工科物理大作业09-电磁感应与电磁场

I

O

图9-1

B

B

图9-2

a b

c

O

v

B e 09 电磁感应与电磁场

一、选择题

（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）

1．如图9-1所示，在无限长载流直导线旁，放置一圆形导体线框，且线框平面与直导线共面。则在下列情况下线框会产生感应电动势的是：

A ．线框与直导线相对静止；

B ．线框的速度v 沿纸面向上运动；

C ．直导线的电流t I I

ωsin 0=，线框与直导线相对静止；

D ．线框绕过圆心O 且垂直纸面的轴以角速度 转动；

E ．线框以速度v 向右远离直导线运动。 （C 、E ） [知识点] 法拉第电磁感应定律，由磁通量m Φ变化判断。

[分析与解答] 判断线框在磁场中是否有感应电动势，只要看通过它的磁通量

??=?=ΦS

S

m S θB d cos d S B 是否发生变化即可，在A 、B 、D 所示线圈中没有感应电动势因为磁通量

不变化；在C 所示线框中有感应电动势，因为直导线电流在变化，磁场B 在变化，则m Φ会发生变化；而在E 所示线框中也有感应电动势，因为离直导线越远，磁场越弱，m Φ减小；。

2．如图9-2所示，通过导体线圈的磁感线减少了，则线圈内感应电动势的方向为：

A ．顺时针；

B ．逆时针；

C ．0=i

ε； D ．无法判断。 （B ）

[知识点] t

εm

i d d Φ-

=的负号意义。 [分析与解答] 由楞次定理知，原来磁场方向向上并减弱，磁通量减少了，感应电流产生的磁场要阻碍向上的磁通量的减少，则会“减则同”，即其方向会与变化的磁场相同，则由右手螺旋法则知线圈内感应电动势的方向为逆时针。

3．如图9-3(a)所示，将一根导线弯折成半径为R 的3/4圆周abcde ，置于均匀磁场B 中，当导线沿aoe 的分角线方向以v 向右运动时，导线中产生的感应电动势i ε为：

A ．

v BR 2

2

； B ．0；

图9-4

图9-3(b)

C ．v BR ；

D ．v BR 2。 （D ） [知识点] 补偿法，动生电动势分析与计算.

[分析与解答] 将圆弧导线abcde 的a 、e 端用一直导线连接，形成如图9-3(b)所示的闭合回路。

当回路整体以速度v 向右运动时，通过回路的磁通量不变，由法拉第电磁感应定律知，回路中电动势之和为零。即 0=ε+ε=εea a bcde a bcdea 又由动生电动势公式()???=εl B v d i 分析可知直导线ea 电动势为

()RvB vB ea 2ea d a

e

=

=??=

ε?l B v

则从上分析可知，导线abcde 中的电动势与直导线ea 电动势大小必相等，即圆弧形导线abcde 上的电动势为

RvB ea a bcde 2-=ε-=ε，负号表示其方向相反

4. 如图9-4所示，M 、N 为水平面内的两根平行金属导轨，ab 与

cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直导线，外磁场B 垂直于

水平面且向上，当外力使ab 向右平移时，则cd 的运动情况为：

A ．不动；

B ．转动；

C ．向左移动；

D ．向右移动。 （ D ）

[知识点] 动生电动势与安培力。

[分析与解答] 由于直导线ab 处于均匀磁场B 中，且速度、磁场与杆的方向三者垂直，有电动势

ab Bv i =ε，电动势的方向就是B v ?的方向，则当ab 向右平移时，会在abcda 闭合回路中形成方

向为b →a →d →c 顺时针的感应电流；又由安培定律B l F ?=d d I 知，直导线cd 会受到向右的安培力的作用，直导线将会向右移动。

5．如图9-5所示，一导体棒ab ，长为L ，处于均匀磁场B 中，绕通过c 点垂直于棒的O O '轴在水平面内转动，已知L ac 3

2

=

。则导体棒中感应电动势和a 、b 两端点的电势大小关系为： A ．26

1

BL ab

ωε=，b a U U >； B ．26

1

BL ab ωε=，b a U U <； C ．0=ab

ε，b a U U =；

D ．0=ab

ε，有时b a U U >，有时b a U U <。 （A ）

图9-6(a)

图9-5

图9-6(b)

[知识点] 动生电动势判断与计算。

[分析与解答] 以c 点为原点，建立如图所示坐标，在导体棒上任选一线元x d ，其上的动生电动势为 ()x B x d d d ω=??=εl B v 整个导体棒上的电动势为 06

1

d 2313

2<ω-

=ω=

ε?

