质点运动微分方程

第3篇动力学

第10章质点运动微分方程

一、目的要求

1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。

2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。

3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。二、基本内容

1．基本概念：

动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式：

（1）牛顿第二定律：a m F

=（式中，质点的质量为m ，所受合力为F ，其加速度为a 。）

（2）质点运动微分方程

1）矢径形式：22dt r d m F =或F r m =，∑=i F F

2）直角坐标形式：∑=x F dt x d m 22，∑=y F dt y d m 22，∑=z F dt

d m 22

3）自然坐标形式：2n m F υρ=∑，d m F dt

τυ

=∑，∑

b F 0 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。三、重点和难点

1．重点：

（1）建立质点运动微分方程。

（2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点：

在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。四、教学提示

1．建议

（1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。

（2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。

（3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。

2.建议学时

课内（2学时）课外（3学时） 3．作业

10-5，10-12，10-14

第11章质心运动定理动量定理

一、目的要求

1．使学生认识到质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的两类问题

2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量。

3．能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。

二、基本内容

1．基本概念

（1）质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量的概念及计算。（2）质点系的动量定理（质心运动定理）。 2．主要公式

（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算

1）矢径形式 M r m r i i c ∑= 或 M

r m r ic

i c

∑=

2）直角坐标形式

M x m x i i c ∑=，M y m y i i c ∑=，M z m z i i c ∑=

其中 k z j y i x r i i i i

++=为第i 个质点到固定点O 的矢径。

k z j y i x r c c c c

++=为质点系的质心到固定点O 的矢径。 ic r

为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。

m i 为第i 个质点的质量，i m M ∑=为质点系（刚体、刚体系）的质量。（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算

1）矢径形式 c i i v M v m P

=∑= 2）投影形式

ix i x v m p ∑=，iy i y v m p ∑=，iz i z v m p ∑=，

222z y x P P P P ++=

注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。（3）动量定理（质心运动定理）

∑==n i (e)

i F dt p d 1 )(1

∑==n i (e)i c F a M 式中∑===n i c i i v M v M p 1

，是质点系某瞬时的动量，∑=n i e i F 1

)

( 是质点系所受外力的主矢量。c a 为

质点系心的加速度。三、重点和难点

1．重点：

（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。（2）质点系动量定理、质心运动定理。 2．难点：

质点系动量定理、质心运动定理的应用。 1．建议

（1）强调动量中所用到的速度为绝对速度。

（2）通过举例熟练掌握微分形式的动量定理、质点系的质心运动定理的应用，讲清各自的解题特点，尤其求简单机构的约束反力。

（3）明确质心守恒的条件及应用守恒定律求解的有关问题。

2.建议学时

课内（4学时）课外（6学时） 3．作业

11-3，11-4，11-12，11-13，11-4

第12章动量矩定理

一、目的要求

1．对质点系（刚体、刚体系）的动量矩，质点系（刚体、刚体系）对某轴的转动惯量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系对某定点（轴）的动量矩，根据刚体（系）的运动计算刚体（系）对某点（轴）和质心的动量矩，会用定义、平行移轴定理和组合法（分割法）计算刚体对某轴的转动惯量。

2．能熟练地应用质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒）和刚体绕定轴转动微分方程求解动力学问题。

3．会应用相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。二、基本内容

1．基本概念

（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）和质心的动量矩、转动惯量的概念及计算。（2）质点系的动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程、质点系相对于质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程。

2．主要公式

（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）及质心的动量矩的计算 1）质点系对某定点（轴）及质心的动量矩 c c c i i i i i L v m r v m r v m m L

+?=?∑=∑=)(00 ir i c i i i c v m r v m r L

?'∑=?'∑= 为质点系对质心C 的动量矩。

z z i i i i z z L v m m v m m L ][)]([)(00

=∑=∑=，z 是过定点O 的轴。 2）平动刚体对某定点O 的动量矩

c c v r M L ?=0

3）绕定轴转动刚体对转轴z 的动量矩

ωωz i i z J r m L =∑=)(2

4）平面运动刚体对运动平面内定点O 的动量矩

ω?c c c J v Mr L +=sin 0

ir i v v ,分别为第i 个质点的绝对速度和相对于坐标原点在质心的平动坐标系的速度，c v

为质点系（刚体、刚体系）质心的绝对速度，c z J J 、分别为刚体对转轴和质心轴的转动惯量，?为定点O 到质点系质心的矢径与质心速度的夹角，ω为刚体转动的角速度。

（2）转动惯量

1）定义 dm r r m J m

i i z ?

