质点运动微分方程
第二讲 质点的运动微分方程
钢丝
y
x2 = 4ay
小环
x 例：钢丝为抛物线，小环作约束运动，约束方程 2 = 4ay 。
x
（3） 约束反力——约束物（钢丝）对被约束的质点所施加的作用力。
O
注：
（1）约束反力不仅取决于约束本身，还与作用在质点上的其他力及质点本身的运动状态有 关（举例）；
=
0
方程通解 x = A cos (w0t + j ) ——振子的运动方程
×
×
设初始条件为 t = 0 时， x = x0 , x = x0
e0
×
由运动方程可得 x = - Aw0 sin (w0t + j ) 代入初始条件得
A=
x02
+
æ ç
ç è
×
x0
w
ö2 ÷
÷ ø
， tanj
=
-
×
x0
w x0
（2）单靠约束反力不能引起质点的任何运动，∴称约束反力为被动力（一般未知）， 而像：万有引力、电磁力等为主动力；
（3）摩擦力为被动力，因此也属于约束反力。 2、 求质点约束运动的方法——去掉约束，代之以约束反力（隔离体法） 3、 质点约束运动的微分方程
设质点所受主动力的合力为
ur F
æ ç
r r,
r× r
第二讲 质点的运动微分方程及有关应用
教学时间
教学目的要求：
1 使学生深刻理解牛顿运动三定律的内涵和伽利略力学相对性原理的意义。 2 使学生熟练运用牛顿运动定律，列出有关实际问题的运动微分方程并能进行求解。 重点：质点运动微分方程的建立，初始条件的确立。
理论力学 第11章 质点运动微分方程
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
动力学基本定律 质点的运动微分方程
2
动力学
第十章
质点动力学的基本方程
11
动力学基本定律 质点的运动微分方程 §11–1 §11–2 §11–3 引言 动力学基本定律 质点的运动微分方程
3
动力学
引言
§11–1 引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象：
二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点； 质点。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F f 2 x mM mg f R2 m gR2 F x2
建立质点运动微分方程
m
dx 2 dt
2
mgR2 x2
即：
dvx R 2 mg mvx 2 dx x
动力学
质点动力学的基本方程
dy v0 sin 0 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, 即 t dt g 将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
v0 cos 0
sg 2 gH
v0 sin 0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易 改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量； 另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和 工程单位制的换算关系。
7
动力学
第十章
质点动力学的基本方程
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向 相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体， 而且也适用于任何运动的物体。
质点运动微分方程
质点运动微分方程
质点运动微分方程是描述质点在运动中位置、速度和加速度之间关系的微分方程。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与作用在质点上的合力成正比，与质点的质量成反比。
因此，可以得到质点的运动微分方程为 F = ma，即 F(x(t), v(t), t) = m * v'(t)，其中 F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，v(t)表示质点的速度，x(t)表示质点的位移。
解决质点运动微分方程可以得到质点的速度和位移的函数表达式，从而可以进一步分析质点的运动规律和特性。
质点运动微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛应用，例如在运动学、力学、电学、热学等方面，都需要使用微分方程来研究质点的运动。
- 1 -。
§1.5 质点运动微分方程
§1.5质点运动微分方程a m F = ),,(t rr F F = ⇒质点动力学内容⎩⎨⎧）已知力求运动规律（）已知运动规律求力（21 或二者兼而有之1、自由质点运动微分方程自由质点 不受任何约束 三个自由度 三个独立变量 由r m F= 得⎪⎩⎪⎨⎧===),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(t z y xz y x F z m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x（※） （※）是二阶微分方程组，给出所有可能的运动，经两次积分，存在六个积分常数，满足（※）式的解有若干个；任何质点的实际运动，在任意时刻都有确定的位置和速度，通过0=t 时的000000,,;,,z y x z y x 确定积分常数，定出唯一解（满足初始条件），给出特定条件下的运动规律。
