锐角三角函数_第一课时-课件

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《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)

BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义：如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫

23.1锐角的三角函数第一课时+课件+2024—2025学年沪科版数学九年级上册

平长度三者中的任何一个，可以判断
坡面的倾斜程度吗?
比较坡面的长度、铅直高度、水平长度三者中的任何一个都不
能判断哪个坡面更陡.
新课探究
既然只用一边不行，如何改进呢?我们尝试综合考虑两条边.
如图，坡面的长度、铅直高度、水平长度
构成了一个直角三角形。两个锐角一样大的
直角三角形对应的坡面的倾斜程度是一样的，

改变。∠A的对边与∠A的邻边的比(即 )随∠A的变化而变化，并且对于
∠A的每一个值，都有唯一确定的值与之对应。你认为与∠A这两个变量之
间是一种什么关系? (函数关系)
新课探究
如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的正切(tangent)，记作tan A，即
tan A
∴ = 2 + 2 = 36 + 4 = 2 10 米 .
D.6米
课堂练习
3. 如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，
网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A
1
逆时针旋转得到△AC'B'，则tan B'的值为_______.
3
B′
C′
A
C
B
锐角的正切问题，必须放在直角三角形中．
正切：
课堂小结
在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的正切(tangent)，记作tan A，即
正
切
tan A
∠A的对边 BC a

.
∠A的邻边 AC b
坡度：
坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度
h
i

(坡度通常写成h∶l的形式) ．

锐角三角函数(1) 课件

图 19.3.2
AB1
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确定的.
想一想
图 19.3.2
对于锐角A的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？
在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的.
温馨提示： sin50 °≈0.来自7当堂测评：1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（）． 15 1 1 15 B. C. D. A． 15 4 3 4 2．在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（） 4 4 C． 3 D． 3 B． A． 5 5 4 3 3．在△ABC中，∠C=90°，BC=2， cos A=0.5 ，则边AC的长是（）
B•
50
A C （1）、计算的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。（2）、将你所取的AB的值和你的同伴比较。
观察图19.3.2中的Rt△AB1C1、
Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？
Rt△AB1C1 ∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 B3C3 B2C2 B1C1 AB3 ＝__________=__________. AB2 所以：
例1：求出图19.3.3所示的Rt△ABC中∠A的
三个三角函数值.
8 15
图 19.3.1
现在同学们能否求出小明风筝的高度
解：设风筝的高度为x 米，由题意得
在直角三角形中
X sin50 °= 100
∴ x=100× sin50 ° ≈ 100 ×0.77 =77(米）答:风筝的高度是77米

锐角三角函数(第一课时)课件ppt

对边与斜边的比 BC ，你能得出什
么结论？
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是
等腰直角三角形，由勾股定理得
AB2 AC2 BC2 2BC2
AB 2BC
因此 BC BC 1 2
AB 2BC 2 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2
（2）直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大
结论
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
B
sin A BC AB
＜1
sin B AC ＜1 AB
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,
那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
C
AB
在Rt△BCD中， sin B CD BC
A
D
B
因为∠B=∠ACD，所以
sin B sin ACD AD AC
请分别计算60度的锐角对边与斜边的比值你能发现什么规律吗？
sin 45 2 2
sin 45 2 2

sin30 1
2
(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与斜边的比值随之确定；
意大利的伟大科学家C 伽俐．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
情
问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，

(课件1)25.2锐角三角函数

股定理求出，试一试吧，用心做一做，我相信，你一定能又准又快的做好的 ---
特殊角的三角函数值
sin 30 , sin 45 , sin 60 的函数值分别是多少啊？有哪些规律啊？（可以从它们的分子分母上去观察） cos 30 , cos 45 , cos 60 呢？与正弦有什么联系呢？ tan 30 , tan 45 , tan 60 的大小规律是什么啊？ cot 30 , cot 45 , cot 60 的大小规律与锐角的正弦类似，还是与余弦类似啊？
定义的应用(一）

取值范围：
AC AB
在以后的计算过程中，如果出现了一个锐角的正弦值或是余弦值大于1—你啊，快点回头检查，一定在哪一步出现了错误！
sin B
中 , A C 为直角边， AB为斜边， AC AB
sin B 1
想一想：为什么 “ sin B 0” 呢？你能不能根据以上推理，得出 “ 0 sinB 1 这个结论吗？

, 斜边 A B是直角边 AC的
答案（1-----3题）
1 . 1 .原式 3 3 3 3

2 .原式

3 2 2
1
2。答：这个三角形是钝角三角形。原因： A=45 , B 30

C 180 45 30 105 90
解直角三角形 -锐角三角函数
• 华东师大版第25章第二节 • 九年级上册
锐角三角函数的内容

北师大版数学九年级下册1.1锐角三角函数第1课时课件

＋4＝0的两个正整数根之一，且另两边长为BC＝4，AB＝6，求
tan A.
合作探究
解:设方程x2＋mx＋4＝0的两根分别为x1，x2，
根据根与系数的关系可知x1·x2＝4，
∵x1、x2为正整数解，∴x1、x2可为1、4或2、2.
又∵BC＝4，AB＝6，∴2＜AC＜10，∴AC＝4，∴AC＝BC
＝4，∴△ABC为等腰三角形.
过点C作CD⊥AB(如图)，∴AD＝3，∴CD＝，tan A＝

＝ .