∑=22

2）引入回转（惯性）半径 2

z z m J ρ=

z ρ为刚体对转轴的回转半径

3）平行轴定理 2Ml J J c z z +=

l 为轴Z 和轴Z c 间的距离

4）组合法（分割法）

n z z z

z J J J J ±±''±'= （3）动量矩定理（刚体绕定轴转动微分方程，刚体平面运动微分方程）

∑==n i (e)i F M dt L d 100

)( （a ）∑∑?==i i i i i v m r v m m L

)(00是质点系对定点O 的动量矩 ∑∑=?=n

i e i i e i F r F m 1

)

()(0)( 是外力系对O 点的主矩

∑=)(i z z

M dt

d J F ω

（b ）∑=2i i z r m J ，是刚体对转轴z 的转动惯量

∑=)()(e i c c

c F M dt

L d J

???

??===∑∑==)()(1)(1

)(e i c c n

i e iy cy n

i e ix

cx M J F Ma F Ma F α （c ）式中∑=2

i i C r m J ，是平面运动刚体对质心C 的转动惯量。/

)()(e i c M F 是外力系对质心C 的主矩。

三、重点和难点

1．重点：

（1）质点系（刚体、刚体系）动量矩、转转惯量的计算。（2）质点系的动量矩定理和刚体绕定轴转动微分方程。 2．难点：

（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）动量矩的概念及计算方法。（2）相对质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程的应用。四、教学提示

1．建议

（1）强调动量矩中所用到的速度、角速度均为绝对速度、绝对角速度。（2）通过复习力对点之矩的计算引出动量对点之矩——动量矩的概念。（3）刚体对定点（轴）的动量矩的计算与刚体的运动有关。

（4）强调应用动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程解题的关键是会正确地构造出等式两端的各项，多做相应的练习。

（5）讲清楚相对于质心的动量矩定理的引出及力学意义。（6）讲清楚如何选取研究对象建立刚体的平面运动微分方程，如何利用运动学条件加列补

充方程。

2.建议学时

课内（6学时）课外（9学时） 3．作业

12-2，12-3，12-12，12-9，12-10，12-11，12-18，12-21，12-24，12-26，12-28，12-30，12-34，12-35

第13章动能定理

一、目的要求

1．对功和功率的概念有清晰的理解，能熟练地计算重力、弹性力和力矩的功。

2．能熟练地计算平动刚体、定轴转动刚体和平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。 3．熟知何种约束反力的功为零，何种内力的功之和为零。 4．能熟练地应用动能定理和机械能守恒定律解动力学问题。 5．能熟练地应用动力学基本定理解动力学的综合问题。二、基本内容

1．基本概念

力的功；质点和质点系的动能；动能定理；功率、功率方程、机械效率；势力场、势能、机械能守恒定律；动力学基本定理的综合应用。

2．主要公式

微分形式 ∑==

i Fi

dT 1

积分形式 ∑=

-Fi

T T 12

具有理想约束的质点系，其动能的改变（增量或对时间的一阶导数），等于作用于质点系的主动力的元功之和；在理想的约束条件下，质点系在某一段运动过程中起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的主动力在这段过程中所作的功的和。三、重点和难点

1．重点：（1）力的功和物体动能的计算。

（2）动能定理和机械能守恒定律的应用。（3）动力学基本定理的综合问题。

2．难点：综合应用动力学基本定理求解动力学问题，运动学补充条件（方程）的提出。四、教学提示

1．建议

（1）讲清力的功的一般形式，反复练习重力的功、弹性力的功和力矩的功的计算，搞清圆轮纯滚时摩擦力为什么不作功。

（2）在复习物理课程有关内容的基础上，熟练计算刚体系统的动能，强调动能表达式中的速度（角速度）一定用绝对速度（绝对角速度）；反复练习取整体为研究对象，用动能定理求运动的问题；强调用动能定理的积分形式可求解任何运动问题；强调用动能定理解题是以整体为研究对象。

（3）讲清动量、动量矩定理与动能定理的异同点。通过练习，明确各定理适合求解的问题及解题特点。

（4）本章重点是动力学基本定理的综合应用，要多举各种类型的例子，把握“先求运动后求力”的解题思路，使学生熟练掌握。强调求运动，可用动能定理，求力可用动量定理（质心运动定理）。

