运动微分方程推导
理想流体的运动微分方程
理想流体的运动微分⽅程你刚刚更新第四节在流动的理想流体中，取出⼀个微元平⾏六⾯体的微团，它的各边长度分别为d、d和d，如图3-2所⽰。
由于是理想流体，没有黏性，运动时不产⽣内摩擦⼒，所以作⽤在流体微团上的外⼒只有质量⼒和压强。
该压强与静压强⼀样，垂直向内，作⽤在流体微团的表⾯上。
假设六⾯体形⼼的坐标为、、，压强为。
先分析⽅向的运动，在垂直于轴的左右两个平⾯中⼼点上的压强各等于，由于是微元⾯积，所以这些压强可以作为各表⾯上的平均压强。
设在六⾯体形⼼上的单位质量的质量⼒分量为、、和，则作⽤在微元平⾏六⾯体的流体微团上的质量⼒在轴⽅向的分量为⼜流体微团的加速度在轴上的投影为，则根据⽜顿第⼆定律得轴⽅向的运动微分⽅程将上式各项除以流体微团的流体质量，化简后得：]同理：这就是理想流体的运动微分⽅程。
对于静⽌的流体，，则由上式可以直接得出流体平衡微分⽅程，即欧拉平衡微分⽅程式。
因此欧拉平衡微分⽅程只是欧拉运动微分⽅程的⼀个特例。
如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分⽅程写成如下形式你刚刚更新第五节理想流体微元流束的伯努利（Bernoulli）⽅程⼀．理想流体微元流束的伯努利⽅程理想流体的运动微分⽅程只有在少数特殊情况下才能求解。
在下列⼏个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同⼀微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量⼒只有重⼒。
即可求得理想流体微元流束的伯努利⽅程。
根据欧拉运动微分⽅程和流线微分⽅程可以推导出或上式称为理想流体微元流束的伯努利⽅程。
该⽅程的适⽤范围是：理想不可压缩均质流体在重⼒作⽤下作定常流动，并沿同⼀流线（或微元流束）。
若1、2为同⼀条流线（或微元流束）上的任意两点，则上式也可写成，在特殊情况下，绝对静⽌流体，可以得到静⼒学基本⽅程。
⼆．⽅程的物理意义和⼏何意义1．物理意义第⼀项z表⽰单位重量流体所具有的位势能；第⼆项表⽰单位重量流体的压强势能；第三项表⽰单位重量流体具有的动能位势能、压强势能和动能之和称为机械能。
船舶操纵运动一阶微分方程推导
v(s)
L[v(t)]
0
v(t)
e
st
dt
r(s)
L[r
(t)]
0
r(t)
e
st
dt
(s)
L[
(t
)]
0
(t)
e
st
dt
拉氏变换后变量 s 与时间域变量 t 相对应，具
有频率的含义。则式（23）变为：
Yvv(s) (M Yv)sv(s) (M Yv)v(0)
(Y Mu1 )(s) (Y MxG )s(s) (Y MxG )(0) Y (s)
2．由式（10）船舶操纵运动一般方程，对其右端 进行线性化。
仍选取沿船舶纵向的匀速直线运动为初始状态。
M (u v xG2 ) M (u v xG 2 ) M[(u1 u) (v1 v)(1 ) xG (1 )2 ]
将式（15）、式（16）代入上式，得：
M (u v xG 2 ) Mu 同理可得： M (v u xG) m(v u1 xG)
Nvv(s) (Nv MxG )sv(s) (Nv MxG )v(0)
(N MxGu1 )(s) (I z N)s(s) (I z N)(0) N (s)
（24）
为使问题简化起见，对具有航向稳定性的船舶，初 始运动状态为匀速直线运动时，可认为船舶运动是具有
零初始值的，即：v(0) (0) v(0) (0) 0
M ——船舶及附连水的质量； O0 x0 ——作用在船舶的外力合力沿 X 0 轴的分量；
O0 y0 ——作用在船舶的外力合力沿 Y0 轴的分量；
N ——外力合力对通过船舶重心铅垂轴之矩； I z ——船舶质量对通过重心铅垂轴的惯性矩；
x0G ——重心 G 点线加速度沿 O0 x0 轴的分量；
理想流体的运动微分方程
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
用Lagrange方程求自由质点在球坐标系中运动微分方程
用Lagrange方程求自由质点在球坐标系中运动微分方程1. 引言1.1 背景介绍球坐标系是描述三维空间中点的坐标系统，通常用来描述在球体表面上的运动或者具有球对称性的物体的运动。
在物理学中，许多运动问题可以通过球坐标系来简化描述，特别是涉及到旋转对称性的系统。
Lagrange方程是经典力学中用于描述质点系统运动的重要方程。
它是由意大利数学家和天文学家Joseph-Louis Lagrange 提出的，是一种广泛应用于物理学、工程学和其他领域的数学工具。
本文将探讨如何使用Lagrange方程来推导自由质点在球坐标系中的运动微分方程。
通过引入广义坐标和广义力，我们可以简洁地描述质点在球坐标系中的运动，并得到相应的微分方程来描述其轨迹。
这些研究对于理解和预测具有球对称性的物体的运动具有重要意义，可以帮助我们更深入地理解自然规律和动力学原理。
通过对自由质点在球坐标系中的运动方程进行推导和分析，我们可以揭示物体在这种特定坐标系中的运动规律和特征，为进一步的研究和应用提供基础和指导。
1.2 研究意义球坐标系是描述空间中物体位置的一种常用方式，其具有简洁的几何结构，在描述球对称性问题时非常方便。
而Lagrange方程是描述质点运动的重要工具，通过求解Lagrange方程可以得到质点在各种坐标系中的运动方程。
