第九章 属性(分类)数据分析
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第9章-数字地形模型与地形分析-第一讲
系统功能:
▪ DEM数据的高程分层设色显示 ▪ DEM数据与影像数据联结三维场景显示 ▪ 三维静态场景的输出功能 ▪ 三维动态飞行场景的录制与播放功能 ▪ 简单DEM模型分析功能
GIS 电子沙盘 ——高程分层设色
GIS DEM应用举例 ——城市景观
城市景观系统通过运用数字技术构造出某一区域的 虚拟场景来辅助人们进行观测, 是一个可视现实和虚拟 现实集成的系统。
垂直线 典型线
山脊线 谷底线 海岸线 坡度变换线
GIS 3.DEM的表示法
数学方法 整体拟合方法, 即根据区域所有的高程点
数据, 用傅立叶级数和高次多项式拟合统 一的地面高程曲面 局部拟合方法, 将地表复杂表面分成正方 形规则区域或面积大致相等的不规则区 域进行分块搜索, 根据有限个点进行拟合 形成高程曲面
➢DEM的表示方法
➢一个地区的地表 高程的变化可以
采用多种方法表
达
DEM 表示方法
➢用数学定义的表 面或点、线、影 像都可用来表示 DEM
数学方法 图形法
整体 局部 点数据
线数据
傅立叶级数 高次多项式
规则数学分块
不规则数学分块
密度一致
规则
密度不一致
不规则 典型特征 水平线
三角网 邻近网 山峰、洼坑
隘口、边界
点信息
ID
边1 边2 边3
1
E1
E3
E9
2
E2
E3
E4 面
3
E4
E5
E6
信 息
4
E6
E7
E8
5
E7
E9
E10
ID
起点
终点
左多 边形
右多 边形
▪ DEM数据的高程分层设色显示 ▪ DEM数据与影像数据联结三维场景显示 ▪ 三维静态场景的输出功能 ▪ 三维动态飞行场景的录制与播放功能 ▪ 简单DEM模型分析功能
GIS 电子沙盘 ——高程分层设色
GIS DEM应用举例 ——城市景观
城市景观系统通过运用数字技术构造出某一区域的 虚拟场景来辅助人们进行观测, 是一个可视现实和虚拟 现实集成的系统。
垂直线 典型线
山脊线 谷底线 海岸线 坡度变换线
GIS 3.DEM的表示法
数学方法 整体拟合方法, 即根据区域所有的高程点
数据, 用傅立叶级数和高次多项式拟合统 一的地面高程曲面 局部拟合方法, 将地表复杂表面分成正方 形规则区域或面积大致相等的不规则区 域进行分块搜索, 根据有限个点进行拟合 形成高程曲面
➢DEM的表示方法
➢一个地区的地表 高程的变化可以
采用多种方法表
达
DEM 表示方法
➢用数学定义的表 面或点、线、影 像都可用来表示 DEM
数学方法 图形法
整体 局部 点数据
线数据
傅立叶级数 高次多项式
规则数学分块
不规则数学分块
密度一致
规则
密度不一致
不规则 典型特征 水平线
三角网 邻近网 山峰、洼坑
隘口、边界
点信息
ID
边1 边2 边3
1
E1
E3
E9
2
E2
E3
E4 面
3
E4
E5
E6
信 息
4
E6
E7
E8
5
E7
E9
E10
ID
起点
终点
左多 边形
右多 边形
《商务数据分析》第九章——复杂数据分析方法
同出现的词语不同，但是两个文档主题是相似的情况。
• 主题模型是用来在大量的文档中发现潜在主题的一种统计模型。
• 一个文档通常包含多个主题且每个主题所占比例各不相同，主题模型能够统计文档中
的词语，根据文档中词的信息判断文档包含的主题以及各个主题所占比重。
• 一种典型的词袋模型：LDA
• 基本设想为一篇文档是由一组词组成的集合，词与词之间没有顺序和先后关系。同时，
• 为了将文本处理为模型可用的数据，需要先对文本进行预处理。一般预
处理步骤为分词、清洗、标准化、特征提取，然后将提取出来的特征应
用下游任务中，如分类、情感分析等。
商务数据分析
1. 文本预处理
• （1）文本分词
• 组成文本的词，被认为是重要的特征。因此文本分析首先要做的
是对文本进行分词。