直线运动 ),,(t x x F xm = 平面运动 ⎩⎨⎧==),,;,(),,;,(t y x y x F y m t y x y x F x m y x ⎩⎨⎧=+=-),,;,()2(),,;,()(2t r r F rr m t rr F r r m r θθθθθθθθ2、非自由质点的运动微分方程（1）约束 质点运动所受的限制 受约束质点为非自由质点约束的数学表达式⇒约束方程 ，如0),,,(=t z y x f ；质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约束反作用力；约束⇒约束反作用力 非自由质点⇒自由质点约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所受的其它力和运动状态有关 例如 曲面约束⎩⎪⎨⎧+=+=+=z z y y x x R t z y x z y x F z m R t z y x z y x F y m R t z y x z y x F x m ),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(0),,,(=t z y x f （约束方程） 两个自由度 四个方程（2）内禀方程约束力处于法向平面内（,29p 图1.5.1），这时0=b a ，（)n b⨯=τa 在密切平面内 选用自然坐标系 对理性约束 0=τR ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+==)3(0)2()1(2b b n n R F R F vm F dt dv m ρτ注意：在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分开求！由（1）式求出运动规律 （),,,z y x v ⇒将v 代入（2）式，利用232)1(1y y '+''=ρnR ⇒；由（3）b R ⇒ 运动规律和约束反作用力全部求出！ 〖以平面约束为例证明232)1(1y y '+''=ρ)(x f y = dxy dydxds 2221'+=+=αtg y =' dxy y d '''+=232)1(1α ∴232)1(1y y '+''=ρ〗对非理想约束，即有摩擦存在时，切向方程中增加R f μ=一项，这时运动规律和约束反作用力不能分开求了！ 3、运动微分方程的解理论力学中，常见变力，)t ,r,r (F形式复杂；求解二阶微分方程组，则 （1）隔离物体，具体分析（受力，已知，未知）；（2）选取坐标系，建立微分方程组（力学问题⇒数学问题）； （3）根据初始条件求解方程组； （4）分析结果，阐明物理意义。
动力学计算题
一、质点运动微分方程解题要求：①明确研究对象②画受力图③列方程求解1、半径为R 的偏心轮绕O 轴以匀角速度ω转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。
导板顶部放有一质量为m 的物块A ，设偏心距OC=e ，开始时OC 沿水平线。
求：（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的ω最大值。
（提示：列A 的运动方程求加速度）解：建立如图b 所示直角坐标系Oxy ，导板与物块均沿y 轴线作直线运动，导板作平移，其运动规律为：y = R + e sin ωt ，对时间求2 阶导数得：a y = −e ω2sin ωt （1）物块A 受重力m g 和导板的约束力F N 作用，如图c 。
物块对导板的压力与F N 等值、反向、共线。
由图c 得，物块A 的运动微分方程在y 轴的投影式为：y N ma mg F =- （2）把（1）带入（2），可得)sin (2t e g m F N ωω-=因此，物块对导板的最大压力为)(2max ωe g m F N +=要使物块不离开导板，则应有0)(2min ≥-=ωe g m F N ，即2ωe g ≥，eg≤ω2、质量kg m6=的小球，放在倾角o 30=α的光滑斜面上，并用平行于斜面的软绳将小球固定在图示位置。
如斜面以3ga =的加速度向左运动，求绳的张力和斜面的反力；欲使绳的张力为零，斜面的加速度应该多大？解：以小球为研究对象，进行受力和运动分析，并建立如图b 所示直角坐标系Oxy 。
小球跟随斜面一起沿x 轴反方向以3ga =的加速度向左运动，根据质点运动微分方程有：ma F T N -=-ααsin cos （1） 0cos sin =-+mg F T N αα （2）代入数据，求解得ga g mT gF N )33()3(2)133(-=-=+= 要使0=T ，即g a 33≥，二、动量定理解题要求：①明确研究对象②画受力图③运动分析求动量④列方程求解1、在图示系统中，均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ，OA 杆的长度为1l ，AB 杆的长度为2l ，轮的半径为R ，轮沿水平面作纯滚动。
质点的运动微分方程例题
质点的运动微分方程例题当涉及到质点的运动微分方程时，我们通常考虑质点在空间中的位置、速度和加速度之间的关系。
下面我将给出一个质点的运动微分方程的例题，并从多个角度进行回答。
例题，一个质点在直角坐标系中的运动满足以下条件，质点的位置矢量为r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，其中t为时间，求质点的速度和加速度。
从向量的角度回答：质点的速度可以通过对位置矢量求导得到。
