运动微分方程

z1 M0
Fe
M
h
W
分析质点M，取动坐标系
O1x1y1z1 ,固连于车厢。
a mar = F + Fe + FC
y1
mar = W + Fe
x1
mx1 0,
Fe = mae
my1 ma, mz1 mg
当 t = 0 时, x1 y1 0,z1 h,vx1 vy1 vz1 0
x1
0,
m v2
n
Fni,
i 1
(3) 质点运动微分方程的复合运动形式
aa ae ar ac
m(ae ar ac ) F
§1–2 质点动力学的两类问题
一是已知质点的运动，求作用于质点的力。
求解这类问题时，只需根据已知的运动规律， 通过微分运算或通过复合运动求出质点的加速度； 从而按质点运动微分方程式求出未知力。
第一章 质点运动微分方程
§1–1 质点运动微分方程 §1–2 质点动力学的两类问题 §1–3 质点相对运动基本方程
§1–1 质点运动微分方程
1 动力学基本定律——牛顿三定律
第一定律 不受力（平衡力系）作用的质点将永远保 持静止或作匀速直线运动。又称惯性定律。
两个基本概念：质点都有惯性，即保持原来运 动状态的性质；力是改变质点运动状态的原因。 （定性）
动力学绪论
1 动力学的研究对象
动力学的研究对象：质点和质点系。 质点是指几何尺寸可以忽略不计，但具有一定质 量的物体。 质点系是由几个或无限个相互联系的质点组成的 系统。刚体是质点系的一种特殊情形。
2 动力学的研究内容
动力学是研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 已知运动求力
已知力求运动 既有未知的运动量,又有未知力.
3 解决动力学问题的基本方法
质点运动微分方程-----质点 动力学普遍定理(三大动力学定理+达朗伯原理)
-----质点系 分析力学方法—虚位移原理
4 动力学的理论基础
牛顿定律的适用范围： 惯性坐标系； 速度远远小于光速； 宏观物体; 质点(平动刚体)
动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计 算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分 析等都需要有动力学的知识作为基础。
于筒壁上与其重合点的速度。即
30
m v2 R
FN
mg cos
q
v Rw πn R
30
1
n
30 πR
R m
( FN
mg cos
q )2
当θ=θ0 时铁球将落下，这时FN =0，于是得滚筒转速
n 9.549
g R
cos
q0
q0 F
n
FN mg
讨论
1. 显然，q0 越小，要求n 越大。
2 . 当q0=0时，铁球就会紧贴筒壁转过
(3)
e(2g / u)t 1
e e (g / u)t
(g / u)t
于是物体速度随时间而变化的规律为
v uth( g t) u
th 是双曲正切。
x
dx
0
t u2 d[e( g / u)t e( g / u)t ]
0g
e e ( g / u)t
( g / u)t
物体的运动方程为
x
u2 ln e(gt / u) e(gt / u)
二是已知作用于质点的力，求质点的运动。
这类问题一般比较繁琐。求解这类问题时，首 先要列出质点运动微分方程式，然后进行积分，同 时利用运动的初始条件确定积分常数，求出质点的 运动规律。
具体求解步骤: 1. 明确研究对象 2. 分析受力----全部外力
分析运动----一般位置(运动描述的方法) 3. 建立方程并求解
已知质点的运动，求作用于质点的力。
例：小球M的重量为G，设以匀速vr沿直管OA运动，
同时管OA以匀角速度w 绕铅直轴z转动。求小球对管
z 壁的水平压力。 解：研究小球
aБайду номын сангаас ae ar ac
ae w 2 OM
ar 0
Nz
o
M
A
ac 2w vr
ma N
w
G
a ae ar ac
ac
2．运动微分方程
n
ma Fi i 1
m
d 2r dt 2
F
(1)质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
m d 2 x
dt 2
n i 1
Fx i,
d 2 y
m dt2
n i 1
Fy i,
m
d 2z dt 2
n i 1
Fzi
(2) 质点运动微分方程在自然轴上投影
m dv dt
n i 1
Fi
x v0
m sin k
kt m
1. 重力mg只改变了系统的平衡位置，对
运动规律并无影响。 2. 物块垂直悬挂时，
m
坐标原点选择不同对运动微分方程的影响
v0 这一问题请同学们自己研究。
例题 质量是m的物体M在均匀重力场中沿铅直线 由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力F与速
度平方成比例，即F=v2 ，阻力系数单位取kg/m，
解得： an=3.33m/s2 a 8.66m/s2
再根据an =v2/l,可求v=1.632m/s
ql
T an
a mg
已知作用于质点的力，求质点的运动
例 图示质量为m的质点O带有电荷e，如已知质点在
均匀电场中所受力F=esinkt, k为常数。又质点的
初速为v0,与x轴夹角为q,且取坐标原点为起始位置。
y1
1 2
at
2
,
z1
h
1 2
gt 2
z1
h
g a
y1
例题 一质量是m的小环M套在半径是R的光滑圆 环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内
以匀角速度w绕通过点O的铅垂轴转动。在初瞬 时，q = 0， q = 2 w ，试写出小环M相对于大圆 环的运动微分方程，并求出大圆环对小环M的约
束力。
M
w
