质数与合数、数的奇偶性
数论篇
数论专题数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数（1）数的奇偶性奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数奇数个奇数相加=奇数偶数个奇数相加=偶数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数（2）数的整除，常见的数的整除特征2：个位是偶数3：各个数位之和是3的倍数5：个位是0和54、25：后两位可以被4（25）整除8、125：后三位可以被8（125）整除9：各个数位之和是9的倍数7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。
11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数。
13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除。
17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
（3）余数的性质1.余数的可加性：和的余数等于余数的和。
2.余数的可减性：差的余数等于余数的差。
3.余数的可乘性：积得余数等于余数的积。
4.同余的性质：对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。
数的整除【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
质数合数奇数偶数的区分
质数合数奇数偶数的区分然后咱们说说合数，这可就有趣了。
合数就是那些喜欢热闹的数字，除了1和它自己，还能被其他数字整除，像是4、6、8、9，都是一群开派对的数字，见到谁都能聊得来。
就好比你去参加一个聚会，身边的人全是朋友，合数们就是这样的角色，跟他们在一起绝对不会感到孤单。
尤其是6，嘿，它还是个完美数，能被1、2、3整除，真的是个社交达人。
再聊聊奇数和偶数，哎呀，这两个家伙可有意思了。
偶数就像个乖乖的学生，永远都是2、4、6、8，稳稳当当。
每次出门，都是成对出现，绝不单打独斗。
你想啊，偶数们就是一群热衷双人舞的舞者，动起来的时候，总是两两相随，左脚、右脚，一步到位。
可是奇数可不这样，它们更像是喜欢独自一人、追求自由的艺术家，1、3、5、7，它们出门的时候，都是孤独而潇洒，左边一个、右边一个，单打独斗，追求自己的风格。
这些数字还会让人感到困惑，想想，偶数加偶数一定是偶数，奇数加奇数也是偶数，可是偶数加奇数却成了奇数，真是让人抓狂。
就像是你去买菜，问老板：“这个萝卜加这个西红柿多少钱？”老板一算，嘭！给你来了个新鲜的价格，你就懵了，明明是两个不同的东西，结果价格却变得奇奇怪怪。
咱们还得聊聊它们的应用。
数学里这些数字可不只是纸上谈兵，生活中到处都有它们的身影。
比方说，偶数总是让人觉得更有规律，像是你晚上数羊，嘿，偶数来帮你，数着数着就能安心入睡。
可是奇数的存在就有点儿魔幻，给人一种意外的惊喜，像是打游戏的时候，偶尔出现个奇数奖励，哎呀，真让人心花怒放。
数字的世界其实就像是一个五彩斑斓的梦，每个数字都有它独特的个性。
质数的冷淡，合数的热情，偶数的稳定和奇数的张扬，各种角色交织在一起，形成了一幅美丽的画卷。
就像生活，咱们每个人也有各自的性格，有时候沉静，有时候热闹，有时候乖乖听话，有时候又任性出走。
所以，下次再遇到这些数字，别着急，它们每个都有自己的小故事。
质数、合数、奇数、偶数，听上去是不是有点像四个好朋友，各自玩各自的游戏？这就是数字的魅力，让我们在日常生活中，找到它们的身影，感受那份简单却又复杂的乐趣。
质数合数偶数奇数定律
质数合数偶数奇数定律质数合数偶数奇数定律质数：除了能写成自己和1的乘积以外，不能写成任何两个整数的乘积的数。
合数：除了能写成自己和1的乘积以外，还能写成其他两个整数的乘积的数。
偶数：个位是0，2，4，6，8的数。
奇数：个位是1，3，5，7，9的数。
注：质数与合数只针对于大于等于2的自然数，偶数和奇数可针对于任何整数。
质数合数奇数偶数定义准确点质数：只含有1和本身两个因数的数。
如：11，他的因数只有（1、11）合数：除了1和本身两个因数外，还含有其他因数的数。
如：10，他的因数有（1、2、5、10）偶数（也叫双数）：能被2整除的数。
如：0、2、4、6、8…………奇数（也叫单数）：不能被2整除的数。
如：1、3、5、7…………200以内质数合数奇数偶数100以内的质数表2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97100以内的合数表4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 28 30 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 45 46 48 49 50 51 52 54 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 68 69 70 72 74 75 76 77 78 80 81 82 84 85 86 88 90 92 94 95 96 98 99100以内的奇数表1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 4345 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99100以内的偶数表2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44, 46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,8 8,90,92,94,96,98,100什么是质数奇数偶数合数质数，就是除了因子1和自身，无其他因子的整数合数，就是1和所有质数以外的整数奇数，就是被2除余1的整数偶数，就是能被2整除的整数质数合数奇数偶数表要详细要多少以内的？