第八章 假设检验(分布拟合检验)
这些试验及其它一些试验， 这些试验及其它一些试验，都显 示孟德尔的3: 理论与实际是符合的 理论与实际是符合的. 示孟德尔的 1理论与实际是符合的 这本身就是统计方法在科学中的一项 这本身就是统计方法在科学中的一项 重要应用. 重要应用
用于客观地评价理论上的某个结论是 否与观察结果相符， 否与观察结果相符，以作为该理论是 否站得住脚的印证. 否站得住脚的印证 Nhomakorabea或
k f i2 n fi χ 2 = ∑ − pi = ∑ −n i =1 pi n i =1 npi
2
统计量
χ
2
的分布是什么? 的分布是什么
皮尔逊证明了如下定理: 皮尔逊证明了如下定理 若原假设中的理论分布F(x)已经完全给 已经完全给 若原假设中的理论分布 定，那么当n → ∞ ，统计量 时 的分布渐近(k-1)个自由度的 χ 分布 个自由度的 分布. 的分布渐近 如果理论分布F(x)中有 个未知参数需用 中有r个未知参数需用 如果理论分布 中有 相应的估计量来代替，那么当 相应的估计量来代替， 时，统 n →∞ 计量 2的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2 个自由度的 分 χ χ 布.
2 2
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得 2 的实测值落入拒绝域， 统计量 χ 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假 否则就认为差异不显著而接受原假设. 设，否则就认为差异不显著而接受原假设
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 皮尔逊定理是在 无限增大时推导出来 无限 因而在使用时要注意n要足够大 要足够大， 的，因而在使用时要注意 要足够大，以及 npi 不太小这两个条件 不太小这两个条件 这两个条件. 根据计算实践，要求 不小于 不小于50， 根据计算实践，要求n不小于 ，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 否则应适当合并区间， npi满足这个要求 .
2 2
根据这个定理， 根据这个定理，对给定的显著性水平α ， 2 2 查χ 分布表可得临界值 χα ，使得
P(χ > χα ) = α
2 2
得拒绝域: 得拒绝域
χ > χα (k −1) (不需估计参数 不需估计参数) 不需估计参数
2 2
估计r χ > χα (k − r −1) (估计 个参数 估计 个参数)
( fi − npi ) χ =∑ npi i=1
k 2
2
是k个近似正态的变量的平方和 个近似正态的变量的平方和. 个近似正态的变量的平方和 这些变量之间存在着一个制约关系： 这些变量之间存在着一个制约关系：
npi 2 2 渐近(k-1)个自由度的 χ 分布 故统计量 χ 渐近 个自由度的 分布.
i=1
假设检验( 第八章 假设检验(续)
§4. 分布拟合检验 在前面的课程中， 在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想， 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时， 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 . 然而可能遇到这样的情形， 然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道， 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
实测频数
fi − npi
理论频数
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小. 标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布 与理论分布之间的差异: 与理论分布之间的差异 在理论分布
( fi − npi ) 2 χ =∑ npi i=1
k
k
2
已知的条件下, 已知的条件下 npi是常量
年的432年间 年间， 例1. 从1500到1931年的 年间，每年爆 到 年的 发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计, 发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计 年间共爆发了299次战争 数据如下: 次战争, 这432年间共爆发了 次战争 数据如下 年间共爆发了
战争次数X 战争次数 发生 X次战争的年数 次战争的年数 223 0 142 1 48 2 15 3 4 4
又如， 又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检 抽取100个钟作试验，拨准后隔 小时 个钟作试验， 查，抽取 个钟作试验 拨准后隔24小时 以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢） 以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢） 按秒记录下来. 按秒记录下来
问该厂生产的钟的误差是否服从正态 分布？ 分布？
解决这类问题的工具是英国统计学家 K.皮尔逊在 皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进 皮尔逊在 年发表的一篇文章中引进 2 检验法. 的所谓 χ 检验法 这是一项很重要的工作，不少人 这是一项很重要的工作， 把它视为近代统计学的开端. 把它视为近代统计学的开端
在概率论中，大家对泊松分布产生的一 在概率论中， 般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战 般条件已有所了解，容易想到， 争的次数， 争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似 也就是说， 描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战 争次数分布X近似泊松分布 近似泊松分布. 争次数分布 近似泊松分布 现在的问题是： 现在的问题是： 上面的数据能否证实X 上面的数据能否证实 具有 泊松分布的假设是正确的？ 泊松分布的假设是正确的？
让我们回到开始的一个例子， 让我们回到开始的一个例子，检验每 年爆发战争次数分布是否服从泊松分布. 年爆发战争次数分布是否服从泊松分布 根据观察结果， 根据观察结果，得参数 λ 的极大似然估计为 提出假设H 提出假设 0: X服从参数为λ 的泊松分布 服从参数为
ˆ λ = X =0.69
按参数为 的泊松分布， 按参数为0.69的泊松分布，计算事件 的泊松分布 计算事件X=i 的 概率p p 概率 i ， i的估计是 −0.69 i ， ˆ pi = e 0.69 i ! i=0,1,2,3,4 将有关计算结果列表如下: 将有关计算结果列表如下
孟德尔
…
黄色纯系
… 子一代 子二代
绿色纯系
根据他的理论，子二代中 根据他的理论，子二代中, 黄、绿之比 近似为3:1， 近似为 ， 他的一组观察结果为： 他的一组观察结果为： 黄70，绿27 ， 近似为2.59:1，与理论值相近. ，与理论值相近 近似为
由于随机性，观察结果与 总有些差 由于随机性，观察结果与3:1总有些差 距，因此有必要去考察某一大小的差异是否 已构成否定3:1理论的充分根据 理论的充分根据， 已构成否定 理论的充分根据，这就是如 下的检验问题. 下的检验问题 检验孟德尔的3:1理论 检验孟德尔的 理论: 理论 提出假设H0: p1=3/4, p2=1/4 提出假设 这里，n=70+27=97, k=2, 这里， 理论频数为： 理论频数为： np1=72.75, np2=24.25 实测频数为70， 实测频数为 ，27.