2.建议学时

课内（8学时）课外（12学时） 3．作业

13-1，13-3，13-7，13-12，13-17，13-20，13-24，13-25，13-28，13-29，13-32，13-35，13-41，13-42，13-45，13-47

第14章达朗伯原理

一、目的要求

1．对惯性力的概念有清晰的理解。

2．掌握质点系惯性力简化的方法，能正确地计算平动、定轴转动和平面运动刚体惯性力系的主矢和主矩，注意不同运动刚体惯性力系简化中心的选择。

3．能熟练地应用达朗伯原理求解动力学问题。二、基本内容

1．基本概念

惯性力的概念；质点和质点系达朗伯原理；刚体惯性力系的简化；绕定轴转动刚体的轴承动反力；应用达朗伯原理推导出质点系动量定理、动量矩定理。

2．主要公式

质点系达朗伯原理：

∑∑===+n i gi n i (e)i F F 11

∑∑===+n

i gi (e)i n

i F M F M 1

0100)()(

式中)(e i F 、gi F

分别为第i 个质点上作用的外力矢量以及简化的惯性力。

三、重点和难点

1．重点：（1）惯性力的概念

（2）平动、定轴转动和平面运动刚体惯性力系的简化及简化结果（3）用达朗伯原理求解动力学问题

2．难点：（1）惯性力系的简化

（2）求解杆系动力学问题时，运动学补充方程的提出。

四、教学提示

1．建议

（1）讲清惯性力的概念和刚体惯性力系的简化，熟记各种运动刚体惯性力系的简化中心（轴）及相应的简化结果，反复练习。

（2）讲清并强调用达朗伯原理（动静法）求解动力学问题的方法和步骤：

1）以整体为研究对象画出全部主动力和约束反力；2）假设系统的运动形态（各刚体质心加速度及转动的角加速度；3）根据运动虚加惯性力（偶），画在受力图上，并写出其结果；4）根据具体问题可以整体或某个构件为研究对象，用达朗伯原理（动静法），列出平衡方程；5）根据构件间的运动联系，列出运动学的补充方程；6）求解联立方程。

区分用达朗伯原理解题的方法与用静力学平衡方程求解静力学问题有何异同。（3）由达朗伯原理推导动量（矩）定理时，讲清楚问题。

2.建议学时

课内（5学时）课外（7.5学时） 3．作业

14-1，14-4，14-8，14-10，14-13，14-16，14-19

第15章虚位移原理

一、目的要求

1．对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的认识，并会利用几何法、解析法和虚速度法找系统内各点虚位移之间的关系。

2．能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题。 3．对自由度和广义坐标有初步的理解。 4．会用解析法和几何法计算广义力。二、基本内容

1．基本概念

约束、虚位移、虚功、虚位移原理、自由度和广义坐标。 2．主要公式：（1）虚功

z z y y x x r F W δδδδδ++=?=

（2）虚功方程（虚位移原理）

1）几何法 01

=?∑

=i n i i r F

2）解析法 0)(1

=++∑

=i i i i i i n i z z y y x x δδδ

（3）广义力的计算 1）解析法

???

????+??+??=∑=k i i k i i k i i n

i k q z Z q y Y q x X Q 1 N k ,,2,1 = 2）几何法

i k q W Q δδ'

