数学知识点苏教版必修一2.1《二次函数的最值》word教案-总结
数学必修一第四章总结
数学必修一第四章总结数学必修一第四章主要介绍了二次函数的相关知识，包括二次函数的定义、图像和性质、二次函数的最值问题以及二次函数与一次函数的关系等内容。
通过学习本章内容，我们能够更深入地了解二次函数的特点和应用，为进一步学习数学打下坚实的基础。
第一节是二次函数的定义。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称，这条直线称为二次函数的对称轴。
第二节是二次函数的图像和性质。
二次函数的图像一般由顶点和与x轴的交点确定。
顶点的横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。
当a>0时，顶点为最小值点，当a<0时，顶点为最大值点。
根据抛物线的对称性，我们可以很容易地确定其余的图像点。
二次函数的增减性和最值问题也是我们需要重点掌握的内容。
第三节是二次函数的最值问题。
对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，要确定其最值点，我们可以通过求解二次函数的导数来找到极值点。
当导数为0时，函数取得极值，且极值点的横坐标为x=-b/2a。
通过求解二次函数的导数，我们可以进一步探讨二次函数的单调性。
第四节是二次函数与一次函数的关系。
二次函数与一次函数的关系主要体现在二次函数的图像与一次函数的图像的交点。
通过求解二次函数与一次函数的交点，我们可以得到二次函数与一次函数的关系。
当二次函数与一次函数有两个交点时，两个函数有两个实根；当二次函数与一次函数有一个交点时，两个函数有一个实根；当二次函数与一次函数没有交点时，两个函数无实根。
通过学习本章内容，我们不仅能够掌握二次函数的基本定义和性质，还能够解决二次函数的最值问题以及二次函数与一次函数的关系问题。
这些知识在实际生活和工作中有着广泛的应用，例如在物理学中，通过二次函数可以描述物体的运动轨迹；在经济学中，通过二次函数可以分析企业的成本和收益关系。
苏教版(必修1)-§2.1二次函数的最值课件制作教程
提示：“几何画板”不需要安装，只要将它复制到你的电脑中即可。
在第一次打开时，会弹出一个对话框，是询问数学符号采用哪种默认字体，只要确定即可。
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§2.1二次函数的最值一、课件制作软件 本课件使用“几何画板”制作。
几何画板是美国Key Curriculum Press 公司制作的教育软件The Geometer’s Sketchpad 的汉化版。
几何画板可以精确地绘制出平面几何中的所有尺规作图，并可进行动态变换，深刻地揭示出几何概念、几何规律的内涵和本质。
二、课件主要内容二次函数是最重要的初等函数，它贯穿于高中数学的始终，许多问题最后都归结为二次函数来处理。
二次函数在指定区间上的最值问题是二次函数的一个难点。
本课件利用“几何画板”的绘图功能和动态演示功能，清晰、直观地展示了在指定区间上，顶点不定的二次函数图象的变化情况，其最大值、最小值是什么。
还有在二次函数图象不变，区间左右平移的情况下，如何确定最大值、最小值。
显示器分辨率1024×768三、课件制作步骤1.制作“封面”页⑴打开“几何画板”文件，选择工具箱中的文本工具，在画板中拖放出一个矩形框，输入课题“二次函数的最值”，在窗口下方的文本工具栏内选择，设置字体为“隶书”、48号字、红色、加粗。
单击菜单[文件]－[保存]，弹出“另存为”对话框，在“文件名”栏内输入“二次函数的最值”，单击“保存“。
2.制作“问题引入”页⑴单击菜单[文件]－[文档选项]，在“页名称”栏中输入第1页名称“封面”。
单击“增加页”按钮，选择“空白页面”，输入当前页名称“问题引入”，确定。
⑵输入文本“问题1：画出函数y=x 2―3x―2的图象……”。
⑶单击菜单[图表]－[定义坐标系]，这时会显示原点、坐标轴、单位长度及网格。
高一函数求最值总结知识点
高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。
下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。
对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。
二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。
当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。
2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。
这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。
3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。
求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。
这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。
三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。
例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。
解：首先，我们可以通过顶点法来求解。
根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。
所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。
例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。
解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。
根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。
例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。
二次函数在指定区间上的最值
2. 如果函数开口向下（a<0）， 且对称轴在区间的左侧，函数在 区间的最大值为顶点处取值，最 小值为右侧端点取值。
总结词：对于二次函数在半开半 闭区间上的最值求解，需要考虑 函数的开口方向、对称轴以及区 间端点位置。
次数
二次函数为二次函数，是 一元函数的重要代表
二次函数的图形表示
开口方向
根据a的正负性，开口向上或 向下
顶点
二次函数的极值点，也是函数图 像的对称轴
区间
根据a、b、c的数值确定函数的单 调性，从而确定在某个区间的最值
