3.2.1几种函数增长快慢的比较

合集下载

3-2-1 几类不同增长的函数模型

所以有关系式 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 结论为：由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实际产量少 700 双，而且由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为 x＝3.5)，不合实际．
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
假如你是厂长，就月份 x，产量为 y 给出四种函数模型：y＝ ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ax ＋b，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？ [分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确
1 2
定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
5 26 32 10 4.322
10 101
15 226
20 401
25 626
30 901
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 5.322 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
(3)设模拟函数为 y＝a x＋b 时，将 A，B 两点的坐标代入函数式，得
a＋b＝1， 2a＋b＝1.2. a＝0.2 2＋1，解得 b＝0.8－0.2 2.
所以有关系式为 y＝0.48 x＋0.52. 结论为：当把 x＝3 和 4 代入关系式，分别得到 y＝1.35 和 y＝1.48，与实际产量差距较大．
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1

几种函数增长快慢的比较

几种函数增添快慢的比较（一）教课目的1．知识与技术（1）掌握几种常用函数增添快慢的比较方法（2）熟习几种常用函数增添快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的比较表，比较几种常用函数增添的快慢，进而熟知常有函数增添快慢的一般性结论.3．感情、态度与价值观经过几种常有函数增添快慢的比较，感觉“绝对与相对”的内涵和处延，培育思想的发散性 .（二）教课要点与难点要点：函数增添快慢比较的常用门路；难点：认识影响函数增添快慢的要素.（三）教课方法合作沟通与知识讲解相联合，经过学习熟习的几种常有函数增添快慢的比较，领会比较方法，掌握基本结论，进而培育应用基本方法比较函数增添快慢的能力.教课环节教课内容师生互动设计企图察看函数 y xx 在与 y4[0， +∞）上的图象，说明在不一样区间内，函数增添的快慢状况 .在同一坐标中函数图象如下y xy提出问题4y引入课题yxO16x结论：若则0＜ x＜16xx4若 x＞16 则x x4师：增函数的共同特色是函数值y 随自变量x 的增添而增添，但不一样函数在同一区间内的增添快慢是否同样师生合作察看研究函数x与 y x 的增添快慢.y4① x∈ (0，16)时，y x 的图象在由问题x图象上方引入课题，激y发学习兴趣 .4可知 y x 增添较快② x(16,) 时，y x 的图在xy图象下方，4幂、指对函1．实例研究：数增添快比较函数 y=2x，y= x2， y =慢比较形2log x 的增添快慢 .成比较方方法：① 作图，列表比较、法.考证x可知 y 4 增添较快师生合作：借助计算机作图，列表，进行研究由特别到一① 列表般研究规律xy =2x2②应用二分法求2x= x2的根，即 y = 2 x与 y = x2的交点横坐标 .2．规律总结① 一般地，关于指数函数y=a x(a＞ 1)和幂函数y=x n(n ＞ 0)，在区间 (0,) 上，无论 n 比 a 大多少，只管在 x 的必定变化范围内， a x会小于 x n，但因为a x的增添快于 x n的增添，所以总存在一个 x0，当 x＞ x0时，就会有 a x＞ x n.