机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1
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机械系统动力学第三章 机械系统运动微分方程的求解
3-2-2 Newmark- 法
x (t ) 2 x (t ) 3 x (t t ) x(t ) x(t )t t t o( t 4 ) 2! 3!
线性加速度法的迭代公式 1 大致具有3阶精度，将上式的最后一项中 用 代替， 3! 即为Newmark- 法。其迭代公式为
0 1/ 2
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-2 Newmark- 法
对于多自由度振动系统运动微分方程：
MX (t ) CX (t ) KX (t ) F (t )
t+t 时刻有关系式
MX (t +t ) CX (t +t ) KX (t +t ) F (t +t )
可以证明，欧拉法具有1阶精度，而改进的欧拉法具有2
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
3-2-1 欧拉法
对于具有关于时间2阶导数的单自由度机械系统运动微分 方程，形如
x f ( x, x, t ) x(0) x0 , x(0) x0
可令
x y 将上式转化成1阶常微分方程组
上式中取前三项， 若认为加速度在区间[ 为线性变化，则有
t , t +t ]
x (t +t )-x (t ) x (t )= t
代入上式
t 2 t 3 x(t +t )-x(t ) x(t t ) x(t ) x(t )t x (t ) 2! 3! t
3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法
欧拉法以节点的差商代替导数值，构成的递推公式为：
yn1 yn f ( xn , yn ) xn1 xn
即欧拉（Euler）公式：
第2章 两自由度机械系统动力学
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
机械动力学第3章两自由度系统
b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。
机械系统动力学
B
1
M1
Mi2
Fi2
A
G2
C
F
曲柄压力机的受力分析
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第十四章 机械系统动力学
二、等效构件
名词术语： 1. 等效转动惯量 2. 等效质量 3. 等效力矩 4. 等效力
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第十四章 机械系统动力学
二、等效构件
等效构件示意图
i 1 i 1 n n
方程两边统除以
，可求解等效力矩：
Me
i 1
n
n i vsi M i ( ) Fi ( ) cos i i 1
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第十四章 机械系统动力学
2.作直线移动的等效构件的等效参量的计算
等效构件的动能与机械系统的动能相等 和等效构件的瞬时功率与机械系统的瞬时功 率相等，可分别求解等效质量和等效力：
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H rH
第十四章 机械系统动力学
由轮系转动比可有：
2 Z 2 Z 3 Z1 . 1 Z1 Z 3 Z 2
整理：
2
H Z1 1 Z1 Z 3
Z1 ( Z 2 Z 3 ) Z1 2 J e J1 2 J 2 (2m2 rH J H )( )2 Z 2 ( Z1 Z 3 ) Z1 Z 3
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第十四章 机械系统动力学
二、等效构件
等效构件的特点：
1. 能代替整个机械系统的运动。 2. 等效构件的运动和机械系统中该构件的真实运动一致，等 效构件具有的动能应和整个机械系统的动能相等。 3. 等效构件上的外力在单位时间内所作的功也应等于整个机 械系统中各外力在单位时间内所作的功。
自由度机械系统动力学
1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。
第一节 系统微分方程
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
1、什么是控制系统的数学模型 描述系统输入、输出物理量，以及内部物理 量之间关系的数学表达式。 2、线性系统与非线性系统： 系统的数学模型能用线性微分方程描述的系统 称为线性系统。否则为非线性系统
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
消去中间i变量,则得
d uC duC LC RC uC ur 2 dt 或写作 dt
d 2uc duc TLTC TC uc u r 2 dt dt
（3—1）
2
L 式中， TL , TC RC . R 式（3-1）就是图3-1所示电路的数学模型，它描 述了该电路在 ur 作用下电容两端电压 uc 的变化规律。
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3-2 已知一R-C网络如图所示，试写出该网 络输入与输出之间的微分方程。
图3-2 两级R-C电路
解 当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以 忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组
机械工程控制基础
1 C1 1 C2 1 C2
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
二、 列写系统微分方程式的一般方法 • 系统微分方程(differential equation)是描述控制系 统动态性能的一种数学模型。
• 为使所建立的数学模型即简单又具有足够的精度， 在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深 入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一 些次要因数略去。 • 用解析法推演系统的数学模型的前提是对系统的 作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的 了解。
机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（2） 欠阻尼 1
特征根：1,2 ( i 1 2 )n 令 d n 1 2
方程的通解 x1 ent ( A1eidt A2eidt )
ent (c1 cosdt c2 sin dt)
利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x
ent
( x0
cos d t
3-1-1 单自由度系统的振动 讨论
（1）过阻尼: 1
x1(t) ent ( A1e 2 1nt A2e ) 2 1nt
根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式
A1
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
A2