日至1971年2月9日共 日共2231天 例3. 自1965年1月1日至 年 月 日至 年 月 日共 天 记和5级以上的 中，全世界纪录到里氏震级4记和 级以上的 全世界纪录到里氏震级 记和 地震162次，统计如下 次 地震
相继两次地震间 0-4 隔的天数xi 出现的频数f 出现的频数 i 50 10-14 5-9 31 26 15-19 17 10 20-24 25-29 8 6 30-34 35-39 6 8(1) ≥40
例2. 我们以遗传学上的一项伟大发现为例 说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律 性时，是起着积极的、主动的作用. 性时，是起着积极的、主动的作用 奥地利生物学家孟德尔进行了长 达八年之久的豌豆杂交试验, 达八年之久的豌豆杂交试验 并根据 试验结果,运用他的数理知识 运用他的数理知识, 试验结果 运用他的数理知识 发现了 遗传的基本规律. 遗传的基本规律
战争次数 x 实测频数 fi
ˆ pi ˆ n pi
0 1 2 223 142 48 0.58 0.31 0.18 216.7 149.5 51.6
3 15 0.01 12.0
4 4 0.02 2.16
∑
14.16 ( fi − npi )2 0.183 0.376 0.251 1.623 2.43 npi 的组予以合并， 次及4次 将n pi<5的组予以合并，即将发生 次及 次 ˆ 的组予以合并 即将发生3次及 战争的组归并为一组. 战争的组归并为一组 因H0所假设的理论分布中有一个未知 参数，故自由度为4-1-1=2. 参数，故自由度为
∑
k
pi ( fi − npi )
=0
尚未完全给定的情况下， 在F(x)尚未完全给定的情况下，每个未知 尚未完全给定的情况下 参数用相应的估计量代替， 参数用相应的估计量代替，就相当于增加一个 制约条件，因此，自由度也随之减少一个. 制约条件，因此，自由度也随之减少一个. 若有r个未知参数需用相应的估计量来代 个未知参数需用相应的估计量来代 自由度就减少r个 替，自由度就减少 个. 渐近(k-r-1)个自由度的 χ 分布 此时统计量 χ 渐近 个自由度的 分布.