二次函数的对称轴和顶点
对称轴
$x = -\frac{b}{2a}$，这是二次函数图像的对称轴
1. 如果函数开口向上（a>0）， 且对称轴在区间的左侧，函数在 区间的最小值为顶点处取值，最 大值为右侧端点取值。
3. 对于对称轴不在区间内的函数 ，其最值情况与上述情况类似， 只需将对称轴与区间的关系代入 求解即可。
实例三：二次函数在多个区间上的最值求解
总结词：对于二次函 数在多个区间上的最 值求解，需要分别考 虑每个区间的开口方 向、对称轴以及区间 端点位置。
详细描述
1. 对于每个区间，需 要分别判断函数的开 口方向和对称轴位置 ，确定最值点。
2. 对于多个区间的情 况，需要分别求解每 个区间的最值，并考 虑区间的端点位置进 行取舍。
3. 在求解多个区间最 值时，需要注意每个 区间之间的端点取舍 情况，确保得到正确 的最值。
05
结论与展望
二次函数在指定区间上最值的求解方法总结
高一数学必修一 教案 第2课时 函数的最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义最值 条件几何意义最大值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≤M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≥M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最低点的纵坐标思考 函数f (x )＝x 2＋1≥－1总成立，f (x )的最小值是－1吗？ 答案 f (x )的最小值不是－1，因为f (x )取不到－1. 知识点二 求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 预习小测 自我检验1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．答案 －1 22．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________．答案 123．函数y ＝2x 2＋2，x ∈R 的最小值是________． 答案 24．函数y ＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．答案 32一、图象法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0， 故f (x )的最大值为1，最小值为0. 反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示，由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]． 二、利用函数的单调性求最值例2 已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )是增函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3x 1－x 2x 1＋2x 2＋2，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3,5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.反思感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )． (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练2 已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2,4])，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是[2,4]上任意两个实数，且x 1<x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝61－x 2－61－x 11－x 11－x 2＝6x 1－x 21－x 11－x 2，因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0,1－x 1<0,1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[2,4]上是增函数，所以f (x )max ＝f (4)＝1，f (x )min ＝f (2)＝－3.三、函数最值的实际应用例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，x ∈N ，0≤x ≤5，11，x ∈N ，x >5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，x ∈N ，0≤x ≤5，8.2－x ，x ∈N ，x >5.(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数最值分类讨论问题典例 已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最小值． 解 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. (2)当t ≤1<t ＋2，即－1<t ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝－4.(3)当1<t ，即t >1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为增函数，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最小值为g (t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．1．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1 D ．以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]， 所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值答案 A4．已知函数f (x )＝2x －3，当x ≥1时，恒有f (x )≥m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．∅答案 B解析 因为f (x )＝2x －3在x ∈[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝－1，故满足f (x )≥－1. 又因为在x ≥1时，f (x )≥m 恒成立， 所以m ≤－1，故m ∈(－∞，－1]． 