导数的概念及其运算

导数的概念及其运算一、课程标准1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3.能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二、基础知识回顾 1. 导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，且x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)． 若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2. 导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 3. 基本初等函数的导数公式续表4. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）g 2（x ）(g(x)≠0)．5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 三、自主热身、归纳总结1、知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝02、 函数f(x)＝2x ＋cos x 在点(π2，f(π2))处的切线方程为( )A . 3x －y －π2＝0B . x －y ＋π2＝0C . 3x －y －3π2＝0D . x －y －π2＝03、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D )A . [)－1，＋∞B . ⎝⎛⎭⎫－∞，－34C . ⎝⎛⎦⎤－1，－34D . ⎣⎡⎭⎫－1，－34 4、.设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝0，则x 0等于(A ) A . 1e B . e C . e 2 D . 1 5、(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7、已知曲线f(x)＝x sin x ＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，那么实数a 的值为____．8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2.9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．11、(2019苏州期末） 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．四、例题选讲考点一、基本函数的导数 例1、求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x .变式、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋xex ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.变式2、已知f(x)＝ln 2x－12x＋1，则f′(x)＝________.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考点二求导数的切线方程例2、(1)已知曲线S：y＝－23x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x，过点A(－1e2，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．变式1、已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考点三、与切线有关的参数问题例3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________．变式1、（2017苏州一调）若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ．变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k＝________.变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．变式4、若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ．方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．五、优化提升与真题演练1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A . x －y －π－1＝0 B . 2x －y －2π－1＝0 C . 2x ＋y －2π＋1＝0 D . x ＋y －π＋1＝02、(2019·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－13、(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________.5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．6、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为________． 参考答案1、知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝0【答案】A【解析】、 由f (x )＝x x ＋2，得f ′(x )＝2（x ＋2）2，又f (－1)＝－1，f ′(－1)＝2.因此函数在x ＝－1处的切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0. 2、 函数f(x)＝2x ＋cos x 在点(π2，f(π2))处的切线方程为( )A . 3x －y －π2＝0B . x －y ＋π2＝0C . 3x －y －3π2＝0D . x －y －π2＝0【答案】B .【解析】 f(x)＝2x ＋cos x ，f(π2)＝π，f′(x)＝2－sin x ，f′(π2)＝1，在点(π2，f(π2))处的切线方程为y －π＝x －π2，即为x －y ＋π2＝0.故选B .3、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D ) A . [)－1，＋∞ B . ⎝⎛⎭⎫－∞，－34 C . ⎝⎛⎦⎤－1，－34 D . ⎣⎡⎭⎫－1，－34 【答案】D【解析】、 由题意y′＝4x ＋3，切线倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫34π，π，则切线的斜率k 的范围是[)－1，0，∴－1≤4x ＋3<0，解得－1≤x<－34. 故选D .4、.设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝0，则x 0等于(A ) A . 1e B . e C . e 2 D . 1 【答案】A .【解析】 f′(x)＝ln x ＋1，由f′(x 0)＝0，得ln x 0＋1＝0，∴ln x 0＝－1，即x 0＝1e . 故选A .5、(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD【解析】 因为(sin x )′＝cos x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x，所以A 、D 正确． 6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x【答案】AC【解析】选 若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ；则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选A 、C.7、已知曲线f(x)＝x sin x ＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，那么实数a 的值为____．【答案】－1【解析】 f′(x)＝sin x ＋x cos x ，当x ＝π2时， f′(x)＝1，∴a ＝－1.8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2. 【答案】－9.8t ＋6.5 －9.8【解析】、v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8.9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 【答案】 e －2【解析】、y′＝ln x ＋1，由题意得(ln 1＋1)·(ln t ＋1)＝－1，所以t ＝e －2.10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 【答案】 1e【解析】、设直线方程为y ＝kx ，切点为A(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝bx 0＋ln x 0＝y 0＝kx 0，f′（x 0）＝b ＋1x 0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.11、(2019苏州期末） 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________． 【答案】 23【解析】、由y ＝x ＋2e x ，得y′＝1＋2e x ，切点为(0，2)，切线斜率为3，切线方程为y ＝3x ＋2.切线与坐标轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫23，0，B(0，2)，所以S △AOB ＝12·23·2＝23.五、例题选讲考点一、基本函数的导数 例1、求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex .【解析】、(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x . 变式、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋x ex ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 【解析】、(1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x .(2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3.(3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .变式2、已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝________.