存在无风险借贷机会的投资组合的收益率与风险
投资学 第五讲 投资组合理论
风险的市场价格
市场资产组合的期望收益为E(rM)，风险 为σ2M，市场资产组合的风险溢价为 E(rM)-rf，则承担单位市场风险的报酬为
E(r M ) - rf
2 σM
这一报酬风险比率就是风险的市场价格
投资者的选择
假定某代表市场平均情况的投资者投资 于市场资产组合的比例为100%，现在 打算通过借入无风险贷款的方式增加比 例为δ的市场资产组合或者某一特定股 票，投资者将如何选择？
E r
2
E(r M ) - rf 2σ M
2
投资者的选择——某一股票A
如果投资者选择股票A ，其资产组合为1的市 场组合，δ的股票以及-δ的无风险资产，组 合的收益和风险分别为
rM+δ(rA-rf) σ2=σ2M+δ2σ2A+2 δcov(rA,rM） ≈ σ2M+2δ cov(rA,rM）
组合预期收益
AB 1
0.25 0.215 D （1/3,2/3） C
A（1，0）
F
G
AB 0
x
AB 1
E
0.18 0.02
B（0，1） 0.045 0.06 0.08 组合标准差
2.三种证券组合的可行域（不允许 卖空）
一般地，当资产数量增加时，要保证资产之 间两两完全正（负）相关是不可能的； 一般假设两种资产之间是不完全相关（一般 形态）
ij
组合中证券数量
四、有效组合与有效边界
有效组合（efficient set）,就是按照既定收益 下风险最小或既定风险下收益最大的原则建立 起来的证券组合。 有效边界（efficient frontier）,就是在坐标轴上 将有效组合的预期收益和风险的组合连接而成 的轨迹。
金融硕士MF金融学综合(风险与收益)历年真题试卷汇编5(题后含答
金融硕士MF金融学综合（风险与收益）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 5. 计算题单项选择题1．(中山大学2013)证券组合风险的大小不仅与单个证券的风险有关，还与各个证券收益间的( )有关。
A．协方差B．标准差C．离差率D．贝塔系数正确答案：A解析：投资组合的方差取决于组合中各种证券的方差和两种证券之间的协方差。
每种证券的方差度量每种证券收益的变动程度；协方差度量两种证券收益之间的相互关系。
在证券方差给定的情况下，如果两种证券收益之间的相互关系或协方差为正，组合的方差就上升；如果两种证券收益之间相互关系或协方差为负，组合的方差就下降。
知识模块：风险与收益2．(清华大学2016)投资者效用函数U=E(r)－Aσ2，在这个效用函数里A 表示( )。
A．投资者的收益要求B．投资者对风险的厌恶C．资产组合的确定等价利率D．对每A单位风险有1单位收益的偏好正确答案：B解析：在各种各样的效用函数中，目前金融理论界使用最广泛的函数是：U=Aσ2，其中A表示投资者的风险厌恶程度，其典型值在2～4之间。
A越高，说明风险厌恶程度越大，说明要求的风险补偿越多。
知识模块：风险与收益3．(对外经贸2014)按照马科维茨的描述，下面的( )资产组合不会落在有效边界上。
A．WB．XC．YD．Z正确答案：D解析：根据马科维茨的描述，落在有效边界上的资产组合当期望收益率相等时，标准差一定是最小的；当标准差相等时，期望收益率一定是最大的。
且期望收益率与标准差是正相关关系，Z组合的期望收益率低于W组合，标准差却大于W组合，所以不会落在有效边界上。
知识模块：风险与收益4．(复旦大学2018)两种资产i和j构成的资产组合中，资产组合的标准差可能降到最低的是( )。
A．ρij=－1B．ρij=0C．ρij=0．3D．ρij=1正确答案：A解析：A、B两种证券组合收益率的方差，用公式表示为：σP2=XA2σA2+XB2σB2+2XAXBρABσAσB如图6—3所示，当ρAB=1时，两种证券A、B的组合P的风险和收益落在直线AB上。
无风险借款对有效集的影响
无风险借款对有效集的影响（一）允许无风险借款下的投资组合在推导马科维茨有效集的过程中，我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅限于他期初的财富。
然而，在现实生活中，投资者可以借入资金并用于购买风险资产。
由于借款必须支付利息，而利率是已知的。
在该借款本息偿还上不存在不确定性。
因此我们把这种借款称为无风险借款。
为了分析方便起见，我们假定投资者可按相同的利率进行无风险借贷。