• 对于英文来说，文本本来就是根据空格分开的，可以直接以空格
• Word2vec词向量模型
• 是一个小型的神经网络，目前较为流行的有两种模型：
• （1）CBOW模型：用上下文单词作为输入来预测目标词语，对于小型数据比较合适。
• （2）skip-gram模型：用一个词语作为输入来预测它周围的上下文，在大型语料中表
现更好。
• 两个模型均是一个三层的神经网络，分别包含输入层、隐藏层和输出层，输入层以词
出现的频率，它默认文档中的每个单词都是独立的。不依赖于其他单词是否出现。
• （1）词袋模型之TF-IDF算法（Term Frequency–Inverse Document Frequency,TF-IDF）
• 特征关键词应该是那些在某个文本中出现频率高而在整个语料库的其他文档中出现频率少的词或短语。
• 首先用d表示待处理的文档，t表示文档分词后的词语，用D表示语料库。TF(t, d)是词语t在文档d中出现的次数：
• 主题模型是用来在大量的文档中发现潜在主题的一种统计模型。
• 一个文档通常包含多个主题且每个主题所占比例各不相同，主题模型能够统计文档中
的词语，根据文档中词的信息判断文档包含的主题以及各个主题所占比重。
• 一种典型的词袋模型：LDA
• 基本设想为一篇文档是由一组词组成的集合，词与词之间没有顺序和先后关系。同时，
• 为了将文本处理为模型可用的数据，需要先对文本进行预处理。一般预
处理步骤为分词、清洗、标准化、特征提取，然后将提取出来的特征应
用下游任务中，如分类、情感分析等。
商务数据分析
1. 文本预处理
• （1）文本分词
• 组成文本的词，被认为是重要的特征。因此文本分析首先要做的
是对文本进行分词。
• 对于英文来说，文本本来就是根据空格分开的，可以直接以空格
• Word2vec词向量模型
• 是一个小型的神经网络，目前较为流行的有两种模型：
• （1）CBOW模型：用上下文单词作为输入来预测目标词语，对于小型数据比较合适。
• （2）skip-gram模型：用一个词语作为输入来预测它周围的上下文，在大型语料中表
现更好。
• 两个模型均是一个三层的神经网络，分别包含输入层、隐藏层和输出层，输入层以词
出现的频率，它默认文档中的每个单词都是独立的。不依赖于其他单词是否出现。
• （1）词袋模型之TF-IDF算法（Term Frequency–Inverse Document Frequency,TF-IDF）
• 特征关键词应该是那些在某个文本中出现频率高而在整个语料库的其他文档中出现频率少的词或短语。
• 首先用d表示待处理的文档，t表示文档分词后的词语，用D表示语料库。TF(t, d)是词语t在文档d中出现的次数：
贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第9章 分类数据分析【圣才出品】
第9章 分类数据分析一、思考题1．简述列联表的构造与列联表的分布。
答：列联表是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表。
列联表的分布可以从两个方面看，一个是观察值的分布，又称为条件分布，每个具体的观察值就是条件频数；一个是期望值的分布。
2．用一张报纸、一份杂志或你周围的例子构造一个列联表，说明这个调查中两个分类变量的关系，并提出进行检验的问题。
答：对三个生产厂甲、乙、丙提供的学习机的A、B、C三种性能进行质量检验，欲了解生产厂家同学习机性能的质量差异是否有关系。
抽查了450部学习机次品，整理成为如表9-2所示的3×3列联表。
表9-2根据抽查检验的数据表明：次品类型与厂家（即哪一个厂）生产是无关的（即是相互独立的）。
建立假设：H0：次品类型与厂家生产是独立的，H1：次品类型与厂家生产不是独立的。
可以计算各组的期望值，如表9-3所示（表中括号内的数值为期望值）。
表9-3 各组的期望值计算表所以2222(2017)(4033)(7058)9.821173358χ---=+++=…。