∑=1

（4）广义力表示的平衡条件

Q 1=Q 2=…=Q n =0 n 为系统的自由度数。三、重点和难点

1．重点

（1）虚位移、理想约束的概念

（2）应用虚位移原理求解物体系的平衡问题（3）质点系自由度数的判断及广义力的计算 2．难点

找质点系虚位移之间的关系四、教学提示

（1）讲清虚位移原理解决什么问题，以及为什么要学习本章内容。

（2）对约束、约束主程只作简单介绍，熟练找虚位移之间关系的几何法、虚速度法与解析法，区分虚位移与实位移、虚功与实功。

（3）讲清虚功方程的几何与解析表达式，反复举例说明其解题特点，尤其注意方程中各项

符号的确定。

（4）强调用虚位移原理解题是以质点系整体为研究对象。

（5）讲清广义坐标、广义力与直角坐标、一般力的关系。

2.建议学时

课内（6学时）课外（9学时）

3．作业

15-1，15-6，15-11，15-14，15-16，15-17，15-19，15-22

运动微分方程

运动微分方程弹性体体积V ，表面积S ，密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量，t 为时间。弹性体在t 时刻的动量P （t) dV v dt d dV f dS t dt dP F f V f m F dV f dS t F F F dV v m v p V i V i s i i i V i s i i V i i ??????= += ?=?=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面 ******************************************************************************* 散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。???=??s V S d F dV F 散度：表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率，其表达式为▽·A 。 z R y Q x P R Q P z y x F ??+ ??+??=???????=??),,(),,( ，P,Q ，R 为F 在x,y,z 上的分量。散度定理的证明：S d F dV F s V ?=???????。令()R Q P F ,,= ，假设F =(0，0，R)，则需要证明 dS n R dV R s V z ?? ????=),0,0( 如下图，投影区为U 。 dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy dz R dV R U y x Z y x Z z D z ))],(,,()),(,,([)() ,() ,(底顶顶底????????-== S=S 底+S 顶+S 侧面

常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即. ()()()t A t t Φ=Φ， . 1 ()()() A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。 2.证明：因为()t ?，()t ψ分别是. ()x A t x = 和. ()T x A t x =-的解，所以 11 1 () ()()n k k k n nk k k a d t A t t dt a ????==?? ? ?== ? ? ? ??? ∑∑ ， 11211111122222* 121 ()()()n n k k k n n kn k n n n nn k a a a a a a a d t A t t dt a a a a ψψψψψψ==?????? ? ? ? ? ? ?=-ψ=-=- ? ? ? ? ? ? ????? ??? ∑∑ 因而 1111 112 2 1 1 (,)(,)(,),,n n k k k k k k n n kn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψ??ψψ ??ψ?ψ ψ?ψ?ψ?====?? ?? ?????????? ?-?? ? ? ??? ??? ? ? ???=+= ?+?? ? ? ??? ?-?? ? ? ??? ????? ???? ??????? ?? ∑∑∑∑ 11 111 1 1 1()0 n n n n n n n n n n n n m m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ?ψψ??ψ?ψ?ψ?ψ== === = == == = = -= += -=-=∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑所以 (),() ()()1 n t t t t k k k ?ψ?ψ≡≡ ∑=常数。 3.证明：设)t Φ(为系统. ()x A t x = 的一个基本解矩阵，则由定理2.11知 [ ]1 () T t -Φ是系统. ()T x A t x =-的基本解矩阵，由定理 2.4知系统. ()x A t x = 满足初始条件00()x t x =的特解为1 00()))t t t x ?-=Φ(Φ(，[) 0,0,t t ∈+∞由题可知)t Φ(与[ ]1 () T t -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0 k k t ?=>

第二章：动力学系统的微分方程模型

第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。 §2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。 1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。惯量（质量）= ）加速度（力（2 /) s m N 惯量（转动惯量）= ）角加速度（力矩（2/) s rad m N ? 2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。 x k F ?= 这里k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。 3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为： α x c R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。当1=α，为线性阻尼模型。否则为非线性阻尼模型。应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： ||1--=αx x c R 这里的“-”表示与速度方向相反

4.2 理想流体的运动微分方程讲解

4.2 理想流体的运动微分方程理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下

??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。一运动微分方程在流线上的积分形式在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1）对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）

第3章--振动系统的运动微分方程题解

习题 3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =? 其中 )(22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ?? ρcos )(22 Pa a g P C =+ 或 0cos )(22 =-+?? ρga a C 3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为： 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图

θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+ θθθθθθθθθθ ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ， θθθθθθθθθθ ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ 故微分方程为 0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ m g e m R e Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C 要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程 ??? ??--=-=-=④③② θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C 上述方程包含C x ，C y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。（2）本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能 222222 1)c o s 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+=