本文探讨了自由质点在球坐标系中的运动微分方程，对于深入理解质点在球坐标系中的运动规律具有重要意义。
研究自由质点在球坐标系中的运动微分方程，可以帮助我们更好地理解质点在球坐标系下的运动规律。
通过推导运动微分方程，我们可以清晰地看到质点受到哪些力的作用，从而揭示质点在球坐标系中的运动轨迹。
这有助于我们更准确地预测质点的运动状态，为实际问题的分析与求解提供了重要参考。
1.3 研究对象研究对象指的是在本研究中所要研究的具体对象或者问题。
在本文中，我们所要研究的对象是自由质点在球坐标系中的运动微分方程。
自由质点是指在外力作用下不受任何约束的质点，其运动状态完全由外力所决定。
简谐运动微分方程推导
简谐运动微分方程推导
简谐运动是物理学中非常重要的一个概念，它描述了一种周期性的运动，如振动和波动等。
在数学上，简谐运动可以用微分方程来描述。
本文将介绍简谐运动微分方程的推导过程。
首先，我们需要了解简谐运动的定义。
一个物体进行简谐运动时，它的位移x可以表示为：
x = A sin(ωt + φ)
其中，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位常数。
简谐运动的周期T等于2π/ω，频率f等于ω/2π。
我们现在要推导简谐运动的微分方程。
根据牛顿第二定律，物体的加速度a等于力F除以质量m：
a = F / m
对于简谐运动，力可以表示为弹性力和阻尼力的合力：
F = -kx - bv
其中，k是弹性系数，b是阻尼系数，v是速度。
我们可以通过对位移和速度的一阶导数进行求解，得到简谐运动的微分方程：
x'' + (k/m) x= 0
这个微分方程也可以表示为：
x'' + ωx = 0
其中，ω=k/m是简谐运动的角频率的平方。
这个微分方程描述了一个在没有外力作用下的简谐运动。
如果加入阻尼或强制外力，微分方程将会有所不同。
总之，简谐运动微分方程是描述简谐运动的重要数学工具。
通过推导，我们可以更好地理解简谐运动的本质。
纳维斯托克斯方程(NS方程)详细推导
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 •流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 •当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：
1、质量力：
fxρdxdydz
x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p
p dx x 2
p
p dx x 2
x轴正方向
x轴负方向
本构方程和NS方程
微元体上X和Z方向的表面力
yx xy
yz zy
zx xz
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
yx x zx dxdydz dydxdz dzdxdy x y z x yx zx dxdydz x y z
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
；
；
1 u z u y x ( ) 2 y z
牛顿第二定律微分方程
牛顿第二定律微分方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：牛顿第二定律是经典力学中一个非常重要的定律，它描述了物体运动的动力学规律。
牛顿第二定律的数学表达形式为\[ F = ma \]F代表物体受到的合力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个定律告诉我们，当一个物体受到一个力作用时，它会加速，而加速度的大小与受力的大小成正比，与物体的质量成反比。
在一些结构复杂的系统中，可能受到多个力的作用，牛顿第二定律的微分形式可以更好地描述这种情况。
使用微分方程描述物体的运动是一种非常重要的方法，通过微分方程可以更加精确地描述物体的加速度随时间的变化。
假设一个物体受到多个力的作用，这些力分别是\[ F_1, F_2,F_3, ..., F_n \]，根据牛顿第二定律，物体的加速度可以表示为\[ a = \frac{\sum\limits_{i=1}^n F_i}{m} \]我们可以将受到的各个力拆解成不同的部分，比如重力，摩擦力等，最终得到微分方程的形式。
接下来，我们将对一个简单的例子进行分析，说明如何建立牛顿第二定律微分方程。
假设有一个质量为m的物体在水平面上运动，在受到一个恒定的外力F的作用下。
此时，物体受到的合力可以表示为\[ F_{\text{合}} = F - f \]f代表摩擦力，根据库仑摩擦定律，摩擦力大小正比于物体受力的大小，方向与物体的运动方向相反。
根据牛顿第二定律，物体的加速度可以表示为我们可以将摩擦力拆解成两部分，一部分是静摩擦力\[ f_s \]，一部分是动摩擦力\[ f_k \]。
在物体刚开始运动时，摩擦力等于静摩擦力，此时静摩擦力可以表示为\[ \mu_s \]是静摩擦系数，N是物体受到的支持力。
如果外力F小于或等于静摩擦力，物体会保持静止；如果外力大于静摩擦力，物体就会开始运动，此时摩擦力等于动摩擦力。
动摩擦力可以表示为\[ \mu_k \]是动摩擦系数。