1．无风险借款并投资于一种风险资产的情形为了考察无风险借款对有效集的影响，我们首先分析投资者进行无风险借款并投资于一种风险资产的情形。
为此，我们只要对上一节的推导过程进行适当的扩展即可。
我们可以把无风险借款看成负的投资，则投资组合中风险资产和无风险借款的比例也可用X1和X2表示，且X1+X2=1，X1>1，X2<0。
这样，也完全适用于无风险借款的情形。
由于X1>1，X2<0，因此在图上表现为AB线段向右边的延长线上，如图1所示。
这个延长线再次大大扩展了可行集的范围。
图1 无风险借款和风险资产的组合2．无风险借款并投资于风险资产组合的情形同样，由无风险借款和风险资产组合构成的投资组合，其预期收益率和风险的关系与由无风险借款和一种风险资产构成的投资组合相似。
我们仍假设风险资产组合B是由风险证券和C和D组成的，则由风险资产组合B和无风险借款A构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在AB线段向右边的延长线上，如图2所示。
图2 无风险借款和风险组合的组合（二）无风险借款对有效集的影响引入无风险借款后，有效集也将发生重大变化。
在图9中，弧线CD仍代表马科维茨有效集，T点仍表示CD弧线与过A点直线的相切点。
在允许无风险借款的情形下，投资者可以通过无风险借款并投资于最优风险资产组合T使有效集由TD弧线变成AT线段向右边。
图3 允许无风险借款时的有效集这样，在允许无风险借贷的情况下，马科维茨有效集由CTD弧线变成过A、T 点的直线在A点右边的部分。
投资学：第5章 无风险借贷
下面，我们来计算这5个组合的预期收益率和风险，在上
述情况下，组合的预期收益率RP和风险P分别是：
N
Rp xi Ri x0rF x1R1 4%x0 16.2%x1 i 1
1
N
p
N
xi x j ij
2
x02
2 0
2x0 x1
01
x12
2 1
1 2
x12
2 1
1 2
12.08%x1
11
假设无风险资产的收益率是4%，某风险证券的预期收益 率和风险分别是16.2%和12.08%。
我们用x0表示投资于无风险资产的资金比例，用x1表示投 资于风险资产的资金比例，那么x0＝1－x1。
如果投资者将全部资金投资于无风险资产，就有x0＝1， x1＝0。
相反，投资者也可以将全部资金投资于风险资产，这种情 况下就有x0＝0，x1＝1。
由于无风险资产的标准差为零，因此无风险资产的方 差也是0，其收益率与风险资产的收益率之间的协方 差也是0。
5
因为无风险资产具有确定的收益率，所以这种类型的 资产必定是某种具有固定收益，并且没有任何违约可 能的证券。
由于所有的公司证券从原则上讲都存在着违约的可能 性，因此无风险证券不可能由公司来发行，因而必须 是政府发行的证券。
22
5.3 无风险资产的借入
如果我们允许投资者借入资金，我们可以进一步扩 展前一节的分析。这意味着，当投资者在决定将多 少资金投资于风险资产时，他将不再受初始财富的 限制。
当然，当投资者借入资金时，他也必须为这笔贷款 付出利息。由于利率是已知的，而且偿还贷款也没 有任何不确定性，因此，投资者的这种行为常常被 称为“无风险借入” 。
如果一个证券组合P中，投资于组合PAB的比例是 xPAB，用x0=1- xPAB的比例投资于无风险资产，那么 该证券组合P的预期收益率和风险就分别是：
存在无风险借贷机会时投资的有效边界
存在无风险借贷机会时投资的有效边界由公式（2）可得RP F x σσ-=1，将之代入公式（1），整理后可得：PRFR F P r r E r r E σσ-+=)()( （3）这就是由无风险资产和风险证券组合构成的组合的机会集方程。
由公式（3）可以看出，当存在无风险借贷机会时，投资组合的期望收益率与其所涉及的风险（标准差）之间存在的关系变成了线性关系。
图1 存在无风险借贷机会时投资的有效边界图1中，曲线RM 表示仅仅由风险证券构成的组合的有效边界，R 是它上面的任意一个风险证券组合。
由无风险资产和风险证券组合R 的组合构成的机会集是由Fr 点出发连接F r 和R 的一条射线R r F。
在射线R r F 上的点Fr 表示投资者将所有资金都投资于无风险资产，所得的收益率为F r ，风险为零；在线段R r F中间的点，表示将一部分资金投资于无风险资产，余下部分投资于风险证券组合R 所构成的组合，是一种“贷出性投资组合”，其收益率大于F r 而小于)(R r E ，风险大于零而小于Rσ，越靠近Fr 的点，无风险证券的投资比重越大，而越靠近R 的点，无风险证券的投资比重越小。