而自由度等于（R －1）（C －1）=（3－1）×（3－1）=4，若以0.01的显著性水平进行检验，查χ2分布表得20.01(4)13.277χ=。
由于220.019.821(4)13.277χχ=<=，故接受原假设H 0，即次品类型与厂家生产是独立的。
3．说明计算2χ统计量的步骤。
答：计算2χ统计量的步骤：（1）用观察值o f 减去期望值e f ；（2）将（o f －e f ）之差平方；（3）将平方结果2)(e o f f -除以e f ；（4）将步骤（3）的结果加总，即得：22()o e ef f f χ-=∑。
4．简述ϕ系数、c 系数、V 系数的各自特点。
答：（1）ϕ相关系数是描述2×2列联表数据相关程度最常用的一种相关系数。
它的计算公式为：ϕ，式中，∑-=ee of f f 22)(χ；n 为列联表中的总频数，也即样本量。
第九章 面向数据流的设计方法
• 对于程序结构的雏形，以“模块独立”为 指导思想，对模块合并或分解，旨在追求高内 聚、低耦合，易于实现、易于测试和维护的软 件结构。
• 上述七个步骤的目标是给出软件的一个整 体的描述。一旦有了这样的描述，设计人员就 可以从整体角度评价和精化软件的总体结构， 此时修改所需耗费不多，却能够大大低提高软 件质量。
aa b
Read D
A to B .
传出分支的分解
w,u
ME
w
u
w,u
ME
w
u
W
U Write W Put U
v
uvv
V
(1)
U to V Write V
.
(2)
中心加工分支的分解
MT
ep
r
u,w
c,p r
Q
P
R
.
变换分析设计方法
• 7）采用启发式设计策略，精化所得程序结构 雏形，改良软件质量
变换
输入
输出
图 9.1
(2)事务型数据流图
• 事务型数据流(事务流):由于基本系统呈现变换流，所以任意系 统中的信息均可以用变换流刻画。但是如果数据流如图9.2所示， 则称为事务流。此时，单个数据项(事务)沿传入路径(接受通道) 进入系统,由外部形式变换为内部形式后到达事务中心,事务中心 根据数据项计算结果从若干动作路径中选定一条继续执行.
.
面向数据流方法的设计过程
精化数据流图
“事务” 流类型
区分事务中心 和数据接收路径
“变换”
区分输入和 输出分支
映射成事务结构
映射成变换结构
事务分析 用启发式设计规则精化软件结构
导出接口描述和全程数据结构
提取控制结构
• 上述七个步骤的目标是给出软件的一个整 体的描述。一旦有了这样的描述，设计人员就 可以从整体角度评价和精化软件的总体结构， 此时修改所需耗费不多，却能够大大低提高软 件质量。
aa b
Read D
A to B .
传出分支的分解
w,u
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ME
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U Write W Put U
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(1)
U to V Write V
.
(2)
中心加工分支的分解
MT
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r
u,w
c,p r
Q
P
R
.
变换分析设计方法
• 7）采用启发式设计策略，精化所得程序结构 雏形，改良软件质量
变换
输入
输出
图 9.1
(2)事务型数据流图
• 事务型数据流(事务流):由于基本系统呈现变换流，所以任意系 统中的信息均可以用变换流刻画。但是如果数据流如图9.2所示， 则称为事务流。此时，单个数据项(事务)沿传入路径(接受通道) 进入系统,由外部形式变换为内部形式后到达事务中心,事务中心 根据数据项计算结果从若干动作路径中选定一条继续执行.
