第六章空间力系
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理论力学课件：空间力系
空间力系
空间力系
4.1 空间汇交力系 4.2 力对点之矩及力对轴之矩 4.3 空间力偶系 4.4 空间力系向一点简化 主矢与主矩 4.5 空间力系的平衡方程及应用 4.6 物体的重心 思考题
空间力系
4.1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影与分解 1)直接投影法(一次投影法) 在图4-1所示的直角坐标系中,已知力F 与x 轴、y 轴、z
空间力系
2.空间力偶系的合成 作用面不共面的力偶系称为空间力偶系。由于力偶矩矢 是自由矢量,故空间力偶系合成的方法与空间汇交力系相同。 即空间力偶系合成的结果是一个合力偶,合力偶矩等于各分 力矩的矢量和,即
空间力系 将式(4-16)中的矩矢分别向x,y,z 上投影,有
即合力偶矩矢在x,y,z 轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴 上投影的代数和。
空间力系
图4-15
空间力系
空间力系
4)空间力系简化为力螺旋 当力系向一点简化时,R'≠0,MO ≠0,且R'与MO 不垂直而成 任一角α,这是最一般的情形。将 MO 分解为分别与R'平行、 垂直的两个分量 MO//、MO⊥ ,如图4-16(a)所示。其中, MO//=MOcosα、MO⊥ =MOsinα。 MO⊥ 与R'进一步合成为作用在A 点的一个力R, OA=MOsinα/R。由于力偶矩为自由矢量,将 MO//平移到A 点 与R重合,如图4-16(c)所示。最终的简化结果为一个力R 和一 个力偶MO//。这种由一个力和在与之垂直平面内的一力偶所 组成的力系称为力螺旋。
空间力系 合力偶矩矢的大小和方向为
式(4-18)中,α、β、γ 为M 在xyz 坐标系中的方向角。
空间力系 【例4-4】 在图4-12所示的直角三棱柱上,作用着力
空间力系
4.1 空间汇交力系 4.2 力对点之矩及力对轴之矩 4.3 空间力偶系 4.4 空间力系向一点简化 主矢与主矩 4.5 空间力系的平衡方程及应用 4.6 物体的重心 思考题
空间力系
4.1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影与分解 1)直接投影法(一次投影法) 在图4-1所示的直角坐标系中,已知力F 与x 轴、y 轴、z
空间力系
2.空间力偶系的合成 作用面不共面的力偶系称为空间力偶系。由于力偶矩矢 是自由矢量,故空间力偶系合成的方法与空间汇交力系相同。 即空间力偶系合成的结果是一个合力偶,合力偶矩等于各分 力矩的矢量和,即
空间力系 将式(4-16)中的矩矢分别向x,y,z 上投影,有
即合力偶矩矢在x,y,z 轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴 上投影的代数和。
空间力系
图4-15
空间力系
空间力系
4)空间力系简化为力螺旋 当力系向一点简化时,R'≠0,MO ≠0,且R'与MO 不垂直而成 任一角α,这是最一般的情形。将 MO 分解为分别与R'平行、 垂直的两个分量 MO//、MO⊥ ,如图4-16(a)所示。其中, MO//=MOcosα、MO⊥ =MOsinα。 MO⊥ 与R'进一步合成为作用在A 点的一个力R, OA=MOsinα/R。由于力偶矩为自由矢量,将 MO//平移到A 点 与R重合,如图4-16(c)所示。最终的简化结果为一个力R 和一 个力偶MO//。这种由一个力和在与之垂直平面内的一力偶所 组成的力系称为力螺旋。
空间力系 合力偶矩矢的大小和方向为
式(4-18)中,α、β、γ 为M 在xyz 坐标系中的方向角。
空间力系 【例4-4】 在图4-12所示的直角三棱柱上,作用着力
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
第6章 力系的平衡—思考题-解答
第6章力系的平衡——思考题——解答6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量为什么6-1 解答：(1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。
(2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。
6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程为什么（1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点；（8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面；（11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成；（12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。
6-2 解答：空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程0=∑xF，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M(1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。