-BL x Bx L L 即感应电动势的方向为b →a ，则a 点电动势高于b 点，即b a U U >。

6．如图9-6(a)所示，在圆柱形区域内分布着均匀磁场B ，且

t

B

d d 为正的恒量，现将ao 、ob 、ab 、b a

和cd 5段导线置于图示位置，则下列说法正确的是：

A ．由于a 、b 两点电势确定，所以ab 和aob 上感生电动势相同，即aob ab εε=；

B ．cd 导线处于0=B 的空间，故cd ε=0；

C ．在该区域内，变化磁场激发的涡旋电场强度

r E k ∝，故

ab b

a εε> ，0>>ao a

b εε； D ．oa 、ob 均垂直于E k ，故0==ob oa εε。 （D ）

[知识点] 感生电动势的概念、分析。

[分析与解答] 在如图9-6(b)所示的变化磁场中，在空间产生感生电场，感生电场线的分布是以o 为圆心的一系列同心圆，各点的感生电场k E 方向沿着圆周的切线方向。

由于oa 和ob 与感生电场的方向正交，由电动势定义??=

εl

E

d k

知，00=a ε，0=ob ε，则0=aob ε；而ab 导线处在感生电场中，且感生电场沿ab 的分量不为零，则0≠εab ，且方向由a 指向b ，即0>εab 。

cd 导线虽处在磁场以外，但该空间仍有感生电场分布，且感生电场沿cd 的分量不为零，则0≠εcd 。

经计算知，圆柱形区域内涡旋电场强度为r

B

r E k d d 2=，即r E k ∝。 且有t B S a b d d 1

=ε、t

B

S b

a d d 2=??ε，式中1S 为三角形的面积，2S 为扇形的面积，则a

b b a εε>??，但

0=εao 。

7．在下列关于自感和位移电流的表述中，正确的是：

A I 越大，L 越大；

B ．自感是对线圈而言的，对直导线回路不存在自感问题；

C ．位移电流的本质是变化的电场；

D ．位移电流只在平板电容器中存在，但它能激发磁场；

E ．位移电流是电荷的定向运动产生的，也能激发磁场。 （C ）

[知识点] 自感系数L 和位移电流的概念。

[分析与解答] 线圈的自感系数L 是反映线圈电磁惯性大小的物理量，它只和线圈本身的形状、大小、匝数、磁介质分布有关，而与线圈是否载流无关。当然线圈中有电流时，m Φ与I 成正比，故L 与I 无关。

从自感的定义式I

L

m

Φ=

可知，m Φ是穿过一个回路的磁通量，这个“回路”即可以指线圈回路，也可以指一般的载流回路。因而，并不是线圈才有自感，非线圈回路也有自感，只是与前者相比自感小得多。

位移电流实质上是指“变化的电场”，因而，它可存在于真空、介质、导体中。而且变化的电场（位移电流）是能激发磁场的。

8．激发涡旋电场的场源是：

A ．静止电荷；

B ．运动电荷；

C ．变化的磁场；

D ．电流。 （C ） [知识点] 感生电场的概念。

9．已知平板电容器的电容为C ，两板间的电势差U 随时间变化，则其间的位移电流为： A ．

dt

dD

； B ．0； C ．CU ； D ．dt

dU

C 。 （

D ） [知识点] 位移电流d I 的计算。

[分析与解答] 设平行板电容器的极板面积为S ，其间的电位移为 S

q D =

σ= 当极板间的电势差随时间变化时，极板上的带电量也同样随时间变化，则其间的位移电流为

图9-7

??=Φ=S D d t t I S D d d d d d t

q

S t D d d d d =

?= 由U q C =

关系可知 t

U

C t q d d d d = 则 t

U

C

I d d d =

10．平板电容器在充电过程中，忽略边缘效应，作如图9-7所示的环路L 1和L 2，则沿两个环路的磁场强度H 的环流必有：

A ．???>

?2

1

d d L L l H l H ；

B ．???=

?2

1

d d L L l H l H ；

C ．??

?<

?2

1

d d L L l H l H ；

D ．0d 1

=??L l H ，0d 2

≠??L l H 。 （C ）

[知识点] 全电流安培环路定律。

[分析与解答] 根据全电流连续，平行板电容间的全部位移电流等于穿过2L 的传导电流，因此，1L 回路中的位移电流小于2L 中的传导电流，则由H 的环路定理知

??