.
面向数据流方法的设计过程
精化数据流图
“事务” 流类型
区分事务中心 和数据接收路径
“变换”
区分输入和 输出分支
映射成事务结构
映射成变换结构
事务分析 用启发式设计规则精化软件结构
导出接口描述和全程数据结构
提取控制结构
2023年高考数学一轮复习 新高考方案 课件第九章 统计与成对数据的统计分析
解析：设 20 名女生的平均成绩为 x ，则 92＝3500×90＋2500× x ，解得 x ＝95.
答案：95
• 层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
• 基础点(一) 抽样方法
• [题点全训]
• 1．某班有男生36人，女生18人，用分层随机抽样的方法从该班全 体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为
在一组数据中出现次数_最__多__的数
中位数 将一组数据按_大__小__顺__序___依次排列(相同的数据要重复列出)， 处在最中间位置的那个数据(或最中间两个数据的平均数)
平均数
一组数据的_算__术__平__均__数___
方差
s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2](xn 是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数)，其中 s 是标准差
样本量
(3)平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分
别为 M 和 N，抽取的样本量分别为 m 和 n，第 1 层和第 2 层样本的平均数分别
为
x
，
y
，则样本的平均数
w
＝
m m＋n
x
＋m＋n n
y
M ＝ M＋N
x ＋M＋N N y .
• 3．作频率分布直方图的步骤 • (1)求极_差____ (即一组数据中最大值与最小值的差)；
• 8 44 2 17 8 31 57 4 55 6
•88 77 74 47 7 21 76 33 50 63
•解析：生成的随机数中落在编号1～100范围内的有8,44,2,17,8(重 复，舍弃)，31……故选中的第5个个体的编号为31.
答案：95
• 层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
• 基础点(一) 抽样方法
• [题点全训]
• 1．某班有男生36人，女生18人，用分层随机抽样的方法从该班全 体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为
在一组数据中出现次数_最__多__的数
中位数 将一组数据按_大__小__顺__序___依次排列(相同的数据要重复列出)， 处在最中间位置的那个数据(或最中间两个数据的平均数)
平均数
一组数据的_算__术__平__均__数___
方差
s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2](xn 是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数)，其中 s 是标准差
样本量
(3)平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分
别为 M 和 N，抽取的样本量分别为 m 和 n，第 1 层和第 2 层样本的平均数分别
为
x
，
y
，则样本的平均数
w
＝
m m＋n
x
＋m＋n n
y
M ＝ M＋N
x ＋M＋N N y .
• 3．作频率分布直方图的步骤 • (1)求极_差____ (即一组数据中最大值与最小值的差)；
• 8 44 2 17 8 31 57 4 55 6
•88 77 74 47 7 21 76 33 50 63
•解析：生成的随机数中落在编号1～100范围内的有8,44,2,17,8(重 复，舍弃)，31……故选中的第5个个体的编号为31.