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0<x ≤1，x ，1<x ≤2，则f (x )的最大值为________．考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数图象求最值 答案 2解析 f (x )的图象如图：则f (x )的最大值为f (2)＝2.1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：(1)最值M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x答案 A解析 选项B ，C 在[1,4]上均为增函数，选项A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A 正确． 2．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元答案 C解析 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，x ∈N ， 公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________． 答案 f (－2) f (6)解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 7．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________． 答案2714解析 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减， 所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.所以y max ＋y min ＝32＋37＝2714.8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0.9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解 f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和(0，＋∞)上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，(0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解 (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．11．若函数f (x )＝k x在区间[2,4]上的最小值为5，则k 的值为( ) A ．10 B ．10或20 C ．20 D ．无法确定答案 C解析 当k ＝0时，不满足．当k >0时，y ＝f (x )＝k x在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝k4＝5，∴k ＝20满足条件，k <0时，y ＝f (x )＝kx 在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝k2＝5，∴k ＝10，又∵k <0，∴k ＝10舍去， 综上有k ＝20.12．已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．[160，＋∞) B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，20]∪[80，＋∞) 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 答案 C解析 由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k8≤5或k8≥20，所以k ≤40或k ≥160.13．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．答案 {m |1≤m ≤2}解析 y ＝f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，利用图象(图略)得1≤m ≤2.14．函数y ＝x ＋2x －1的最小值为________．答案 12解析 令t ＝2x －1，t ≥0，∴x ＝t 2＋12， ∴y ＝t 2＋12＋t ＝12(t 2＋2t ＋1)＝12(t ＋1)2， ∵t ≥0，∴当t ＝0时，y min ＝12.15．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，则F (x )的最值情况是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值答案 D解析 由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3， 所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，0≤x ≤3，x ，x <0或x >3.作出函数F (x )的图象(图略)，可得F (x )无最大值，无最小值．16．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．(1)证明 设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)解 由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
二次函数与最值
二次函数与最值一、引子生活中有很多问题可以应用到数学中，而数学中最常见的一个函数就是二次函数。
二次函数是把自变量的平方进行比例变换后再加上一个常数项的函数形式。
不少问题都可以表达成二次函数的形式，并通过求最值来解决。
二、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以写作：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a,b,c 是常数，a ≠ 0。
a 控制二次项的开口方向，当a>0 时，二次函数开口向上；当a<0 时，二次函数开口向下。
三、最值最值是指函数取值的范围的上界或下界，也可称为函数的最大值或最小值。
在二次函数中，最值的求解就是通过求函数的极值来实现。
1.最小值：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当 a > 0 时，函数的最小值在顶点处取到。
