幂函数的性质与图像教案
高中数学教案《幂函数
高中数学教案《幂函数》章节一：幂函数的定义与性质教学目标：1. 理解幂函数的定义；2. 掌握幂函数的性质；3. 能够运用幂函数的性质解决问题。
教学内容：1. 幂函数的定义：一般形式为f(x) = x^a，其中a为实数，a≠0；2. 幂函数的性质：a) 当a>0时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；b) 当a<0时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增；c) 当a=1时，函数为常值函数f(x)=x；d) 当a=0时，函数为常值函数f(x)=1；e) 当a为负偶数时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；f) 当a为负奇数时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增。
教学活动：1. 引入幂函数的概念，引导学生理解幂函数的一般形式；2. 通过示例，引导学生掌握幂函数的性质；3. 进行练习，巩固学生对幂函数性质的理解。
章节二：幂函数的图像与性质教学目标：1. 能够绘制幂函数的图像；2. 理解幂函数图像的性质；3. 能够运用幂函数图像解决问题。
教学内容：1. 幂函数的图像：一般形式为一条曲线，当a>0时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减；当a<0时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增；2. 幂函数图像的性质：a) 当a>0时，图像在x轴正半轴上无界，在x轴负半轴上有界；b) 当a<0时，图像在x轴正半轴上有界，在x轴负半轴上无界；c) 当a=1时，图像为一条直线，穿过原点；d) 当a=0时，图像为一条水平线，位于y轴上；e) 当a为负偶数时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减，且过原点；f) 当a为负奇数时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增，且过原点。
教学活动：1. 通过示例，引导学生绘制幂函数的图像；2. 分析幂函数图像的性质，引导学生理解幂函数图像的特点；3. 进行练习，巩固学生对幂函数图像性质的理解。
新人教A版必修1《幂函数》教案
-强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
-结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
-核心内容三：常见幂函数的图像与性质
-详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
-引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
2.教学难点
4.数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
-重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
-通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
-核心内容二：幂函数的性质
-难点三：幂函数在实际问题中的应用
-学生可能不知道如何将幂函数应用于实际问题，如计算面积、体积等。
-教师应设计相关实际问题，引导学生运用幂函数知识解决问题，提高应用能力。
-难点四：幂函数性质的应用与拓展
-学生可能难以将幂函数性质应用于更广泛的数学问题。
-教师可通过举例，如数学竞赛题等，展示幂函数性质在更复杂问题中的应用，拓展学生思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂函数的基本概念。幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。幂函数在数学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。
幂函数的性质与图像ⅠⅡ
三、课堂探究
1 2
例1、研究函数y x 的基本性质，并作出它的图像．
提问：我们应该研究一个函数的哪些基本性质？ (1)定义域： (2)值域：
0， 0，
O
y
(3)奇偶性：非奇非偶函数 (5)最值： (6)零点：
无最值 无零点
是减函数 (4)单调性：在0，
2
(4) f ( x) x ； (5) f ( x) 2 ； (6) f ( x) x x ．
x 2 3
4 3
提问：这个定义中要注意什么？
对幂函数定义的说明：
1、自变量x的位置在底数位置．
2、这是一个形式定义，其特征可归纳为 “两个1”，即：(1)系数为1；(2)只有1项． 3、我们只研究 是有理数的情况．
(1)若函数是非奇非偶函数，则图像只在第一象限内；
作幂函数大致图像的一般步骤：
(1)由k确定图像是双曲线型还是抛物线型
哪种抛物线型；
(2)判断函数奇偶性，由奇偶性确定图像 所在象限．
练习
2 5 1 8
在下列各图中找到适当的表达式的序号：
5 4 1 9
(1) y x (2) y x 10 (3) y x (4) y x 9 (5) y x (6) y x (7) y x (8) y x
