运动微分方程推导

以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导

1. 黏性流体的内应力

黏性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力，因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。

如在任一点取一微小的正六面体，如图所示，作用在平面ABCD 上的力

有法向应力

xx

p ，与切向应力xy

τ和xz τ。应力符号的第一个字母表示作

用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。

流体场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。

2. 以应力表示的运动微分方程

在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标。各应力的值均为代数值，正直表示应力沿相应坐标系的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此，

xx p yy p ，zz

p 必为负值。

由牛顿第二定律，x 方向的运动微分方程为：

Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx

p -

xx

p x

∂∂dy )dydz ]+

yx τdxdz +[-(yx τ-

yx

y

τ∂∂dy )dxdz ]+

zx τdxdy +[-(zx τ-

zx

z

τ∂∂dz )]x

du dxdy dxdydz

dt ρ=

等式两边分别除以

ρ，然后分别对x,y,z 求偏导，得到：

1

1

(

)zx

x XX

du P yx

X X

y

z dt

τρρ

τ∂∂+

+

+=∂∂∂∂

（1）

同理，在y 方向，由牛顿第三定律得：

[()][)][()]

yy

yy

yy

xy

xy

xy

zy

zy

zy

y

Ydxdydz dxdz dy dxdz y

dydz dx dydz x

dxdy dz dxdy z

dxdydz

dt

p

p

p

du ρρττ

τ

ττ

τ

+

+--

+

∂+--

+

∂+

+--

∂=∂∂∂

等式两边同时除以

ρ，然后分别对x,y,z 求偏导得：

1

1

(

)yy

zy

xy

y

Y y z

x

dt

p

du ρρ

ττ+

++

=

∂∂∂∂∂∂ （2）

同理，在z 方向，由牛顿第二定律得：

[(

)][()][()]

zz

zz

zz

yz

xz

xz

yz

yz

yz

z

zdxdydz dxdy dz dxdy z

dydz dx dydz x dxdz dy dxdz y

dxdydz

dt

p

p

p

du

ρρτ

ττττ

τ

+

++--

+

∂+--+∂+--

∂=∂∂∂等式两边分别除以

ρ，并分别对想x,y,z 求偏导得：

1

1

()yz

xz

zz

z

Z z

x

y

dt

p

du

ρρ

ττ

+

+

+

=

∂∂∂∂∂∂