方程应用题的几种类型精选.

4．列方程解应用题

(1)意义：方程是刻画现实世界的有效数学模型，通过设未知数，找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程并求解，从而解决实际问题．

(2)方法步骤：

①设：根据题意设出适合的未知数，一般是问什么设什么(直接设法)，有时采用间接设法．

②列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出方程．

③解：解出方程，并检验解是否符合实际．

④答：回答说明实际问题的答案．

解技巧列方程解应用题运用方程解决实际问题最大的特点是设出未知数后，可以用含未知数的代数式表示所需要的量，符合人们顺向思维的观点．

【例4】某乡改种玉米为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高20%.今年人均收入比去年的1.5倍少1 200元．这个乡去年农民人均收入是多少元？

分析：列方程就是用两种不同的方法表示同一个量，设这个乡去年农民人均收入是x 元，那么今年的人均收入是(1＋20%)x元，又今年人均收入比去年的1.5倍少1 200元，所以今年的人均收入又可以表示为(1.5x－1 200)元．

解：设这个乡去年农民人均收入是x元，根据题意，得(1＋20%)x＝1.5x－1 200，解方程，得x＝4 000.

答：这个乡去年农民人均收入是4 000元．

5．部分与全量关系型应用题

“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中常用的等量关系，它包含在各类题目中，是最基础、最常用的一种等量关系之一，题目一般已知总量，再通过不同的方式表述各分量所占比例，或各分量之间的倍数关系，求某一个量，如：一批文稿，若由甲抄30小时抄完，乙抄20小时抄完，现由甲抄3小时后改由乙抄余下部分，那么乙尚需几小时抄完？其中包含的数量关系就是，甲抄写的量＋乙抄写的量＝总量．

部分与总量的关系一般设其中的一部分为x，根据各部分之间的关系，用含x的式子表示其他分量，最后相加等于总量．

【例5－1】用大小两台拖拉机耕地，每小时共耕地30亩．已知大拖拉机的效率是小拖拉机的1.5倍，问小拖拉机每小时耕地多少亩？

分析：大拖拉机1小时的耕地亩数＋小拖拉机1小时的耕地亩数＝1小时的耕地总亩数．解：设小拖拉机每小时耕地x亩，那么大拖拉机每小时耕地1.5x亩，根据题意，得x ＋1.5x＝30，解方程，得x＝12.

答：小拖拉机每小时耕地12亩．

【例5－2】甲、乙两列火车分别从相距660千米的A，B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，其中甲的速度是乙的速度的1.2倍，求甲、乙两车的速度．

分析：甲的路程＋乙的路程＝总路程．

解：设乙的速度为y千米/时，则甲的速度为1.2y千米/时，根据题意，得2×1.2y＋2y ＝660，解方程，得y＝150.150×1.2＝180(千米/时)．

答：甲、乙两车的速度分别是180千米/时，150千米/时．

6.盈不足问题解法

“盈不足”问题是日常生活中平分钱物经常出现的问题，是方程解决实际问题的典例，顾名思义，它一般是按一个数目分配不够(少)，按另一个数目分配结余(多)，不论怎么分配，被分配的物品的总量不变，人数不变，只是分配方式的变化，所以“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系．

【例6】七年级(1)班组织全班学生去郊游，但需要一定的费用，如果每个学生付5元，那么还差15.6元；如果每个学生付5.5元，那么就多出10.4元，则这个班有多少名学生？共需费用多少元？

分析：不论每人5元不够，还是每人5.5元结余，总费用不变．

解：设这个班有x名学生，根据题意，得

5x＋15.6＝5.5x－10.4.解方程，得x＝52.

总费用：5×52＋15.6＝275.6(元)．

答：这个班有52名学生，共需费用275.6元．

7.数字问题

数字问题是数学中出现较多的问题，它分类多，主要有以下两类：

(1)顺序数字问题：按一定规律排列的一系列数字，已知其中几个数的和，求每个数是多少，如课本例2：

一列数，按一定规律排列成1，－3,9，－27,81，－243，…，其中某三个相邻数的和是－1 701，这三个数各是多少，或连续三个奇数的和是51，求这三个数，或给出一个日历表等，框出一些数，已知它们的和，求各数等．

解法：这类题目一般是设其中一个数为x，根据排列规律用含x的式子表示出其他各数，把它们相加列出方程求解，再分别求出各数．

(2)求两位数、三位数问题：已知一个两位数或三位数中各个数位上的数字间的关系，求这个数．

解法：这类问题不能直接设这个数，应该设其中一数位上的数字是x，根据其他数位上

的数字与这个数字之间的关系，用含x的式子表示出其他数字，根据“个位数字是x，十位数字是y，百位数字是z，那么这个三位数就是100z＋10y＋x”的道理，写出这个数，列出方程，求出各个数位上的数字，进而求出这个数．

【例7－1】一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是多少？

分析：求两位数或三位数的问题，不能直接设，而应该间接设十位上的数字是x，那么个位数字就是3x.

解：设十位上的数字是x，那么个位上数字就是3x，根据题意，得x＋3x＝12.

解方程，得x＝3.个位上的数字是3x＝3×3＝9.

答：这个两位数是39.

【例7－2】已知三个连续偶数的和是30，求这三个偶数．

分析：遇到三个偶数或三个奇数问题，常设中间的一个数为x，则前面的数为x－2，后面的数为x＋2.也可设最前面的一个数为x，那么后面的两个数分别是(x＋2)，(x＋4)．解：设中间的一个数为x，则前面的数为x－2，后面的数为x＋2，根据题意，得x－2＋x＋x＋2＝30.解方程，得x＝10.