2
( fi − npi ) χ =∑ npi i =1
k 2
2
为了便于理解， 为了便于理解，我们对定理作一 点直观的说明. 点直观的说明
在理论分布F(x)完全给定的情况下，每个pi 完全给定的情况下，每个 在理论分布 完全给定的情况下 都是确定的常数. 棣莫佛－ 都是确定的常数 由棣莫佛－拉普拉斯中心极 限定理， 充分大时 渐近正态， 限定理，当n充分大时，实测频数 fi 渐近正态， 充分大时， 因此
K.皮尔逊 皮尔逊
χ2检验法是在总体 的分布未知时， 检验法是在总体 的分布未知时， 是在总体X 根据来自总体的样本， 根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法. 布的假设的一种检验方法
检验法对总体分布进行检验时 对总体分布进行检验时， 使用 χ 检验法对总体分布进行检验时，
2
检验假设H 若在H 在用 χ2检验法 检验假设 0时，若在 0下 分布类型已知，但其参数未知， 分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验. 用极大似然估计法估计参数，然后作检验 分布拟合的 χ 检验法 的基本原理和步 骤如下: 骤如下
假设检验一般概念
x 400 k 时接受原假设H0；
(1)
x 400 k 时拒绝原假设H0接受备择假设H1
(2)
进一步，由于当H0为真时，有
u x400 ~N(0,1) 25/ n
1 |u|要构x造一40个0具有明确k分布的统计量，可将(1)、(2)式转化为
25/ n 25/ n
2 |u|时接x受原40假0设H0 k
2. 拒绝域与接受域 称是检验水平或显著性水平，它是我们
制定检验标准的重要依据。常数u/2把标准正态分布密度曲线下
的区域分成了两大部分，其中一部分
(x1,x2, ,xn)uu/2
称为H0的拒绝域或否定域， 当样本点落入拒绝域时，我们便拒 绝原假设H0(同前述(6)式)，另一部分
(x1,x2, ,xn)uu/2
（1）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和备择假设H1的
具体内容。
（2）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量并确定其分布。 （3）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计量的分布查表 或计算确定出临界值，进而得到H0的拒绝域和接受域。
（4）由样本观察值计算出统计量的值。
（5）做出推断：当统计量的值满足“接受H0的条件”时就接受 H0，否则就拒绝H0接受H1 。
u
2
时接受原假设H0 (5)
时拒绝原假设H0，接受备择假设 H1 (6)
分析(5)、(6)两式，可以这 样认为：
拒绝H0，是因为以H0成立 为出发点进行推理时，得到 了不合情理的结论，使小概 率事件在一次试验中发生了。
接受H0，是因为以H0成立 为出发点进行推理时，未发 现异常。
这就是带有概率特征的反证 法，认为小概率事件在一次 试验中不可能发生。
H0：X服从泊松分布；H1：X不服从泊松分布.
第八章 假设检验
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1、原假设与备择假设 H0 2、原理
H1
小概率原理：小概率事件在一次试验中是不太会发生的。 （1）提出假设 H 0 （2）在假设 H 0 成立的条件下，构造一个小概率事件A， （3）根据样本值判断：
若在这一次试验中小概率事件A发生了，则拒绝假设 H 0 ,
若在这一次试验中小概率事件A未发生，则接受假设 H 0 .
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显著性水平 3、接受域与拒绝域
P{ A} P{样本落入区域 } R
拒绝域： R 接受域： R 4、两类错误
第一类错误： 弃真
小概率
样本点落入R：拒绝 H 0
样本点落入 R ： 接受 H 0
犯第一类错误的概率：
H 0 正确，但拒绝了它。
第二类错误： 采伪
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二、假设检验的思想方法 假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证 法。为了检验一个假设是否正确，首先假设该假设正确，然 后根据抽取到的样本对假设作出接受或拒绝的决策。如果样 本观察值导致了不合理的现象发生，就应拒绝假设，否则应 该接受假设。
假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾，而 是基于人们的实践活动中广泛采用的原则，即小概率事件在一 次试验中是几乎不发生的。但概率小到什么程度才能算作“小 概率事件”？显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设 就越有说服力。 广
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例1 某砖厂生产的砖其抗拉强度X服从正态分布 N ( ,1.21) ,今从 该厂产品中随机抽取6块，测得其平均抗拉强度为31.13.试检验 这批砖的平均抗拉强度为32.5是否成立,取显著性水平 0.05. 解: 提出原假设 H 0 : 0 32.5 双边检验： 单边检验：
第八章拟合优度检验
142 149 142 137 134 144 146 147 140 142
140 137 152 145
解 为粗略了解数据的分布情况，先画出直方图。
步骤如下： 1.找出数据的最小值、最大值为126、158，取区 间[124.5, 159.5],它能覆盖[126, 158]； 2.将区间[124.5, 159.5]等分为7个小区间,小区间的 长度Δ=(159.5-124.5)/7=5, Δ称为组距，小区 间的端点称为组限，建立下表：
Y 50 31 26
17
10
8
6
6
8
试检验相继两次地震间隔天数 X 服从指数分布.
解 所求问题为: 在水平 0.05下检验假设
H0 : X 的概率密度
f
(
x)
1
x
e
,
0,
x 0, x 0.
由于在 H0 中参数 未具体给出, 故先估计 .
由最大似然估计法得 ˆ x 2231 13.77,
A5 :19.5 x 24.5 10
A6 : 24.5 x 29.5 8
A7 : 29.5 x 34.5 6
A8 : 34.5 x 39.5 A9 : 39.5 x
6
8
pˆ i
npˆ i
fi2 / npˆi
0.2788 45.1656
55.3519
0.2196 35.5752
27.0132
A7 :154.5 x
npˆ i
0.73
4.36 5.09
14.72
26.21
23.61
11.22
3.15 14.37
fi2 / npˆi
4.91
6.79 41.55 24.40 10.02 =87.67
第八章__假设检验(分布拟合检验)
2 0.05
(1)
=3.841
由于统计量 2的实测值
=2 0.4158<3.841，
未落入否定域.
故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.
