第六章 空间力系
理论力学课件：空间力系
空间力系
4.1 空间汇交力系 4.2 力对点之矩及力对轴之矩 4.3 空间力偶系 4.4 空间力系向一点简化 主矢与主矩 4.5 空间力系的平衡方程及应用 4.6 物体的重心 思考题
空间力系
4.1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影与分解 1)直接投影法(一次投影法) 在图4-1所示的直角坐标系中,已知力F 与x 轴、y 轴、z
空间力系
2.空间力偶系的合成 作用面不共面的力偶系称为空间力偶系。由于力偶矩矢 是自由矢量,故空间力偶系合成的方法与空间汇交力系相同。 即空间力偶系合成的结果是一个合力偶,合力偶矩等于各分 力矩的矢量和,即
空间力系 将式(4-16)中的矩矢分别向x,y,z 上投影,有
即合力偶矩矢在x,y,z 轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴 上投影的代数和。
空间力系
图4-15
空间力系
空间力系
4)空间力系简化为力螺旋 当力系向一点简化时,R'≠0,MO ≠0,且R'与MO 不垂直而成 任一角α,这是最一般的情形。将 MO 分解为分别与R'平行、 垂直的两个分量 MO//、MO⊥ ,如图4-16(a)所示。其中, MO//=MOcosα、MO⊥ =MOsinα。 MO⊥ 与R'进一步合成为作用在A 点的一个力R, OA=MOsinα/R。由于力偶矩为自由矢量,将 MO//平移到A 点 与R重合,如图4-16(c)所示。最终的简化结果为一个力R 和一 个力偶MO//。这种由一个力和在与之垂直平面内的一力偶所 组成的力系称为力螺旋。
空间力系 合力偶矩矢的大小和方向为
式(4-18)中,α、β、γ 为M 在xyz 坐标系中的方向角。
空间力系 【例4-4】 在图4-12所示的直角三棱柱上,作用着力
空间力系
第六章空间力系一、图示结构自重不计，已知；力Q=70kN，θ=450，β=600，A、B、C铰链联接。
试求绳索AD的拉力及杆AB、AC的内力。
二、是非题（）1．在空间问题中，力对轴的矩是代数量，而对点的矩是矢量。
（）2．力对于一点的矩在一轴上投影等于该力对于该轴的矩。
（）3．一个空间力系向某点简化后，得主矢’、主矩o，若’与o平行，则此力系可进一步简化为一合力。
（）4．某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化时，主矢一定等于零，主矩也一定等于零。
（）5．某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必为力螺旋。
（）6．一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程只有5个。
（）7．一个空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。
（）8．某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。
三、填空题1．如图所示，已知一正方体，各边长为a，沿对角线BH作用一个大小为F 的力，该力在x轴上的投影为；在y轴上的投影为；在z轴上的投影为；对x轴之矩为；对y轴之矩为；对z轴之矩为。
2．过点A点（3，4，0）的力F在轴x上的投影F x=20N，在轴y上的投影F y=20N，在轴z投影F z=202N，则该力大小为_________，对x轴之矩为；对y轴之矩为；对z轴之矩为。
3. 力F从A点（3，4，0）指向B点（0，4，4）（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为；在y轴上的投影为；在z轴上的投影为；对x轴之矩为；对y轴之矩为；对z轴之矩为。
4．空间力系的合力对某轴之矩等于各分力对_______的代数和。
空间任意力系向一点简化得到的主矢与简化中心的选择______关；得到的主矩等于力系各力对简化中心的矩的______和。
5．判断空间约束目的未知约束力数的基本方法是：观察物体在空间的六种可能的运动有哪几种运动被约束阻碍，约束的阻碍作用就是约束反力。
第六章空间力系
理论力学
鉴于空间力偶区别于平面力偶的特点，可以用一个矢量 表示空间力偶，该矢量垂直于力偶作用面，指向由右手定则 确定。并且矢的长度表示力偶矩的大小，矢的方位与力偶作 用面的法线方位相同，即如以力偶的转向为右手螺旋的转动 方向，则大拇指指向即为力偶矩矢的方向，如图 6－10 所示。 此矢量称为力偶矩矢，记作 M 由此可知。
第6章 空间力系
理论力学
6.1 空间汇交力系
6.1.1 力在坐标轴上的投影
若已知力与正交坐标系 Oxyz 三轴间夹角，则用直接投影 法，如图 6－1a，力 F 可以对 x，y，z 三个方向上投影，其正 交分力分别为 Fx，Fy，Fz，则其大小为：Fx＝Fcos(F，i)，Fy ＝Fcos(F，j)，Fz＝Fcos(F，k)。
图 6－3
第6章 空间力系
理论力学
解：用二次投影法求解。由图 6－3b 得：
Fx＝Ft＝Fcosαsinβ (圆周力) Fy＝Fa＝－Fcosαcosβ (轴向力) Fz＝Fr＝－Fsinα (径向力) 如已知力在坐标轴上的投影 Fx、Fy、Fz，可按下式决定 力的大小和方向余弦：
F＝ Fx2＋F2y＋F2z(6－4) cosα＝FFx，cosβ＝FFy，cosγ＝FFz
上的投影为 Fx＝Fsinγcosφ，Fy＝Fsinγsinφ，Fz＝Fcosγ。若以 Fx、Fy、Fz 表示力 F 沿直角坐标轴 x、y、z 的正交分量，则 力 F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系
