7.4 似然比检验与分布拟合检验解析
数据分布拟合
数据分布拟合检验的数学模型摘 要假设检验的基本思想，讨论当总体分布为正态时，关于其中未知参数的假设检验问题，可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设 。
一般的各种检验法, 是在总体分布类型已知的情况下, 对其中的未知参数进行检验, 这类统计检验法统称为参数检验. 在实际问题中, 有时我们并不能确切预知总体服从何种分布, 这时就需要根据来自总体的样本对总体的分布进行推断, 以判断总体服从何种分布。
这类统计检验称为非参数检验. 解决这类问题的工具之一是英国统计学家K. 皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的——2χ检验法。
关键词：数据检验 分布拟合 2χ检验法一、问题重述①、问题背景：自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震计162次，统计如下：相继两次地震记录表：86681017263150403935343029252420191514109540出现的频率间隔天数--------x 试检验相继两次地震间隔的天数X 服从指数分布(=α0.05)。
在概率论中，大家对泊松分布产生的一般条件已有所了解，容易想到，每年的次数，可以用一个泊松随机变量来近似描述。
也就是说，我们可以假设每年爆发战争次数分布X 近似泊松分布。
现在的问题是：上面的数据能否证实X 具有泊松分布的假设是正确的？②、检验法的基本思想检验法是在总体X 的分布未知时, 根据来自总体的样本, 检验总体分布的假设的一2χ种检验方法。
具体进行检验时，先提出原假设:0H : 总体X 的分布函数为)(x F然后根据样本经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设。
这种检验通常称作拟合优度检验. 它是一种非参数检验. 一般地, 我们总是根据样本观察值用直方图和经验分布函数, 推断出总体可能服从的分布, 然后作检验.1、 通过提出的方案和计算来决定给出数据分布拟合检验的数学模型的的情况。
尼曼-皮尔逊定理：描述概率分布的似然度检验
尼曼-皮尔逊定理：描述概率分布的似然度检验引言尼曼-皮尔逊定理是一种描述概率分布的似然度检验方法。
在统计学中，似然度检验用于判断一个假设模型在给定数据下的拟合程度。
这种方法可用于各种领域，包括医学、社会科学和工程学等。
本文将介绍尼曼-皮尔逊定理的基本原理、应用案例和相关扩展。
第一章尼曼-皮尔逊定理的基本原理1.1 似然度检验的基本概念似然度检验是一种用于判断假设模型与观测数据之间拟合程度的统计方法。
在似然度检验中，我们假设一个概率分布模型，并使用观测数据计算该模型下观测到这些数据的概率。
然后，我们将计算的概率与设定的显著性水平进行比较，以确定模型是否适合观测数据。
1.2 尼曼-皮尔逊定理的提出尼曼-皮尔逊定理由统计学家尼曼和皮尔逊在20世纪30年代提出。
他们的目标是开发一种在给定样本大小的情况下，使得错误类型Ⅰ和错误类型Ⅱ的概率最小的似然度检验方法。
根据尼曼-皮尔逊定理，我们可以构建一种检验方法，该方法在给定样本大小时最小化错误类型Ⅱ的概率，并使错误类型Ⅰ的概率不超过事先设定的显著性水平。
第二章尼曼-皮尔逊定理的应用案例2.1 医学研究中的应用尼曼-皮尔逊定理在医学研究中有广泛的应用。
例如，假设我们想要研究一种新药的疗效。
我们可以将新药的疗效与已有的药物进行比较，通过比较不同药物下患者的治愈率来判断新药是否有效。
在这种情况下，我们可以使用尼曼-皮尔逊定理计算两种药物在给定样本大小下的似然度，并进行假设检验。
2.2 社会科学研究中的应用尼曼-皮尔逊定理也可以在社会科学研究中进行应用。
例如，我们可能对某个地区的教育水平感兴趣，并想知道是否存在性别、年龄或种族等因素对教育水平的影响。
我们可以使用尼曼-皮尔逊定理对不同因素下的教育水平进行似然度比较，以确定哪些因素对教育水平有显著影响。
2.3 工程学中的应用在工程学领域，尼曼-皮尔逊定理可以帮助工程师评估一种产品的质量。