医用数据挖掘案例与实践 第9章 决策树模型分析
2
分类（Classification）是一种数据分析过程，即根据 记录各种属性的值确定该记录属于预定类别中的哪一 类。分类是数据挖掘中的常用方法，在医学应用中， 疾病的诊断和鉴别诊断就是典型的分类过程。
3
分类器的产生主要通过学习和测试两部分完成。学习过程是依据训练样 本（Training Sample）进行有监督的学习，通过学习得到特定的分类器 （Classifier）。测试过程是以学习得到的分类器对测试样本（Testing Sample） 进行分类，并将分类结果与该样本的类别归属进行对照，以此判断分类器的 性能。当分类器的分类性能达到预定目标后，即可用该分类器对未知数据的 类别进行判定。用于评估分类器性能的测试样本必须独立于训练样本。常用 的测试样本主要有以下几种方法：
（1）随机分组法：将已知数据集合随机的分为互不重叠的学习样本和测 试样本，训练样本量越大，对于分类器的学习就会越准确。因此，当已知数 据集较大的时候，常采用原始数据的三分之二作为训练样本，但缺点是可能 会导致不同类别的样本在两个样本中分布不均衡。
4
（2）N倍交叉验证法：将原有数据集随机的分为N组，分 别以其中的一组数据作为测试样本，其他组数据作为训练样 本进行训练和测试。这样一共训练了N次，得到N个分类准确 率。最后取N次测试的分类准确率的均值来反应分类器的性能。 特别的，当N为总样本数时，此方法则成为留一法（leaveone-out）。
log2
3 9
6 9
log2
6 9
0.918
E(age)
I
(1,
2)
6 9
(
2 6
log2
2 6
4 6
log2
4 6
)
3 9
分类（Classification）是一种数据分析过程，即根据 记录各种属性的值确定该记录属于预定类别中的哪一 类。分类是数据挖掘中的常用方法，在医学应用中， 疾病的诊断和鉴别诊断就是典型的分类过程。
3
分类器的产生主要通过学习和测试两部分完成。学习过程是依据训练样 本（Training Sample）进行有监督的学习，通过学习得到特定的分类器 （Classifier）。测试过程是以学习得到的分类器对测试样本（Testing Sample） 进行分类，并将分类结果与该样本的类别归属进行对照，以此判断分类器的 性能。当分类器的分类性能达到预定目标后，即可用该分类器对未知数据的 类别进行判定。用于评估分类器性能的测试样本必须独立于训练样本。常用 的测试样本主要有以下几种方法：
（1）随机分组法：将已知数据集合随机的分为互不重叠的学习样本和测 试样本，训练样本量越大，对于分类器的学习就会越准确。因此，当已知数 据集较大的时候，常采用原始数据的三分之二作为训练样本，但缺点是可能 会导致不同类别的样本在两个样本中分布不均衡。
4
（2）N倍交叉验证法：将原有数据集随机的分为N组，分 别以其中的一组数据作为测试样本，其他组数据作为训练样 本进行训练和测试。这样一共训练了N次，得到N个分类准确 率。最后取N次测试的分类准确率的均值来反应分类器的性能。 特别的，当N为总样本数时，此方法则成为留一法（leaveone-out）。
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E(age)
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(1,
2)
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4 6
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第九章 属性(分类)数据分析[最新]
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SAS软件与统计Байду номын сангаас用教程
STAT
9.1.1 属性数据分析与列联表
1. 属性变量与属性数据分析
从变量的测量水平来看分为两类：连续变量和属性 (Categorical) 变量，属性变量又可分为有序的 (Ordinal) 和无序的变量。 对属性数据进行分析，将达到以下几方面的目的： 1) 产生汇总分类数据——列联表； 2) 检验属性变量间的独立性(无关联性)； 3) 计算属性变量间的关联性统计量； 4) 对高维数据进行分层分析和建模。
SAS软件与统计应用教程
表9-1 关于改革方案的调查结果（单位：人）
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司 合计
STAT
赞成该方案
反对该方案 合计