2亿以内的表示没问题，但我估计粘不下，给个具体范围吧...在此现给出500以内的：（原本想打1000以内的，但已经提交不了了，想要更多的就Hi我吧）质数表：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 合数表：4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 28 30 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 45 46 48 49 50 51 52 54 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 68 69 70 72 74 75 76 77 78 80 81 82 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 98 99 100 102 104 105 106 108 110 111 112 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 128 129 130 132 133 134 135 136 138 140 141 142 143 144 145 146 147 148 150 152 153 154 155 156 158 159 160 161 162 164 165 166 168 169 170 171 172 174 175 176 177 178 180 182183 184 185 186 187 188 189 190 192 194 195 196 198 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 224 225 226 228 230 231 232 234 235 236 237 238 240 242 243 244 245 246 247 248 249 250 252 253 254 255 256 258 259 260 261 262 264 265 266 267 268 270 272 273 274 275 276 278 279 280 282 284 285 286 287 288 289 290 291 292 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 308 309 310 312 314 315 316 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 332 333 334 335 336 338 339 340 341 342 343 344 345 346 348 350 351 352 354 355 356 357 358 360 361 362 363 364 365 366 368 369 370 371 372 374 375 376 377 378 380 381 382 384 385 386 387 388 390 391 392 393 394 395 396 398 399 400 402 403 404 405 406 407 408 410 411 412 413 414 415 416 417 418 420 422 423 424 425 426 427 428 429 430 432 434 435 436 437 438 440 441 442 444 445 446 447 448 450 451 452 453 454 455 456 458 459 460 462 464 465 466 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 480 481 482 483 484 485 486 488 489 490 492 493 494 495 496 497 498 500奇数表：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 151 153 155 157 159 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183 185 187 189 191 193 195 197 199 201 203 205 207 209 211 213 215 217 219 221 223 225 227 229 231 233 235 237 239 241 243 245 247 249 251 253 255 257 259 261 263 265 267 269 271 273 275 277 279 281 283 285 287 289 291 293 295 297 299 301 303 305 307 309 311 313 315 317 319 321 323 325 327 329 331 333 335 337 339 341 343 345 347 349 351 353 355 357 359 361 363 365 367 369 371 373 375 377 379 381 383 385387 389 391 393 395 397 399 401 403 405 407 409 411 413 415 417 419 421 423 425 427 429 431 433 435 437 439 441 443 445 447 449 451 453 455 457 459 461 463 465 467 