这些试验及其它一些试验，都显 示孟德尔的3: 1理论与实际是符合的. 这本身就是统计方法在科学中的一项 重要应用.
用于客观地评价理论上的某个结论是否 与观察结果相符，以作为该理论是否站 得住脚的印证.
Σ
fi
pˆ i
npˆ i
50 0.2788 45.1656
npˆ i fi (npˆi fi )2 / npˆi
-4.8344 0.5175
31 0.2196 35.5752
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.5752 0.5884
26 0.1527 24.7374
-1.2626 0.0644
17 0.1062 17.2044
按 =0.05，自由度为4-1-1=2查 2 分布表得
2 0.05
(2)=5.991
由于统计量 2 的实测值
2=2.43<5.991，
未落入否定域.
故认为每年发生战争的次数X服从 参数为0.69的泊松分布.
例2. 我们以遗传学上的一项伟大发现为 例说明统计方法在研究自然界和人类社会的规 律性时，是起着积极的、主动的作用.
第八章 假设检验(续)
§4. 分布拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布为 正态时，关于其中未知参数的假设检验问 题.
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例1. 从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计,这432年间共爆发了299次战争, 数据如下:
第八章 假设检验
(一)问题的提出
例1.1 体重指数BMI是目前国际上常用的衡量人体胖 瘦程度以及是否健康的一个标准. 专家指出, 健康 成年人的BMI 取值应在 18.55- 24.99 之间.某种 减肥药广告宣称, 连续使用该种减肥药一个星期便 可达到减肥的效果.为了检验其说法是否可靠,随机 抽取9位试验者(要求BMI 指数超过25,年龄在20-25 岁女生),
x 0.522 0.465, 依然拒绝H0;
那么，拒绝H0的最小的值 是多少？最小的显 著水平又是多少？
(一)问题的提出
先让每位女生记录没有服用减肥药前的体重, 然后 让每位女生服用该减肥药, 服药期间, 要求每位女 生保持正常的饮食习惯, 连续服用该减肥药1周后, 再次记录各自的体重.测得服减肥药前后的体重差 值X(服药前体重-服药后体重) (单位: kg): 1.5，0.6，-0.3，1.1，-0.8，0，2.2，-1.0，1.4 设X~N(μ,0.36), μ未知，根据目前的样本资料能否 认为该减肥药广告中的宣称是可靠的？
n i1
Xi
~
N(,
1 ), n
H0 : 0, H1 : 1( 0 ), 拒绝域：X c.
P1 (X c)
P0 (X c)
0
c
1
犯两类错误的 概率相互制约
11
例1.1中，犯第I类错误的概率
(c) P{拒绝H0|H0是真的} P{X c| 0}
P{ X c | 0} / n / n
例1.2 一种饼干的包装盒上标注净重200g，假 设包装盒的重量为定值，且设饼干净重服从N (μ,σ2), μ, σ2均未知.现从货架上取来3盒，称 得毛重(单位：g)为 233，215，221，根据这 些数据是否可以认为这种包装饼干的标准差超 过6g？
概率论与数理统计第八章假设检验
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
《概率论与数理统计》课件第八章 假设检验
概率论GL8.3
第八章 假设检验
§8.3 分布拟合检验
概 率 进行讨论的。在实际应用中，总体分布常常是未知的， 论 与 所以要对总体分布的假设进行检验，这就是分布拟合 数 2 检验法。 检验．本节仅介绍 理 统 计
上节中各检验法都是在总体分布形式为已知的前提下
8.3.1 离散型情形
26 11
0.194 0.163
19.4 16.3
6.6 -5.3
2.245 1.723
9
0.114 0.069
11.4 6.9
-2.4 2.1
0.505 0.639
概 率 论 与 数 理 统 计
9
2 1
2 1 0
0.036 0.017
0.007 0.003 0.002
3.6 1.7
0.7 0.3 0.2 6.2815 -0.5 0.0385
故在水平 0.05 下接受 H 0 ，即认为样本来自泊松分布，
也就是说认为理论上的结合是符合实际的。
概 率 论 与 数 理 统 计
例2 研究混凝土抗压强度 X 的分布，已测得 200 件混凝土试件的抗压强度以分组的形式列如下表 （1kgf=9.8N）:
j
压强区间kgf/cm2 190～200 200～210 210～220 220～230 230～240 240～250
频率逐渐稳定在 p j 的附近,它们之间的差异,在统计意义 下将越来越小。
所以，样本中出现 j 的频数 n j 和理论频数 np j 之间
概 率 皮尔逊（Pearson）提出的使用统计量 论 r ( n np ) 2 与 j 2 j 数 np j j 1 理 一般来说， 统 来衡量实际频数 n j 与理论频数 np j 的差异程度。 计 若 H 0 为真，且实验的次数又是足够多的,则这种差异即 2
概率统计简明教程 第八章 假设检验