对r(t) = (3t^2, 2t, t^3)关于时间t求导，得到速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)。
质点的加速度可以通过对速度矢量求导得到。
对v(t) = (6t, 2, 3t^2)关于时间t求导，得到加速度矢量a(t) = (6, 0, 6t)。
从微分方程的角度回答：质点的速度可以表示为位置矢量对时间的导数，即v(t) =dr(t)/dt。
根据给定的位置矢量r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，对其分别对时间求导，得到速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)。
质点的加速度可以表示为速度矢量对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
根据给定的速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)，对其分别对时间求导，得到加速度矢量a(t) = (6, 0, 6t)。
从运动学的角度回答：根据质点的位置矢量r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，我们可以计算质点在各个方向上的速度和加速度。
在x方向上，质点的速度v_x(t) = d(3t^2)/dt = 6t，加速度a_x(t) = d(6t)/dt = 6。
在y方向上，质点的速度v_y(t) = d(2t)/dt = 2，加速度a_y(t) = d(2)/dt = 0。
在z方向上，质点的速度v_z(t) = d(t^3)/dt = 3t^2，加速度a_z(t) = d(3t^2)/dt = 6t。
从微分方程的角度回答：根据位置矢量r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，我们可以得到速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)和加速度矢量a(t) = (6, 0, 6t)。
第4章理论力学习题解
4.1一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，质点的质量为m ，比例系数为k ，如此质点从距原点O 为a 的地方由静止开始运动，求其到达O 点所需的时间。
解：质点受引力为：xk F -=，其运动微分方程为：xk tm-=d d v （1）即： x k xm -=d d v v分离变量积分：⎰⎰-=x axx k m d d 0v v vxa k m ln212=v)ln(2d d xa mk tx -==v （2）（v 与x 反向，取负值） )ln00ln ),0((∞→→>∴∈xa x xa a x令：y ayex aex xa y yyd 2d )ln(22---===，代入（2）式得；mk ty aey2d d 22-=-分离变量积分：)0:0:(∞→→y a x⎰⎰=-∞t yt mk y ea 0d 2d 22t mk a22π2=故到达O 点所需的时间为： km a t 2π=4.2一质点受力3K xa x F +-=作用，求势能)(x V 与运动微分方程的解。
解：C x a x x xa x x F x V ++=+--=-=⎰⎰2232K 21d )K (d )(适当选取势能零点，使0=C ，则222K 21)(xa x x V +=机械能 =++=2222K 2121xa x xm E 常量 （1）将（1）改写成2222K 242xa x E xm --= （2）质点运动微分方程：32K xa x xm +-= 22K 22xa x xmx +-=⇒ （3）（3）+（2）得22K 44)(2x E xx x m -=+ 即0)K(K 4d d 2222=-+E x mtx （4）（4）式通解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=02 K2cos K θt m A Ex当0=x时，222K 21xa x E += 解得KK K)(2max 2a EE x -+=，KK 2aEA -=所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=022K2cos KK Kθt m aE E x4.3若质点受有心力作用而在圆θcos 2a r =上运动时，则5228rh ma F -=，式中m 为质量，h 为速度矩。
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第3篇 动力学第10章 质点运动微分方程一、目的要求1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。
2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。
3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。
对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。
二、基本内容1．基本概念：动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。