②关于对数函数y=log a x(a＞1)和幂函数 y = x n(n＞ 0)在区间 (0, ) 上，跟着 x的增大， log a x 增添得愈来愈慢 .在 x 的必定变化范围内，log a x 可能会大于 x n，但因为log a x 的增添慢于 x n的增添，所以总存在一个x0，当 x＞ x0时，就会有 log a x ＜x n.③在区间 (0, ) 上，只管函数y = a x(a ＞ 1) ， y = log a x(a ＞ 1)和 y = x n(n＞ 0)都是增函数，但它们的增长速度不一样，并且不在同一个“品位”上.跟着 x 的增添，y = a x(a＞ 1)的增添速度愈来愈快，会超出并远远大于 y = x n(n＞0)的增添速度，而 y = log a x(a＞ 1)的增添速度则会愈来愈慢 .所以，总会存在一个 x0，当 x＞x0时，就有 log a x＜ x n＜a x.y =x21y=log2x––0x⋯y=2x8⋯y=x29⋯y=log2x⋯② 作图③ 结论x∈ R 时 log2x＜x2，且 log2x＜ 2x. 进一步研究 y = x2与 y = 2 x的增添快慢 .① 列表x01234y=2x124816y=x2014916x5678y=2x3264128256y=x225364964② 作图③结论 x∈ (0，2)时 2x＞ x2，x∈ (2，4)时， 2x＜ x2，x∈ (4,) 时 2x＞ x2在同一平面直角坐标系内三个函数图象以下：作出以下函数的图象，并进一步熟习比较它们的增添状况：函数增添快稳固练习（ 1） y=–100,x∈ [1,10] ；慢的比较方（ 2）y=20lnx+100,x∈ [1,10] ；法及步骤 .（ 3） y=20x, x∈ [1,10].由图象能够看到，函数（ 1）以“爆炸”式的速度增添；函数（ 2）增长迟缓，并逐渐趋于稳固；函数（ 3）以稳固的速率增添 .课后作业第一课时习案学生独立达成稳固知识，培养能力备选例题例 1 某人此刻一笔资本 x 万元用于投资，经过市场检查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年收益 Q 1 = ；第二种方案：借给朋友投资，年收益Q 2= +；第三种方案：办工厂，年收益Q 3 = + 2x –35；问： (1)投资 4 万元，选择哪一种投资方案 .(2)投资 10 万元，选择哪一种投资方案 . 【分析】 (1)投资 4 万元，则有：Q 1 = ；Q 2= ；Q 3=–，∴ Q 2 ＞Q 1＞ Q 3∴选择第二种方案(2)投资 10 万元，则有： Q 1 = ； Q 2 = ； Q 3 = 5，∴ Q 3 ＞Q 2＞ Q 1 ，∴选择第三种方案 . 例 2为了发展电信事业方便用户，电信企业对挪动电话采纳不一样的收费方式，此中所使用的 “便民卡” 与“如意卡” 在某市范围每个月（30 天）的通话时间 x （分），与通话费 y(元 ) 的关系以下图 .便民卡如意卡（ 1）分别求出通话费 y 1， y 2 与通话时间 x 之间的函数关系式；（ 2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪一种卡廉价.【剖析】（ 1）由图象可设y 1 = k 1x +29， y 2 = k 2 x ，把点 B (30, 35)， C (30, 15)分别代入 y 1 ，y 2 得 k 11, k 2 1 .52∴ y 11 x 29, y2 1x .5 2（ 2）令 y 1 = y 2，即 1x29 1x ，则 x 96 2.52 3当 x = 96 2时， y 1 = y 2，两种卡收费一致；3当 x ＜96 2 时， y 1＞ y 2，即如意卡廉价；3当 x ＞96 2时， y 1＜ y 2，即使民卡廉价 .3【评析】此题中的图形为直线，这就说明变量x ， y 之间知足一次函数关系，为此可采纳待.定系数法，求出详细的函数关系式，最后运用方程的思想求出要点点进而使问题得以解决图表题目的办理要点就在于正确理解其所有信息，运用合理的方法解决问题.。