255第八章 假设检验统计推断的另一个问题是假设检验，即在总体的分布未知或总体的分布形式已知但参数未知的情况下，为推断总体的某些性质，提出关于总体的某种假设，然后根据抽样得到的样本观测值，运用统计分析的方法，对所提的假设作出接受还是拒绝的决策，这一决策的过程称之为假设检验.假设检验分为参数假设检验和非参数假设检验,仅涉及总体分布的未知参数的假设检验称为参数假设检验,不同于参数假设检验的称作非参数假设检验.本章介绍假设检验的基本概念以及正态总体参数的显著性检验.§1 假设检验的基本概念1.1假设检验的思想与方法下面我们通过例子说明假设检验的基本思想和方法. 例1．1 某化肥厂用自动打包机包装化肥,其均值为100kg,根据经验知每包净重X (单位: kg)服从正态分布，标准差为1 kg.某日为检验自动打包机工作是否正常,随机地抽取9包,重量如下:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5 试问这一天自动打包机工作是否正常?本例的问题是如何根据样本值来判断自动打包机是否工作正常,即要看总体均值μ是否为100kg.为此,我们给出假设0:100H μ=现用样本值来检验假设0H 是否成立, 0H 成立意味着自动打包机工作正常,否则认为自动打包机工作不正常.在假设检验问题中,我们把与总体有关的假设称之为统计假设,把待检验的假设称之为原假设,记为0H ,与原假设0H 相对应的假设称为备择假设,记为1H .本例中的备择假设为1:100H μ≠.用样本值来检验假设0H 成立,称为接受0H (即拒绝1H ),否则称为接受1H (即拒绝0H ).如何检验0:100H μ=成立与否?我们知道，样本均值X 是μ的无偏256估计,自然地希望用X 这一统计量来进行判断,在0H 为真的条件下,X 的观测值x 应在100附近,即100x -比较小,也就是说，要选取一个适当的常数k ,使得k ⎫≥⎬⎭是一个小概率事件.我们称这样的小概率为显著性水平,记为()01αα<<.一般地,α取0.10,0.05,0.01等.注意到当0H 为真时,统计量()0,1.X U N =（1.1）对于给定的显著性水平α,令 {}P U k P k α⎫≥=≥=⎬⎭， （1.2）于是/2k u α=.设统计量X U =的观测值为x u =,如果/2u u α≥,则意味着概率为α的小概率事件发生了,根据实际推断原理（一个小概率事件在一次试验中几乎不可能发生），我们拒绝0H ,否则接受0H . 在本例中,若取α=0.05, /20.025 1.96u u α==,0.6 1.96μ===<，因此，接受原假设0H ,即自动打包机工作正常.从本例中可以看出, 假设检验的基本思想是：为验证原假设0H 是否成立,我们首先假定0H 是成立的,然后在0H 成立的条件下,利用观测到的样本提供的信息,如果能导致一个不合理的现象出现,即一个概率很小的事件在一次试验中发生了，我们有理由认为事先的假定是不正确的, 从而拒绝2570H ，因为实际推断原理认为,一个小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的.如果没有出现不合理的现象,则样本提供的信息并不能否定事先假定的正确性, 从而我们没有理由拒绝0H ，即接受0H .为了利用提供的信息,我们需要适当地构造一个统计量,称之为检验统计量，如 例1.1的检验统计量是X U =.利用检验统计量,我们可以确定一个由小概率事件对应的检验统计量的取值范围,称这一范围为假设检验的拒绝域,记为W ，如例1.1的拒绝域为{}/2W u αμ=≥.当u W ∈时,我们拒绝0H .当u W ∉时, 接受0H .1.2 假设检验的两类错误由于假设检验是依据实际推断原理和一个样本值作出判断的,因此，所作的判断可以会出现错误.如原假设0H 客观上是真的,我们仍有可能以α的概率作出拒绝0H 的判断,从而犯了“弃真”的错误,这种错误称为第一类错误, 犯这个错误的概率不超过给定的显著性水平α,为简单起见，记{}00P H H α=拒绝成立. （1.3）另外，当原假设0H 客观上是假的,由于随机性而接受0H ,这就犯了“取伪”的错误,这种错误称为第二类错误. 犯第二类错误的概率记为b ，即{}01P H H β=接受成立. （1.4）在检验一个假设时，人们总是希望犯这两类错误的概率都尽量小.但当样本容量n 确定后,不可能同时做到犯这两类错误的概率都很小,因此, 通常我们的做法是利用事前给定的显著性水平α来限制第一类错误,力求使犯第二类错误的概率b 尽量小,这类假设检验称为显著性检验.为明确起见，我们把两类错误列于表8.1中258表8.1 假设检验的两类错误1.3 假设检验的步骤从例1.1中可以看出假设检验的一般步骤为:(1)根据实际问题提出原假设0H 和备择假设1H ; (2)确定检验统计量Z ;(3)对于给定的显著性水平α,并在0H 为真的假定下利用检验统计量确定拒绝域W ;(4)由样本值算出检验统计量的观测值z ,当z W ∈时，拒绝0H .当z W ∉时, 接受0H .需要说明的是：原假设和备择假设的建立主要根据具体问题来决定.通常把没有把握不能轻易肯定的命题作为备择假设，而把没有充分理由不能轻易否定的命题作为原假设.在对参数θ的假设检验中,形如00:H θθ=,10:H θθ≠的假设检验称为双边检验.在实际问题中,有些被检验的参数，如电子元件的寿命越大越好,而一些指标如原材料的消耗越低越好,因此，需要讨论如下形式的假设检验:00:H θθ≤, 10:H θθ> （1.5）或00:H θθ≥, 10:H θθ< （1.6）我们称(1.5)为右边检验, (1.6)为左边检验; 左边检验和右边检验统称为单边检验.259§2 单个正态总体的均值与方差的假设检验设12,,,n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的一个样本, 样本均值为X ,样本方差为2S .2.1 单个正态总体均值的假设检验1.2σ已知时,关于μ的假设检验 为检验假设00:H μμ=, 10:H μμ≠. 