2．主要公式：（1）牛顿第二定律：a m F=（式中，质点的质量为m ，所受合力为F ，其加速度为a 。
）（2）质点运动微分方程1）矢径形式：22dt r d m F =或F r m =，∑=i F F2）直角坐标形式：∑=x F dt x d m 22，∑=y F dt y d m 22，∑=z F dtzd m 223）自然坐标形式：2n m F υρ=∑，d m F dtτυ=∑，∑=b F 0 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。
三、重点和难点1．重点：（1）建立质点运动微分方程。
（2）求解质点动力学的两类基本问题。
2．难点：在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。
四、教学提示1．建议（1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。
（2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。
（3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。
2.建议学时课内（2学时）课外（3学时） 3．作业10-5，10-12，10-14第11章 质心运动定理 动量定理一、目的要求1．使学生认识到质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的两类问题2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量。
3．能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。
二、基本内容1．基本概念（1）质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量的概念及计算。
（2）质点系的动量定理（质心运动定理）。
2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算1）矢径形式 M r m r i i c ∑= 或 Mr m r ici c∑=2）直角坐标形式M x m x i i c ∑=，M y m y i i c ∑=，M z m z i i c ∑=其中 k z j y i x r i i i i++=为第i 个质点到固定点O 的矢径。
k z j y i x r c c c c++=为质点系的质心到固定点O 的矢径。
ic r为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。
m i 为第i 个质点的质量，i m M ∑=为质点系（刚体、刚体系）的质量。
（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算1）矢径形式 c i i v M v m P=∑= 2）投影形式ix i x v m p ∑=，iy i y v m p ∑=，iz i z v m p ∑=，222z y x P P P P ++=注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。
（3）动量定理（质心运动定理）∑==n i (e)i F dt p d 1 )(1∑==n i (e)i c F a M 式中∑===n i c i i v M v M p 1，是质点系某瞬时的动量，∑=n i e i F 1)( 是质点系所受外力的主矢量。
c a 为质点系心的加速度。
三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。
（2）质点系动量定理、质心运动定理。
2．难点：质点系动量定理、质心运动定理的应用。
1．建议（1）强调动量中所用到的速度为绝对速度。
（2）通过举例熟练掌握微分形式的动量定理、质点系的质心运动定理的应用，讲清各自的解题特点，尤其求简单机构的约束反力。
（3）明确质心守恒的条件及应用守恒定律求解的有关问题。
2.建议学时课内（4学时）课外（6学时） 3．作业11-3，11-4，11-12，11-13，11-4第12章 动量矩定理一、目的要求1．对质点系（刚体、刚体系）的动量矩，质点系（刚体、刚体系）对某轴的转动惯量等概念有清晰的理解，能熟练地计算质点系对某定点（轴）的动量矩，根据刚体（系）的运动计算刚体（系）对某点（轴）和质心的动量矩，会用定义、平行移轴定理和组合法（分割法）计算刚体对某轴的转动惯量。
2．能熟练地应用质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒）和刚体绕定轴转动微分方程求解动力学问题。
3．会应用相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。
二、基本内容1．基本概念（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）和质心的动量矩、转动惯量的概念及计算。
（2）质点系的动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程、质点系相对于质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程。
