运动微分方程
理想流体的运动微分方程
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
刚体平面运动微分方程
刚体平面运动微分方程
一般来说，物体运动过程中都受到各种力的作用，此外，如果是连续体，由于运动而产生的声学变化也都会影响运动状态，因此就需要研究物体运动中力和声学变化之间的关系。
在力学分析中，相对论块集体动力学（Classical Dynamics）是最基本的物理系统，它描述了物体运动的微分方程，从而可以求出物体的运动状态。
平面运动动力学是指物体运动过程中的动力学分析，可以用来描述物体在平面上的运动状态，包括具体的位置、速度、加速度等。
可以使用牛顿第二定律将机械力和物体加速度联系起来，写成机械力和物体加速度的微分方程，它的形式为：
F=m·a，
其中F表示机械力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
物体在平面上的运动还会受到一些拖拽力的影响，比如阻力和空气阻力等，如果将拖拽力也考虑在内，则可以将上述方程修正为：
其中b表示拖拽力，v表示物体运动状态时的速度。
此外，如果物体处于受到旋转力作用的情况下，则可以将其表述为：
F=m·a+b·v+c·(ω×r)，
其中c表示旋转抗力，ω表示旋转角速度，r表示物体圆心到物体某一点的距离。
由此可以得到物体平面运动的微分方程：
其中Δp表示物体加速度变化，F表示物体受到机械及其拖拽力和旋转抗力的作用。
从而可以根据上述微分方程，求出物体在平面上运动过程中的状态和性质，从而又可以了解物体在机械及其拖拽力和旋转抗力作用下，在平面上的运行状态。
振动力学运动微分方程的建立
1 m L m2 (2 L) 2 2 x cos m2 gL sin 0 3
m1 m2 m 2
k m2 L 0 x x 0 2 4 0 m2 gL 3 m2 L
质量矩阵m中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力使系统只在第j个坐标上产生单位加速度而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力正是质量矩阵m的第j列使系统只在第j个坐标上产生单位加速度而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力正是质量矩阵m的第j列m1m2m3k2k1k31x2x3xm1m2m3mk1k2k3??????????????????????????????????????????????????????0000202000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm??????直接写
k
x
A
L d L 0 dt q j q j
拉式二类方程对单 自由度同样适用， m1 g m2 g B 只需要把下标去掉 2 1 1 1 2 1 (m m ) x 2 2 2 2 2 m x L cos m L T m1v A m2 vC J C 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 V m2 gL(1 cos ) kx2 2 cos m L 2 sin kx 0 m L (m m ) x
O
y θ1 m l
l l θ3 m
θ2 m
答案：
x
3 2 1 M ml 2 2 2 1 1 1 1
3 0 0 K mgl 0 2 0 0 0 1
如果是匀质杆呢
《机械系统动力学》课件第二章 机械系统运动微分方程的建立
m1
0
0 m2
y1 y2
+
k11 k21
k12 k22
y1 y2
=
f1 f2
(t) (t)
2-3 机械系统运动微分方程的建立 • 例1: 建立图2-20(a)所示3个自由度系统的运动微分方程
解：1）计算刚度系数矩阵
k1 k2 k2 0
K
k2
k2 k3
1.刚度法
刚度法引入系统刚度系数的概念，利用达朗贝尔原理和 叠加原理，根据每个质点的动力平衡条件建立其动力平 衡方程。
，
2-3 机械系统运动微分方程的建立
系统的刚度系数 kij 定义为第j个质点沿其正 向产生单位位移，而其余质点位置固定时， 在第i个质点沿其正向的作用力。 取每个质点为隔离体，其上受到质点的惯性 力、激励力和恢复力作用处于动力平衡状态， 根据达朗贝尔原理，系统的动力平衡条件：
mevc23 )
Fevc3
等效质量 等效力：
me
n
[J
j 1
j
(
j
vc3
)2
m
j
(
vcj vc3
)2
]
Fe
m
j1
M
j
j
vc3
p j1
Fj
vj vc3
2-3 机械系统运动微分方程的建立
2-3-2多自由度系统
多自由度系统的运动微分方程的建立，相对复杂，其结 果常用矩阵形式表示比较方便。常用的方法主要有刚度 法、柔度法和Lagrange方程法。前两者基于振动系统 的影响系数，只适合应用于线性系统，后者则基于系统 的能量，既可应用于线性系统，也可应用于非线性系统。
Fr1 Fr 2