《常微分方程与动力系统》课程教学说明

上海交通大学致远学院 2016年秋季学期《常微分方程与动力系统》课程教学说明一.课程基本信息 1．开课学院（系）：致远学院 2．课程名称：《常微分方程与动力系统》 (An Introducation to Differential Equations and Dynamical Systems) 3．学时/学分：48学时/ 3学分 4．先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何；或线性代数、高等数学。 5．上课时间：星期五 6-8节(12:55-15:40) 6．上课地点：东下院 101 7．期末考试时间：2017-01-（02-13）考试周 8．任课教师：肖冬梅， xiaodm@https://www.360docs.net/doc/6c7219190.html, 9．办公室及电话：数学楼2305，54743151转2305 10．助教：何鸿锦，hehongjin000@https://www.360docs.net/doc/6c7219190.html, 11．答疑（office hour）：星期三晚18：30 – 20：30，数学楼2305室二.课程主要内容（如何可以，请提供中英文）除期中考试2学时+习题课2学时外，其余全是课堂教学第一章基本概念（3学时）主要内容： 1.1什么是微分方程？什么是常微分方程？常微分方程的分类 1.2什么是常微分方程解？什么是特解？什么是通解？ 1.3常微分方程建模：初始值问题和边界值问题 1.4关于常微分方程和解的几何看法：向量场、积分曲线重点与难点：常微分方程和解的几何观点，方向场和积分曲线的作图第二章一阶常微分方程的初等解法（6学时）主要内容： 2.1 变量分离法 2.2 一阶线性常微分方程 2.3 全微分方程（或恰当方程）和积分因子 2.4 替代法和某些可解的常微分方程重点与难点：全微分方程和积分因子，变换的技巧第三章基本理论（8学时）主要内容：

运动微分方程推导

以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导 1. 黏性流体的内应力黏性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力，因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。如在任一点取一微小的正六面体，如图所示，作用在平面ABCD 上的力有法向应力 xx p ，与切向应力xy τ和xz τ。应力符号的第一个字母表示作用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。流体场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。 2. 以应力表示的运动微分方程在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标。各应力的值均为代数值，正直表示应力沿相应坐标系的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此，

xx p yy p ，zz p 必为负值。由牛顿第二定律，x 方向的运动微分方程为： Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx p - xx p x ??dy )dydz ]+ yx τdxdz +[-(yx τ- yx y τ??dy )dxdz ]+ zx τdxdy +[-(zx τ- zx z τ??dz )]x du dxdy dxdydz dt ρ= 等式两边分别除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导，得到： 1 1 ( )zx x XX du P yx X X y z dt τρρ τ??+ + +=???? （1）同理，在y 方向，由牛顿第三定律得：

[()][)][()] yy yy yy xy xy xy zy zy zy y Ydxdydz dxdz dy dxdz y dydz dx dydz x dxdy dz dxdy z dxdydz dt p p p du ρρττ τ ττ τ + +-- + ?+-- + ?+ +-- ?=??? 等式两边同时除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导得： 1 1 ( )yy zy xy y Y y z x dt p du ρρ ττ+ ++ = ?????? （2）

质点运动微分方程

第3篇动力学第10章质点运动微分方程一、目的要求 1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。 2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。 3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。二、基本内容 1．基本概念：动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式：（1）牛顿第二定律：a m F =（式中，质点的质量为m ，所受合力为F ，其加速度为a 。）（2）质点运动微分方程 1）矢径形式：22dt r d m F =或F r m =，∑=i F F 2）直角坐标形式：∑=x F dt x d m 22，∑=y F dt y d m 22，∑=z F dt z d m 22 3）自然坐标形式：2n m F υρ=∑，d m F dt τυ =∑，∑ = b F 0 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。三、重点和难点 1．重点：（1）建立质点运动微分方程。（2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点：在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。四、教学提示 1．建议（1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。（2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。（3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。 2.建议学时课内（2学时）课外（3学时） 3．作业 10-5，10-12，10-14