469 471 473 475 477 479 481 483 485 487 489 491 493 495 497 499偶数表：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 142 144 146 148 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 182 184 186 188 190 192 194 196 198 200 202 204 206 208 210 212 214 216 218 220 222 224 226 228 230 232 234 236 238 240 242 244 246 248 250 252 254 256 258 260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 282 284 286 288 290 292 294 296 298 300 302 304 306 308 310 312 314 316 318 320 322 324 326 328 330 332 334 336 338 340 342 344 346 348 350 352 354 356 358 360 362 364 366 368 370 372 374 376 378 380 382 384 386 388 390 392 394 396 398 400 402 404 406 408 410 412 414 416 418 420 422 424 426 428 430 432 434 436 438 440 442 444 446 448 450 452 454 456 458 460 462 464 466 468 470 472 474 476 478 480 482 484 486 488 490 492 494 496 498 50062是质数合数奇数偶数都有谁62是合数62/42=31,62除了1和其本身以外还有别的因数，例如2，所以62是合数62是偶数52/2=31,62能被2整除，所以62是偶数一百以内的偶数奇数质数合数质数2,11.13.17.19.23.26.28.29.31.34.37.38.39.41.43...........(就是约数只有1和它本身的)合数(除了1和本身还有别的约数的)偶数(是双数的如:2.4.6.8.10..........)齐数(是单数除了偶数都是的如:1.3.5.7.9.........)请问1到100的质数合数奇数，偶数2的倍数就是偶数单数就是奇数只有1和它本身两个因数的数就是质数2,3,5,7,11,13....质数合数奇数偶数可以是负的吗可奇数偶数以，质数合数不可以质数(又称为素数）就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数或素数。
质数合数偶数奇数的知识点
质数合数偶数奇数的知识点
1. 嘿，你知道吗？质数啊，就像是数字世界里的独行侠！比如 5 就是一个质数，它只能被 1 和它自己整除哦。
这就好像在一场聚会中，它只愿意和 1 以及它自己做朋友，是不是很特别呀？
2. 合数可就不一样啦！它就像是数字里的社交达人！比如 6，它除了能被 1 和自己整除外，还能被 2 和 3 整除呢。
可以说合数的朋友可多啦！
3. 偶数啊，那是数字家族中带来欢乐和平衡感的存在呀！像 4 就是偶数呀，偶数不就像生活中那些让人感觉安稳的事情吗？
4. 奇数则有点像个性小子呢！比如 3 就是奇数。
奇数给数字世界带来了不一样的活力和变化，就如同生活中的一些小挑战，让人兴奋！
5. 质数和合数可是有很大区别的哟！就好像一个喜欢独来独往，一个喜欢热闹非凡，多有意思呀！像 7 是质数，8 是合数，它们就是完全不同的风格呢。
6. 偶数和奇数也是很不一样的呢！想想看，2 是偶数，5 是奇数，好像一个温柔似水，一个充满激情！
7. 咱们可不能小瞧了这些质数、合数、偶数、奇数呀！它们在数学里那可是起着至关重要的作用，就如同一个个英勇的小战士！
8. 了解它们真的很有趣呢，可以让我们更好地探索数学的奥秘呀！我觉得这些概念真的超级神奇，让人忍不住想要深入研究呢！。
五年级同步讲义数的奇偶性
精锐教育学科教师辅导讲义年 级： 五年级 辅导科目： 数学 课时数：3课 题质数、合数和数的奇偶性 教学目的 1. 掌握质数、合数。
2. 掌握数的奇偶性。
教学内容一、日校回顾1. 直接写出得数.452＋98＝ 1.25×8＝ 640÷16＝ 51×21÷51×21= 5.01－1.8＝ 0.25×0.4＝ 0.88＋0.12＝ 6.5＋9.5＋3.5＝二、上节课知识点回顾1.像0、1、2、3、4、5、…这样的数是自然数。
2. 像-3、-2、-1、0、1、2、…这样的数是整数。
3.因数与倍数：因为A*B=C ，所以A 、B 就叫C 的因数，C 就叫和B 的倍数(ABC 都是不为0的自然数)例如: 5×4=20 则 20是4和5的倍数,4和5是20的因数4. 2的倍数的特征:个位上是0、2、4、6、8的数5.3的倍数的特征：每个数位的各个数字加起来是3的倍数6. 5的倍数的特征:个位上是0或5的数7.是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数.8.公因数：两个或多个数都有的因数叫做公因数公倍数：两个或多个数都有的倍数叫做公倍数最大公因数：两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数三、知识梳理1. 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。
2. 一个数除了一和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。
3. 1既不是质数，也不是合数。
