浙江大学2020-2021学年秋冬学期期末模拟考试《微积分》试卷及答案解析
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使得 f ′′(η) = 0. √
九、已知曲线段 L : y = ln x(1 ⩽ x ⩽ 3), 有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 √
x = 3 围成。（8’）
( I ) 求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积;
( II ) 求曲线段 L 的长。 十、已知函数 f (x) = ln ex − 1 ,
x ( I ) 求 f (x) 的单调区间;
x1 = 1,
xn+1 = f (xn) (n = 1, 2, · · · )（9’）
(
II
)
证明
lim
n→∞
xn
=
0;
∑ ∞
( III) 证明级数 xn 收敛。
n=1
十一、是否存在 R 上的连续函数 f (x), 满足 f (f (x)) = e−x, 请证明你的结
论。（7’）
2
答题卡： 3
答题卡： 4
答题卡： 5
2020-2021 学年秋冬学期微积分期末模拟考试答案
命题、组织：丹青学业指导中心
一、 (1) 注意到 因此 利用 立即得到
(2) 利用
1 ≤ 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) ≤ 1 2n 2 · 4 · 6 · · · (2n)
有实根 x0, 证明:（8’） ( I ) 存在不同的 ξ1, ξ2 ∈ (0, 1), 使得 ξ1f ′ (ξ1) + f (ξ1) = ξ2f ′ (ξ2) +
f (ξ2) = 0;
( II ) 若 f (0) < 0, 且 ∀x ∈ (x0, 1) , 有 f ′′(x) > 0, 则存在一点 η ∈ (0, 1),
∫π
∫π
f (x) cos x dx = f (x) sin x dx = 0
0
0
证明: 存在两个不同的 ξ1, ξ2 ∈ 0, π) , 使得 f (ξ1) = f (ξ2) = 0（8’）
七、求幂级数
∑ ∞ (−1)n
n
+
2 xn
的收敛域及和函数。（8’）
n+1
n=0
八、设 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数. 且 f (1) = 0. 方程 f (x) = 0 在 (0,1) 内
√
√
n 1 ≤ n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) ≤ 1
2n
2 · 4 · 6 · · · (2n)
√ lim n n = 1
n→+∞
√ lim n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = 1 n→+∞ 2 · 4 · 6 · · · (2n)
cos
1 2
cos
1 4
故
( 1
−
x2)
f ′2(x)
=
4f
(x)
(2)
对 (2) 式两边关于 x 求导得
−2xf
′2
(x)
−
2
( 1
−
x2)
f
′(x)f
′′(x)
=
4f
′(x)
2
即
−xf
′(x)
+
( 1
−
x2)
f
′′(x)
=
2
(3)
应用 Leibniz 公式, 对 (3) 式两边关于 x 求 n 阶导数得
−xf (n+1)(x)−nf (n)(x)+(1 − x2) f (n+2)(x)−2nxf (n+1)(x)−n(n−1)f (n)(x) = 0 (4)
ln
(ex
+
2)
+
1 x
+
C
2
2
(2)
∫ x cos x
∫
1
1Baidu Nhomakorabea
sin3
x
dx
=
− 2
[
xd sin2 x∫
]
1x = − 2 sin2 x −
csc2 xdx
==
1 −
2
x sin2
x
−
1 2
cot
x
+
C
三、 (1)f (x) = (arcsin x)2, 则
f
′(x)
=
2
arcsin √
x
(1)
1 − x2
·
·
·
cos
1 2n
=
2n
cos
1 2
cos
1 4
·
·
·
cos
1 2n
sin
1 2n
2n
sin
1 2n
=
sin 1
2n
sin
1 2n
可知
lim cos
n→∞
1 2
cos
1 4
· · · cos
1 2n
=
sin 1
(3)
( lim 1 x→0 x
−
) 1 ex − 1
=
lim
x→0
(
ex − 1 − x x (ex − 1)
(
)
lim
x→0
f (x) ex2 sin x
+ x
x2
=1
1
求 f (x) 在 x = 0 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式。（8’）
