第六章 空间力系分析
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第六章空间力系
理论力学
鉴于空间力偶区别于平面力偶的特点，可以用一个矢量 表示空间力偶，该矢量垂直于力偶作用面，指向由右手定则 确定。并且矢的长度表示力偶矩的大小，矢的方位与力偶作 用面的法线方位相同，即如以力偶的转向为右手螺旋的转动 方向，则大拇指指向即为力偶矩矢的方向，如图 6－10 所示。 此矢量称为力偶矩矢，记作 M 由此可知。
第6章 空间力系
理论力学
6.1 空间汇交力系
6.1.1 力在坐标轴上的投影
若已知力与正交坐标系 Oxyz 三轴间夹角，则用直接投影 法，如图 6－1a，力 F 可以对 x，y，z 三个方向上投影，其正 交分力分别为 Fx，Fy，Fz，则其大小为：Fx＝Fcos(F，i)，Fy ＝Fcos(F，j)，Fz＝Fcos(F，k)。
图 6－3
第6章 空间力系
理论力学
解：用二次投影法求解。由图 6－3b 得：
Fx＝Ft＝Fcosαsinβ (圆周力) Fy＝Fa＝－Fcosαcosβ (轴向力) Fz＝Fr＝－Fsinα (径向力) 如已知力在坐标轴上的投影 Fx、Fy、Fz，可按下式决定 力的大小和方向余弦：
F＝ Fx2＋F2y＋F2z(6－4) cosα＝FFx，cosβ＝FFy，cosγ＝FFz
上的投影为 Fx＝Fsinγcosφ，Fy＝Fsinγsinφ，Fz＝Fcosγ。若以 Fx、Fy、Fz 表示力 F 沿直角坐标轴 x、y、z 的正交分量，则 力 F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系
可表示为：
F＝Fx＋Fy＋Fz＝Fxi＋Fyj＋Fzk
(6－1)
第6章 空间力系
理论力学
第6章 空间力系
理论力学
6.2.3 力对点的矩与力对轴的矩的关系
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
第6章 力系的平衡—思考题-解答
第6章力系的平衡——思考题——解答6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量为什么6-1 解答：(1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。
(2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。
6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程为什么（1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点；（8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面；（11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成；（12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。
6-2 解答：空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程0=∑xF，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M(1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。
假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。
理论力学精品课程第六章空间力系
首先，我们需要明确力的合成和分解的基本原理。然后，根据题目给出的条件，我们可 以将一个力分解为若干个分力，或者将若干个分力合成为一个合力。通过这些操作，我
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
感谢您的观看
THANKS
航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
们可以求出物体所受的合力和分力。
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该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
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可分为集中力系和分布力系。
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可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
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航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
第6章 空间力系
1. 力对点之矩以矢量表示——力矩矢 对平面力系，各力与矩心位于同一平面内，
用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要
素。但对空间力系，各力与矩心所构成的平面 （力矩作用面）的方位不同，用代数量不足以概 括其全部要素。为此引入力矩矢M O ( F )来描述空 间力对点的矩。
理论力学
（1）力 F 对点O的矩可以定义为 MO ( F ) r F M O ( F ) r F F h 2 AΔ OAB
理论力学
静力学
空间力系
8
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合 力，因此,空间汇交力系平衡的必要与充分条件为： n 该合力等于零，即 FR F1 F2 Fn Fi 0 i 1 由 FR的大小 FR Fx2 F y2 Fz2
理论力学
静力学
空间力系
第6章 空间力系
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 空间汇交力系 力对点之矩和力对轴之矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化 空间任意力系的平衡问题 重心平行力系的中心
理论力学
静力学
空间力系
2
实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用
线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间
Fz F cos
理论力学
静力学
空间力系
(2) 间接投影法 当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到轴x、y 上，即 Fx Fxy cos
4
F sin cos Fy Fxy sin F sin sin
F
Fxy
MO ( F ) Fbi
用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要
素。但对空间力系，各力与矩心所构成的平面 （力矩作用面）的方位不同，用代数量不足以概 括其全部要素。为此引入力矩矢M O ( F )来描述空 间力对点的矩。
理论力学
（1）力 F 对点O的矩可以定义为 MO ( F ) r F M O ( F ) r F F h 2 AΔ OAB
理论力学
静力学
空间力系
8
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合 力，因此,空间汇交力系平衡的必要与充分条件为： n 该合力等于零，即 FR F1 F2 Fn Fi 0 i 1 由 FR的大小 FR Fx2 F y2 Fz2
理论力学
静力学
空间力系
第6章 空间力系
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 空间汇交力系 力对点之矩和力对轴之矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化 空间任意力系的平衡问题 重心平行力系的中心
理论力学
静力学
空间力系
2
实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用
线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间
Fz F cos
理论力学
静力学
空间力系
(2) 间接投影法 当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到轴x、y 上，即 Fx Fxy cos
4
F sin cos Fy Fxy sin F sin sin
F
Fxy
MO ( F ) Fbi
静力学 空间力系ppt课件
解：
Fz 5 F
35
Fy 3 F 35
Fx 1 F 35