顶点的 x 坐标可通过将导数等于 0 求得，即 f'(x) = 2ax + b = 0，解得 x = -b/2a，然后将该 x 坐标值代入函数中，即可求得最小值。
2.最大值：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当 a < 0 时，函数的最大值在顶点处取到。
同样，可以通过求导数 f'(x) = 2ax + b = 0，解得x = -b/2a 求得顶点的 x 坐标，然后将其代入函数中求得最大值。
四、应用1. 长度与面积问题：假设有一片长方形的土地，一边固定为80 米，而另一边为 x 米，此时长方形的面积 S(x) = x * 80。
然而，我们只能用一面长为50 米的篱笆，假设没有篱笆浪费，问该如何选择另一面长度，以使土地的面积最大。
解决方案：设篱笆的另一边长为 y 米。
根据题意，篱笆的总长为50+2x 米，所以2x+y=50。
而面积为 x * y ，由此可以列出一个关于 x的二次函数，S(x) = x(50-2x) = 50x - 2x^2。
根据上述的最大值求解法，我们可以通过计算得到 f'(x) = 50 - 4x = 0，解得 x = 12.5。
高一数学知识点必修一：二次函数.doc
高一数学知识点必修一：二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax +bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax +bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h) +k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x？)(x-x？)[仅限于与x轴有交点A（x？，0）和B （x？，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b )/4ax？，x？=(-b±√b -4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b )/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b -4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b -4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b -4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b -4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b －4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax +bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax +bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
高一数学单元知识点专题讲解5---二次函数的最值问题
1/4
【例 3】当 x ≥ 0时，求函数 y = −x(2 − x)的取值范围．
解：作出函数 y = −x(2 − x) = x2 − 2x 在 x ≥ 0 内的图象．
可以看出：当 x = 1时， ymin = −1，无最大值． 所以，当 x ≥ 0时，函数的取值范围是 y ≥ −1．
【例 4】当t ≤ x ≤ t +1时，求函数 y = 1 x2 − x − 5 的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于 x 所给的范围随着t 的变化而2变化，所以2需要比较对称轴与其范围的相对位置．
ymax = 37
当 时， ；当 时， ． (2) a ≥ 0 ymax = 27 + 10a a < 0 ymax = 27 −10a
． ． 2 −2 ≤ m ≤ −1 ． ． 3 a = 2,b = −2
4． a = − 1 或 a = −1． 4
5．当t ≤ 0 时， ymax = 2 − 2t ，此时 x = 1；当t > 0 时， ymax = 2 + 2t ，此时 x = −1．
解：函数 y = 1 x2 − x − 5 的对称轴为 x = 1．画出其草图．
2
2
(1) (2)
当对称轴在所给范围左侧．即t 当对称轴在所给范围之间．即t
> 1时：
当 时， x = t
ymin
时： ≤ 1 ≤ t + 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
=
1 t2 2
−t
−
5 2
；
(3)
当当对x称=轴1时在，所给ym范in 围= 右12 ×侧1．2 −即1t−+521
； (1) y = 2x2 − 4x + 5
苏教版高中数学必修第一册《函数的基本性质---二次函数的最值问题》名师课件
则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看其图象的对称轴 = 与x轴
的交点的横坐标和区间 , 的位置关系，是在区间 , 内还是在该
区间的左边或右边，当函数图象的对称轴在区间的某一边时，应利用
函数的单调性求解.
在求二次函数的最值时，应先判断它的图象的开口方向，若含有
参数，则要根据对称轴与轴交点和区间的位置关系对参数进行分类讨
(2)当 ∈ [−1，1]时,
max
2
max
= 4 = 4
= (2) = 22 − 2 × 2 − 5 = −5.
2
− 2 × 4 − 5 = 3,
典例讲解
例3、求函数() = − − 在区间 , 上的最大值和最小值.
思路
分析
由于二次函数的最值与其图象的对称轴位置有关，而题中函数图象的对称轴为
的最小值本题主要考查直观想象、数学运算的核心素养.
变式训练
1.求函数 = − − 在下列区间上的最值：
(1)[-3，0]；(2)[-1，1]；(3)[2，4].
分析
函数 = 2 − 2 − 5 = − 1
(1)当 ∈ [−3，0]时,
min
min
min
= () = − .
典例讲解
例3、求函数() = − − 在区间 , 上的最大值和最小值.
解析
(2)当 ⩽ ⩽ 时，由图②可知，对称轴在区间[, ]内，
，
=
=
−
−
= () = − .
(3)当 < ⩽ 时，由图③可知，对称轴在区间[, ]内，
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§2.5 函数与方程
课 题:二次函数的最值
教学目标:1.会求二次函数在指定区间内的最大值、最小值;
2.已知含参数的二次函数在指定区间的最值，求参数范围(即动函数、定区间问题);
3.已知二次函数在变动区间内的最值，求区间参数范围(即定函数、动区间问题)；
4.了解数形结合思想在求解二次函数最值问题中的作用.