质点运动微分方程
质点运动微分方程
质点运动微分方程是描述质点在运动中位置、速度和加速度之间关系的微分方程。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与作用在质点上的合力成正比，与质点的质量成反比。
因此，可以得到质点的运动微分方程为 F = ma，即 F(x(t), v(t), t) = m * v'(t)，其中 F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，v(t)表示质点的速度，x(t)表示质点的位移。
解决质点运动微分方程可以得到质点的速度和位移的函数表达式，从而可以进一步分析质点的运动规律和特性。
质点运动微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛应用，例如在运动学、力学、电学、热学等方面，都需要使用微分方程来研究质点的运动。
- 1 -。
简谐运动微分方程推导
简谐运动微分方程推导
简谐运动是物理学中非常重要的一个概念，它描述了一种周期性的运动，如振动和波动等。
在数学上，简谐运动可以用微分方程来描述。
本文将介绍简谐运动微分方程的推导过程。
首先，我们需要了解简谐运动的定义。
一个物体进行简谐运动时，它的位移x可以表示为：
x = A sin(ωt + φ)
其中，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位常数。
简谐运动的周期T等于2π/ω，频率f等于ω/2π。
我们现在要推导简谐运动的微分方程。
根据牛顿第二定律，物体的加速度a等于力F除以质量m：
a = F / m
对于简谐运动，力可以表示为弹性力和阻尼力的合力：
F = -kx - bv
其中，k是弹性系数，b是阻尼系数，v是速度。
我们可以通过对位移和速度的一阶导数进行求解，得到简谐运动的微分方程：
x'' + (k/m) x= 0
这个微分方程也可以表示为：
x'' + ωx = 0
其中，ω=k/m是简谐运动的角频率的平方。
这个微分方程描述了一个在没有外力作用下的简谐运动。
如果加入阻尼或强制外力，微分方程将会有所不同。
总之，简谐运动微分方程是描述简谐运动的重要数学工具。
通过推导，我们可以更好地理解简谐运动的本质。
汽车滑行运动微分方程
汽车滑行运动微分方程
汽车滑行运动的微分方程可以用牛顿第二定律来描述。
假设汽车在水平面上滑行，则可以将分析限定在水平方向上。
设汽车的质量为m，滑行时的摩擦力为Ff，滑行时的合外力
为F。
根据牛顿第二定律，滑行时的合外力F等于质量乘以加速度a，即F = ma。
考虑到滑行是在水平面上进行的，滑行时的合外力只有两个分量：摩擦力Ff和驱动力Fd（如果有）。
由于滑行时为减速运动，所以驱动力的方向与摩擦力的方向相反（有时滑行时的驱动力可忽略不计）。
则滑行时的合外力可以表示为F = Ff - Fd。
根据滑行过程中摩擦力的定义，摩擦力Ff与滑行时的速度v
有关，通常可以表示为Ff = -kv（其中k为常数）。
将以上式子代入F = ma中，得到ma = -kv - Fd，即
ma + kv + Fd = 0。
这就是汽车滑行运动的微分方程，其中a为汽车的加速度，v
为汽车的速度，m为汽车的质量，k为描述摩擦力与速度关系
的常数，Fd为驱动力的大小。
（注：此方程为一阶线性常微
分方程，可通过常微分方程的方法求解。
）。
3振动系统的运动微分方程
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration
制作与设计 贾启芬
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第3章 振动系统的运动微分方程
3.1 牛顿定律和普遍定理 3.2 拉格朗日运动方程 3.3 刚度影响系数 作用力方程 3.4 柔度影响系数 位移方程
1 δ 13 k1 1 δ 23 = k δ 33 11 k1
1 k1 1 1 + k1 k 2 1 1 + k1 k 2
1 1 + k1 k 2 1 1 1 + + k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
K =K
Mechanical and Structural Vibration
T
第3章 振动系统的运动微分方程
3.4 柔度影响系数 位移方程
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是 ， 在单自由度的弹簧 质量系统中，若弹簧常数是k，则 质量系统中
画出各物块的受力图根据平衡条件， 画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 = k1 + k 2，k 21 = −k 2，k 31 = 0
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
同理， 同理，令 x1 = 0，x 2 = 1，x 3 = 0