2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）及质心的动量矩的计算 1）质点系对某定点（轴）及质心的动量矩 c c c i i i i i L v m r v m r v m m L+⨯=⨯∑=∑=)(00 ir i c i i i c v m r v m r L⨯'∑=⨯'∑= 为质点系对质心C 的动量矩。
z z i i i i z z L v m m v m m L ][)]([)(00=∑=∑=，z 是过定点O 的轴。
2）平动刚体对某定点O 的动量矩c c v r M L ⨯=03）绕定轴转动刚体对转轴z 的动量矩ωωz i i z J r m L =∑=)(24）平面运动刚体对运动平面内定点O 的动量矩ωϕc c c J v Mr L +=sin 0ir i v v ,分别为第i 个质点的绝对速度和相对于坐标原点在质心的平动坐标系的速度，c v为质点系（刚体、刚体系）质心的绝对速度，c z J J 、分别为刚体对转轴和质心轴的转动惯量，ϕ为定点O 到质点系质心的矢径与质心速度的夹角，ω为刚体转动的角速度。
（2）转动惯量1）定义 dm r r m J mi i z ⎰=∑=222）引入回转（惯性）半径 2z z m J ρ=z ρ为刚体对转轴的回转半径3）平行轴定理 2Ml J J c z z +=l 为轴Z 和轴Z c 间的距离4）组合法（分割法）n z z zz J J J J ±±''±'= （3）动量矩定理（刚体绕定轴转动微分方程，刚体平面运动微分方程）∑==n i (e)i F M dt L d 100)( （a ）∑∑⨯==i i i i i v m r v m m L)(00是质点系对定点O 的动量矩 ∑∑=⨯=ni e i i e i F r F m 1)()(0)( 是外力系对O 点的主矩∑=)(i z zM dtd J F ω（b ）∑=2i i z r m J ，是刚体对转轴z 的转动惯量∑=)()(e i c cc F M dtL d J⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑==)()(1)(1)(e i c c ni e iy cy ni e ixcx M J F Ma F Ma F α （c ） 式中∑=2i i C r m J ，是平面运动刚体对质心C 的转动惯量。
/)()(e i c M F 是外力系对质心C 的主矩。
三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）动量矩、转转惯量的计算。
（2）质点系的动量矩定理和刚体绕定轴转动微分方程。
2．难点：（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）动量矩的概念及计算方法。
（2）相对质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程的应用。
四、教学提示1．建议（1）强调动量矩中所用到的速度、角速度均为绝对速度、绝对角速度。
（2）通过复习力对点之矩的计算引出动量对点之矩——动量矩的概念。
（3）刚体对定点（轴）的动量矩的计算与刚体的运动有关。
（4）强调应用动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程解题的关键是会正确地构造出等式两端的各项，多做相应的练习。
（5）讲清楚相对于质心的动量矩定理的引出及力学意义。
（6）讲清楚如何选取研究对象建立刚体的平面运动微分方程，如何利用运动学条件加列补充方程。
2.建议学时课内（6学时）课外（9学时） 3．作业12-2，12-3，12-12，12-9，12-10，12-11，12-18，12-21，12-24，12-26，12-28，12-30，12-34，12-35第13章 动能定理一、目的要求1．对功和功率的概念有清晰的理解，能熟练地计算重力、弹性力和力矩的功。
2．能熟练地计算平动刚体、定轴转动刚体和平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。
3．熟知何种约束反力的功为零，何种内力的功之和为零。
4．能熟练地应用动能定理和机械能守恒定律解动力学问题。
5．能熟练地应用动力学基本定理解动力学的综合问题。
二、基本内容1．基本概念力的功；质点和质点系的动能；动能定理；功率、功率方程、机械效率；势力场、势能、机械能守恒定律；动力学基本定理的综合应用。
2．主要公式微分形式 ∑==ni FiWdT 1δ积分形式 ∑=-FiWT T 12具有理想约束的质点系，其动能的改变（增量或对时间的一阶导数），等于作用于质点系的主动力的元功之和；在理想的约束条件下，质点系在某一段运动过程中起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的主动力在这段过程中所作的功的和。
三、重点和难点1．重点：（1）力的功和物体动能的计算。
（2）动能定理和机械能守恒定律的应用。
（3）动力学基本定理的综合问题。
2．难点：综合应用动力学基本定理求解动力学问题，运动学补充条件（方程）的提出。
四、教学提示1．建议（1）讲清力的功的一般形式，反复练习重力的功、弹性力的功和力矩的功的计算，搞清圆轮纯滚时摩擦力为什么不作功。
（2）在复习物理课程有关内容的基础上，熟练计算刚体系统的动能，强调动能表达式中的速度（角速度）一定用绝对速度（绝对角速度）；反复练习取整体为研究对象，用动能定理求运动的问题；强调用动能定理的积分形式可求解任何运动问题；强调用动能定理解题是以整体为研究对象。
（3）讲清动量、动量矩定理与动能定理的异同点。