点R 表示将所有资金都投资于风险证券组合R ，所获的期望收益率为)(R r E ，风险为Rσ；射线R r F上R 点右侧延伸线所代表的组合是卖空无风险资产，并将卖空所得与自有资金一起投资于风险证券组合R ，是一种“借入性投资组合”，其期望收益率大于)(R r E ，风险也大于Rσ。
然而，投资于R 点所代表的风险证券组合并非是最佳的，投资者更希望将无风险资产与别的风险证券组合相结合。
射线Mr F由F r 点出发与风险证券有效边界相切，切点M 称为切点投资组合。
除点F r 外，在收益率给定时，射线Mr F是所有由无风险资产和风险证券组合构成的投资机会集中风险最小的；在风险给定时，射线Mr F 是所有由无风险资产和风险证券组合构成的投资机会集中收益率最大的。
金融学综合：证券投资学试题(11)
金融学综合：证券投资学试题(9)现代证券投资理论一、判断题1、现代证券投资理论是为解决证券投资中收益-风险关系而诞生的。
答案：是2、以马柯维茨为代表的经济学家在20世纪50年代中期创立了名为“资本资产定价模型”的新理论。
答案：非3、证券组合理论由哈里·马柯维茨创立，该理论解释了最优证券组合的定价原则。
答案：非4、证券投资收益的最大化和投资风险的最小化这两个目标往往是矛盾的。
答案：是5、证券组合的预期收益率仅取决于组合中每一证券的预期收益率。
答桠?：非6、收益率的标准差可以测定投资组合的风险。
答案：是7、有效组合在各种风险条件下提供最大的预期收益率。
答案：是8、投资者如何在有效边界中选择一个最优的证券组合，取决于投资者对风险的偏好程度。
答案：是9、投资者所选择的最优组合不一定在有效边界上。
答案：非10、马柯维茨认为，证券投资过程可以分为四个阶段，其中首先应考虑各种可能的证券和证券组合，然后要计算这些证券和证券组合的收益率、标准差和协方差。
答案：是11、CAPM的一个假设是存在一种无风险资产，投资者可以无限的以无风险利率对该资产进行借入和贷出。
答案：是12、无风险资产的收益率为零，收益率的标准差为零，收益率与风险资产收益率的协方差也为零。
答案：非13、引入无风险借贷后，所有投资者的最优组合中，对风险资产的选择是相同的。
答案：是14㠠??在市场的均衡状态下，有些证券在切点组合T中有一个非零的比例，有些证券的组合中的比例为零。
答案：非15、资本市场线上的每一点都表示由市场证券组合和无风险借贷综合计算出的收益率与风险的集合。
答案：是16、资本市场线没有说明非有效组合的收益和风险之间的特定关系。
答案：是17、单项证券的收益率可以分解为无风险利率、系统性收益率和非系统性收益率。
答案：是18、在实际操作中，由于不能确切的知道市场证券组合的构成，我们往往可以用某一市场指数来代替市场证券组合。
答案：是19、一个证券组合的系数等于该组合中各证券系数的总和。
第九章投资组合理论
引言：投资组合理论的发展（一）
分散投资的理念早已存在，如我们平时所说 的“不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。
但传统的投资管理尽管管理的也是多种证券
构成的组合，但其关注的是证券个体，是个
体管理的简单集合。投资组合管理将组合作
为一个整体，关注的是组合整体的收益与风 险的权衡。 Hicks（1935）提出资产选择问题，投资有风 险，风险可以分散；
第九章投资组合理论
五、流通风险。流通风险常与偶然事件相关联。当有 关公司的坏消息进入市场时，有时会立即引起轩然大 波，投资者争先恐后抛售股票，致使投资者无法及时 脱手持有的股票。
六、违约风险。一般发生在投资“固定收入证券”上。发 行时都承诺在规定的期限内支付约定的利息或股息， 并约定还本事宜。然而当公司现金周转不灵，财务出 现危机时，这种事先的承诺可能就无法兑现了。
一、证券组合的含义:证券组合由一种以上的 有价证券组成，如包含各种股票、债券、存款 单等，是指个人或机构投资者所持有的各种有 价证券的总称。 二、构建证券投资组合的原因 (1)降低风险。 (2)实现收益最大化
三、如何确定不同证券或资产上的投资比例，
以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就
是投资组合理论要解决的问题。
组合的各种证券的风险（方差或标准差）的加
权平均数。