68
32 100
75
45 120
57
33 90
79
31 110
279
141 420
表中的行 (row) 是态度变量，这里划分为两类：赞成改 革方案或反对改革方案；表中的列 (column)是单位变量， 这里划分为四类，即四个分公司。表 9-1 所示的列联表 称为24表。
SAS软件与统计应用教程
STAT
第九章 属性（分类）数据分析
9.1 属性数据及其分析
9.2 SAS中的属性数据分析
SAS软件与统计应用教程
STAT
9.1
属性数据及其分析
9.1.1 属性数据分析与列联表
9.1.2 属性变量关联性分析
9.1.3 属性变量关联度计算
9.1.4 有序变量关联性分析
SAS软件与统计应用教程
STAT
3. V系数
分类和预测算法
计算每个属性的熵(从年 龄开始)：
9 9 5 5 I (9,5) log2 log2 14 14 14 14 0.94
C1对应买（y)，C2不买（n）
例：电器销售顾客训练数据元组，类标号属性买PC，构造决策树
年龄 <=30 <=30 31..40 >40 >40 >40 31..40 <=30 <=30 >40 <=30 31..40 31..40 >40 收入 高 高 高 中 低 低 低 中 低 中 中 中 高 中 学生 n n n n y y y n y y y n y n 信用 中 良 中 中 中 良 良 中 中 中 良 良 中 良 买PC n n y y y n y n y y y y y n
j 1
v
s1 j .. smj s
I ( s1 j ,.., smj )
例：假定v=“年龄”，值为{a1,a2,a3}={<=30,31..40,>40},这 样可以将50个样本分成3个子集合S1,S2,S3。C1买计算机的样本 集合，C2是不买的。
如果在C1中31..40岁的人有5个，则s12=5 以A分枝将获得的信息增益是： Gain(A)=I(s1,s2,…,sm)-E(A) 决策树如何分枝？计算属性的信息增益，取最大的信息增益 分枝
模型评价指标a是正确预测到的负例的数量truenegativetn00falsepositivefpfalsenegativefnd是正确预测到的正例的数量truepositivetpab是实际上负例的数量actualnegativecd是实际上正例的个数actualpositiveac是预测的负例个数predictednegativebd是预测的正例个数predictedpositive模型评价指标准确分类率正确预测的正反例数总数accuracytruepositivetruenegativetotalcasesacc误分类率错误预测的正反例数总数errorratefalsepositivefalsenegativetotalcaseserrorratefpfnpn模型评价指标正例的覆盖率正确预测到的正例数实际正例总数recalltruepositiverateorsensitivitytruepositivetotalactualpositivetprfalsepositiveratefpr等同于
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2. 列联表
列联表（ contingency table ）是由两个以上的属性变 量进行交叉分类的频数分布表。例如一个集团公司在四 个不同的区域设有分公司，现该集团公司欲进行一项改 革，此项改革可能涉及各分公司的利益，故采用抽样调 查方法，从四个分公司共抽取 420个样本单位，了解职 工对此项改革的看法，调查结果如表9-1所示。
对于不同的属性变量，从列联表中可以得到它们联合 分布的信息。但有时还想知道形成列联表的行和列变量 间是否有某种关联性，即一个变量取不同数值时，另一 个变量的分布是否有显著的不同，这就是属性变量关联 性分析的内容。 属性变量关联性检验的假设为 H0：变量之间无关联性； H1：变量之间有关联性 由于变量之间无关联性说明变量互相独立，所以原假 设和备择假设可以写为： H0：变量之间独立； H1：变量之间不独立
3. V系数
鉴于 φ系数无上界、 c系数小于 1 的不便，克莱默提出 了V系数（Cramer's V），其计算公式如下：
i1
n i2
i1
n ic
n
i 1 j 1
这是一张具有r行和c列的一般列联表，称它为rc表。 其中，第i行第j列的单元表示为单元ij。交叉表常给出在 所有行变量和列变量的组合中的观测个数。表中的总观 测个数用n表示，在单元ij中的观测个数表示为 nij，称为 单元频数。
9.1.2 属性变量关联性分析
交叉表的基本形式如图9-1所示。