构造检验统计量X U =(0,1)U N . （2.1）当0H 为真时, 检验统计量U的观测值x u =,故对给定的显著性水平α,令/2P u αα⎫≥=⎬⎭得拒绝域为{}/2W u u α=≥. （2.2）当U 的观测值满足/2u u α≥,则拒绝0H ,即认为均值μ与0μ有显著差异；否则接受0H ,即认为μ与0μ无显著差异. 对假设00:H μμ≤, 10:H μμ>. 取检验统计量为X U =（2.3）260可得此假设检验的拒绝域为{}W u u α=≥ . （2.4）类似地,我们可得假设检验00:H μμ≥, 10:H μμ< 的拒绝域为{}W u u α=≤-.（2.5） 在上述检验中,我们都用到统计量X U =来确定检验的拒绝域,这种方法称为U 检验.例 2.1 设某厂生产的一种电子元件的寿命（单位：小时）(,40000)X N μ ,从过去较长一段时间的生产情况来看，此电子元件的平均寿命不超过1500小时，现在采用新工艺后，在所生产的电子元件中抽取25只，测得平均寿命x =1675小时.问采用新工艺后，电子元件的寿命是否有显著提高(显著性水平α=0.05)？解: 建立假设0:1500H μ≤, 1:1500H μ>.已知,25,200n σ==, x =1675, α=0.05,0.05 1.645u u α==,U 的观测值为0.054.375 1.645x u u ==>=,因此，拒绝0H ，接受1H ,即认为采用新工艺后，电子元件的寿命有显著提高.2.2σ未知时,关于μ的假设检验作单个总体均值的U 检验，要求总体标准差已知，但在实际应用中，2σ往往并不知道，我们自然想到用2σ的无偏估计2S代替它，构造检验统计量为()1XT t n=-. （2.6）考虑假设00:Hμμ=,10:Hμμ≠.对给定的显著性水平α,有()/21P t nαα⎫≥-=⎬⎭，（2.7）因此，检验的拒绝域为(){}/21W t t nα=≥-. （2.8）当检验统计量T的观测值xt=()/21t t nα≥-,则拒绝H,即认为均值μ与μ有显著差异,否则接受H,即认为μ与μ无显著差异.类似地,假设检验00:Hμμ≥,10:Hμμ<的拒绝域为(){}1W t t nα=≤--. （2.9）假设检验00:Hμμ≤,10:Hμμ>的拒绝域为(){}1W t t nα=≥-. （2.10）称上述检验方法为t检验.例2.2 健康成年男子脉搏平均为72次/分，高考体检时，某校参加体检的26名男生的脉搏平均为74.2次/分，标准差为6.2次/分，问此26名男生每分钟脉搏次数与一般成年男子有无显著差异 (α=0.05) ？解:建立假设:72Hμ=,1:72Hμ≠.261262已知26,74.2, 6.2n x s ===, α=0.05,()()/20.0252525 2.06t t α==, 计算T的观测值： 1.81x t ==,由于 |1.81|＜2.06 ，故接受0H ,即认为此26名男生每分钟脉搏次数与一般成年男子无显著差别.2.2 单个正态总体方差的假设检验1. μ已知时,关于2σ的假设检验为检验假设2200:H σσ=, 2210:H σσ≠.选取检验统计量为()222211()nii Xn χμχσ==-∑ ，(2.11) 当0H 为真时, 检验统计量2χ不应偏大或偏小,即对给定显著性水平α,有()(){}2212P k k χχα≤⋃≥=.一般地,取()()2211/22/2,k n k n ααχχ-==，其拒绝域为()(){}22221/2/2W n n ααχχχχ-=≤≥或.类似地,我们可以讨论左边检验2200:H σσ≥, 2210:H σσ< 和右边检验2200:H σσ≤, 2210:H σσ> 的拒绝域(见表8.2).2. μ未知时,关于2σ的假设检验 欲检验假设2200:H σσ=, 2210:H σσ≠. 选取检验统计量为263()()222211n S n χχσ-=- (2.12) 当0H 为真时, 检验统计量2χ不应偏大或偏小,即对给定显著性水平α,有()(){}2212P k k χχα≤⋃≥=.一般地,取()()2211/22/21,1k n k n ααχχ-=-=-.因此,拒绝域为()(){}22221/2/211W n n ααχχχχ-=≤-≥-或 (2.13)以上的检验方法称为2χ检验.例 2.3 某厂生产一种电子产品,此产品的某个指标服从正态分布()2,N μσ,现从中抽取容量为8n =的一个样本,测得样本均值61.125x =,样本方差293.268s =.取显著性水平0.05α=,试就60μ=和μ未知这两种情况检验假设228σ=. 解: 检验假设222201:8,:8H H σσ=≠.(1) μ未知,取()2221n S χσ-=为检验统计量,由293.268s =,算出()228193.26810.20128χ-⨯==,又()()221/20.97517 1.690n αχχ--==和()()22/20.0251716.013n αχχ-==,即10.2012不在拒绝域内,故接受220:8H σ=.