如不计重力影响，求质点的运动方程。
解 根据质点动力学方程：
ma x
m dvx dt
0
ma y
m dvy dt
F
e sin kt
速度初始条件为： vx
vx0 v0 cosq
dx dt
v0
c osq
vy0 v0 sinq
vy
dy dt
v0
s in q
e mk
(1 coskt)
位置初始条件为：x0 0 y0 0
22
q w 2 sin q
(a)
w
art
vr
FN M
ae arn qFC s
aC
Fe
OC
O'
R
这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。
应用循环变换q q dq，将式( a )的变量分离并代
dq
入初始条件进行积分
q q dq dq
q w2 sin q
qqdq q w 2 sin qdq
2w
0
q2 2w 2(1 cosq )
将上式代入下式
mRq2
FN
FC
Fe
cos q
2
(2)
w
art
vr
FN M
ae arn qFC s
aC
Fe
OC
O'
R
FN
2mRw 2 (1 cosq ) FC
Fe
cos q
2
FC 2mwRq 2mwR
2w 2 (1 cosq ) 4mRw 2 cos q
第二定律 质点的质量与加速度的乘积等于作用于
质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
即
ma F
此式即质点动力学的基本方程。 此定律给出：物体的受力与物体运动状态的
改变之间定量关系 （定量）。
ma F
力使物体产生沿其方向的加速度 F—作用在质点上的合力(共点力系的合力) a—质点相对惯性系的加速度(绝对加速度) 瞬时运动量的关系 适用范围(质点, 平动刚体)
u2
ln(ch
gt )
g
2
g
u
分析例 神州6号载人飞船回收过程中的动力学问题。 假设回收舱重为P, 回收舱在距离地面h处打开阻 力伞，此时速度为v0，回收舱受到的空气阻力与
速度成正比：F=cv，c为常数。求回收舱到达地
面时的速度和加速度。
例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平
匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
A
M
a ac
w ae
oF
N
N
mac
2G g
w
vr
已知作用于质点的力，求质点的运动
例 一质量为3kg的小球连于绳的一端，可以在铅垂
面内摆动，绳长l=0.8m。已知当q=60°时绳的张
力为25N,求此瞬时小球的速度和加速度。
解 根据质点动力学方程,研究小球 man T mg sin 30 ma mg cos30
最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎
矿石的作用。
§1–3 非惯性系中质点运动微分方程
ma F
a ar ae aC mar F mae maC
ae ar
aC aa
Fge mae 牵连惯性力 Fgc mac 科氏惯性力
mar F Fge FgC 质点相对运动微分方程
例 设车厢以匀加速度a沿水平直线轨道向右行驶。求 由车厢棚顶M0处自由落下的质点M的相对运动。
x v0t cosq
y
e mk
(t
sin kt) k
v0t
sin
q
弹簧－质量系统，物块的质量为m ，弹簧的刚度系
数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的
运动方程。
k
m
v0
mx＋kx 0
w02
k m
l0
x v0
m sin k
kt m
mx＝－k( x ) mg st
l0 k
kst mg
art vrFN
aC
w ae
arn
M
qFC
Fe
s
OC R
O'
由相对运动动力学基本方程
mar = W + FN + Fe+ FC
Fe
mae
2mR
q
cos 2
w2
•
FC maC m2wvr 2mwRq
mRq mRq2 FN
Fe FC
q
sin 2
Fe
cos
q
2
(1) ( 2)
由式(1)得
mRq 2mR sin q cos q
数值由试验测定。试求物体的运动规律。
解: 取坐标轴 x 铅直向下，原点在物体的初始
位置。写出物体 M 的运动微分方程
m dv mg v2
dt
加速度为零时 v mg u
dv g ( u 2 v2 ) dt u 2
xF v
W
x
v udv
0 u2 v2
tg dt
0u
v u e(2g /u)t 1 u e(g /u)t e(g /u)t
2
大圆环对小环的约束力为
FN
mRw 2[3(1
cosq )
4 cos q ]
2
本章小结
1．质点动力学的基本方程为
ma F
m
d 2r dt 2
F
2．质点动力学的两类问题
3．质点相对非惯性参考系矢量形式的微分方程为
m
d 2r dt 2
F
Fge
FgC
q
OC R
O'
解: ● 运动分析
分析小环。取动坐标系与大圆环固连，小环
M相对于大圆环的位置用弧坐标 s = Rq 表示。
● 受力分析
作用于小环M的力有大圆环的约束力FN。为了写出 小环的相对运动微分方程，还要加上相应的牵连惯
性力Fe和科氏惯性力FC。
Fe
mae
2mR cos q
2
w2
FC maC m2wvr 2mwRq
为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
q0 F
n
FN mg
视铁球为质点。铁球被旋 转的滚筒带着沿圆弧向上运动， 当铁球到达某一高度时，会脱 离筒壁而沿抛物线下落。
F = ma
铁球在未离开筒壁前m的vR2速度F，N 等
mg v
cos q Rw
πn
R