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
过阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
d
首先研究作用于坐标原点的元冲量f (0)d 引起
的系统 时刻的响应 dx( ,t)
碰撞前： 系统静止即初位移和初速度均为0
碰撞后：系统的位移为 x0 ，速度为 x0
碰撞过程:
mx0 0 f (0)d
元冲量 f (0)d 作用后质点的速度
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
12
sin d t )]
，则系统的响应
x(t)
F0
mn2
[1
cos nt ]
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力 作用下系统的响应。
f (t) F00
t0 t0
解：系统的运动微分方程及初始条件可写为
mx cx kx
x0
0,
3-1-1 单自由度系统的振动
（2） 欠阻尼 1
特征根：1,2 ( i 1 2 )n 令 d n 1 2
方程的通解 x1 ent ( A1eidt A2eidt )
ent (c1 cosdt c2 sin dt)
利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x
ent
( x0
cos d t
3-1-1 单自由度系统的振动 讨论
（1）过阻尼: 1
x1(t) ent ( A1e 2 1nt A2e ) 2 1nt
根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式
A1
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
A2
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
过阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
d
首先研究作用于坐标原点的元冲量f (0)d 引起
的系统 时刻的响应 dx( ,t)
碰撞前： 系统静止即初位移和初速度均为0
碰撞后：系统的位移为 x0 ，速度为 x0
碰撞过程:
mx0 0 f (0)d
元冲量 f (0)d 作用后质点的速度
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
12
sin d t )]
，则系统的响应
x(t)
F0
mn2
[1
cos nt ]
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力 作用下系统的响应。
f (t) F00
t0 t0
解：系统的运动微分方程及初始条件可写为
mx cx kx
x0
0,
机械动力学
vSjy aSjy ) J j j j ]
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解 注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数
（Md=Md()，Mr=Mr()， Me=Me()，Je=Je()）
1. 等效构件的角速度
❖
1 2
式中第二项符号的确定方法为：当Mj与ωj同向时取正号，反向时取负号。
广义力就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中 全部力和力矩在同一时间内所作的功。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
F
Me
m ( Fkvk
k 1
cosk
q
)
m
(M j
j 1
j )
q
Me表示式中的广义传动比 j / q、vk / q是由机构的尺度和位置决定的， Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q 的变化无关。
单自由度机械系统的动力学方程：
J e q
1 2
J e q
q2
Me
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。
2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。
3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
等效动力学模型的建立
对于单自由度的机械系统，只要知道其中一个构件的运 动规律其余所有构件的运动规律就可随之求得。因此可把复杂 的机械系统简化成一个构件（称为等效构件),建立最简单的等 效动力学模型，将使研究机械真实运动的问题大为简化。当等 效构件为一个绕机架转动的构件时，模型为图a。当等效构件 为一个移动滑块时，模型为图b 。
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第3章 机械系统运动微分方程的求解
• 3-1机械系统运动方程求解方法-解析法 • 3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法 • 3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数
值法
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
1.问题的提法 工程中大量的动力学问题都可以 归结于图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型,其动力学问题的数 学模型表示为常微分方程的初值 问题 控制方程:
n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
在初始条件为 x(0) x0, x(0) x0 欠阻尼条件下，方程的定解
x(t)
ent ( x0
cos d t
x0
x0 d
sin dt)
[1
(
X st
)2 ]2 [2 (
)]2
sin(d t
)
n
n
上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
mx cx kx F(t)
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2. 单自由度振动系统简谐激励作 用下的响应
运动微分方程:
mx cx kx F0 sin t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉 氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法
设特解： x2(t) X sin(t )
代入方程 mx cx kx F0 sin t
m2 X sin(t ) cX cos(t ) kX sin(t ) F0 sint
作旋转矢量图
(kX
m2 X
)2
(c X
)2
F02
tan
kX
c X m2 X
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
作旋转矢量图
(kX
m2 X
)2
(c X
)2
F02
tan
kX
c X m2 X
可得
X
F0
(k m2 )2 (c)2
arctan
c
k m2
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
根据微分方程理论,该方程解的形式为奇次通解与某个特解之和, 即
x(t) x1(t) x2(t)
x1(t) 为齐次通解 , x2(t) 为特解.