(2) μ已知,取222101()ni i X χμσ==-∑为检验统计量. ()()221/20.97582,180n αχχ-==,()()22/20.025817.535n αχχ==,264注意到，2222111()(()())()()n nniii i i i x xx x x x n x μμμ===-=-+-=-+-∑∑∑和221()(1)nii x x n s =-=-∑.由61.125x =和293.268s =，可算出检验统计量的观测值为822211(60)10.32818i i x χ==-=∑,即它不在拒绝域内,故接受220:8H σ=.§3 两个正态总体均值差与方差比的假设检验设()211,X N μσ ,()222,Y N μσ ,从总体X 和Y 中,分别独立地取出样本12,,,n X X X 和12,,,m Y Y Y ,样本均值依次记为X 和Y ,样本方差依次记为21S 和22S .3.1 两个正态总体均值差的假设检验1. 21σ与22σ已知时, 关于12μμ-的假设检验现检验假设012:H μμδ-=, 112:H μμδ-≠. 由第六章定理2.2可知,在0H 成立的条件下,检验统计量()0,1X Y U N =. (3.1)给定显著性水平α,令/2P u αα⎫⎪≥=⎬⎪⎭,可得拒绝域为{}/2W αμμ=≥. （3.2）常用的情况是0δ=,即原假设为012:H μμ=.265例3.1 某苗圃采用两种育苗方案作育苗试验,已知苗高服从正态分布.在两组育苗试验中,苗高的标准差分别为1218,20σσ==.现都取60株苗作为样本,测得样本均值分别为59.34x =厘米和49.16y =厘米.取显著性水平为0.05α=,试判断这两种育苗方案对育苗的高度有无显著性影响.解:建立假设012:H μμ=, 112:H μμ≠. 由题中给出的数据,我们算出统计量X YU =的观测值为2.93u ==另, 0.05α=,/20.025 1.96u u α==,因 2.93 1.96u =>,故拒绝012:H μμ=,认为这两种育苗方案对育苗的高度有显著性影响.2． 21σ与22σ未知但22212σσσ==时, 关于12μμ-的假设检验现检验假设012:H μμδ-=, 112:H μμδ-≠.由第六章定理4.2可知,在0H 成立的条件下,检验统计量()2X Y T t n m =+- ，（3.3） 其中, ()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-.给定显著性水平α,使得(){}/22P T t n m αα≥+-=.得到拒绝域为(){}/22W t t n m α=≥+- . （3.4）266类似地,我们可得关于12μμ-的单边假设检验的拒绝域(见表8.2). 例 3.2 在针织品漂白工艺中,要考虑温度对针织品断裂强力的影响,为比较70℃和80℃的影响有无显著性差异.在这两个温度下,分别重复做了8次试验,得到断裂强力的数据如下(单位:牛顿)70℃: 20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 21.0, 21.2, 19.5 80℃: 17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.2, 19.1由长期生产的数据可知, 针织品断裂强力服从正态分布,且方差不变,问这两种温度的断裂强力有无显著差异(显著性水平0.05α=). 解:设X ,Y 分别表示70℃和80℃的断裂强力,因此()21,X N μσ ，()22,Y N μσ .建立假设012:H μμ=, 112:H μμ≠.取X YT =为检验统计量,8n m ==,由题中给出的数据可以计算:20.4,19.4,0.928w x y s ===,检验统计量的观测值为 2.16x yt ==.又()()/20.025214 2.1450t n m t α+-==,因2.16>2.1450,故拒绝原假设,即认为这两种温度的断裂强力有显著差异.3.2 两个正态总体方差比的假设检验1． 1μ和2μ已知时,检验假设2222012112:,:H H σσσσ=≠现检验假设2222012112:,:H H σσσσ=≠.由第六章的定理5.1可知，在0H 成立的条件下取检验统计量267211221()(,)()ni i mi i m X F F n m n Y μμ==-=-∑∑ ， （3.5）给定显著性水平α,使()(){}12P F k F k α≤⋃≥=.一般地,取()()11/22/2,,,k F n m k F n m αα-==,注意到()()1/2/21,,F n m F m n αα-=.因此拒绝域为()()/2/21,,W F F F n m F m n αα⎧⎫⎪⎪=≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或 . （3.6）2． 1μ和2μ未知时,检验假设2222012112:,:H H σσσσ=≠ 现检验假设2222012112:,:H H σσσσ=≠.由第六章的定理5.2可知，在0H 成立的条件下取检验统计量2122(1,1)S F F n m S =-- ， （3.7）给定显著性水平α,使()(){}12P F k F k α≤⋃≥=.一般地,取()()11/22/21,1,1,1k F n m k F n m αα-=--=--.拒绝域为 ()()/2/211,11,1W F F F n m F m n αα⎧⎫⎪⎪=≤≥--⎨⎬--⎪⎪⎩⎭或. （3.8）上述检验方法称为F 检验.例3.3 根据本节例3.2的数据，检验70℃和80℃时针织品断裂强力的方差是否相等(显著性水平为0.05α=)?