五、已知对任意自然数
n,
有
un
>
0
且
lim
n→∞
1
npun − cos
π n
=
1
判断
∑ ∞ un
n=1
的
敛散性。（8’）
六、设函数 f (x) 在 [0, π] 上连续, 在 (0, π) 内可导, 且
x→0
x→0
(1)
∫
ln (ex + 2)
∫
ex dx = −
ln (ex + 2) de−x ∫
= =
−e−x −e−x
ln ln
(ex (ex
+ +
2) 2)
+ +
1 2
1
∫exe+x
dx 2 +2−
ex + 2
ex
dx
=
−e−x
ln
(ex
+
2)
+
1 x
−
1
ln
(ex
+
2)
+
C
(
) 22
=−
1 + e−x
)
=
lim
x→0
ex
ex − 1 − 1 + x · ex
=
lim
x→0
1 2+x
=
1 2
(4)
1
若 α ̸= 0, 若 α = 0, 二、
lim
x→0
(xα
ln
x)
=
−
lim
x→0
ln x
−
1 xα
= − lim
x→0
1
x α xα+1
= − lim xα x→0 α
=0
lim (xα ln x) = lim ln x = −∞
一、计算下列极√限（4∗5’=20’）
(1) lim n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n→+∞ 2 · 4 · 6 · · · (2n)
(2) lim n→+(∞
cos
1 2
cos
1 4
·· )
·
cos
1 2n
(3) lim
x→0
11 x − ex − 1
(4) lim (xα ln x) , 其中 α ≥ 0
x→0
二、((计21))算∫∫ 下xlsn列icn(oe3不sexxxx定+dx积2)分dx（2∗4’=8’）
三、计算下列导数（2∗4’=8’）
((12))yddx=∫(xa32r+xc1sitn4six+n)2t2，dt求 y(n)(0) 四、已知函数 f (x) 在 x = 0 处具有一阶导数，且满足条件
2020-2021 学年秋冬学期微积分期末模拟考试
命题、组织：丹青学业指导中心
欢迎大家参加期末模拟考，下面是考试须知: 1. 请将除答题必备工具外的物品放到讲台上，电子设备关机或静音。 2. 请对号入座，并将身份证或校园卡放在桌面左上角。 3. 本场考试持续两个小时，开考后迟到二十分钟及以上不得参加本次考试，考试进行三十 分钟后方能交卷离开。 4. 开考信号发出后方可开始答题，考试终了信息发出后，应立即停止答题，离开考场。 5. 遵守考场纪律。
九、已知曲线段 L : y = ln x(1 ⩽ x ⩽ 3), 有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 √
x = 3 围成。（8’）
( I ) 求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积;
( II ) 求曲线段 L 的长。 十、已知函数 f (x) = ln ex − 1 ,
x ( I ) 求 f (x) 的单调区间;
x1 = 1,
xn+1 = f (xn) (n = 1, 2, · · · )（9’）
(
II
)
证明
lim
n→∞
xn
=
0;
∑ ∞
( III) 证明级数 xn 收敛。
n=1
十一、是否存在 R 上的连续函数 f (x), 满足 f (f (x)) = e−x, 请证明你的结
论。（7’）
2
答题卡： 3
答题卡： 4
答题卡： 5
2020-2021 学年秋冬学期微积分期末模拟考试答案
命题、组织：丹青学业指导中心
一、 (1) 注意到 因此 利用 立即得到
(2) 利用
1 ≤ 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) ≤ 1 2n 2 · 4 · 6 · · · (2n)
有实根 x0, 证明:（8’） ( I ) 存在不同的 ξ1, ξ2 ∈ (0, 1), 使得 ξ1f ′ (ξ1) + f (ξ1) = ξ2f ′ (ξ2) +
f (ξ2) = 0;
( II ) 若 f (0) < 0, 且 ∀x ∈ (x0, 1) , 有 f ′′(x) > 0, 则存在一点 η ∈ (0, 1),
∫π
∫π
f (x) cos x dx = f (x) sin x dx = 0
0
0
证明: 存在两个不同的 ξ1, ξ2 ∈ 0, π) , 使得 f (ξ1) = f (ξ2) = 0（8’）
七、求幂级数
∑ ∞ (−1)n
n
+
2 xn
的收敛域及和函数。（8’）
n+1
n=0
八、设 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数. 且 f (1) = 0. 方程 f (x) = 0 在 (0,1) 内
√
√