列
第1列
第1行 行 第2行 … 第r行 列边缘频数 n11 n21 … n r1
r
第2列
n12 n22 … n r2
r
…
… … … … …
第c列
n1c n2c … nrc
r
行边缘频数
c
j1 c
n1 j
n2j
j1
…
r
c
j1
n rj
c ij
i1
n i1
从变量的测量水平来看分为两类：连续变量和属性 (Categorical) 变量，属性变量又可分为有序的 (Ordinal) 和无序的变量。 对属性数据进行分析，将达到以下几方面的目的： 1) 产生汇总分类数据——列联表； 2) 检验属性变量间的独立性(无关联性)； 3) 计算属性变量间的关联性统计量； 4) 对高维数据进行分层分析和建模。
第九章 属性（分类）数据分析
9.1 属性数据及其分析
9.2 SAS中的属性数据分析 Nhomakorabea
9.1
属性数据及其分析
9.1.1 属性数据分析与列联表
9.1.2 属性变量关联性分析
9.1.3 属性变量关联度计算
9.1.4 有序变量关联性分析
9.1.1 属性数据分析与列联表
1. 属性变量与属性数据分析
表9-1 关于改革方案的调查结果（单位：人）
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司 合计
赞成该方案
反对该方案 合计
68
32 100
75
45 120
57
33 90
79
31 110
279
141 420
表中的行 (row) 是态度变量，这里划分为两类：赞成改 革方案或反对改革方案；表中的列 (column)是单位变量， 这里划分为四类，即四个分公司。表 9-1 所示的列联表 称为24表。
1. 2检验
在双向表的情形下，如果行变量与列变量无关联性的 原假设H0成立，则列联表中各行的相对分布应近似相等， 即
或
n
j
n ij
ij
n
i
ij
n
ij def
（j = 1，2，…，c）
n ij
n n
ij j i
n
（j = 1，2，…，c） m ij
其中 mij称为列联表中单元 ij在无关联性假设下的期望频 数，而nij是单元ij的观测频数。
2. 列联系数
列联系数（ Contingency coefficient ）简称为 c 系数， 主要用于大于22表的情况。c系数的计算公式为：
c
2 2 n
c系数的取值范围：–1 < c < 1，特别当r c表中两个 变量相互独立时，c = 0。c系数的最大值依赖于列联表 的行数和列数，且随着 r 或 c 变大而变大。例如，对于 22表，c = 0.7071；对于33表，c = 0.8165；对于44表， c = 0.87，…等等。 c系数的缺点是，根据不同行列的列联表计算出来的 c 系数不便比较。
由于2分布是一种连续性分布，而属性数据是不连续的， 故上式只是一个近似计算公式。计算出来的2值往往偏 大，相应的 p 值偏小，从而人为地增加了犯第一类错误 的机会。为纠正这种偏性，可采用校正2，用C2表示。
2 C m 2 i 1j 1 ij 注：通常要求 检验应满足的条件是： n≥40且所有单 r c 2 (| n m | 0 . 5 ) ij ij
元的期望频数均不小于5。 2校正的条件：n≥40但有单元的期望频数小于5。
2. Fisher精确检验
Fisher精确检验建立在概率论中超几何分布的基础上， 对于单元频数小的列联表来说，它是特别合适的。 Fisher精确检验计算在H0成立的条件下，当总频数和 边缘频数固定时，各种可能的表的超几何概率p之和
为了检验无关联性，将观测的单元频数与无关联的原假 设为真时单元的期望频数进行比较。一个通常使用的检 验是2检验。2统计量为：
2
i 1 j 1
r
c
2 (n m ) ij ij
m ij
在 H0 成立的条件下，当观测数据较大时， 2 统计量的 分布近似服从自由度为(r - 1)(c – 1)的2分布。
PROB p
A
对于双边检验，A是具有概率p小于或等于观测表概率 的表的集合；对于左（右）边检验，A是这样一些表的 集合，其中每个表的单元 ij 中频数小于（大于）或等于 观测表中相应的频数。
9.1.3 属性变量关联度计算
1. φ系数
φ系数是描述22表数据关联程度最常用的一种相关系 数。其计算公式为： 2 / n 其中，2即2统计量。 |φ|的取值范围是在0 ~ 1之间，φ的绝对值越大，说明 行变量与列变量的关联程度越高。φ = 0，表示变量之间 相互独立；|φ| = 1，表示变量之间完全相关，此时列联 表某个方向对角线上的值全为0。 当列联表r c中的行数r或列数c大于2时，φ系数将随 着r或c变大而变大，且φ无上界。此时可用列联系数。