动力系统的概念

动力系统的概念这一章是对于事实的调查，而且来源于应用于全书的动力系统理论。我们的主要目的是为后面的章节确定固定使用的常用符号和专业术语，并且回想一些常常在课本的前言中不被讨论的理论的一些方面。为了更容易的阅读，我们保持讨论时采用非专业术语，并尽可能地避免技术上的符号和观点。然而许多遗漏的细节可以从研究生使用的动力系统的课本的前言中找到，一些更加先进的课题仅仅在研究性的文章中涉及到。在某些情况下，我们将提供一些在更深的章节中关于这个主题的参考。另外，我们鼓励读者使用附录A 和B 作为基于不同的几何和函数分析的参考。流量，映射，动力系统对于任意的集合P ，一个变换群:P P t F →中的任意的一个参数t 属于实数，如果 ()x x F =0对于所有的x 属于集合P ，并且s t s t F F F ο=+对于任意的 ,t s , 属于实数都成立, 则被称为一个流。这两个属性表明t F 和它的逆t F -是不可以转化的。这一组合t (,)p F 叫做基于空间P 的一个连续的动力系统。换句话说，一个连续的动力系统包括一个可能状态集合和唯一决定将来状态)(x F t 的当前的状态函数x 的变化规则。通过x 这一点的变化轨迹是集合)()(x F U x t R t ∈=γ。一个固定点的流是一个点x 且x x F t =)(对于任意的R t ∈都成立。这个流的一个周期的轨迹就是通过这一点x 对于那些存在的正数T,并且满足x x F T =)(的这样的轨迹。如果用以上所说的映射族t F 定义只需0≥t ，且对于所有的t ，s 满足()x x F =0和s t s t F F F ο=+，则t F 叫做半流形。注：半流形通常是不可逆的，动力系统的一个典型的特征是在无穷大的空间中是确定的。当有单独向映射P P f →:且存在()f P ,时，离散动力系统是确定的。这样的系统还有一些性质即通过f 的迭代次数可以得出唯一的当前状态决定所有的将来状态()(),...,2x f x f 。这时x 的取值范围是确定的在集合()()Y Z n n x f x ∈=γ中，其中

动力系统综述

Xxxxxx U N I V E R S I T Y 《微分方程定性理论》实践报告所属学院：理学院专业班级：应用数学姓名：学号：xxxxxxxxxxx 实践课题：动力系统综述实践成绩：任课教师：

动力系统综述随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。动力系统是随时间而演变的系统。随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。动力系统是随时间而演变的系统。对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态，如平衡点或周期运动的数目和稳定性等会发生突然变化，这种变化称为分叉[2]。分叉理论主要研究当参数在分叉值附近变化时，系统轨线的拓扑结构或定性性态将如何变化。近几十年来，动力系统的分叉理论被系统而深入的研究，并得到了迅猛的发展，且广泛应用于物理、化学、生物、工程等研究领域中，分叉问题的研究己成为非线性动力系统研究的重点和难点之一。 1动力系统简介动力系统的研究起源于牛顿的经典力学理论.假设空间R n 的一个质点M 在时刻t 的坐标为),,,(21n x x x x =并且己知质点M 此时的运动速度为))(,),(),(()(21x v x v x v x v n =，并且只与坐标x 有关.那么质点M 的运动方程为： )(x v dt dx = （1）这个方程是一个自治的微分方程.更进一步如果方程(1)满足微分方程解的存在和唯一性定理的条件，那么对任何的初值条件00)(x t x =，则方程存在唯一解),,()(00x t t t =?。我们称x 取值的空间n ?为相空间，而称((t , x )的取值空间“n ???”为增广相空间.按照微分方程的几何意义，方程(1)定义了增广相空间中的一个向量场.解的几何意义为增广相空间中经过点),(00x t 的唯一的积分曲线[1]. 2 动力系统在力学中的应用稳定性是系统的一个重要特性。对系统运动稳定性分析是系统与控制论的一个重要组成部分，一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不能付诸于工程实施的。设系统的向量状态方程为: 0,)(),,(00≥==t x t x t x f x （2.1）式中：x 为n 维状态向量；),(??f 为n 维向量函数。

热传导+对流微分方程推导

热传导微分方程导热又称热传导，是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间，由于温度不同而引起的热量传递现象。此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递，没有明显的物质转移。热量可以通过固体、液体以及气体进行传导，但是严格来说，单纯的导热只发生在密实的固体物质中。 1 傅立叶定律傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为: q gradT λ=-? (2-1) 式中:q ——热流密度，是一个向量，2/()Kcal m h gradT ——温度梯度，也是一个向量，℃/m 。 λ——导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C o ；式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。 2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素导热系数λ（ /()Kcal mh C o ）是热传导过程中一个重要的比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。单位是：W/(m·K)。在上述假设前提下，建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程。 3．热传导微分方程推导在t 时刻w 界面的温度梯度为 x T ?? 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x T x T 22??+??=???? +??

单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x T ??-λ ；单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ?? ? ? ????+??-22λ；单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x T 22??λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz y T 22??λ 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22??λ 单位时间内流入六面体的总热量为： dxdydz z T y T x T ??? ?????+??+??222222λ (3-1)

运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院§1.4 质点运动定律 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系着重明确: 力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）.