4.偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数四、例题讲解一、合数与质数例1、下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。
1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：_____________________________质数有：_____________________________1、判断下面各数，哪些是质数，哪些是合数？13 18 48 5672 214565 3027例2、写出两个都是质数的连续自然数。
第二单元奇偶数、质合数小结
奇数和偶数的概念
1、偶数：自然数中，是2的倍数的 数叫做偶数（0也是偶数）。 2、奇数：自然数中，不是2的倍数 的数叫做奇数。
※温馨提醒：奇数就是单数，偶数就是双数； 奇数的个位是1、3、5、7、9，偶数的个本身两个因数。 2、合数：除了1和它本身还有别的因 数
小的
大的
按照“颜色”分：
红的
绿的
按照“味道”分：
甜的
酸的
按照“有没有虫”分： 没虫的
有虫的
谁是与众不同的数。
1）2， 3，4，6，8 2）4，9，15，16，17
3）5，11，13，27，23 4）4，9，19 ，27，91
把1-20个数字，可以 怎样分类？
※温馨提醒：最小的质数是2、最小的合数是4 1不是质数也不是合数。
20以内质数和合数
20以内质数（8个）：2、3、5、7、11、13、 17、19 20以内合数（11个）：4、6、8、9、10、12、 14、 15、16、18、20
分类的方法：
1、先找出奇数和偶数
2、再找合数
3、最后找质数
按照“大小”分：
人教版五年级下数数的奇偶性和质数、合数
第三周数的奇偶性和质数、合数1、自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
2整除的数。
叫奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
1，最小的偶数是0.关系：奇数+、- 偶数=奇数奇数+、- 奇数=偶数偶数+、-偶数=偶数。
2、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
0：最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：A；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：A；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）5、互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和8两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；例1 观察下面各式得数的奇偶性与加数或者被减数和减数的奇偶性。
合数奇数偶数质数识知识点
合数奇数偶数质数识知识点
嘿，朋友！今天咱来聊聊合数、奇数、偶数和质数这些有趣的数学知识点呀！
先来说说偶数吧。
偶数呢，就是能被 2 整除的数哟，就像 4，哎呀，这多好理解呀，2 个 2 不就是 4 嘛，它就是个偶数哦！咱平常生活里，偶数可常见啦，比如一双鞋，那就是 2 只，这就是偶数的体现呀。
再讲讲奇数呀，奇数与偶数可不一样，它不能被 2 整除呢，像 3 就是奇数呀。
你想想，三根棒棒糖，它可没办法平均分成两份，这就是奇数的特点呢。
生活中奇数也到处都是呀，比如一个人单独行动的时候，那不就是奇数嘛。
然后是质数哟！质数可特别啦，它只有 1 和它本身两个因数，像 5 就是质数呢。
哎呀，质数就像是个独行侠一样，特别独立，没那么多复杂的关系。
就好像你有个特别专注于自己事情的朋友，这就有点像质数啦！
合数可就不一样咯，合数除了 1 和它本身，还有别的因数呢。
比如说 6 呀，它除了 1 和 6，还有 2 和 3 也是它的因数呢。
这不就像那种朋友特别多，人际关系很复杂的人嘛。
咱们来举个例子感受一下呗。
说有一堆苹果 15 个，这 15 是奇数还是
偶数呢？很明显不是 2 的倍数，那就是奇数呗！那它是质数还是合数呢？它除了 1 和 15，还有 3 和 5 也是它的因数呀，所以它就是个合数呀！这不就很清楚啦。
哇塞，数学世界真的好神奇呀！这些知识点是不是很有意思呀？我觉得呀，它们就像我们生活中的各种人和事，有着自己独特的特点和存在的意义。
所以呀，我们可得好好理解和掌握它们，这样才能在数学的海洋里畅游无阻呀！。
奇数、偶数、质数、合数（一）
奇数、偶数、质数、合数（一）数学奥赛讲稿周沛耕初等数论奇数、偶数、质数、合数（一）知识、方法、技能Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m +1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m +4的形式（m ∈Z ）.（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式： n a n a a p p p A 2121?= （*）.其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .【略证】由于A 为一有限正整数，显然A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.设另有j m n q q q q q q q A m ,,212121<<ββ为质数，i β为非负整数，j=1，2，…，m .由于任何一i p 必为j q 中之一，而任一j q 也必居i p 中之一，故n=m .