例如，假设我们要评估一种电池的寿命，并想知道该电池是否符合规定的标准。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第7~8章【圣才出品】
，xn；
)
0
2．分类数据的χ2 拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在 H0 成立时，对统计量
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
有 2
L 2 (r 1) 。
根据定理，采取显著性水平为α 的显著性检验：检验统计量为：
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
，拒绝域为W
{ 2
2 1
(r
1)} 。
五、正态性检验 1．W 检验 W 统计量
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W
n
(ai
i 1
a
)( x ( i )
x
)
2
n
n
(ai a )2 (x(i) x )2
i 1
i 1
拒绝域{W≤Wa}。
2．比率 p 的检验（见表 7-1-2）
表 7-1-2 比率 p 的检验
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四、似然比检验与分布拟合检验
1．似然比检验的思想
假设的似然比
sup p(x1，K ，xn； )
( x1，K
，xn
)
sup
p( x1，K
＋（n）}。
7.2 课后习题详解
习题 7.1
1．设 x1，…，xn 是来自 N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
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H0：μ＝2 vs H1：μ＝3
若检验由拒绝域为 W {x 2.6}确定。
统计推断中似然比检验法的优势分析
统计推断中似然比检验法的优势分析在统计推断中，似然比检验法是一种常用的方法，用于比较两个或多个假设关于总体参数的准确度。
本文将对似然比检验法的优势进行分析，并探讨其在实际应用中的价值。
一、似然比检验法的基本原理似然比检验法是基于似然函数的原理进行的，主要包括以下几个步骤：1. 建立零假设（H0）和备择假设（H1）；2. 计算似然函数的值；3. 计算似然比（likelihood ratio）；4. 根据似然比的大小，进行统计显著性检验。
似然比检验法的主要优势在于它不仅考虑了样本的统计特征，还对不同假设进行了比较，从而得出相对合理的结论。
二、似然比检验法的优势分析1. 灵活性和适用范围广似然比检验法适用于各类统计问题，无论是单总体的均值检验、两总体均值差异检验，还是多总体方差分析等，都可以使用似然比检验法进行推断。
这种灵活性使得似然比检验法成为一种通用且实用的统计方法。
2. 较强的数学基础支撑似然比检验法是以似然函数为基础的推断方法，借助了概率论和数理统计学的理论知识进行分析。
通过最大化似然函数，可以得到参数的极大似然估计值，从而进行假设检验。
这种数学基础的支撑使得似然比检验法具有较高的可信度和准确性。
3. 较强的假设比较能力似然比检验法的核心在于比较两个或多个假设，从而确定最合理的解释。
通过计算似然比，可以比较不同假设的拟合程度，进而做出统计决策。
这种假设比较的能力使得似然比检验法在实际应用中具有重要的意义，能够为决策提供科学的依据。
4. 适应性和稳健性较强似然比检验法不依赖于总体的分布形式，对模型的指定要求较低，能够处理大部分实际问题。
同时，似然比检验法对样本量的要求也相对较小，适应性较强。
这使得似然比检验法能够在实践中灵活应用，并具有较好的稳健性。
三、似然比检验法的实际应用似然比检验法在各个领域都得到了广泛的应用。
以医学研究为例，似然比检验法可以用来比较两种不同的治疗方法在患者中的效果差异，从而确定最佳治疗方案。
7.4似然比检验与分布拟合检验
4 July 2024
第七章 假设检验
第23页
解：这是一个典型的分布拟合优度检验，总体 共有6类，其发生概率分别为0.1、0.2、0.3、 0.2、0.1和0.1，选用如下卡方检验统计量