教学重点：含参数的二次函数最值问题。
教学难点：动函数、定区间问题与定函数、动区间问题。
教学教程：一、问题情境
问题1：画出函数y=x 2―3x ―2的图象，并求在下列区间内函数最
大值、最小值：
⑴(0,2); ⑵[2,3];
⑶[－1,3]
二、学生活动
画出函数图象，如图1-2-1，在图象上标出各个区间，找出最大
值、最小值。
解：y=(x ―23)2―4
17, 对称轴x=―23，顶点(23,―4
17) ⑴∵2
3∈(0,2) ∴x=23时，y min =―417,无最大值； ⑵∵函数y=x 2―3x ―2 在[2,3]上单调递增
∴x=2时，y min =f(2)=―4,
x=3时，y max =f(3)=―2 ⑶∵23∈[－1,3] ∴x=23时，y min =―4
17, x=―１时，y max =f(―１)=2 三、建构数学
对于二次函数y= ax 2+bx+c(a ≠0)，若x ∈R ，则当a ＞0时，函数有
最小值；当a ＜0时，函数有最大值。
若x ∈[m,n]，则函数既有最大值，又有最小值。
必须结合二次函数
图象求解，特别要注意对称轴x=―a
b 2与区间[m,n]的关系。
图1-2-1
如果二次函数或区间中含有参数，就更要结合函数图象，对参数进
行讨论，求出问题的解。
例1 已知函数f(x)=―x 2+2ax+1―a 在区间[0,1]上的最大值为2，求
实数a 的值。
分析：因为对称轴x=a 位置不定，所以必须讨论a 与0,1的大小关
系，即对称轴与区间[0,1]的位置关系。
解：f(x)=―(x ―a)2+ a 2―a +1，图象开口向下，对称轴为x=a ，
⑴当a ＜0时，对称轴在区间[0,1]左边，f(x)在区间[0,1]上单调递
减，
f(x)max =f(0)=1―a=2，a=―1＜0，符合题意；
⑵当0≤a ≤1时，对称轴在区间[0,1]内，如图1-2-3,
f(x)max =f(a)= a 2―a +1=2，即a 2―a ―1=0，a=
∉±2
51[0,1]，舍去； ⑶当a ＞1时，对称轴在区间[0,1]右边，f(x)在区间[0,1]上单调递
增，如图1-2-4,
f(x)max =f(1)=a=2＞1，符合题意；
综上：a=―1或a=2
例2
设函数f(x)=x 2―
2x ―1在区间
(t,t+1)上有最小值g(t)，求g(t)的解析式。
分析：所给区间不定，就必须讨论对称轴x=1与区间(t,t+1)的位置关
系。
解：f(x)=(x ―1)2―2，对称轴为x=1。
⑴当t ＞1时，对称轴在区间(t,t+1)左侧，f(x)在区间(t,t+1)上递增，如图1-2-5,
g(t)=f(x)min =f(t)=t 2―2t ―1;
⑵t ≤1≤t+1，即0≤t ≤1时，对称轴在区间(t,t+1)内，如图1-2-6,
g(t)=f(x)min =f(1)=―2;
⑶t+1＜1，即t ＜0时，对称轴在区间(t,t+1)右侧，f(x)在区间(t,t+1)上递减，如图1-2-7，g(t)=f(x)min =f(t+1)=t 2―2。
图1-2-2 图1-2-3 图1-2-4
综上所述g(t)=⎪⎩
⎪⎨⎧>--≤≤-<-1,1210,20222t t t t t t ，
注：g(t)是个分段函数。
四、数学运用
练习
1.函数y=x 2+bx+c(x ∈[0,+∞)是单调函数，则当且仅当( )
A ．b ≥0
B ．b ≤0
C ．b ＞0
D ．b ＜0
2.已知函数f(x)=4x 2―4ax+a 2―2a+2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值。
3.已知函数f(x)=2x 2―2ax+3在区间[―1,1]上有最小值，记作g(a)
⑴求g(a)的函数解析式；⑵求g(a)的最大值。
五、回顾小结
本节课主要研究了二次函数的最值问题。
要根据数形结合思想，运用分类讨论的方法，分析二次函数对称轴
与所给区间的关系，来求出函数的最大值、最小值。
分类讨论要做到不重不漏。
六、课外作业:
1.已知函数f(x)=x 2―(3a ―1)x+a 2在区间(1,+∞)上递增，求a 的取值
范围。
2.已知函数f(x)=ax 2+2ax+1在区间[―3,2]上有最大值4，求a 的
值。
江苏省淮州中学 曾宁江
图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7。