教学目标：
1、通过学生已经学过的正比例、反比例、一次和 k y x ，k Q ． 二次函数引进幂函数的概念： 2、选择2到3个典型的指数 k (k 1， 0 k 1，k 0) ， k y x 确定函数 的定义域，讨论并证明幂函数的 单调性、奇偶性和最大值、最小值． 3、用描点法和函数的性质作幂函数的图像，观察幂 函数的单调性、奇偶性等性质在图像上的表现． 4、幂函数的奇偶性、单调性和最大值、最小值的 简单应用．
幂函数的图像与性质教学案例
幂函数的图像与性质教学案例一、引言在数学中，幂函数是一类非常常见的函数。
幂函数可以用来描述许多实际问题中的关系，如物体的运动、人口的增长等。
了解幂函数的图像与性质对于理解函数的特点以及应用数学模型是非常重要的。
本文将通过一个具体的教学案例，帮助学生更好地理解幂函数以及它的图像与性质。
二、教学案例1. 目标通过本教学案例，学生将能够：- 了解幂函数的定义；- 掌握幂函数的图像特点；- 理解幂函数的性质；- 运用幂函数解决实际问题。
2. 教学内容本教学案例的主要内容包括：- 幂函数的定义；- 幂函数的图像与特点；- 幂函数的性质；- 幂函数的应用实例。
3. 教学步骤3.1. 引入与导入教师可以通过提问的方式引入幂函数的概念，例如：“在生活中，你们遇到过哪些与数量关系有关的问题？”、“你们能够列举出一些函数的例子吗？”等，通过学生的回答引导他们认识到幂函数是一种常见的函数。
3.2. 幂函数的定义与图像特点教师向学生介绍幂函数的定义，并通过具体的数值例子和函数表达式，展示不同幂函数的图像特点。
教师可以给出不同指数幂函数的函数图像，让学生观察函数图像的变化规律，并总结出不同指数对图像的影响。
3.3. 幂函数的性质教师通过讲解幂函数的性质，如定义域、值域、增减性等，让学生对幂函数有更深入的了解。
教师可以通过证明、举例等方式来说明这些性质。
3.4. 幂函数的应用实例教师给出幂函数在实际问题中的应用实例，例如人口增长问题、物体从高空自由落体的问题等。
学生需要通过分析实际问题，建立数学模型，并用幂函数解决问题。
4. 教学评估教师可以通过小组讨论、个人作业、课堂练习等方式来评估学生的学习效果。
例如，给学生提供一个幂函数的图像，要求他们根据图像的特点写出函数的表达式。
此外，教师还可以通过提问学生回答问题的方式，检查他们对幂函数的理解和应用。
5. 总结与拓展在课程的最后，教师对本课的内容进行总结，并鼓励学生思考如何将幂函数的知识应用到更多的实际问题中。
高中数学高一(上)幂函数图像与性质同步强化教学案【解析】
高中数学高一（上）幂函数的性质与图像同步强化教学案【解析】教学目的1、 掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在∞（0，+）内的单调性；2、 会画幂函数的图像。
【知识梳理】（1）幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 思考讨论：在幂函数y ＝x n中，当n ＝0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？当n ＝0时，此时y ＝x 0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，当x 为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外．练习：幂函数概念辨析有下列函数：y=2x ，y=x ，3y x =，21y x =，1y x=，23y x =， 34y x -=，122y x x =+，其中那些为幂函数？解：注：幂指数范围的讨论. k ∈Q（2）幂函数的定义域： 若()*Nn n k ∈=，其定义域是一切实数；例如：3xy =、2x y =若()互质、、n m m N m n mn k ,2,*≥∈=，则m nm nx x =，其定义域满足：奇次方根被开方数为实数，偶次方根被开方数为非负数；例如：3232x x y ==、4343x x y ==若()*Nn n k ∈-=，则nnx x1=-；例如：5-=x y 、6-=x y若()互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈-=，则m n m n x x 1=-；例如：32321x x y ==-、43431xx y ==-后两种情况只需注意分母不为0，其他与前两种情形类似 （3）幂函数的性质：所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．k ＞0时，图像过（0，0）和（1，1）；且在第一象限随x 的增大而上升, 函数在区间[)+∞,0上是单调增函数。
k ＜0时，图像过（1，1）；且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间),0(+∞上是单调减函数，向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴。
初中数学幂函数教案
初中数学幂函数教案教学目标：1. 了解幂函数的定义和性质。
2. 能够解析幂函数的图像和特点。
3. 学会运用幂函数解决实际问题。
教学重点：1. 幂函数的定义和性质。
2. 幂函数的图像和特点。