?<

?2

1

d d L L l H l H

且 传I L =??

2

d l H

二、填空题

1．法拉第电磁感应定律的表达式为 dt

d m

i Φ-

=ε ，此式表明：感应电动势i ε的大小等于磁通量随时间的变化率 ；负号表示i ε的方向（指向）是 阻碍磁通量的变化 的方向。

已知垂直通过一平面线圈的磁通量随时间变化的规律为m Φ=1762

++t t （SI ），则t 时刻

线圈中的感应电动势的大小为=i ε 712+t V ，它表明i ε是随时间t 变化的。

[知识点] 法拉第电磁感应定律的意义。

[分析与解答] 1762

++=Φt t m

感应电动势的大小 ()V 712d d +=Φ=

t t

m

i ε

N S

v

a

c

b

图9-8(a)

ω

I

L

D

a

b

图9-9(a)

N S

v

a

c

b

图9-8(b)

ωL

D I v

d r O

r

a

b

图9-9(b)

2. 如图9-8(a)所示，一条形磁铁插入线圈，根据楞次定律可知，线圈中感应电流i 的流向是由c 点指向 a 点。 [知识点] 楞次定理的应用。

[分析与解答] 由图9-8(b)知，原来磁场方向向上并在增加，由楞次定理知，磁通量增加了，则感应电流的磁场要阻碍向上的磁通量的增加，会“增则反”，即其方向会与变化后的磁场相反，则由右手螺旋法则知，线圈内感应电流的流向为顺时针方向即（即c →a ）。

3．产生动生电动势的非静电力是 洛伦兹力 ，其相应的非静电性电场强度=k

E B ?v ；动生电动势的方向（指向）就是 B ?v 的方向。

产生感生电动势的非静电力是 感生电场力 。 [知识点] 动生电动势和感生电动势的概念。

4．如图9-9(a)所示，长为L 的导体杆ab 与通有电流I 的长直载流导线共面，ab 杆可绕通过a 点，垂直于纸面的轴以角速度 转动，当

ab 杆转到与直导线垂直的位置时，杆中的动生电动势为

=

ab ε)ln (20D

L

D D L I +-ωπμ，a 端的电势较b 端的电势要 低 。 [知识点] 导体杆在非均匀场中转动时的动ε计算。

[分析与解答] 建立如图9-9(b)所示坐标，导体杆微元r d 中的动生电动势为

()()r B D r i d d d ω-=??=εr B v 直导线在r d 处产生的磁场为

r

I

μB π=20 方向向里

导体杆上的总电动势为

()?

?+-?==L

D D

i i r D r r

I μd 2d 0ωπεε???

??+-=D L D D L I μln 20ωπ

其方向由a 指向b ，则b a U U <。

5．如图9-10(a)所示，直角三角形金属框架abc置于均匀磁场B中，磁场方向与

B

图9-10(a)

c

a b

d

B l 1l 2

图9-11

B

b

a

ωc

30

l

d l

图9-10(b)

B

O E k

R

L

ab 边平行，已知l ac =， 30=∠bac ，当框架以角速度 绕ab 边作匀角速度转动时，则ac

边中的动生电动势=ac ε

28

1

l B ω ，整个回路abca 中的动生电动势为=abca ε 0 。 [知识点] 导体框在均匀场中转动时的动ε计算。

[分析与解答] 在ac 上任选一线元l d ，其B v ?方向如图，则l d 上的动生电动势为 ()l vB l vB a c d 2

1

d 30sin d d =?=??=εl B v 而微元l d 处的速度为 ?ω=30sin l v 则ac 边上总的动生电动势为 2

08

1d 30sin 21d Bl l lB l

a c a c ω=?ω=

ε=

ε??，方向由a 指向c 由于ba 边不切割磁场线运动，则 0=εba 而cb 边上总的动生电动势为 ()??

??=

=20d d l

cb cb l B v εε??

