x)]
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.3 应变
? 应变分量 拉压直杆只有轴向应变：
? 几何方程的推导
4.2 拉压直杆的有限元分析
? 材料力学基础知识
弯曲公式：? ? dv
dx
M
?
EI
d 2v dx2
Q
?
EI
d 3v dx3
应变和应力公式：
?
?
?
y
d 2v dx2
?
?
E?
?
? Ey
d 2v dx2
4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)
? 节点坐标值：xi=0, xj=l ? 节点位移值：挠度vi和转角θi ? 节点力：弯距 Mi 和剪力 Qi
4.2.4 应力
? 应力分量 拉压直杆只有轴向应力：
? 物理方程的推导
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元刚度矩阵
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元节点等效载荷 （轴向载荷）
? 集中力 根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上
? 体力 轴向分布载荷q(x)
推导依据：
? 面力 按照集中载荷施加在面所在的节点上
因此： 刚架单元＝杆单元＋梁单元
? 局部坐标系: oxyz
4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架 两个坐标系： ?局部坐标系 ?整体坐标系
4.4 刚架的有限元分析
4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）
? 节点位移 ? 轴向位移 ? 横向位移 ? 绕z轴的转角
? 节点载荷 ? 轴向力 ? 剪力 ? 弯矩