又因 ),,2,1(,,2121n i q p q q q p p p i i n n ==<<<<<则有，再者，若对某个i ，i i βα≠（不妨设i i βα>），用i i p β除等式n n n a n a a p p p p p p βββ 21122121?=两端得：.11111111n i i n i i n i i n i p p p p p p p ββββεβαα +-+--?= 此式显然不成立（因左端是i p 的倍数，而右端不是）.故i i βα=对一切i =1，2，…，n 均成立.惟一性得证.推论：（合数的因子个数计算公式）若n n p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα （简记为∏=+n i i 1)1(α）这是因为，乘积2222212111()1()1(21nn p p p p p p p p ++++++?++++ αα )nn p α++ 的每一项都是A 的一个因子，故共有∏=+ni i 1)1(α个. 定理：质数的个数是无穷的.【证明】假定质数的个数只有有限多个,,,21n p p p 考察整数.121+=n p p p a 由于1>a 且又不能被),,2,1(n i p i =除尽，于是由算术基本定理知，a 必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于),,2,1(n i p i =，这与假定矛盾.故质数有无穷多个.赛题精讲例1．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数. （第27届IMO 试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数.用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m 为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证：.22mk >从而ad d a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=?-?-=-==可得因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=?-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4 的倍数），因此,如果设f e a b m k ?=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b ef m k 222≤-<-≤-=- 得e=1，从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=?m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.例3．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数. （第26届IMO 预选题）【证明】由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n 项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.。
奇偶质合知识点总结
奇偶质合知识点总结一、奇偶数和质数的定义1. 奇偶数的定义：在自然数中，如果一个数能被2整除，那么它就是偶数；如果一个数不能被2整除，那么它就是奇数。
例如，2、4、6、8等都是偶数，而1、3、5、7等都是奇数。
2. 质数的定义：在自然数中，如果一个数大于1，并且它除了1和本身以外没有其他因子，那么它就是质数。
例如，2、3、5、7、11等都是质数，而4、6、8、9等则不是质数。
二、奇数和偶数的性质1. 奇数和奇数相加，结果是偶数；偶数和偶数相加，结果也是偶数。
例如，3+3=6，4+4=8。
2. 奇数和偶数相乘，结果是偶数。
例如，3x4=12。
3. 奇数和奇数相乘，结果是奇数。
例如，3x3=9。
4. 偶数减去奇数，结果是奇数；奇数减去偶数，结果是奇数。
例如，4-3=1，5-2=3。
5. 奇数的平方是奇数；偶数的平方是偶数。
例如，3²=9，4²=16。
三、质数的性质1. 质数大于1。
2. 质数不可以被其他自然数整除。
3. 每个大于1的自然数都可以表示为质数的乘积。
例如，12可以表示为2x2x3。
四、奇偶质数的应用和相关知识点1. 质数的应用：质数在加密、密码学、通信等领域有着重要的应用。
由于质数的特性，它们在加密算法中可以用来生成随机数、密钥对等，从而保障信息的安全性。
2. 奇偶质数的相关知识点：（1）质数分解：任何一个大于1的自然数都可以表示为质数的乘积。
这种表示叫做质因数分解。
例如，12=2x2x3。
（2）欧拉定理：欧拉定理是一个关于数论的定理，它用来描述了整数的幂的剩余。
例如，如果n和m是互质的正整数，则n^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的整数的个数。
（3）费马小定理：费马小定理是数论中的一个定理，它描述了在一个质数p下，任意整数a的p次幂与a 本身同余。
例如，对于任意整数a和质数p，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
3. 奇偶质数的应用：奇偶质数在密码学、数据加密、通信等领域有着重要的应用。
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一、质数与合数
1、质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数。
（最小的质数是2）
2、合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫合数。