JLU 物理与光电工程学院3. 牛顿第三定律两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上. 2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.

JLU 物理与光电工程学院4. 力的独立作用原理: 如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响. m F a 11r r =m F a 22r r =m F a n n r r =… n a a a a r L r r r +++=21n a m a m a m a m r L r r r +++=21∑=+++=i n F F F F r r L r r 21),,(t r r F r m i &r r r &&r ∑=力的独立作用原理指出, 力不可以是加速度的函数.

JLU 物理与光电工程学院5.经典力学中的力 1）在牛顿力学中, 力由牛顿第二定律定义. 牛顿第二、第三定律指出: 力是物体间的相互作用, 力的动力学效果是使受力质点产生加速度. 2）万有引力定律: 任何两质点间均存在相互作用引力, 方向沿两质点连线, 大小为: 2 2 1 /r m Gm F =3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观（1）力学相对性原理:对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的.

变质量物体的运动微分方程研讨(doc 6页)

变质量物体的运动微分方程研讨 (doc 6页) 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

变质量物体的运动微分方程及火箭运动专业：物理学学号: 0840******** 姓名: 秦瑞锋

变质量物体的运动微分方程及火箭运动秦瑞锋 (物理与电气工程系09级物理学专业,0840********) 摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律. 关键字: 变质量系统运动微分方程火箭动能定理动量定理一、变质量物体的基本运动微分方程在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统内的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量 )(m 2 t 和进入质点系的质量 )(1 t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t 在t=0时刻为m 0 ，则它随着时间的变化规律为)()()(2 1 t t t m m m m +-= ，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的可微函数，得到微分方程后，进行积分，问题可解决。设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。在瞬时t ，质点的质量为 m (t )，质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。在瞬时t +d t ，微粒与质点合并。于是质点的质量变为(m +d m )，其对Oxyz 的速度成为v +d v 。对于质量分出的情况则d m ＜0，即 dt dm 为负。 m 和d m 所组成的质点系在瞬时t 的动量为m v +u d m ;在瞬时t +d t 的动量为 (m +d m )(v +d v )。在d t 时间内，动量的增加t F p d ??=ρ ρ为： p d ρ＝(m ＋d m ))(v d v ρρ+－(m v ρ＋u ρ d m )。

微分动力系统的应用一

微分动力系统的应用(一)--竞争模型设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼. 设它们在时刻t 的尾数分别是x(t)和y(t). 假定鳟鱼的尾数x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x(t), 增长率为k; 即 kx t x =d d . (1) 由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k = a – by, 其中a>0, b>0是常数. 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程: x by a t x )(d d -=, 0≥x , 0≥y . (2) 同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程: y nx m t y )(d d -=, (3) 其中 m>0, n>0是常数. 当鳟鱼的尾数x(t) > m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)a/b 时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数y 将增加, 由方程 (2)可见鳟鱼尾数x(t)将减少. 现在的问题是: 设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x 0和y 0尾, 要研究这两种鱼的增长情况. 是否存在x 0>0和y 0>0, 使得这两种鱼能够和平共处, 长期共存呢? 首先可见方程组 (2), (3)有常数解

b a y n m x ==,. (4) 因此在t=0时鳟鱼x 0=m/n, 和鲈鱼y 0=a/b 尾时, 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说, 若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢? 由常微分方程的理论, 我们知道 (m/n, a/b) 是方程组的奇点, 我们只要分析这个奇点的稳定性就行了. 方程组(2),(3) 的向量场的Jacobi 矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是 ?????? ??--=???? ??----=00 b na n bm nx m ny bx by a J (5) J 的两个特征值为 ma ±, 因此奇点是鞍点, 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼的尾数将有大的变化. 方程组(2), (3)还有一个奇点 (0, 0), 向量场的Jacobi 矩阵在奇点(0, 0)的值是 ???? ??=???? ??----=m a nx m ny bx by a J 00 (6) J 的两个特征值为a>0, m>0, 因此奇点(0, 0)是不稳定的结点. 在奇点(0, 0) 附近的轨线当时间t 增大时都离开奇点(0,0). 另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道: (1): x=0, y>0, 对应的轨线是 mt y y e 0=, 表示鲈鱼的尾数呈指数增长. (2): y=0, x>0, 对应的轨线是 at x x e 0=, 表示鳟鱼的尾数呈