假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。
理论力学精品课程第六章空间力系
首先，我们需要明确力的合成和分解的基本原理。然后，根据题目给出的条件，我们可 以将一个力分解为若干个分力，或者将若干个分力合成为一个合力。通过这些操作，我
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
感谢您的观看
THANKS
航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
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航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
第6章 空间力系
1. 力对点之矩以矢量表示——力矩矢 对平面力系，各力与矩心位于同一平面内，
用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要
素。但对空间力系，各力与矩心所构成的平面 （力矩作用面）的方位不同，用代数量不足以概 括其全部要素。为此引入力矩矢M O ( F )来描述空 间力对点的矩。
理论力学
（1）力 F 对点O的矩可以定义为 MO ( F ) r F M O ( F ) r F F h 2 AΔ OAB
理论力学
静力学
空间力系
8
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合 力，因此,空间汇交力系平衡的必要与充分条件为： n 该合力等于零，即 FR F1 F2 Fn Fi 0 i 1 由 FR的大小 FR Fx2 F y2 Fz2
理论力学
静力学
空间力系
第6章 空间力系
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 空间汇交力系 力对点之矩和力对轴之矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化 空间任意力系的平衡问题 重心平行力系的中心
理论力学
静力学
空间力系
2
实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用
线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间
Fz F cos
理论力学
静力学
空间力系
(2) 间接投影法 当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到轴x、y 上，即 Fx Fxy cos
4
F sin cos Fy Fxy sin F sin sin
F
Fxy
MO ( F ) Fbi
用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要
素。但对空间力系，各力与矩心所构成的平面 （力矩作用面）的方位不同，用代数量不足以概 括其全部要素。为此引入力矩矢M O ( F )来描述空 间力对点的矩。
理论力学
（1）力 F 对点O的矩可以定义为 MO ( F ) r F M O ( F ) r F F h 2 AΔ OAB
理论力学
静力学
空间力系
8
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程 由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合 力，因此,空间汇交力系平衡的必要与充分条件为： n 该合力等于零，即 FR F1 F2 Fn Fi 0 i 1 由 FR的大小 FR Fx2 F y2 Fz2
理论力学
静力学
空间力系
第6章 空间力系
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 空间汇交力系 力对点之矩和力对轴之矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化 空间任意力系的平衡问题 重心平行力系的中心
理论力学
静力学
空间力系
2
实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用
线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间
Fz F cos
理论力学
静力学
空间力系
(2) 间接投影法 当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到轴x、y 上，即 Fx Fxy cos
4
F sin cos Fy Fxy sin F sin sin
F
Fxy
MO ( F ) Fbi
空间力系
合力等于各分力的矢量和，合力作用线过汇交点 FR Fi F1 F2 Fn ( F1x i F1 y j F1z k )
( F2 x i F2 y j F2 z k ) ( Fnx i Fny j Fnz k ) (F1x F2 x Fnx )i ( F1 y F2 y Fny ) j ( F1z F2 z Fnz )k
d
F
rB
O
rA
符合右手螺旋法则：将右手四指弯曲表示力偶的转动，拇指所指 即为力偶矩矢量的指向．从矢的末端沿矢看去，力偶的转向是逆 时针的．