【答案】44x 2－1. 【解析】、f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′ ＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 考点二 求导数的切线方程例2、(1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．【答案】（1）y ＝4x 或y ＝358x （2）x ＋y ＋1e2＝0【解析】 (1)设过点P 的切线与曲线S 切于点Q(x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k ＝ y′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又当x 0≠0时，k PQ ＝y 0x 0， ∴－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0. ①∵点Q 在曲线S 上，∴y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0.② 将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 30＋x 20＋4x 0x 0，化简，得43x 30－x 20＝0，∴x 0＝34或x 0＝0，当x 0＝34时，则k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x.当x 0＝0时，则k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ，故过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x.(2)设切点为T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)， ∴x 0ln x 0x 0＋1e2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0. 设h(x)＝e 2x ＋ln x ＋1，则h′(x)＝e 2＋1x，当x>0时，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0， ∴x 0＝1e2.由f′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.变式1、已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【解】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上，∴f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13， ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)(方法1)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0.又∵k ＝f′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.故切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 考点三、与切线有关的参数问题例3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________． 【答案】、 e 2【解析】、设切点A(x 0，e x 0)，由(e x )′＝e x ，得切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝e x 0，－k ＝（1－x 0）e x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝e 2.变式1、（2017苏州一调）若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ． 【答案】、1【解析】、 设切点的横坐标为0x ，由曲线x y e x =+，得1x y e '=+，所以依题意切线的斜率为012xk e =+=，得00x =，所以切点为(0,1)，又因为切线2y x b =+过切点(0,1)，故有120b =⨯+，解得1b =.变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k＝________. 【答案】、 1－e【解析】、：设切点为(x 0，y 0)．因为f ′(x )＝1－1e x ，则f ′(x 0)＝k ，即1－1e x 0＝k 且kx 0－1＝x 0－1＋1e x 0，所以x 0＝－1，所以k ＝1－1e－1＝1－e.变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 【答案】、 1e【解析】、设直线方程为y ＝kx ，切点为A(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝bx 0＋ln x 0＝y 0＝kx 0，f′（x 0）＝b ＋1x 0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.解后反思 因为曲线y ＝ln x 与直线y ＝1e x 相切，所以曲线y ＝bx ＋ln x 与直线y ＝⎝⎛⎭⎫b ＋1e x 相切．所以k ＝b ＋1e ，得k －b ＝1e.作为填空题可这样“秒杀”！ 命题背景 一般地，若曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx ＋b 相切，则曲线y ＝f(x)＋k 1x ＋b 1与直线y ＝kx ＋b ＋k 1x ＋b 1也相切．变式4、若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ． 【答案】3-．【解析】因为f (x )是奇函数，所以a =0，f (x )＝x 3+bx ．设f (x )在点(x 0，y 0)处的切线为：3y x =-30002000333y x bx x by x ⎧=+⎪=+⎨⎪=-⎩，解得b ＝－3 方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．五、优化提升与真题演练1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A . x －y －π－1＝0 B . 2x －y －2π－1＝0 C . 2x ＋y －2π＋1＝0 D . x ＋y －π＋1＝0 【答案】C【解析】∵y′＝2cos x －sin x ， ∴y′|x ＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，则y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)， 即2x ＋y －2π＋1＝0. 故选C .2、(2019·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1【答案】D【解析】 (1)y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴ 切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵ 切线方程为y ＝2x ＋b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 3、(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________. 【答案】 y ＝3x【解析】 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x .4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 【答案】(e ，1).【解析】 (1)设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m ).又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e).再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1).5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．【答案】..1设)21,(2t t P【解析】因为x y ='，所以切线l 的斜率t k =，且0≠t ，则直线)(121:2t x tt y PQ --=-，即12112++-=t x t y令⎪⎩⎪⎨⎧=++-=22211211x y t x t y ，消y 得：02232=--+t t x tx ，设),(11y x Q ，则t t x 21-=+，即t t x 21--=，又因为点Q 在曲线C 上，所以2222112221)2(2121t t t t x y ++=--==，故)2221,2(22tt t t Q ++--因为OQ OP ⊥，所以0=⋅，即0)2221(21)2(222=++⨯+--⨯tt t t t t ，化简得44=t ，则22=t ，所以点P 的纵坐标为.16、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4.【解析】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为：4．7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为________． 【答案】 2解法1 由题意，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，m2，因为y′＝－m （x ＋1）2，所以切线l 的斜率k ＝－m4，故切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即l ：mx ＋4y －3m ＝0，则点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －3m －4|m 2＋42＝（m ＋4）2m 2＋16＝1＋8m m 2＋16＝1＋8m ＋16m，又因为m>0，所以m ＋16m ≥2m·16m＝8(当且仅当m ＝4时取等号)，则d≤2，故点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为 2. 解法2 由题意，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，m2，因为y′＝－m （x ＋1）2，所以切线l 的斜率k ＝－m4，故切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，则直线l ：m(x －3)＋4y ＝0恒过定点(3，0)，故当直线l 与两点(3，0)，(2，－1)的连线垂直时，点(2，－1)到直线l 的距离的最大，且为 2.。