（最小的合数是4）
注：1既不是质数，也不是合数。
二、数的奇偶性
1、根据奇偶性判断事件发生的情况
2、奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数
练习：
一、填空。
1、两个质数的和是22，积是85，这两个质数是（）和（）。
2、24的因数中，质数有（），合数有（）。
3、一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上的最小的奇数，这个三位数是（），它同时是质数（）和（）的倍数。
4、如果两个不同的质数相加还得到质数，其中一个质数必定是（）。
5、一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十位上既不是质数也不是合数，个位上既是奇数又是合数，这个数是（）。
6、两个都是质数的连续自然数是（）和（）。
7、判断下列算式的结果是偶数还是质数
132+246 （） 525+647（）
504+5103（） 7+8+9+10（）
二、判断对错：
1、一个自然数不是奇数就是偶数。
（）
2、能被2和5整除的数，一定能被10整除。
（）
3、所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。
（）
4、一个质数的最大因数和最小倍数都是质数。
（）
5、质数的倍数都是合数。
（）
6、一个自然数不是质数就是合数。
（）
三、选择题。
1、一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫（）
A. 奇数
B. 质数
C. 质因数 D、合数
2、一个合数至少有（）个因数。
A. 1
B. 2
C. 3 D 、4
3、10以内所有质数的和是（）
A. 18
B. 17
C. 26 D、19
4、在100以内，能同时3和5的倍数的最大奇数是（）。
A、95 B 85 C、 75 D、99
5、从323中至少减去（）才能是3的倍数。
A、减去3
B、减去2
C、减去1
D、减去23
6、20的质因数有（）个。
A、 1
B、2
C、3
D、4
7、下面的式子，（）是分解质因数。
A、54＝2×3×9
B、42＝2×3×7
C、15＝3×5×1
D、20=4×5
8、任意非零两个自然数的积是( )。
A、质数
B、合数
C、质数或合数
四、解决问题
1、小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？
单元练习
一、我会填。
1、最小的自然数是（），最小的质数是（），最小的合数是（），
最小的奇数是（）。
2、一个数的倍数的个数是（），最小的是（）；一个数的因数的个数是
（），最小的是（），最大的是（）。
3、像0、1、2、3、
4、5……这样的数是（），像-3、-2、-1、0、1、2、
4、4、5……这样的数是（）。
5、2的倍数的特征
（
）；
5的倍数的特征
（
）；
3的倍数的特征（）。
6、是2的倍数的数叫（），不是2的倍数的数叫（）。
7、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做（）。
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做（）。
（）既不是质数也不是合数。
8、一个数既是6的因数，又是6的倍数，这个数是（）。
9、在4、9、20三个数中，（）是（）的倍数，（）是（）的因数。
10、一本数学课本放在课桌上，开始时是封面正面朝上，翻动1次后，（）面朝上；翻动2次后，（）面朝上。
当这本书翻动50次后，（）面朝上，翻动2005次后，（）面朝上。
11、填质数：21=□+□=□+□=□×□
12、两个质数的积是35，这两个质数分别是（）和（）。
二、我会找。
1、50以内6的倍数（），最小的是（）。
100以内9的倍数
（），最小的是（）。
100以内15的倍数（），最小的是（）。
2、把1—20这20个数字填入下列适当的括号内。
20的因数：（）；3的倍数:( )
奇数：（）；偶数：（）
质数：（）；合数：（）
三、判断
1、2×4=8，8是倍数，4是因数。
（）
2、最小的整数是0。
（）
3.一个自然数，不是奇数，就是偶数。
（）
4. 一个自然数，不是质数，就是合数。
（）
四、看谁找得快。
（1）18的全部因数：( );21的全部因数：( ) 既是18的因数、又是21的因数：( )
(2)24的全部因数：( );36的全部因数：( ) 既是24的因数、又是36的因数:( )
五、选择
A、１
B、２
C、３
D、４
E、５
F、６
（１）4的因数有（）个。
5的因数有（）个。
（２）1的因数有（）个。
9的因数有（）个。
（３）15的因数有（）个。
12的因数有（）个。
（４）8的因数有（）个。
16的因数有（）个。
（５）17的因数有（）个。
18的因数有（）个。
六、我是组数能手。
１.从５、４、３、０中选出两个数字组成一个两位数，分别满足下面的条件。
（１）是３的倍数。
（２）同时是２和３的倍数。
（３）同时是３和５的倍数。
（４）同时是２、３和５的倍数。
２.从１、５、６三个数中选择一个数字填入方框里，使组成的数符合题目的要求。
（１）是２的倍数：３□、８□、２□。
（２）是３的倍数：２□、４□、９□
（３）既是３的倍数，又是５的倍数：１□、7□
（４）同时是２、３和５的倍数：□０、□２０
七、解决问题。
１、一个数，既是6的倍数，又是2４的因数，这个数可能是多少？
２、五年级同学参加植树劳动，要植树54棵，要求每行的棵数相同，有几种不同的方法？
3、食品店运来120个面包，如果每２个装一袋，能正好装完吗？如果每３个装一袋，能正好装完吗？如果每５个装一袋，能正好装完吗？
4、教室的长是８米，宽是６米，如果用边长是２分米的方砖铺地，需要多少块方砖？如果每块方砖３０元，一共要多少元？。