==20

20

d d l l l Bl l B ωv

22

8

1

2121Bl l B ωω=??? ??= 方向由b →c 则 0=ε+ε+ε=εca bc a b a bca

6．如图9-11所示，矩形导体线框abcd 处于磁感强度t B B ωsin 0=的均匀、变化磁场中，1l ab =，2l bc =，则线框内感应电动势的大小为=ε t B l l ωωcos 021 。

[知识点] 感生电动势感ε的计算。 [分析与解答] 线框内感生电动势的大小为 ????=Φ=

S t

B d d d t m ε tS B ωωcos 0=t l l B ωωcos 210=

7. 在半径为R 的圆柱形区域内存在一匀强磁场B ，且以恒定变化率dB/dt 减小，则区域内任一点（ r < R ）的感应电场强度E k 的大小为=

k E t

B

r d d 2，其方向为 以中心为圆心、以r 为半径的圆周在该点的切线方向 。 [知识点] 感生电场k E 的大小和方向。

I

薄金属片

[分析与解答] 由于B 以及

t

B

d d 的分布具有轴对称性，则感生电场的电场线为一系列的同心圆，如图9-12所示。作半径为r ()R r <的环路L ，选逆时针方向为绕行方向，则k E 的环流为

t

B

r t rE S

k L

k d d d d d 2d 2

π=?-=π=??

?

S B l E 则 t

B r E k d d 2=

由于B 在减小，则k E 的方向与图示方向相反。

8．半径为R 的无限长圆柱形导体上均匀流有电流I ，该导体材料的相对磁导率为r μ，则在与导体轴线相距r （r

22

208R r I r πμμ ； 而在导体轴线上一点的磁场能

。 [知识点] 能量密度的计算。

[分析与解答] 以r 为半径，取圆形环路，则由有介质的安培环路定律有 22

2d r R

I

rH π?π=

π=??

l H 2

2R

Ir

H π=

则磁感强度 2

002R Ir

μμH μμB r r π=

=

则磁场能量密度 4

2220821

R r I μμBH w r m π==

导体轴线上一点，0=r 则 0o =,m w

9．麦克斯韦关于电磁场理论提出的两个基本观点，即两个基本假设是： 变化的电场（位移电流）能激发磁场 和 变化的磁场能激发感生电场 。在麦克斯韦方程组中，表示变化电场与磁场关系的方程是 S D

S δl H d d d ???+

?=???

?S S

L

t 。

[知识点] 麦克斯韦电磁场的基本理论。

10．如图9-13(a)所示，质量极小的薄金属片与长直导线共面，由于薄金属片质量极小，可借用超声悬浮技术，使金属片在微重力状态下悬浮着（详见工科物理教程下册第192页）。当长直导线中突然通过大电流I 时，由于电磁感应，

薄金属片中将产生涡电流，则它将

图9-13(b)

向右运动 。（填向上、向下、向左、向右或转动） [知识点] 涡电流的形成及方向判断。

[分析与解答] 当长直导线中电流增大时，其在薄金属片空间的磁通量增加，则会在薄金属片中产生逆时针流动的感应涡旋电流，如图9-13(b)所示；这时，薄金属片内部因为带有涡流而成为载流导体，在长直导线的磁场中会受到磁力的作用；又由于长直导线的磁场与场点距离成反比，则对共面的圆电流而言，其靠近直导线的电流元受力大，且指向右边，远离直导线的电流元受力小，且指向左边，而圆电流受上、下磁力大小相等、方向相反，则圆电流将受到指向右边的合力的作用，因此，薄金属片将在此力作用下将向右运动。

三、简答题

试比较位移电流与传导电流的异同点。

[答] 共同之处：位移电流与传导电流一样都会产生磁场。

不同之处：（1）传导电流源于自由电荷的定向运动，而位移电流不涉及电荷运动，本质上就是变化的电场；

（2）传导电流通过导体时要产生焦耳热，而位移电流则无热效应；

（3）传导电流只能在导体中存在，而位移电流可以在导体、电介质甚至真空中存在。

四、计算与证明题

1．如图9-14（a ）所示，一边长为的正方形导体线框，内阻为R ，以恒定速度v 通过宽度为3a 的均匀磁场区，B 的方向垂直纸面向里。以正方形线框的前端刚好进入磁场区为计时起点，试在图9-14（b ）所给的坐标中，画出正方形导体线框在运动过程中，其产生的感应电流I i 与时间t 的关系曲线（要求标明有关坐标值，并取顺时针方向时电流I i 为正）。

[分析与解答] 如图9-14(c)所示，在正方形导体线框正在进入均匀磁场的过程中，t 时刻线框进入磁场的面积为ax S =，取顺时针方向为绕行正向，则线框的磁通量为

Bax

BS m ==?=ΦS B

a

图9-14(a)

图9-14(b)

图

9-14(c)

图

9-14(d)