&& && && m11 x1 + m12 x 2 + ⋅L+ m1n x n + k 11 x1 + k 12 x 2 +L+ k 1n x n = 0 m x + m x +L+ m x + k x + k x +L+ k x = 0 21 &&1 22 &&2 2 n &&n 21 1 22 2 2n n LL mn1 x1 + mn 2 x 2 +L+ mnn x n + k n1 x1 + k n 2 x 2 +L+ k nn x n = 0 && && &&
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运动微分方程弹性体体积V ，表面积S ，密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量，t 为时间。
弹性体在t 时刻的动量P （t)dV v dt ddV f dS t dtdP F f V f m F dVf dS t F F F dVv m v p Vi Vi si ii Vi si i Vi i ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=⨯=⨯=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面*******************************************************************************散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。
⎰⎰∙=∙∇sVS d F dV F散度：表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率，其表达式为▽·A 。
zRy Q x P R Q P z y x F ∂∂+∂∂+∂∂=∙∂∂∂∂∂∂=∙∇),,(),,( ，P,Q ，R 为F 在x,y,z 上的分量。
散度定理的证明：S d F dV F sV∙=∙∇⎰⎰⎰⎰⎰。
令()R Q P F ,,=，假设F =(0，0，R)，则需要证明dS n R dV R sVz⎰⎰⎰⎰⎰∙=),0,0( 如下图，投影区为U。
dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy dz R dV R Uy x Z y x Z zDz ))],(,,()),(,,([)(),(),(底顶顶底⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==S=S 底+S 顶+S 侧面令S 底=S1，S 顶=S2，S 侧面=S3. 对于顶面，则dxdy yZ x Z dS n )1,,(22∂∂-∂∂-=Rdxdy dxdy y Z x Z R dS n R =∂∂-∂∂-=)1,,)(,0,0(),0,0(22dxdy y x z y x R dxdy R dS n R U⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)),(,,(),0,0(顶顶顶对于底面，则dxdy yZ x Z dS n )1,,(11-∂∂∂∂=dxdy y x z y x R dxdy R dS n R U⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=)),(,,(-),0,0(底底底对侧面，S3=0。
F 垂直于侧面。
综上所述，即证。
其他复杂情况分解为这种情况，即证。
******************************************************************************* 利用散度定理dVx dS n dS t Vjji sj ji si ⎰⎰⎰∂∂==ττ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 证明j ji i n t τ=设在面X1X2X3上，面积为S ；面OX1X2，OX2X3，OX1X3的面积为S1、S2、S3。
Sh V S n n e S S i i ∆∙=∆∆=∙∆=∆31),cos(受力分析：x 1x 3x 2i i j ji i a f S S t ∙∆=∆∙+∆∙-∆∙V V ρρτi i j ji i a S h S h f S n S t ∙∆∙=∆∙∙+∆-∆∙3131ρρτ0→h ,j ji i n t τ=物理意义：如果已知过点P 与三个坐标轴方向相垂直的三个面元上的九个应力分量ji τ，则过该点任意面元（法线方向n）上的应力向量i t 都可用这九个应力分量按此式表示出来。