由图可知力偶矩矢不需要确定矢的初端位置，力偶可以在作用面内任意移动， 后面还会证明力偶可以在平行平面内任意移动，这样的矢量称为自由矢量．PAG 17
§3
Fz
h A
F
Fxy
b
正负判定: 右手螺旋法则 单位: N ·m 或 kN ·m
O
PAG 11
§2
力对点的矩和力对轴的矩
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
| MO (F ) | 2SOAB | M z ( F ) | 2SOab
2SOab 2SOAB cos
M1
M
M2
M3
O
合力偶矩矢等于各分力偶 M M1 M 2 M n 矩矢的矢量和。 ( M x1i M y1 j M z1k ) ( M x 2i M y 2 j M z 2 k ) ( M xn i M yn j M zn k ) ( M x1 M x 2 M xn )i ( M y1 M y 2 M yn ) j ( M z1 M z 2 M zn )k PAG 20 (M ix )i (M iy ) j (M iz )k M x i M y j M z k
( F2 x i F2 y j F2 z k ) ( Fnx i Fny j Fnz k ) (F1x F2 x Fnx )i ( F1 y F2 y Fny ) j ( F1z F2 z Fnz )k
d
F
rB
O
rA
符合右手螺旋法则：将右手四指弯曲表示力偶的转动，拇指所指 即为力偶矩矢量的指向．从矢的末端沿矢看去，力偶的转向是逆 时针的．
由图可知力偶矩矢不需要确定矢的初端位置，力偶可以在作用面内任意移动， 后面还会证明力偶可以在平行平面内任意移动，这样的矢量称为自由矢量．PAG 17
§3
Fz
h A
F
Fxy
b
正负判定: 右手螺旋法则 单位: N ·m 或 kN ·m
O
PAG 11
§2
力对点的矩和力对轴的矩
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
| MO (F ) | 2SOAB | M z ( F ) | 2SOab
2SOab 2SOAB cos
M1
M
M2
M3
O
合力偶矩矢等于各分力偶 M M1 M 2 M n 矩矢的矢量和。 ( M x1i M y1 j M z1k ) ( M x 2i M y 2 j M z 2 k ) ( M xn i M yn j M zn k ) ( M x1 M x 2 M xn )i ( M y1 M y 2 M yn ) j ( M z1 M z 2 M zn )k PAG 20 (M ix )i (M iy ) j (M iz )k M x i M y j M z k
第六章空间力系
Fx Fy Fz
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
4.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
MO F'R
＝ F'R
O
O
4.4.2 空间任意力系的简化结果分析
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直 于F'R和平行于F'R，则M"O和F'R可用作用于点O'的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
MO
F'R
O
a
FB
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
4.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
z
影为
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
[M O (F )]y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z
解：
Fx F cos cosj
Fa a2 b2 c2
c
Fy F cos sinj
Fb a2 b2 c2
x
Fz F sin
Fc a2 b2 c2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fyc
MO F'R
＝ F'R
O
O
4.4.2 空间任意力系的简化结果分析
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直 于F'R和平行于F'R，则M"O和F'R可用作用于点O'的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
MO
F'R
O
a
FB
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
空间力系分解课件
定性。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
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【解】取轴与轮整体作为研究对象。其受力图如图3.15(b) 所示。
取坐标系如图所示，可求解六个未知量RAx、RAz、 RBx、RBz、T3及T4。列平衡方程
SA=SB=31.5kN,SC=1.55kN
【例6.6】三轮起重车可简化为如图3.13(a)所示。已知车 身重W1=12.5kN，重力W1的作用线通过ABC平面内的C1 点，A点与C1点的连线延长后垂直平分线段BC。起吊物 重W2=5kN，重力W2的作用线通过ABC平面内的h点。各 尺寸如图所示，试求地面对起重车各轮的约束反力。
