第三章图形的平移与旋转教案设计

第三章图形的平移与旋转教案

【知识精讲】

知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系

（1）区别。

①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。

②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。

③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。

④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。

（2）联系。

①它们都在平面内进行图形变换

②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。

③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。

知识点2 组合图案的形成

（1）确定图案中的“基本图案”。

（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。

（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。

要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。

运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。

整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。

知识点3 利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题

在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。

移动图形一般有三种方法：

（1）平移法。

（2）旋转法：利用旋转变换。

（3）对称：可利用中心对称和轴对称。

知识点4 欣赏现实生活中的一些精美图案

通过欣赏现实生活中的一些精美图案，引起学生的兴趣。

通过分析它们的形成过程，为今后进行图案设计提供素材。

知识点5 图案设计的步骤

1、整体构思

（1）图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致，具有一定的意义，例如，奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱体育运动，携手共创美好的未来。

（2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案”（不宜太复杂）。

（3）构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成。再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。

2、具体作图

根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案。有条件的同学可用几何画板画出满意的图案。

【典型例题】

例1. 如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。

分析：假设桥为MN，从A→B要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AM＋NB 最小即可。

例2. 在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的大小关系。

分析：四条线段AB、AC、AD、AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。

证明：将△AEC沿EB的方向平移到△FBD位置

∴FB＝AE，FD＝AC

设FD与AB的交点为O

在△AOD中，AO＋OD＞AD

在△FOB中，FO＋OB＞FB

例3. 已知：AB＝CD＝1，AB与CD交于O点，∠DOB＝60°，比较AC＋BD与1的大小。

分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。

解：

证明：过C作CE∥AB，过B作BE∥AC，连结DE

∴四边形ABEC为平行四边形

∴AC＝BE，AB＝CE

∵∠DOB＝60°，AB∥CE

∴∠DCE＝60°

∵AB＝CD＝1

∴CE＝CD＝1

∴△DCE为等边三角形

∴DE＝1

在△DEB中，DB＋BE＞DE

即DB＋AC＞1

例4. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。

分析：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。

解：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：

∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD

∵ABCD为正方形

∴∠D＝∠ABF'＝90°

∴F'、B、E、C在一条直线上

又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°

∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°

∴∠F'AE＋∠2＝90°

又∵∠AFD＋∠1＝90°

∴∠AF'B＋∠1＝90°

∵∠1＝∠2

∴∠F'AE＝∠AF'B

∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE

例5. 如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB 重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。

分析：此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。

而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。

解：由旋转的性质及特征可知：

∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'

∴在△BPP'中，

又∵AP的延长线正好经过P'点

∴∠AP'C＝90°

∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°

从而可得∠APB＝135°

例6. 已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。

求证：AE＝FG