柯西应力公式：在一点处三个与坐标轴方向相垂直的面元上的九个应力分量可以确定该点的应力。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 由于F=ma ，即有dV t u dV t v dV dt dv dV dt dv dV v dt dVi V i Vi Vi V i ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂==22ρρρρρ由i F F F =+体面dV t u dV f dV x ViV i Vj ji⎰⎰⎰∂∂=+∂∂22ρρτ 去掉积分号22tu f x i i j ji∂∂=+∂∂ρρτ若弹性体处于静力平衡状态，a=0。
弹性体的平衡微分方程：0=+∂∂i jji f x ρτ应力张量的对称性该部分弹性体在时刻t 对坐标系原点o 的动量矩⎰⨯=VdV v x t Nρ)(在i e方向上的分量为dV v x e N k j Vijk i ρ⎰=作用在弹性体上的体力与面力的力矩⎰⎰⨯+⨯=VsdV f x dS t x t Mρ)(在i e方向上的分量为⎰⎰+=Vk j ijk k sj ijk i dV f x e dS t x e M ρ由i iM dtdN =，即dV v x e dt ddV f x e dS t x e k j Vijk Vk j ijk k sj ijk ρρ⎰⎰⎰=+ 运用散度定理：dV x x e dV x x e dVx x e dS n x e dS t x ellk j Vjk ijk l lk jVlk jl ijk Vllk j ijkl lk sj ijk k sj ijk][][)(∂∂+=∂∂+=∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰ττττδττ对于dV t ux v v e dV dt dv x v v e dV dt v x d e dV v x e dt dk j j k Vijk k jj k Vijk k j V ijk k j Vijk ][][)(22∂∂+=+==⎰⎰⎰⎰ρρρρ因为0=j k ijk v v e ，j k ijk v v e 、与垂直。
dV t u x e dV v x e dt dk j V ijk k j Vijk 22∂∂=⎰⎰ρρ 所以，有dV t u x e dV f x e dV x x e k j Vijk V k j ijk l lk j V jk ijk 22][∂∂=+∂∂+⎰⎰⎰ρρττ 0][][2222=∂∂-+∂∂+=∂∂-+∂∂+⎰⎰⎰⎰⎰Vk k l lk j ijk Vjk ijk V k j V ijk k j ijk l lk j V jk ijk dV tuf x x e dV e dV t u x e dV f x e dV x x e ρρττρρττ因为0][22=∂∂-+∂∂⎰V kk l lk j ijk dV t u f x x e ρρτ，所以0=⎰dV e Vjk ijk τ。
所以0=jk ijk e τ于是， i=1, 03223=-ττ i=2, 01331=-ττ i=3, 01221=-ττ 即jk kj ττ=，这就是剪应力互等定理。
应力边界条件 j ji i n t τ=四面体的的表面元的外法线为n，外来作用面力为t，则弹性体的应力边界条件：j ji i n t τ=。
它表明了应力的边界值与边界面上的表面力的关系。
本构方程（应力--应变关系）ij ij ij e μλθδτ2+=证明：当应力小于比例极限时，应力与应变是成正比的。
将上面理论推广：线性弹性体内一点处的应力张量分量为该点应变张量分量的线性齐次函数，反之亦然。
即kl ijkl ij e C =τ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211333333323331332333223321331333123311323332323231322332223221321332123211313331323131312331223121311331123111233323322331232323222321231323122311223322322231222322222221221322122211213321322131212321222121211321122111133313321331132313221321131313121311123312321231122312221221121312121211113311321131112311221121111311121111333231232221131211e e e e e e e e e C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C τττττττττ其中，ijkl C 称为弹性系数张量，它有81个分量，它们的值由所在点处材料的弹性性质决定。
如果弹性体不是均匀的，其弹性性质随点的不同而不同，即ijkl C 是点坐标i x 的函数。
如果弹性体是均匀的，弹性体内各点的弹性性质相同，即ijkl C 是与点坐标i x 无关的函数。