可表示为：
F＝Fx＋Fy＋Fz＝Fxi＋Fyj＋Fzk
(6－1)
第6章 空间力系
理论力学
第6章 空间力系
理论力学
6.2.3 力对点的矩与力对轴的矩的关系
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
第6章 力系的平衡—思考题-解答
第6章力系的平衡——思考题——解答6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量为什么6-1 解答：(1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。
(2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。
6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程为什么（1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点；（8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面；（11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成；（12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。
6-2 解答：空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程0=∑xF，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M(1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。
假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。
理论力学精品课程第六章空间力系
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
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航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
工程力学
M O ( F ) M x ( F ) i M y ( F ) j M z ( F )k Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
例 题 3
已知： P 、 a、b、c 求： 力P 对OA轴之矩
z
解：（1）计算 MO(P)
已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影
解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A .
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
a 2 b2 c2
例4 6.2
如图所示，长方体棱长为 a、 b、c，力 F 沿BD，求力 F 对AC 之矩。 解： mAC (F ) mC (F ) AC
B
F
c
a
C
D
b
A
mC ( F ) F cosa
Fba a 2 b2
mAC ( F ) mC ( F ) cos
Fabc a 2 b2 a 2 b2 c 2
§4–3
空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（2） 方向：转动方向；
（3） 作用面：力偶作用面。
（1） 大小
（2） 方向
第六章空间力系
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
4.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
MO F'R
＝ F'R
O
O
4.4.2 空间任意力系的简化结果分析
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直 于F'R和平行于F'R，则M"O和F'R可用作用于点O'的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
MO
F'R
O
a
FB
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
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4
2 一次投影法（直接投影法）
正六面体对角线力 F ，将 F 直接 向三个坐标轴投影：
其投影计算式
Fx F cos Fy F cos Fz F cosg
γF β
α
其中αβγ分别为力与三个坐标轴正向的夹角
5
3 二次投影法（间接投影法） 先将力投影到xoy平面上，再将力投影到三个坐标轴。
其投影计算式
F' 二 空间力偶的等效定理 若两个力偶矩矢相等，则两个力偶等效。
F'
M F
M F
16
三 空间力偶系的合成与平衡
由于空间力偶是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一 点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢 量运算法则。
1 合成：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
n