在这种情况下，物体的加速度可以表示为根据牛顿第二定律微分方程的形式，我们可以进一步将N表示为物体受到的支持力，支持力可以表示为\[ N = mg \]，这里g是重力加速度。
A4流体的运动微分方程
（2）遵循的规律
牛顿第二定律
（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力 只有压应力，即动水压强。
p = p ( x，y，z，t )
（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。
基本思路:(1)取微元体 (4)得出结论
(2)受力分析 (3)导出关系
1.取微元体
在某一瞬时在运动无黏性流体中 取出棱边为dx，dy，dz的一微小 平行六面体。
2.受力分析
作用在流体上力：(1) 表面力；(2) 质量力 (1)表面力（以X方向为例） 包括压应力和剪应力 左表面 右表面
(2)质量力 X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的
质量为ρdxdydz ，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：
Xρdxdydz 、Yρdxdydz 、Zρdxdydz
（1）、切应力的特性：
yx
xy
( u y
x
ux ) y
式4-3
yz
zy
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
u x z
)
实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
（2）、压应力的特性和大小：
p ——平均压应力
px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
三、毕托管
测量点流速的仪器
原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。
图：
uA
h
A
h
uA
A
BA Z
V Z
图 4-17 皮托管测速原理
公式：
z
pB
g
u2 2g
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以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导
1. 黏性流体的内应力
黏性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力，因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。
如在任一点取一微小的正六面体，如图所示，作用在平面ABCD 上的力
有法向应力
xx
p ，与切向应力xy
τ和xz τ。
应力符号的第一个字母表示作
用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。
流体场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。
2. 以应力表示的运动微分方程
在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。
各表面应力的方向如图所示。
为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标。
各应力的值均为代数值，正直表示应力沿相应坐标系的正向，反之亦然。
由于流体不能承受拉力，因此，
xx p yy p ，zz
p 必为负值。
由牛顿第二定律，x 方向的运动微分方程为：
Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx
p -
xx
p x
∂∂dy )dydz ]+
yx τdxdz +[-(yx τ-
yx
y
τ∂∂dy )dxdz ]+
zx τdxdy +[-(zx τ-
zx
z
τ∂∂dz )]x
du dxdy dxdydz
dt ρ=
等式两边分别除以
ρ，然后分别对x,y,z 求偏导，得到：
1
1
(
)zx
x XX
du P yx
X X
y
z dt
τρρ
τ∂∂+
+
+=∂∂∂∂
（1）
同理，在y 方向，由牛顿第三定律得：
[()][)][()]
yy
yy
yy
xy
xy
xy
zy
zy
zy
y
Ydxdydz dxdz dy dxdz y
dydz dx dydz x
dxdy dz dxdy z
dxdydz
dt
p
p
p
du ρρττ
τ
ττ
τ
+
+--
+
∂+--
+
∂+
+--
∂=∂∂∂
等式两边同时除以
ρ，然后分别对x,y,z 求偏导得：
1
1
(
)yy
zy
xy
y
Y y z
x
dt
p
du ρρ
ττ+
++
=
∂∂∂∂∂∂ （2）
同理，在z 方向，由牛顿第二定律得：
[(
)][()][()]
zz
zz
zz
yz
xz
xz
yz
yz
yz
z
zdxdydz dxdy dz dxdy z
dydz dx dydz x dxdz dy dxdz y
dxdydz
dt
p
p
p
du
ρρτ
ττττ
τ
+
++--
+
∂+--+∂+--
∂=∂∂∂等式两边分别除以
ρ，并分别对想x,y,z 求偏导得：
1
1
()yz
xz
zz
z
Z z
x
y
dt
p
du
ρρ
ττ
+
+
+
=
∂∂∂∂∂∂。