上式表明：力对某轴之矩等于此力在垂直于该 轴平面上的分力对该轴与此平面的交点之矩。 从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取 正号；反之，取负号（图6.6(a)）。也可用右手法则 来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方 向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号（图3.6 （b))；反之，取负号（图6.6(c)）。
∑Fy=0,T1xy+SCxy-SAxycos60°-SBxycos60°=0
即T1cos60°+SCcos60°-SAcos260°-SBcos260°=0 W+SC-SAcos60°-SBcos60°=0 ∑Fz=0,SAcos30°+SBcos30°+SCcos30°-T1cos30°T2=0 即 (SA+SB+SC)cos30°-(1+cos30°)W=0 由式（1）得 SA=SB联立式（2）、式（3）、式（4）求解，得
第六章 空 间 力 系
6.1空间力系的简化 6.2空间力系的平衡 6.3重心与形心
空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内 的力系。
在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点，则 称为空间汇交力系（图6.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平行力 系（图6.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全 平行，则称为空间一般力系（图6.1（f))。
【解】取坐标系如图所示，列出平衡方程 ∑Fx=0,-S2cos45°-S5cos45°=0 ∑Fy=0,P-S4cos45°=0 ∑Fz=0,-S1-S3-S6-S2cos45°-S4cos45°-S5cos45°=0
∑mx(F)=0,-S1a-S2cos45°×a-S3a-S4cos45°×a=0 ∑my(F)=0,-S3a-S4cos45°×a=0 ∑mz(F)=0,S2cos45°×a+S4cos45°×a=0 由式（2）、（5）、（6）联立解得 S4=P/cos45°=√2P S3=-S4cos45°=-P S2=-S4=-√2P 将上面各值代入式（1）、（4）得 S1=-S3=P S5=-S2=√2P 最后由式（3）得 S6=-S1-S3-S2cos45°-S4cos45°-S5cos45°=-P
图6.5
图6.6
6.3 空间力系的平衡方程 一 空间一般力系的平衡方程
空间一般力系的平衡方程列举如下： ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0 ∑mx(F)=0 ∑my(F)=0 ∑mz(F)=0
上式表明空间一般力系平衡的必要和充分条件 是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分 别等于零，同时各力对这三个轴之矩的代数和也分 别等于零。
【例6.3】托架OC套在转轴z上，在C点作用一力 P=2000N，方向如图所示。图中C点在xOy平面内，试求 力P
【解】首先将力P分解为两个分力Pz和Pxy。
将Pxy沿x、y轴方向分解为Px和Py两个力， 然后即可方便地求出P对z轴之矩。 根据以上分析，力P对三个坐标轴之矩分别为 mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8N· m my(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7N· m mz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 38.1 N· m
(1) 当力与轴平行时（Fxy=0）或与轴相交（d=0） 时，即力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。
(2) 当力沿着作用线移动时，它对轴之矩不变。 与平面力系情况类似，在空间力系中也有合力 矩定理。如以R表示一空间力系F1、F2、…、Fn的合 力，则合力矩定理可以表示为 mz(R)=mz(F1)+mz(F2)+…+mz(Fn)=∑mz(F) 即空间力系的合力对某轴之矩等于力系中各分 力对该轴之矩的代数和。
求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束 有些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同 一类型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约 束反力的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于 物体上的约束反力与约束反力偶列于表6.1中。