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 1）齐次通解 x1(t) 将奇次运动微分方程变成标准型:
x 2n x n2 x 0
其中固有频率： n
k m
设方程的解为 x Aet
阻尼比
C C CC 2m n 临界阻尼 CC 2mn
( 2 2n n2 ) Aet 0
特征方程：
2 2n n2 0
特征根：
1 2n 2
4
2 2 n
4n2
(
2
2 1)n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
)
固有频率
n =
k m
b) 阻尼对振幅的影响
阻尼比越大，振幅衰减越大
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
b) 阻尼对振幅的影响 阻尼比越大，振幅衰减越大
n (tk Td )
A e k
nTd
e ntk
A e k1
两边取自然对数，注意到 nTd dTd 2
x0
n x0 d
sin dt)
c x 1
0
c2
x0
n x0 d
=ent
x02
(
x0
n x0 d
)2
sin(d t
)
欠阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（3）临界阻尼 1
特征方程有两个重根即 1 2 = n
方程的通解
x1 ( A1 A2t)ent
F0 / k
(1 m2 )2 ( c )2
k
k
将
n
k m
c 2mn
X st
F0 k
代入上式得
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2）特解
位移动力放大系数
X
X st
1
[1 ( )2 ]2 [2 ( )]2
n
n
相位角
2 ( )
tan
1
(
n )2
3-1-1 单自由度系统的振动 讨论
（1）过阻尼: 1
x1(t) ent ( A1e 2 1nt A2e ) 2 1nt
根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式
A1
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
A2
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
过阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
0.75 ~ 0.85
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（2） 欠阻尼 1
特征根：1,2 ( i 1 2 )n 令 d n 1 2
方程的通解 x1 ent ( A1eidt A2eidt )
ent (c1 cosdt c2 sin dt)
利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x
ent
( x0
cos d t
利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x1 [x0 ( x0 n x0 )t]ent
临界阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
a)无阻尼自由振动 0
方程的解
x
x0
cosnt
x0
n
sin nt
x02
( x0
n
)2
sin(nt
时，该项趋近于0。第二项为稳态解，表现为周期性运
动
其工程意义在于：
a)当频率比 1 时，振幅最大，当阻尼比 0 ，
位移动力放大n 系数 ，即发生共振现象。
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
振动稳定性设计准则
所有对于降低振动的工程应用场合，应使频率比在
1 ln Ak 2 Ak1
为了提高测量精度，常取n次振幅波动后对数衰减率作 为阻尼比的计算公式
1 ln Ak 2 n Akn
自由振动法测量单自由度振动系统的阻尼比
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
c）从图3-1-5可知， 1 时系统的位移响应回到平衡状态的时间最短。因此 对于指针式仪表读数系统，常将系统的阻尼比调整 为临界阻尼，以达到稳定读数的目的
• 3-1机械系统运动方程求解方法-解析法 • 3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法 • 3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数
值法
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
1.问题的提法 工程中大量的动力学问题都可以 归结于图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型,其动力学问题的数 学模型表示为常微分方程的初值 问题 控制方程:
n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
在初始条件为 x(0) x0, x(0) x0 欠阻尼条件下，方程的定解
x(t)
ent ( x0
cos d t
x0
x0 d
sin dt)
[1
(
X st
)2 ]2 [2 (
)]2
sin(d t
)
n
n
上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
mx cx kx F(t)
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2. 单自由度振动系统简谐激励作 用下的响应
运动微分方程:
mx cx kx F0 sin t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉 氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法
设特解： x2(t) X sin(t )
代入方程 mx cx kx F0 sin t
m2 X sin(t ) cX cos(t ) kX sin(t ) F0 sint
作旋转矢量图
(kX
m2 X
)2
(c X
)2
F02
tan
kX
c X m2 X
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
作旋转矢量图
(kX
m2 X
)2
(c X
)2
F02
tan
kX
c X m2 X
可得
X
F0
(k m2 )2 (c)2
arctan
c
k m2
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
根据微分方程理论,该方程解的形式为奇次通解与某个特解之和, 即
x(t) x1(t) x2(t)
x1(t) 为齐次通解 , x2(t) 为特解.