M z(F ) M z(F x ) M z(F y ) M z(F z)
Fx(105 0)0Fy150
10.41(Nm)
1
20
2. 空间力偶 一、力偶矩用矢量表示：
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必须用 矢量表示。
显然空间力偶系的平衡条件是：
MMi 0
∵ M Mx2My2Mz2
Mx 0 ∴ My 0
Mz 0
1
27
[例3]求合力偶 z
b
h
F2
y
F1
F1
x
F2
z
M1 M2 y
x
z M y
x
M 1 F1 b M 2 F2 h1
M M12 M22
28
§6-4 空间任意力系的平衡方程
一、空间任意力系向一点的简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系
1
3
§6–1 工程中的空间力系问题
a
a
A
P 2P
1
a 2P
B P
4
§6-2 力在空间坐标轴上的投影 ★一次投影法（直接投影法）
由图可知：
X F cos , Y F cos , Z F cos
z Z
F
Y
X
o
y
x
1
5
★ 二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易
z
确定时，可先将 F 投影到xy
z a
解：
a
F
y
a
静力学 第6章空间力系及重心
3
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力
第六章空间力系
Fx Fy Fz
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
4.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
MO F'R
＝ F'R
O
O
4.4.2 空间任意力系的简化结果分析
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直 于F'R和平行于F'R，则M"O和F'R可用作用于点O'的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
MO
F'R
O
a
FB
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
4.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
MO F'R
＝ F'R
O
O
4.4.2 空间任意力系的简化结果分析
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直 于F'R和平行于F'R，则M"O和F'R可用作用于点O'的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
MO
F'R
O
a
FB
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
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习题课
3
§6-1 空间汇交力系
一、力在空间轴上的投影与分解：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg
坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz 而：
Fx Xi ,Fy Yj,Fz Zk 所以： F Xi Yj Zk
Fz Fx
F X 2 Y 2 Z 2
cos X ,cos Y ,cosg Z
F
F
F
Fy
6
二、空间汇交力系的合成： 1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多
边形方法求合力。
18
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
又由于 mO (F )rF [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
mx (F )i my (F ) jmz (F )k
所以力对点O的矩为：
mO (F ) (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
R F1 F2 F3 Fn F i
即：合力等于各分力的矢量和
2、解析法： 由于 Fi X ii Yi j Zik 代入上式
合力 R X ii Yi j Zik
由 X i 为合力在x轴的投影， ∴
பைடு நூலகம்Rx Xi R y Yi Rz Zi 7
3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴
X 0 Y 0
Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2 空间力偶系
一、力偶矩用矢量表示： 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。
力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动 为正。 空间力偶是一个自由矢量！
10
二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即
X F sing cos Fxy cos F cos cos Y F sing sin Fxy sin F cos sin
Z Fcosg Fsin 5
4、力沿坐标轴分解：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
1
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第六章 空间力系 §6–1 空间汇交力系 §6–2 空间力偶系 §6–3 力对点的矩与力对轴的矩 §6–4 空间一般力系向一点的简化 §6–5 空间一般力系简化结果的讨论 §6–6 空间一般力系的平衡方程及应用 §6–7 平行力系的中心与物体的重心
11
由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
①力偶矩的大小= m
②力偶矩作用面的方位——与力偶作用面法线方向相同 ③在作用面内的转向——遵循右手螺旋规则。 三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
cos mx (F ) ,cos my (F ) ,cosg mz (F )
mO (F )
同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。
[证] ①作II//Ⅰ，cd // ab
②作一对平衡力R, R' (在E点,且
使-R=R')
③由反向平行力合成得：
F1与R合成得F2，作用在d点 F1'与R'合成得F2'，作用在c点
且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'
④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（ F2， F2' ）
mO (F ) Fd 2AOB面积
如果r 表示A点的矢径，则：
14
mO (F )r F , mO (F ) r F sin(r,F ) F d
即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。
O
两矢量夹角为 12
由于F Xi YjZk r xi yj zk
i jk
mO (F )r F x y z ( yZ zY )i (zX xZ ) j(xY yX )k X Y Z [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
上投影的代数和。
合力: R
Rx2
R
2 y
Rz2
(X )2 (Y )2 (Z )2
cos Rx ,cos Ry ,cosg Rz
R
R
R
8
三、空间汇交力系的平衡： 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
15
二、力对轴的矩
定义： mz (F )mO (Fxy )Fxy d 2OA'B'的面积
它是代数量，方向规定 + –
[证] mz (F )mz (Fz )mz (Fxy )mO (Fxy )
结论：力对//它的轴的 矩为零。即力F与轴共 面时，力对轴之矩为零。
16
力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
17
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[证] 由于mO (F ) 2AOB面积
通过O点作任一轴Z，则：
mz (F )mz (Fxy )2OA'B'