【例3.4】有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由 分别垂直于两墙的光滑铰接二力杆AC、BC和钢绳CE组 成，且E在两墙的交线上。已知θ=30°，φ=60°，铰链C 处吊一重W=1.2kN的重物（图6.11（a)），试求两杆和钢 绳所受的力。图中A、B、C、D四点都在同一水平面上， 杆和绳重都略去不计。 【解】取铰链C为研究对象，画其受力图如图6.11(b)所示。 取坐标系如图6.11(b)所示，列出平衡方程 ∑Fx=0,SB-TCEcosθsinφ=0 ∑Fy=0,SA-TCEcosθcosφ=0
∑mx(F)=0,∑my(F)=0,∑mz(F)=0 都成为恒等式而可以舍弃。因此空间汇交力系 的平衡方程为 ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和充分条 件是：力系中所有各力在三个坐标轴中每一轴上投 影的代数和分别等于零。
图3.10
四 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载 后，应用上述平衡方程可求出某些未知量。
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、 z轴上的投影分别为 Fx=Fsinγcosφ
Fy=Fsinγsinφ
Fz=Fcosγ
【例6.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 6.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
二 空间平行力系的平衡方程
如图6.9所示，一物体受空间平行力系作用，取z 轴与各力平行，则各力对z轴之矩都等于零；又由于 各力都垂直于xOy坐标平面，所以各力在x和y轴上的 投影都等于零。于是
∑Fx=0,∑Fy=0,∑mz(F)=0 因此空间平行力系的平衡方程为 ∑Fz=0 ∑mx(F)=0
∑my(F)=0
【例6.2】手柄ABCD在平面xAy上，在D处作用一铅垂力 P=100N(图3.7)，AB=20cm，BC=40cm,CD=15cm，试求此 力对x、y、z轴之矩。 【解】由式（3.3)可得力P对x轴之矩为
mx(P)=-P(AB+CD)= -35N· m
力P对y轴之矩为 my(P)=-P×BC=-40N· m 力P对z轴之矩为 mz(P)=0
图6.1
6.1 力沿空间直角坐标轴的投影 一、 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图6.2)。
图6.2
如果力F与x、y、z轴的夹角分别为α、β、 γ，
则 Fx=Fcosα Fy=Fcosβ Fz=Fcosγ
二、 二次投影法
如图6.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z 轴所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐 标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy 上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
∑Fz=0,TCEsinθ-T=0
因为T=W，故由式（3）得
TCE=W/sinθ=2.4kN 将TCE的值分别代入式（2）和式（1）得 SA=TCEcosθcosφ=1.04kN SB=TCEcosθsinφ=1.8kN SA、SB均为正值，说明原假设方向正确，即两根杆 件均受压力作用，其中杆AC所受的力的大小为1.04kN， 杆BC所受的力的大小为1.8kN。钢绳受拉力作用，其大小 为2.4kN。
上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件
是：力系中各力在与力的作用线平行的坐标轴上的 投影的代数和等于零，同时各力对两个与力的作用 线相垂直的轴之矩的代数和分别等于零。
图6.9
三 空间汇交力系的平衡方程
如图6.10所示为一受空间汇交力系作用的物体， 取各力的汇交点O为空间直角坐标系Oxyz的原点。 因为各力的作用线都与坐标轴x、y、z相交，所以式 （3.5）中的
NA=5.4kN 将NA的值代入式（3）得 NC=4.3kN 将NA、NC的值代入式（1）得
NB=W1+W2-NA-NC=7.8kN
【例6.7】正方形板ABCD由六根杆支承，如图6.14(a)所示， 在板上的A点沿AD边作用有一水平力P。板和各杆的重量 不计，尺寸如图，试求各杆所受的力。 取板ABCD为研究对象，由题意知各杆均为二力杆， 故各杆对板的作用力均沿各杆轴线，设各杆均受拉力， 画出板的受力图如图3.14(b)所示。板所受各力组成一空 间一般力系。
图6.3
图6.4
6.2 力对轴之矩
图6.5(a)表示一可以绕z轴（门框）转动的门。如 果力F作用在垂直于z轴的平面内（图6.5(b)），则门 就能绕z轴转动，其转动效应可以由力F对O点（z轴 与平面的交点）之矩来度量。在这种情况下力对轴 之矩即为平面上力对点之矩。如果将力F对z轴之矩 用mz(F)表示，则
于是可得
P2x=0 P2y=-P2yzcos45°=-0.707kN P2z=P2yzsin45°= 0.707kN 设力P3与z轴的夹角为γ，它在xOy面上的投影与x轴 的夹角为φ，则由式(3.2)可得 P3x=P3sinγcosφ= 2.89kN P3y=P3sinγsinφ= 2.89kN
取坐标系如图所示，可求解六个未知量RAx、RAz、 RBx、RBz、T3及T4。列平衡方程
SA=SB=31.5kN,SC=1.55kN