教学难点：1. 幂函数的图像和特点。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 幂函数的图像资料。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的函数知识，如线性函数、二次函数等。
2. 提问：今天我们要学习一种新的函数——幂函数，你们知道幂函数是什么吗？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解幂函数的定义：一般地，形如y=x^a（a是常数）的函数，叫做幂函数。
2. 讲解幂函数的性质：（1）当a>0时，幂函数在x>0的区间内是增函数；（2）当a<0时，幂函数在x>0的区间内是减函数；（3）当a=0时，幂函数恒等于0。
3. 展示幂函数的图像，让学生观察和理解幂函数的特点。
三、实例分析（15分钟）1. 给出几个幂函数的实例，如y=x^2、y=x^-1等，让学生分析其图像和性质。
2. 让学生尝试解决实际问题，如计算幂函数在特定点的值，找出幂函数的零点等。
四、练习与讨论（10分钟）1. 布置一些有关幂函数的练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生讨论幂函数在实际生活中的应用，如面积、体积计算等。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结幂函数的知识点，如定义、性质和应用。
2. 提问：你们觉得幂函数在实际生活中有哪些应用呢？教学延伸：1. 讲解幂函数的进一步性质，如幂函数的导数、积分等。
2. 引导学生学习幂函数在高等数学中的应用。
教学反思：本节课通过讲解和实例分析，使学生掌握了幂函数的定义、性质和应用。
在教学过程中，要注意引导学生主动参与、积极思考，提高学生的数学素养。
同时，结合生活实际，让学生感受数学的趣味性和应用价值。
在课后，加强对学生的辅导和练习，巩固所学知识。
幂函数的性质和图像
幂函数的性质和图像幂函数的性质和图像南汇一中胡小军一.教材分析本节课是高中一年级第一学期第四章第一节“幂函数图像与性质”的第一节课，教材是在介绍了函数的基本概念和基本性质后，来通过对幂函数的研究，使学生掌握研究具体函数性质的方法，从而培养学生以理论知识解决具体问题的能力，为以后学习指数函数和对数函数作准备。
二.教学方法和教材处理<一>教学方法1.坚持上海二期课改“以学生为主体”这一理念，让学生充分参与到课堂教学中来，通过教师不断地激励诱发学生求知欲，鼓励他们对新知的探究；2.在教学过程中，坚持不懈地启发和鼓励学生用类比、数形结合等教学思想和方法，让学生在探究中接受新知识，拓展学生思维空间，提高学生的能力；3.面对新教材，新内容，要有与之适应的教学方法和教学手段，因此必须要优化课堂教学的效益，通过多媒体教学的手段，使内容显示直观并且有动态的效果，从而提高教学质量。
<二>教学目标1.知识目标(1).函数的概念，定义域的求法;(2).学会研究函数性质的方法;(3).能用列表描点法作出简单函数的图像(4).掌握一些具体的幂函数的性质和图像2.能力目标(1). 通过对幂函数性质的讨论，总结，培养学生运用基本理论知识研究具体问题的能力;(2). 在引导学生实践、分析、总结规律的过程中，培养学生多思考的习惯，激发他们对教学的兴趣.〈三〉教学的重点与难点重点：幂函数的概念、定义域的求法、一些具体幂函数的性质和图像；难点：幂函数性质的总结.三.教学过程1. 引例：已知一矩形的面积为1m2，那么矩形的长y m和宽x m之间具有什么关系？通过实际问题的引入，引起学生的兴趣，从而进入我们今天的课2. 给出幂函数的定义（由y = x－1 、y = x 、y=x2归纳得出）;3. 回顾y=x-1的基本性质：即该函数的定义域,值域，奇偶性和单调性通过对该函数的性质的复习，能使学生知道研究一个具体的函数，可以以其定义域，值域，奇偶性，单调性和图像入手;4. 研究幂函数y=x -1/2的基本性质和图像由师生共同讨论归纳该函数的定义域，值域，奇偶性，单调性，并由多媒体演示列表描点法作图的方法此处让学生参与讨论、归纳，培养了学生运用理论知识解决具体问题的能力5.研究幂函数y = x 2/3 、y = x 1/3 、y = x 3、 y = x -2的基本性质和图像将学生分成四组研究这些函数的定义域，奇偶性，单调性，每组学生可以共同谈论得出结论，然后再派一个代表说出该组探讨的结果，即该组所研究的函数的定义域、值域、单调性和奇偶性,并上黑板作出该函数的大致图像;6.归纳小结幂函数y=x k (k ∈Q)的性质;用多媒体放出前面五个函数的图像，这五个图像放在两个坐标系中，其中一个坐标系中是幂指数k>0的三个函数的图像，另一个坐标系中展示的k<0的两个函数的图像，让学生观察这些图像在第一象限的特征，引导它们总结k>1和0<k<1时函数图像的变化特征，从而总结函数单调性。
幂函数教案模板
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解幂函数的定义及其基本性质；（2）掌握幂函数的图像特点及图象变换规律；（3）能够运用幂函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过探究活动，让学生体会幂函数的形成过程；（2）引导学生运用数形结合的方法，归纳总结幂函数的性质；（3）培养学生观察、分析、归纳等思维能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）激发学生对幂函数学习的兴趣，培养良好的学习习惯；（2）让学生体会数学与实际生活的联系，树立科学的世界观；（3）培养学生严谨、求实的科学精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）幂函数的定义及其基本性质；（2）幂函数的图像特点及图象变换规律。