n 1 ≤ n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) ≤ 1
2n
2 · 4 · 6 · · · (2n)
√ lim n n = 1
n→+∞
√ lim n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = 1 n→+∞ 2 · 4 · 6 · · · (2n)
cos
1 2
cos
1 4
故
( 1
−
x2)
f ′2(x)
=
4f
(x)
(2)
对 (2) 式两边关于 x 求导得
−2xf
′2
(x)
−
2
( 1
−
x2)
f
′(x)f
′′(x)
=
4f
′(x)
2
即
−xf
′(x)
+
( 1
−
x2)
f
′′(x)
=
2
(3)
应用 Leibniz 公式, 对 (3) 式两边关于 x 求 n 阶导数得
−xf (n+1)(x)−nf (n)(x)+(1 − x2) f (n+2)(x)−2nxf (n+1)(x)−n(n−1)f (n)(x) = 0 (4)
ln
(ex
+
2)
+
1 x
+
C
2
2
(2)
∫ x cos x
∫
1
1Baidu Nhomakorabea
sin3
x
dx
=
− 2
[
xd sin2 x∫
]
1x = − 2 sin2 x −
csc2 xdx
==
1 −
2
x sin2
x
−
1 2
cot
x
+
C
三、 (1)f (x) = (arcsin x)2, 则
f
′(x)
=
2
arcsin √
x
(1)
1 − x2
·
·
·
cos
1 2n
=
2n
cos
1 2
cos
1 4
·
·
·
cos
1 2n
sin
1 2n
2n
sin
1 2n
=
sin 1
2n
sin
1 2n
可知
lim cos
n→∞
1 2
cos
1 4
· · · cos
1 2n
=
sin 1
(3)
( lim 1 x→0 x
−
) 1 ex − 1
=
lim
x→0
(
ex − 1 − x x (ex − 1)
(
)
lim
x→0
f (x) ex2 sin x
+ x
x2
=1
1
求 f (x) 在 x = 0 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式。（8’）
五、已知对任意自然数
n,
有
un
>
0
且
lim
n→∞
1
npun − cos
π n
=
1
判断
∑ ∞ un
n=1
的
敛散性。（8’）
六、设函数 f (x) 在 [0, π] 上连续, 在 (0, π) 内可导, 且
x→0
x→0
(1)
∫
ln (ex + 2)
∫
ex dx = −
ln (ex + 2) de−x ∫
= =
−e−x −e−x
ln ln
(ex (ex
+ +
2) 2)
+ +
1 2
1
∫exe+x
dx 2 +2−
ex + 2
ex
dx
=
−e−x
ln
(ex
+
2)
+
1 x
−
1
ln
(ex
+
2)
+
C
(
) 22
=−
1 + e−x
)
=
lim
x→0
ex
ex − 1 − 1 + x · ex
=
lim
x→0
1 2+x
=
1 2
(4)
1
若 α ̸= 0, 若 α = 0, 二、
lim
x→0
(xα
ln
x)
=
−
lim
x→0
ln x
−
1 xα
= − lim
x→0
1
x α xα+1
= − lim xα x→0 α
=0
lim (xα ln x) = lim ln x = −∞
一、计算下列极√限（4∗5’=20’）
(1) lim n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n→+∞ 2 · 4 · 6 · · · (2n)
(2) lim n→+(∞
cos
1 2
cos
1 4
·· )
·
cos
1 2n
(3) lim
x→0
11 x − ex − 1
(4) lim (xα ln x) , 其中 α ≥ 0
x→0
二、((计21))算∫∫ 下xlsn列icn(oe3不sexxxx定+dx积2)分dx（2∗4’=8’）
三、计算下列导数（2∗4’=8’）
((12))yddx=∫(xa32r+xc1sitn4six+n)2t2，dt求 y(n)(0) 四、已知函数 f (x) 在 x = 0 处具有一阶导数，且满足条件
2020-2021 学年秋冬学期微积分期末模拟考试
命题、组织：丹青学业指导中心
欢迎大家参加期末模拟考，下面是考试须知: 1. 请将除答题必备工具外的物品放到讲台上，电子设备关机或静音。 2. 请对号入座，并将身份证或校园卡放在桌面左上角。 3. 本场考试持续两个小时，开考后迟到二十分钟及以上不得参加本次考试，考试进行三十 分钟后方能交卷离开。 4. 开考信号发出后方可开始答题，考试终了信息发出后，应立即停止答题，离开考场。 5. 遵守考场纪律。