M M1 M 2 M 3 M n M i
若以 Fx , Fy , Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则
F Fx Fy Fz
Fx Fxi , Fy Fy j, Fz Fzk
F Fxi Fy j Fzk
Fzz Fxx
F FFyy
Fxy
8
§6-2 空间汇交力系的合成与平衡
一 空间汇交力系的合成
繁琐
1 几何法：合力为空间力多边形的封闭边；作用点过6–1 空间力沿坐标轴的分解与投影 §6–2 空间汇交力系的合成与平衡 §6–3 空间力偶理论 §6–4 力对点之矩与力对轴之矩 §6–5 空间任意力系向已知点的简化·主矢
与主矩·空间力系合力矩定理 §6–6 空间任意力系的平衡条件与平衡方程 §6–7 平行力系的中心与重心
2
工程中常常存在着很多各力作用线不在同一平面内的力系， 即空间力系，空间力系是最一般的力系。
迎面 风 力 Q1
Q2
P
侧面
P
风力
FN1 b
FN 2
3
§6-1 空间力沿坐标轴的分解与投影
一 力在空间轴上的投影
F
g
O
Fxy
1 力在空间的表示 三要素： 大小：F F
作用点：确定点
方向：由、、g三个方向角确定 或由仰角 与方位角 确定。
1 平面： 大小 转向
代数量表示 MO(F) F d
A
F B Od
19
一 力对点之矩
2 空间： 定位矢量
大小
转向
矢量表示
作用面方位
F d 2SAOB
转向
右手螺旋法则
作用面法线
矢径
MO(F) r F
MO(F)
z r
B
F
O
A
d
y
20
x
3 力对点之矩的解析式
若在直角坐标系下：令 r 是矩心到力作用点的矢径且有
MO
F
=
z
x·Fy
-
y
·Fx
MO F y = z·Fx - x ·Fz
为力矩矢在坐标轴上的投影。
21
二 力对轴之矩
1 意义 力对物体绕轴转动效果的度量
z
2 定义
Mz F
力对轴之矩等于此力在垂直于轴的平
B
=3.125 kN (OB杆受拉)
C
D
FOC
FOB O
320 FOA
A
GG
12
§6-3 空间力偶理论
z
F F'
d
y x
转动效应
平面力偶
平面力偶矩
M F , F ' Fd
大小
方向
空间力偶
力偶矩矢
？
13
空间力偶的等效条件(对平面力偶的性质进一步扩展)
作用于同一刚体上两平行平面内的两个力偶，若其力偶矩大 小相等、转向相同，则两力偶等效。
F Fxi Fy j Fzk
i
j
MO F r F x
y
Fx Fy
r xi yj zzk
B
k MO F
F
z
Od y
Fz
rA x
=( y·Fz - z ·Fy ) i + (z·Fx - x ·Fz ) j + (x·Fy - y ·Fx ) k
其中
M
O
F
=
x
y·Fz
-
z
·Fy
Fz =0 G + FOA·sin = 0
B
FOA = -6.25kN (OA杆受压)x
Fx =0 FOB·sin - FOC·sin = 0
FOB= FOC
C
D
FOC
FOB
O
320 FOA
y
A
GG
z
11
Fy =0 -2FOB·cos - FOA·cos = 0
cos = cos
FOB = - FOA / 2
Fx F cos cos Fy F cos sin Fz F sin
矢量
其中θ ,φ分别为仰角和方位角
6
二 已知坐标轴上的投影求合力
大小 F Fx2 Fy2 Fz 2
方向
cos Fx
F
cos Fy
F
cos g Fz
F
其中αβγ分别为F与三个坐标轴的夹角
γF β
α
7
三 力沿坐标轴的分解
i 1
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
;
cos
Mx M
,cos
My M
, cos g
Mz M
17
2 平衡：力偶系中各力偶矩的矢量和等于零。
M Mi 0
投影式：
Mx 0 My 0 Mz 0
各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和等于零。
18
§6-4 力对点之矩与力对轴之矩
一 力对点之矩 力对物体绕点转动效应的度量
面汇交力系也一定平衡。
2）投影轴可以任意选取，但三个轴不能共面， 三个轴中的任意
两个也不能相互平行。
10
[例1] 直杆OA、OB、OC用光滑球铰链连接成支架，如图所示。
平面ABC和平面AOD都是铅直的，且相互垂直。在球铰链O上挂 有重量G=5kN的重物，略去杆重。求三根杆受力。
解：分析铰链O，受力如图
2 解析法：各力在三个正交坐标轴上投影，再计算合力。
空间汇交力系的合力
FR
F i
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
大小： 方向：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos(FR,i )
Fx FR
cos(FR
,
j
)
Fy FR
cos(FR ,
k
)
Fz FR
9
二 空间汇交力系的平衡
充要条件：力系的合力为零，即： FR Fi 0
1 几何条件：该力系的力多边形自行封闭。
2 解析条件： Fx = 0 Fy = 0
平衡方程 三个未知量
Fz = 0
说明：1）当空间汇交力系平衡时，该力系在任平面上的投影得到的平
F1' 平面A b a
F1
F1' 平面A b a
F1
F' F2'
F2'
d
c
F2
F2
F
平面B
F =2F1
平面B F2' d
c F2
14
z
F F'
F F'
F
=
y x
转动效应
空间力偶
一 力偶矩矢 大小
1 三要素
转向 作用面方位
F'
Fd 矢量表示 转向
作用面法线
右手螺旋法则
15
2 空间力偶矩矢是一个自由矢量 力偶可在同一平面内或平行平面内任意移动。