【例6.6】三轮起重车可简化为如图3.13(a)所示。已知车 身重W1=12.5kN，重力W1的作用线通过ABC平面内的C1 点，A点与C1点的连线延长后垂直平分线段BC。起吊物 重W2=5kN，重力W2的作用线通过ABC平面内的h点。各 尺寸如图所示，试求地面对起重车各轮的约束反力。
上式表明：力对某轴之矩等于此力在垂直于该 轴平面上的分力对该轴与此平面的交点之矩。 从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取 正号；反之，取负号（图6.6(a)）。也可用右手法则 来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方 向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号（图3.6 （b))；反之，取负号（图6.6(c)）。
∑Fy=0,T1xy+SCxy-SAxycos60°-SBxycos60°=0
即T1cos60°+SCcos60°-SAcos260°-SBcos260°=0 W+SC-SAcos60°-SBcos60°=0 ∑Fz=0,SAcos30°+SBcos30°+SCcos30°-T1cos30°T2=0 即 (SA+SB+SC)cos30°-(1+cos30°)W=0 由式（1）得 SA=SB联立式（2）、式（3）、式（4）求解，得
第六章 空 间 力 系
6.1空间力系的简化 6.2空间力系的平衡 6.3重心与形心
空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内 的力系。
在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点，则 称为空间汇交力系（图6.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平行力 系（图6.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全 平行，则称为空间一般力系（图6.1（f))。
【解】取坐标系如图所示，列出平衡方程 ∑Fx=0,-S2cos45°-S5cos45°=0 ∑Fy=0,P-S4cos45°=0 ∑Fz=0,-S1-S3-S6-S2cos45°-S4cos45°-S5cos45°=0
∑mx(F)=0,-S1a-S2cos45°×a-S3a-S4cos45°×a=0 ∑my(F)=0,-S3a-S4cos45°×a=0 ∑mz(F)=0,S2cos45°×a+S4cos45°×a=0 由式（2）、（5）、（6）联立解得 S4=P/cos45°=√2P S3=-S4cos45°=-P S2=-S4=-√2P 将上面各值代入式（1）、（4）得 S1=-S3=P S5=-S2=√2P 最后由式（3）得 S6=-S1-S3-S2cos45°-S4cos45°-S5cos45°=-P
图6.5
图6.6
6.3 空间力系的平衡方程 一 空间一般力系的平衡方程
空间一般力系的平衡方程列举如下： ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0 ∑mx(F)=0 ∑my(F)=0 ∑mz(F)=0
上式表明空间一般力系平衡的必要和充分条件 是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分 别等于零，同时各力对这三个轴之矩的代数和也分 别等于零。
【例6.3】托架OC套在转轴z上，在C点作用一力 P=2000N，方向如图所示。图中C点在xOy平面内，试求 力P
【解】首先将力P分解为两个分力Pz和Pxy。
将Pxy沿x、y轴方向分解为Px和Py两个力， 然后即可方便地求出P对z轴之矩。 根据以上分析，力P对三个坐标轴之矩分别为 mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8N· m my(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7N· m mz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 38.1 N· m
(1) 当力与轴平行时（Fxy=0）或与轴相交（d=0） 时，即力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。
(2) 当力沿着作用线移动时，它对轴之矩不变。 与平面力系情况类似，在空间力系中也有合力 矩定理。如以R表示一空间力系F1、F2、…、Fn的合 力，则合力矩定理可以表示为 mz(R)=mz(F1)+mz(F2)+…+mz(Fn)=∑mz(F) 即空间力系的合力对某轴之矩等于力系中各分 力对该轴之矩的代数和。
求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束 有些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同 一类型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约 束反力的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于 物体上的约束反力与约束反力偶列于表6.1中。