2. 教学难点：（1）幂函数的图像变换规律；（2）运用幂函数解决实际问题。
三、教学准备1. 教学课件；2. 教学板书；3. 练习题。
四、教学过程（一）导入1. 提问：回顾初中阶段学习的函数，如正比例函数、反比例函数、二次函数等，引导学生思考这些函数的共同特征。
2. 引入幂函数的定义，激发学生的学习兴趣。
（二）新课讲解1. 定义幂函数：给出幂函数的定义，让学生理解幂函数的概念。
2. 性质讲解：（1）单调性：引导学生观察幂函数的图像，总结出幂函数的单调性；（2）奇偶性：通过实例分析，让学生理解幂函数的奇偶性；（3）值域：讲解幂函数的值域，包括有界和无穷大两种情况；（4）图像特点：引导学生观察幂函数的图像，总结出幂函数的图像特点。
（三）图像变换1. 介绍幂函数的图象变换规律，包括水平伸缩、垂直伸缩、平移等；2. 通过实例，让学生理解并掌握幂函数的图象变换方法。
（四）实际问题1. 提供实际情境，引导学生运用幂函数解决实际问题；2. 鼓励学生合作交流，共同解决实际问题。
（五）课堂小结1. 总结幂函数的定义、性质、图像变换规律；2. 强调幂函数在实际问题中的应用。
（六）布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识；2. 查找与幂函数相关的实际应用案例，进行探究。
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【课题】
幂函数的性质与图像
【执教者】：关雅南（上海师范大学附属外国语中学）
【教学目标】：知识和技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像并能
简单应用。
过程和方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会
从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合
的数学思想。
情感、态度和价值观：培养学生积极探究、合作交流的学习品质，激发学
生的学习兴趣和探究热情。
【教学重点】：幂函数的性质与图像
【教学难点】：幂函数性质与图像特征的归纳
【教学过程】：
一． 创设情境，引入新知
回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x
1即y=1-x ，二次函数如y=2x ，另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ，分析这些函数有什么共同特征？
解析式右边为幂的形式，底数为自变量，系数为1.
这些函数可统一写成y=k x 的形式，引出幂函数的定义。
二． 幂函数定义
一般地，函数y=k x （k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数（power function ）
概念巩固：判断下列函数是否为幂函数？
（1） y=x 3.0 （2）y=21
_x （3）y=3x +x (4) y=23x
三． 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法
例题：研究函数y=21
_x 的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。
（师生共同探究此幂函数性质，课件演示利用描点法作出的函数图像，并
观察此幂函数性质在图像上的体现）。
自主探究： 研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。
（在课堂练习单上独立完成，投影演示，师生共同评价）
四． 合作探究一般的幂函数性质与图像特征
1.教师演示：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x
、 y=2 x 和y=31_x 的图像，认真观察图像，体会其中蕴含的函数性质。
2.小组讨论： 归纳幂函数（k 0）的性质和图像特征
（1） 在第一象限单调性如何？
（2） 有无公共点?
（3） 图像与坐标轴的位置关系？
（4） 图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？
3.类比探究：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图
像，幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像，类比探究当0 k 1
和k 1时幂函数性质
五． 课堂巩固、简单应用
练习：比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96)
31__________ (-0.95)31_
六． 课堂小结
今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？
七． 布置作业：课本81页：习题4.1
写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文。