【红对勾】高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件新人教版必修1

x n a 的增长 x a 会小于x ，但由于快于的增长，因此总存 x n a > x 在一个x ，当x>x 时，就会有 .
x n 0 0
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于 xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，
函数增长模型差异的应用
【例2】
某学校为了实现60万元的生源利润目
标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
1.585 2
2.322 2.585 2.807
3.170 3.322
试问： (1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大 (2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝ x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝
x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】
【解】
画出草图进行比较．
分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象

函数增长速度比较总结

函数增长速度比较总结函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的关系和规律。

而函数的增长速度则是衡量函数增长的快慢以及趋势的指标。

在数学和计算机科学领域，我们常常需要比较不同函数的增长速度，以便更好地理解和分析它们的特性。

本文将总结几种常见的函数增长速度，并进行比较和讨论。

一、常数函数常数函数是指函数的输出在任何输入下都保持不变。

它的增长速度非常稳定，不论输入的大小如何，输出都保持不变。

因此，常数函数的增长速度是最慢的，即O(1)。

二、线性函数线性函数是指函数的输出与输入之间存在着一种简单的一比一的关系。

线性函数的增长速度随着输入的增加而线性增长，所以它的增长速度为O(n)，其中n表示输入的大小。

三、对数函数对数函数是指函数的输入与输出之间存在着一种指数关系，即x = log(base, y)。

对数函数的增长速度比线性函数慢，但比常数函数快。

通常来说，对数函数的增长速度被称为次线性增长，记作O(log n)。

四、指数函数指数函数是指函数的输出与输入之间存在着一种指数级别的关系，即y = base^x，其中base是底数。

指数函数的增长速度非常快，随着输入值的增加，输出呈指数级别的增长。

因此，指数函数的增长速度被称为指数增长，记作O(base^n)。

五、多项式函数多项式函数是指由多个项构成的函数，每个项包含一个系数和一个指数幂。

多项式函数的增长速度是根据指数幂的大小来确定的。

在多项式函数中，我们通常关注最高次项，因为它决定了函数的增长趋势。

多项式函数的增长速度随着最高次项的指数增加而增加，因此它的增长速度被称为多项式增长，记作O(n^k)，其中n表示输入的大小，k表示最高次项的指数。

尽管上述函数增长速度有明显的差异，但在实际应用中，它们往往都被用来分析算法的复杂度或者描述问题的规模。

常数函数和线性函数的增长速度相对较慢，适用于处理规模较小的问题。

对数函数的增长速度次于线性函数，适用于处理规模稍大的问题。

3.2.1几类不同增长的函数模型

课堂讲义
预习导学
第三章函数的应用
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和
增函数，但__________ 增长速度不同，且不在同 y＝xn(n＞0)都是_________
一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0) 的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会________ 越来越慢． (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
预习导学课堂讲义
课堂讲义
第三章函数的应用
规律方法
1. 此类问题求解的关键是首先利用待定系数法
求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数． 2．理解“模型能更好反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系” 的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
预习导学
课堂讲义
预习导学课堂讲义
课堂讲义
解
第三章函数的应用
建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，
(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入， a＋b＋c＝8，可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30，
第三章函数的应用
曲线 C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1，曲线 C2 对应的函数为 f(x)＝lg x， (2)当 x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．函数 g(x)＝0.3x－1 呈直线增长，函数 f(x)随着 x 的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长．

高中数学同步学案几类不同增长的函数模型

3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型．方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件新人教A版必修1

[解析 ]
2x.
(1)C1 对应的函数g(x) ＝x3 ，C2 对应的函数为 f(x) ＝
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， ∴1<x1<2,9<x2<10， ∴x1<6<x2,2 013>x2.
从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，
a
＜ xn . 个x0，当x＞x0时，就会有logax_____
(3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1) 增函数，但它们增长的速度不同，而且和 y ＝ xn(n ＞ 0) 都是 _____ 不在同一个“档次”上，随着 x 的增大， y ＝ ax(a ＞ 1) 的增长速快，会超过并远远大于 y ＝ xn(n ＞ 0) 的增长速度，度越来越 _____ 而 y ＝ logax(a ＞ 1) 的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个 logax ＜xn＜_____. ax x0，当x＞x0时，就会有_______
产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推
销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月
的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份 x ，产量为 y 给出三种函数模型： y ＝ax＋ b， y ＝ ax2 ＋bx ＋c ，y＝ abx＋ c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月
3a＋b＝1.3，得 2a＋b＝1.2. a＝0.1，解得 b＝1.

3.2.1 几类不同增长的函数模型

图3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
[探究共研型]
函数模型的选择
探究1 在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？
根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.
[再练一题] 2．函数 f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1 的图象如图 322 所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2 分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较)．
函数
性质在(0，＋∞)上的增减性图象的变化
y＝ax(a>1)
增函数
y＝logax(a>1)
增函数
y＝xn(n>0)
增函数
随x的增大逐渐与随x的增大逐渐与随n值的不同而不 y轴平行 x轴平行同
2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上． (2)随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个 x0，当 x>x0 时，有 ax>xn>logax.

几种函数增长快慢的比较解读

3.2.1 几种函数增长快慢的比较（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.否相同？图象上方增长较快图象下方，．实例探究：验证进行探究①列表②作图③结论log2x＜x2，且log进一步探究y = x2与y = 20 1 2 3∈(0，2)时2x＞＜x2，x∈(4,+∞三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = 0.018x ；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1， ∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式；（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52k k ==.∴121129,52y x y x =+=.（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2963x =.当x = 9623时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待如意卡便民卡定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

3.2.1 几种函数增长快慢的比较
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
2．过程与方程
利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.
3．情感、态度与价值观
通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.
（二）教学重点与难点
重点：函数增长快慢比较的常用途径；
难点：了解影响函数增长快慢的因素.
（三）教学方法
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
否相同？
图象上方
增长较快
图象下方，
．实例探究：
验证进行探究①列表
②作图
③结论
log2x＜x2，且log
进一步探究y = x2与y = 2
0 1 2 3
∈(0，2)时2x＞
＜x2，x∈(4,+∞
三个函数图象如下：
由图象可以看到，函数（1）以“爆
例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = 0.018x ；
第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2 + 2x – 35；问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有： Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8，
∴Q 2＞Q 1＞Q 3 ∴选择第二种方案
(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1， ∴选择第三种方案.
例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.
（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式；（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得1211,52
k k ==.
∴121129,52
y x y x =+=.
（2）令y 1 = y 2，即112952x x +=，则2
963x =.
当x = 962
3时，y 1 = y 2，两种卡收费一致；
当x ＜962
3时，y 1＞y 2，即如意卡便宜；
当x ＞962
3
时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.
【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待
如意卡
便民卡
定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.。