图9-14(e)

B a v R

B a v R

图9-14(f)

则当a x <<0时，线框内的感应电动势为 v Ba dt

dx

Ba dt d Φm -=-=-

=ε 即时间为v a/t <<0时，线框内的感应电流为 R

Ba R

I v

-

==

ε

1，方向为逆时针方向 如图9-14(d)所示，在正方形导体线框已经全部进入均匀磁场的过程中，线框的磁通量不变，即时间为v v a/t a/3≤≤时，则线框内无感应电流。

如图9-14(e)所示，在正方形导体线框正在离开均匀磁场的过程中，t 时刻线框留在磁场的面积为)(x a a S -=，取顺时针方向为绕行正向，则线框的磁通量为

)(x a Ba BS m -==?=ΦS B

则当a x <<0时，线框内的感应电动势为 v Ba dt

dx

Ba dt d Φm ==-

=ε 即时间为v v a/t a/43≤<时，线框内的感应电流为 R

Ba R

I v

=

=

ε

1，方向为顺时针方向 则在整个过程中，感应电流I i 与时间t 的关系曲线如图9-14(f)所示。

d

a

b

l

x

c

v

θ

图9-15

2．如图9-15所示，均匀磁场B 中有一矩形导体框架，B 与框架平面的正法线方向n 之间的夹角3πθ

=，框架内的ab 段

长为l ，可沿框架以恒定速度v 向右匀速运动。已知kt B =，k 为正的常量，当0=t

时，0=x 。试求：当直导线ab 运动到与

cd 边相距x 时，框架回路中的感应电势i ε。

[分析与解答] 由题意知S 的绕行方向为逆时针，则

θcos BS m =Φ，而xl S =

?????

?

+-=Φ-

=t B S t S B t m i d d cos d d cos d d θθε ??

?

???+-=k lx t x l kt θθcos d d cos []θθcos cos klx t kl +-=v

θcos 2klx -=klx -=0< （顺时针）

3．由两个无限长同轴薄圆筒导体组成的电缆，半径分别为R 1和R 2（12R R >），其间充满磁导

率为

的磁介质，且流过内、外圆筒的电流I 大小相等，流向相反。

（1）试求长为l 的一段电缆内的磁能； （2）试证明长为l 的一段电缆的自感系数为=

L 1

2

ln

π

2R R l

μ。 [分析与解答] （1）由安培环路定律，当21R r R <<时，r I

H π2=，r

I

B πμ2=

取长为l ，半径为r ，厚度为d r 的体积元，其体积rldr dV π2=，则微元的磁能为

r dr

l I rldr r

I BHdV dV w dW m m πμππμ428212222=

?=== 长为l 的一段电缆内的磁能为 1

2

22ln 4421R R l I r dr l I dW W R R m m πμπμ===??

（2）取长为l ，厚为d r 的面积元，其面积ldr dS

=，则微元的磁通量为

a

a /23/2

a I=I e

0t

图9-16

dr r

Il

BdS d m πμ2=

=Φ 长为l 的截面的磁通量为 1

2

ln 2221R R r Il r dr r Il d R R m m

πμπμ==

Φ=Φ??

则长为l 的一段电缆的自感系数为 1

2

ln

2R R l I L m πμ=Φ=

4．一无限长直导线通有电流t

e I I λ-=0（式中I 0、

为

恒量），与一矩形线框共面，并相互绝缘，线框的尺寸及位置如图9-15所示。试求：

（1）直导线与线框间的互感系数； （2）线框中的互感电动势。 [分析与解答]

（1）取d x ，其到直导线距离为x ，面积元adx dS =，绕行方向为顺时针，则

dx x

e aI dx x Ia BdS d t

m πμπμλ22000-===Φ

左侧线框磁通量为负值，右侧线框磁通量为正值，则有

?

??-=Φ-Φ=Φa a t

m m m dx x

e aI d d 23

2

1002πμλ左

右

3ln 22

123ln 20000πμπ

μλλt t

e I a a

e I --==

互感系数为 3ln 20π

μa

I M m =Φ=

（2）由t

e I I λ-=0，m Φ变化，互感电动势为

t M e I a dt dI M

λλπ

με-?=-=003ln 2 ln32 00π

λμλt e I a -= （顺时针）

5．试计算下列各量：

（1）当前实验室达到的水平，可获得T 02.=B 的强磁场和m V 106

=E 的强电场。那么相

应的能量密度有多大？并比较之。