第九章投资组合理论
两种证券组合的风险：(n=2)
2 p
Var
( r p ) Var
(
x i ri )
22
xi xk i,k
i1 k 1
x
2 1
2 1
x
2 2
2 2
2 x1 x 2 12
x
2 1
投资组合理论管理与有效运用
我们的任务：得到最优投资组合
• 风险-收益的权衡(trade-off of risk and return)
• 风险-收益的衡量：单只证券、投资组合 • 机会集与有效边界、投资效用函数与无差异曲线 • 最优投资组合(optimal portfolio)
7
§2 投资组合的收益
与风险
8
让我们看一个例子
者能够控制投资风险，投资收益的分布就是紧凑的。（持有组 合的时间变短，风险降低，若瞬间持有，则风险为零。） • 在这种条件下，投资者可以经常调整组合以使高阶矩差很小而 忽略不计。 • 当然，现实市场中，调整组合存在交易成本，股价在有些情况 下可能“跳跃”而非持续。
24
*关于假设1的说明（2）
• James Tobin（1958）证明：若下述两条件中任何 一个成立，则假设1就可以成立：
02 03 04 几何平均
L（% 11.36 2.61 16.36 -1.67 11.82 -5.65 3.50 8.95 19.47 ）
H（% - 171. 44.44 27.08 - -30.00 5.00 43.33 -6.25
） 12.50 43
32.14
7.13 12.65
11
风险：历史收益的波动程度
2 H
2800.0(%2 )
L 11.12% , H 52.92%,
15
投资组合的收益与风险
• 假设张三有1万元可投资的资金，其中4000元投资于股 票L，即购买了2手L股票，剩余6000元投资于股票H， 即购买了6手H股票。
• 这样，张三构造了一个组合P(0.4,0.6)。 • 注意：我们并没有说这是一个最优投资组合，
i 1
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存在无风险借贷机会的投资组合的收益率
与风险
现考虑由种证券构成的投资组合，组合包含无风险资产，其投资比重为；另外种证券都是风险证券，种风险证券在组合中总的投资比重为。
我们将仅仅由这种风险证券构成的风险证券组合记为。
因此，投资组合可以视为由无风险资产和风险证券组合的组合而构成。
可以取正数，也可以为负数。
当大于零时，表示投资者将一部分资金投资于风险证券组合，将另一部分资金投资于无风险资产，这相当于以无风险利率贷出一部分资金，或者说存在“无风险贷出机会”。
这时，无风险资产与风险证券组合的投资比重和都大于零而小于1，我们把这种投资组合称为“贷出性投资组合”。
而当小于零时，表示投资者卖空无风险资产，或者说以无风险利率借入一部分资金，并把所获得的资金与初始自有资金一起投资于风险证券组合，即存在着“无风险借入机会”。
这时候，无风险证券的投资比重小于零，而风险证券组合的投资比重（1-）大于1，我们把这种投资组合称为“借入性投资组合”。
而当等于零时，表示投资者将所有的资金全部投资于风险证券组合，即不存在“无风险借贷机会”。
无论是上述三种情况的哪一种情形，无风险资产与风险证券组合投资比重之和都等于1。
前面已经讨论了风险证券组合的收益率与风险是如何衡量的，因此在这里，我们假设风险证券组合的期望收益率与标准差为已知，分别为与。
由公式（13）可知，存在无风险借贷机会的投资组合的期望收益率为：
（1）
因而，存在无风险借贷机会的投资组合的期望收益率为无风险收益率与风险证券组合的期望收益率的加权平均数，其权数为两者在整个投资组合中所占的投资比重。
由公式（9-14），投资组合收益率的标准差为：
(2)
因此，当存在无风险借贷机会时，投资组合的风险（标准差）等于风险证券组合的投资风险（标准差）与其投资比重的乘积。
例1 设无风险利率为5%，风险证券组合的期望收益率为10%，标准差为8%。
求当无风险资产的投资比重分别为-50%、-10%、0%、10%、50%、100%时整个投资组合的期望收益率与风险。
计算结果由表1所示：
表1 不同无风险资产投资比重下组合P收益率和风险的计算结果
-50%-10%0%10%50%100%
12.5%10.5%10%9.5%7.5%5%
12%8.8%8%7.2%4%0%
从上述计算我们可以看出，随着无风险证券投资比重的增加，投资组合的期望收益率逐渐减小，同时，组合的风险也在减小。