第22章二次函数小结与复习

第二十二章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1.二次函数的概念
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a ≠０ __)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的
最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特
殊的二次函数．
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三
种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交 点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次 方程ax2＋bx＋c=0的根.
有两个交点
有两个重合 的交点 没有交点
下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜
0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是D ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧 可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b ＋c＜0，故③正确； 由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜ 0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
3.二次函数图像的平移
y＝ax2 沿x轴翻折 y＝-ax2
左、右平移 左加右减
ya(xh)2
上、下平移 上加下减
ya(xh)2k
写成一般形式
yax2 bxc
4.二次函数表达式的求法
1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx ＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称 轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也 可以直接利用公式求解.
针对训练
1．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是( C )
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小
2.二次函数的图象与性质：
a＞0 开口向
上a ＜ 0 开口向下
x=h (h , k)
y最小=k y最大=k
x b
(
b
2a , 4ac
b2
)
2a 4a
y最小=4
4
a a
c c4
a
b b
2 2
y最大= 4 a
在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B.
针对训练 练
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的
是（D ）
A. y=x 2 D.y=-3x2
B.y=x-1 y C.34 x
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与 系数a，b，c的关系
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，
针对训练
3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值
随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，
在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－
x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=
－x2＋2bx＋c的对称x 轴
b 2(1)
b
，即b≤1，故选择D
.
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位
长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物 线解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
考点讲练
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值
例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为_(_1_,_2_y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
则顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公
xb 2 1 2a 21
y4acb2413222 4a 41
式
，
，
则顶点坐标为(1,2)．
有两个相异的 实数根 有两个相等的 实数根
没有实数根
b2-4ac >
0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
6.二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决 最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们 之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量 的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问 题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长
度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2， 即y＝ (x－4)2－2.故选B.
针对训练
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．故选D.
方法总结
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴 是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对 称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标 x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横 坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横 坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由 图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
考点二 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图 像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2， y2)在此函数图像上，且x1<x2<1，则 y1与y2的大小关系B是( )
A. y1≤y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1>y2
【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x ＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．