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 1）齐次通解 x1(t) 将奇次运动微分方程变成标准型:
x 2n x n2 x 0
其中固有频率： n
k m
设方程的解为 x Aet
阻尼比
C C CC 2m n 临界阻尼 CC 2mn
( 2 2n n2 ) Aet 0
特征方程：
2 2n n2 0
特征根：
1 2n 2
4
2 2 n
4n2
(
2
2 1)n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
)
固有频率
n =
k m
b) 阻尼对振幅的影响
阻尼比越大，振幅衰减越大
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
b) 阻尼对振幅的影响 阻尼比越大，振幅衰减越大
n (tk Td )
A e k
nTd
e ntk
A e k1
两边取自然对数，注意到 nTd dTd 2
x0
n x0 d
sin dt)
c x 1
0
c2
x0
n x0 d
=ent
x02
(
x0
n x0 d
)2
sin(d t
)
欠阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（3）临界阻尼 1
特征方程有两个重根即 1 2 = n
方程的通解
x1 ( A1 A2t)ent
F0 / k
(1 m2 )2 ( c )2
k
k
将
n
k m
c 2mn
X st
F0 k
代入上式得
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2）特解
位移动力放大系数
X
X st
1
[1 ( )2 ]2 [2 ( )]2
n
n
相位角
2 ( )
tan
1
(
n )2
3-1-1 单自由度系统的振动 讨论
（1）过阻尼: 1
x1(t) ent ( A1e 2 1nt A2e ) 2 1nt
根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式
A1
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
A2
x0
( 2n
2 1)n x0 2 1
过阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
0.75 ~ 0.85
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（2） 欠阻尼 1
特征根：1,2 ( i 1 2 )n 令 d n 1 2
方程的通解 x1 ent ( A1eidt A2eidt )
ent (c1 cosdt c2 sin dt)
利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x
ent
( x0
cos d t
利用 x(0) x0 x(0) x0 可得
x1 [x0 ( x0 n x0 )t]ent
临界阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
a)无阻尼自由振动 0
方程的解
x
x0
cosnt
x0
n
sin nt
x02
( x0
n
)2
sin(nt
时，该项趋近于0。第二项为稳态解，表现为周期性运
动
其工程意义在于：
a)当频率比 1 时，振幅最大，当阻尼比 0 ，
位移动力放大n 系数 ，即发生共振现象。
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
振动稳定性设计准则
所有对于降低振动的工程应用场合，应使频率比在
1 ln Ak 2 Ak1
为了提高测量精度，常取n次振幅波动后对数衰减率作 为阻尼比的计算公式
1 ln Ak 2 n Akn
自由振动法测量单自由度振动系统的阻尼比
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
c）从图3-1-5可知， 1 时系统的位移响应回到平衡状态的时间最短。因此 对于指针式仪表读数系统，常将系统的阻尼比调整 为临界阻尼，以达到稳定读数的目的