答：这三个连续偶数为8,10,12.

【例7－3】下面给出的是2013年7月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，圈出的三个数的和不可能是()．

A．69B．54C．27D．40

解析：设中间的数为x，那么三个数分别为x－7，x，x＋7，合并化简得这三个数的和为3x，所以三个数的和一定能被3整除．只有D不能被3整除，故选D.

答案：D

8.方案设计题应用

方案设计题是近几年中考的热点，也是现实生活中经常遇到的问题，它是我们生活中决策、选择的数学依据．

在目前这类问题一般比较简单，给出两种方案，让我们选择在不同情况下，选择哪种方案合算或更好．

破疑点 方案问题的解题方法 一般设两种方案花费一样多时的情况，列出方程，求出临界点时的情况，再根据变化通过讨论，选择最优方案．

【例8】 某影碟出租店采用两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费12元，租碟费每张0.4元，小华经常来该店租碟，请你帮小华设计一下怎样租碟合算？

分析：哪种方式租碟更合算取决于小华租碟的数量，因此先求出费用一样时的情况，可设每月租碟x 张时费用一样，根据两种收费方式相等，列出方程再分类讨论．

解：设小华每月租碟x 张时收费一样多，根据题意，得x ＝0.4x ＋12，解方程，得x ＝20. 所以当每月租碟20张时两种方式收费一样多；

当每月租碟大于20张时，办会员卡合算；

当每月租碟少于20张时，零星租碟合算．

9.绝对值方程的解法

(1)绝对值方程：像|x |＝5，|x －3|＝2这样的方程，我们叫做绝对值方程，即绝对值中含有未知数的方程．

(2)解法：这类方程的解法关键就是去掉绝对值号，把方程转化为一元一次方程，再解一元一次方程求解．如：|x －3|＝2，由绝对值意义可知，＋2和－2的绝对值都等于2，所以转化为两个一元一次方程：x －3＝2和x －3＝－2，解方程，得x ＝5或x ＝1，将它们分别代入原方程检验，x ＝5，x ＝1都能使方程左右两边相等，所以是绝对值方程的解．

破疑点 绝对值方程的解法 ①对于绝对值方程，大多方程有两个解，有些方程无解，有的只有一个解，应注意．②对于较复杂的绝对值方程如：|3x －2|＝|x ＋1|，解法也是根据绝对值的性质，化为一元一次方程解决，可化为3x －2＝x ＋1和3x －2＝－(x ＋1)来解决．

【例9】 解下列方程：

(1)|－74

x |－1＝0；(2)|2x －3|＝－7； (3)|－6＋5x |＝|－3|；(4)|－52

x ＋2|＝0. 分析：(1)移项，方程可化为|－74x |＝1，所以－74x ＝1或－74

x ＝－1，解此方程就能求出原绝对值方程的解．

(2)没有哪个数的绝对值是负数，所以此方程无解．

(3)|－3|＝3，所以原方程就是|－6＋5x |＝3.

(4)0的绝对值等于0，所以－52

x ＋2＝0.

解：(1)移项，得|－74x |＝1，方程可化为－74x ＝1和－74x ＝－1，解方程，得x ＝－47

和x ＝47

. (2)原方程无解．

(3)原方程化为：－6＋5x ＝3和－6＋5x ＝－3，解方程，得x ＝95，x ＝35

. (4)原方程可化为－52x ＋2＝0，解方程，得x ＝45

. 10.比例型问题的巧设与妙解

运用一元一次方程解决比例分配问题时，设是关键，一般是设每一份为x ，再根据每一份所占的比例，用含未知数的式子表示每一份，从而列出方程，解决问题．如：某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种成分的质量比是0.7∶1∶2∶4.7.现在要配制这种中药2 100克，四种草药分别需要多少克？本题所求的量有四个，若设其中一个(第二个量除外)为未知数，虽也能列方程求解，但会出现较复杂的关系转换，带来计算上的烦琐，故不可取．本题既给出了四个量的比例关系，我们不妨间接设未知数：设比例中的“每一份”为x 克，则甲、乙、丙、丁四种草药分别为0.7x 克，x 克，2x 克，

4.7x 克，根据题意，得0.7x ＋x ＋2x ＋4.7x ＝2 100.解此方程即可求出x ，再根据所占比例，分别求出四种药材的用量．

解技巧 解比例型应用题的方法 若题目中有比例为1的情况时，可设比例为1的为x ，若比值中没有所占比例为1的，则设“每一份”为未知数更具有优越性．

【例10－1】 某会议厅主席台上方有一个长12.8 m 的长条形(矩形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如下图所示．

根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少？

分析：可设每一份为x cm ，根据图示得到所有的边距、字宽、字距之和等于1 280 cm ，列出方程．

解：设边空、字宽、字距分别为

9x cm,6x cm,2x cm ，

则9x ×2＋6x ×18＋2x (18－1)＝1 280.

解方程，得x ＝8.

所以9x＝72,6x＝48,2x＝16.

答：边空为72 cm，字宽为48 cm，字距为16 cm.

【例10－2】一个黑白足球的表面一共有32块皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形皮块组成，其中黑、白皮块的数目之比为3∶5，问黑色、白色皮块各有多少块？

解：设黑、白皮块分别有3x,5x块，根据题意，得3x＋5x＝32.解方程，得x＝4，所以3x＝12,5x＝20.

答：黑皮块有12块、白皮块有20块．

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