解:建立假设2222012112:,:H H σσσσ=≠.268由数据,检验统计量的观测值为21220.8857 1.070.8286s F s ===，又()()/20.0251,17,7 4.99,F n m F α--==()()/20.0251110.201,17,7 4.99F m n F α==≈--，显然有()()210.02520.025210.20 1.07 4.997,77,7s F F s =<=<=,因此，接受0H ,即认为70℃和80℃时针织品断裂强力的方差是相等的.表8.2 正态总体参数的显著性检验列表(显著性水平为α)269270习题八1．在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2(4.55,)X N σ .一日测得5炉铁水含碳量如下：4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 2．根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,,x x .经计算得知15148ii x==∑, 1521156.26i i x ==∑.试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布） 3．某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ， 5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸？4．某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台271布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？5． 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05） 6．某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到51124ii x==∑, 5213139i i x ==∑.试问这批套筒直径的方差与规定的27σ=有无显著差别？（显著性水平0.01α=）7.甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布211(,)N μσ、222(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为19,,y y ，经计算得知：61204.6ii x==∑, 6216978.9i i x ==∑91370.8ii y==∑ 92115280.2i i y ==∑问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？8.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？9.某项考试要求成绩的标准为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符合要求（显著性水平α=0.05）?10.某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平α=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平α=0.1）？【提供者：路磊】272。
管理定量分析课程第8章：假设检验
判决
无罪 有罪
陪审团审判
真实的情况
无罪
有罪
判决正确
判决错误
判决错误
判决正确
结论
未拒绝原假设 拒绝原假设
假设检验 总体参数的实际情况
原假设为真 备择假设为真 结论正确 第二类错误 第一类错误 结论正确
11
假设检验中犯Ⅰ型错误的概率，称为显著性水平（level of significance），即指当零假设实际上是正确时，检验统计量落
7
又如：教育部要检验2012年录取的大学新生平均身高是否 达到了170cm标准，这样需要提出原假设（H0）：2012
年大学新生（总体）的平均身高（µ ）是170cm。为了检
验这个假设是否正确，需要根据随机取样的原则，从2012 年的大学新生总体中选取样本并计算样本的平均高度，以 此来检验原假设的正确性。
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假设检验一般分为参数假设检验和非参数假设检验两种类型。参 数假设检验对变量的要求较为严格，适合于等距变量和比率变量 ，非参数假设检验对变量的要求较为自由，既适合于等距变量和 比率变量，也适用于类别变量和顺序变量。
变量测量层次
分类（nominal）变 量
数学性（interval）变量
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一、假设与假设检验
假设是科学研究中广泛应用的方法，它是根据已知理 论与事实对研究对象所作的假定性说明。统计学中的 假设一般专指用统计学术语对总体参数所做的假定性 说明。在进行任何一项研究时，都需要根据已有的理 论和经验事先对研究结果作出一种预想的假设。这种 假设叫科学假设，在统计学上称为研究假设。对这种 研究假设进行证实或证伪的过程叫假设检验。
非参数检验是一种与总体分布状况无关的检验方法，它不 依赖于总体分布的形式。