由几何关系： OABcosg OA'B' 所以： 2OABcosg 2OA'B'
即： mO (F ) cosg mz (F )
[mO (F )]z mz (F )
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n
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
m
m
2 x
m
2 y
mz2
;cos
mx m
,cos
my m
,cosg
mz m
显然空间力偶系的平衡条件是：
m m i 0
投影式为：
mx 0 my 0
mz 0
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§6-3 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。 [例] 汽车反镜的球铰链
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§6-1 空间汇交力系
一、力在空间轴上的投影与分解：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
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2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg
坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz 而：
Fx Xi ,Fy Yj,Fz Zk 所以： F Xi Yj Zk
Fz Fx
F X 2 Y 2 Z 2
cos X ,cos Y ,cosg Z
F
F
F
Fy
6
二、空间汇交力系的合成： 1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多
边形方法求合力。
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定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
又由于 mO (F )rF [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
mx (F )i my (F ) jmz (F )k
所以力对点O的矩为：
mO (F ) (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
R F1 F2 F3 Fn F i
即：合力等于各分力的矢量和
2、解析法： 由于 Fi X ii Yi j Zik 代入上式
合力 R X ii Yi j Zik
由 X i 为合力在x轴的投影， ∴
பைடு நூலகம்Rx Xi R y Yi Rz Zi 7
3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴
X 0 Y 0
Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
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§6-2 空间力偶系
一、力偶矩用矢量表示： 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。
力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动 为正。 空间力偶是一个自由矢量！
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二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即
X F sing cos Fxy cos F cos cos Y F sing sin Fxy sin F cos sin
Z Fcosg Fsin 5
4、力沿坐标轴分解：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
1
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第六章 空间力系 §6–1 空间汇交力系 §6–2 空间力偶系 §6–3 力对点的矩与力对轴的矩 §6–4 空间一般力系向一点的简化 §6–5 空间一般力系简化结果的讨论 §6–6 空间一般力系的平衡方程及应用 §6–7 平行力系的中心与物体的重心
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由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
①力偶矩的大小= m
②力偶矩作用面的方位——与力偶作用面法线方向相同 ③在作用面内的转向——遵循右手螺旋规则。 三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
cos mx (F ) ,cos my (F ) ,cosg mz (F )
mO (F )
同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。
[证] ①作II//Ⅰ，cd // ab
②作一对平衡力R, R' (在E点,且
使-R=R')
③由反向平行力合成得：
F1与R合成得F2，作用在d点 F1'与R'合成得F2'，作用在c点
且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2'
④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（ F2， F2' ）
mO (F ) Fd 2AOB面积
如果r 表示A点的矢径，则：
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mO (F )r F , mO (F ) r F sin(r,F ) F d
即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。
O
两矢量夹角为 12
由于F Xi YjZk r xi yj zk
i jk
mO (F )r F x y z ( yZ zY )i (zX xZ ) j(xY yX )k X Y Z [mO (F )]x i [mO (F )]y j[mO (F )]z k
上投影的代数和。
合力: R
Rx2
R
2 y
Rz2
(X )2 (Y )2 (Z )2
cos Rx ,cos Ry ,cosg Rz
R
R
R
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三、空间汇交力系的平衡： 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
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二、力对轴的矩
定义： mz (F )mO (Fxy )Fxy d 2OA'B'的面积
它是代数量，方向规定 + –
[证] mz (F )mz (Fz )mz (Fxy )mO (Fxy )
结论：力对//它的轴的 矩为零。即力F与轴共 面时，力对轴之矩为零。
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力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
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三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[证] 由于mO (F ) 2AOB面积
通过O点作任一轴Z，则：
mz (F )mz (Fxy )2OA'B'
由几何关系： OABcosg OA'B' 所以： 2OABcosg 2OA'B'
即： mO (F ) cosg mz (F )
[mO (F )]z mz (F )
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n
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
m
m
2 x
m
2 y
mz2
;cos
mx m
,cos
my m
,cosg
mz m
显然空间力偶系的平衡条件是：
m m i 0
投影式为：
mx 0 my 0
mz 0
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§6-3 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。 [例] 汽车反镜的球铰链