【例3.4】有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由 分别垂直于两墙的光滑铰接二力杆AC、BC和钢绳CE组 成，且E在两墙的交线上。已知θ=30°，φ=60°，铰链C 处吊一重W=1.2kN的重物（图6.11（a)），试求两杆和钢 绳所受的力。图中A、B、C、D四点都在同一水平面上， 杆和绳重都略去不计。 【解】取铰链C为研究对象，画其受力图如图6.11(b)所示。 取坐标系如图6.11(b)所示，列出平衡方程 ∑Fx=0,SB-TCEcosθsinφ=0 ∑Fy=0,SA-TCEcosθcosφ=0
∑mx(F)=0,∑my(F)=0,∑mz(F)=0 都成为恒等式而可以舍弃。因此空间汇交力系 的平衡方程为 ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和充分条 件是：力系中所有各力在三个坐标轴中每一轴上投 影的代数和分别等于零。
图3.10
四 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载 后，应用上述平衡方程可求出某些未知量。
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、 z轴上的投影分别为 Fx=Fsinγcosφ
Fy=Fsinγsinφ
Fz=Fcosγ
【例6.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 6.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
二 空间平行力系的平衡方程
如图6.9所示，一物体受空间平行力系作用，取z 轴与各力平行，则各力对z轴之矩都等于零；又由于 各力都垂直于xOy坐标平面，所以各力在x和y轴上的 投影都等于零。于是
∑Fx=0,∑Fy=0,∑mz(F)=0 因此空间平行力系的平衡方程为 ∑Fz=0 ∑mx(F)=0
∑my(F)=0
【例6.2】手柄ABCD在平面xAy上，在D处作用一铅垂力 P=100N(图3.7)，AB=20cm，BC=40cm,CD=15cm，试求此 力对x、y、z轴之矩。 【解】由式（3.3)可得力P对x轴之矩为
mx(P)=-P(AB+CD)= -35N· m
力P对y轴之矩为 my(P)=-P×BC=-40N· m 力P对z轴之矩为 mz(P)=0
图6.1
6.1 力沿空间直角坐标轴的投影 一、 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图6.2)。
图6.2
如果力F与x、y、z轴的夹角分别为α、β、 γ，
则 Fx=Fcosα Fy=Fcosβ Fz=Fcosγ
二、 二次投影法
如图6.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z 轴所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐 标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy 上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
∑Fz=0,TCEsinθ-T=0
因为T=W，故由式（3）得
TCE=W/sinθ=2.4kN 将TCE的值分别代入式（2）和式（1）得 SA=TCEcosθcosφ=1.04kN SB=TCEcosθsinφ=1.8kN SA、SB均为正值，说明原假设方向正确，即两根杆 件均受压力作用，其中杆AC所受的力的大小为1.04kN， 杆BC所受的力的大小为1.8kN。钢绳受拉力作用，其大小 为2.4kN。
上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件
是：力系中各力在与力的作用线平行的坐标轴上的 投影的代数和等于零，同时各力对两个与力的作用 线相垂直的轴之矩的代数和分别等于零。
图6.9
三 空间汇交力系的平衡方程
如图6.10所示为一受空间汇交力系作用的物体， 取各力的汇交点O为空间直角坐标系Oxyz的原点。 因为各力的作用线都与坐标轴x、y、z相交，所以式 （3.5）中的
NA=5.4kN 将NA的值代入式（3）得 NC=4.3kN 将NA、NC的值代入式（1）得
NB=W1+W2-NA-NC=7.8kN
【例6.7】正方形板ABCD由六根杆支承，如图6.14(a)所示， 在板上的A点沿AD边作用有一水平力P。板和各杆的重量 不计，尺寸如图，试求各杆所受的力。 取板ABCD为研究对象，由题意知各杆均为二力杆， 故各杆对板的作用力均沿各杆轴线，设各杆均受拉力， 画出板的受力图如图3.14(b)所示。板所受各力组成一空 间一般力系。
图6.3
图6.4
6.2 力对轴之矩
图6.5(a)表示一可以绕z轴（门框）转动的门。如 果力F作用在垂直于z轴的平面内（图6.5(b)），则门 就能绕z轴转动，其转动效应可以由力F对O点（z轴 与平面的交点）之矩来度量。在这种情况下力对轴 之矩即为平面上力对点之矩。如果将力F对z轴之矩 用mz(F)表示，则
于是可得
P2x=0 P2y=-P2yzcos45°=-0.707kN P2z=P2yzsin45°= 0.707kN 设力P3与z轴的夹角为γ，它在xOy面上的投影与x轴 的夹角为φ，则由式(3.2)可得 P3x=P3sinγcosφ= 2.89kN P3y=P3sinγsinφ= 2.89kN