合作探究
方法归纳交流求解图形中有关角的正切值，在直角三角
形中可直接运用正切的定义求值，无直角三角形的要作辅助线
构造直角三角形求值.
合作探究
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
如果CD＝3，BD＝2.求tan A的值.
◎重点:正切、倾斜程度、坡度的数学意义.
预习导学
激趣导入
如图，这是上海东方明珠塔的图片，它于1994年10月1日建
成.在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世
界第三，与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望.在塔顶俯瞰上
海风景，美不胜收.你能测出东方明珠塔的高度吗？那么就开始
本章的学习之旅吧！
A.
B.
C.
D.
合作探究
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、
∠C的对边，若b＝2a，则tan A＝

.
直角三角形两边的比为3∶4，则最小角的正切为

或
.
若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位
置比本来的位置升高了 6 米.

《锐角三角函数》课件

锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02

第1课时锐角三角函数公开课获奖课件

根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ∠A斜的边对边＝ABCB＝21，可得 AB＝2BC＝70 m，即需要准备 70 m 长的水管．思考 1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？学生按与上面相似的过程，自主解决．结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么不管三角形
sinB＝∠B斜的边对边＝bc.
思考 3：一般地，当∠A 取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠ A＝∠A′＝α，那么AACB与AA′′CB′′有什么关系？
教师用类比的方法引导学生思考、讨论．结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值．余弦的概念：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝∠A斜的边邻边＝bc.
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12.

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c 斜边
a
对边
A
C
b
注意：1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；
思2考、：正∠弦B的的三正种弦表怎示么方表式示：？s要in求A、一s个in5锐6°角、的sin正∠弦D值EF，；我们需要3、知si道nA直是角两三线角段形之中比的，哪故些si边nA？是一个数，没有单位。
知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ回顾问题探究课堂小结探究三：什么是正弦？
活动1 理论提升，认识正弦
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记
为a、b、c，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边
与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.则sin30°= 1 ，sin45°=
sinA＝ AA的的对斜边边

a c
2
B
1
2 2
（举例说明：若a=1，c=3，则sinA=3）
知识梳理
知识回顾问题探究课堂小结
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA= a
c
（2）sin30°=
1 ，sin45°= 2
2 2
重难点突破
知识回顾问题探究课堂小结
（1）运用正弦计算时，关键是找准角的对边与斜边。
（2）如果一个锐角没有在直角三角形中，要构造直角三角形求解。
有什么关系？
分析：由于∠C=∠C´=90°，
∠A=∠A´=α，所以
Rt△ABC∽Rt△A´B´C´，BB'CC' AA'BB，'
即
BC B'C'
结AB论：A'B在' 直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三
角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
知识回顾问题探究课堂小结探究三：什么是正弦？
2
知识回顾问题探究课堂小结探究二：在直角三角形中，任意锐角的对边比斜边是固定值吗？
活动1 大胆猜想，归纳推理
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边
的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A´B´C´，∠C=∠C´=90°，∠A=∠A´=α，
那么
BC AB
与
B'C' A' B'
知识回顾问题探究课堂小结
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比，求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比。
谢谢
活动2 初步运用，简单求值
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。
B
B
13
3
5
A
4
C
（1）
C
（2）
A
解：（1）在Rt△ABC中，AB= AC2 BC2 = 42 32 =5 因此，sinA= BC = 3，sinB= AC = 4
三（角2）形点在中拨R，：t△只正AAB要弦BC已是中知直5，任角sin意三A=两角BACBA条形B=边中153的锐5，条角AC件的=下对A，边B2 都与 B可斜C2根边=据之13勾比2 股，52定在=理直12求角出因第此三，边sin，B=进AAC而B =求1123出正弦值。在解题中，准确画出图形并找出所求锐角是关键。
∠A=30°，BC=35m，求AB的长。
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角
结边论等：于在斜一边个的直一角半三”角，形即中，如果一个锐角等于30°，那么不管
三角形的可大得小A如B何=2，B这C=个70角m的，对即边需与要斜准边备的70比m长值都等于的水管。同理，若BC=50m，则易求得
1 2
。
知识回顾问题探究课堂小结
（4）相似三角形性质：相似三角形对应角相等、对应边成比例；相似三角形对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比、面积之比等于相似比的平方。
知识回顾问题探究课堂小结探究一：在直角三角形中，30°、45°角的对边比斜边是固定值吗？
活动1 创设情境，引出问题
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡
与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
分析：
问题转化为：在Rt△ABC中，∠C=90°，
锐角三角函数
第一课时
知识回顾问题探究课堂小结
（1）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
（3）相似三角形的判定：三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；两角对应相等的两三角形相似；斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
AB=100m
知识回顾问题探究课堂小结探究一：在直角三角形中，30°、45°角的对边比斜边是固定值吗？
活动2 类比思考，举一反三
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比 BC ，能得到什么结论？
AB
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 。