2 k ni npi 2 ，
i 1
npi
检验拒绝域为:
这里k=6，
2
2 1
5
,
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第七章 假设检验
第2页
当 ( x) 较大时，拒绝原假设 H0 ， 否则，接受 H0 ，
这种检验方法称为似然比检验。
例1 对正态总体，方差已知，检验问题
H0 : 0 , H1 : 1 (1 0 )
似然比为
(x)
p( x1,, xn , 1 ) p( x1,, x, 0 )
1
2
n exp
1
2 2
n
( xi
i 1
1
)2
1
2
n exp
1
2 2
n
( xi
i 1
0
)2
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第七章 假设检验
exp
1
2 2
n
[( xi
i 1
1 )2
(xi
0
)2
]
exp
1 2
0
2
n
(2xi
i 1
1 0 )
exp
n ( 1
0 )
x
0
n
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第七章 假设检验
第10页
可得临界值为 c1 F1 (1, n 1)
这样检验统计量也可以为
似然比检验卡方分布表
似然比检验卡方分布表（原创实用版）目录1.似然比检验概述2.卡方分布表介绍3.似然比检验与卡方分布表的关系4.如何使用似然比检验卡方分布表5.实际应用案例正文1.似然比检验概述似然比检验（Likelihood Ratio Test）是一种用于检验两个或多个样本分布是否存在显著差异的统计方法。
该方法基于似然函数，通过比较样本观测值与理论概率之间的似然比，判断样本之间是否存在显著差异。
2.卡方分布表介绍卡方分布（Chi-square distribution）是一种用于描述独立性检验的统计分布。
在进行似然比检验时，需要计算观测值与理论概率之间的卡方统计量，并根据卡方分布表查找相应的临界值，以判断样本之间是否存在显著差异。
3.似然比检验与卡方分布表的关系似然比检验需要借助卡方分布表来完成。
在进行似然比检验时，首先计算观测值与理论概率之间的似然比，然后根据卡方分布表查找相应的临界值。
若似然比小于临界值，则不能拒绝原假设，认为样本之间不存在显著差异；若似然比大于临界值，则可以拒绝原假设，认为样本之间存在显著差异。
4.如何使用似然比检验卡方分布表使用似然比检验卡方分布表的步骤如下：（1）根据样本数据计算观测值与理论概率之间的似然比；（2）查找卡方分布表，根据自由度和显著性水平（一般取 0.05 或0.01）确定临界值；（3）将计算得到的似然比与临界值进行比较。
若似然比小于临界值，则不能拒绝原假设；若似然比大于临界值，则可以拒绝原假设。
5.实际应用案例假设我们有两个样本数据集 A 和 B，分别表示两种不同产品的销售数据。
我们想要检验这两个样本的分布是否存在显著差异。
首先，我们需要根据样本数据计算观测值与理论概率之间的似然比。
然后，根据卡方分布表查找相应的临界值。
分布拟合检验
可建立统计假设
1 1 1 1 H 0 : p1 = , p2 = , p3 = , p4 = p5 = 2 4 8 16 依题意n=100,k=5,因此
(ν i − npi ) χ =∑ = 3.2 npi i =1
2 5 2
给定 α = 0.05, 查表 χ 0.95 ( 4) = 9.488 由于 χ < χ 0.95 ( 4)
H 0 : F ( x ) = F0 ( x); H1 : F ( x ) ≠ F0 ( x)
这是分布检验问题，属于非参数假设检验 问题。从解决实际问题的角度来看，在获 得样本 (ξ1,L, ξn ) 的观察值后，应设法找 到一个分布函数，把它作为总体的分布是 与观察值相吻合的。这就是所谓的分布拟 合问题。因此，检验总体分布是否是某一 个确定的分布，也称为分布拟合检验。很 明显，分布拟合问题是难度很大的问题， 2 因为已知的东西太少，下面只介绍 χ 拟合 检验法，但不给出理论证明。
2 2
2
故不能拒绝原假设 H 0 ，即认为黑盒中白球与 黑球的个数相等。
例 根据63年的观察资料，上海每年夏季（5月 至9月）发生的暴雨的天数记录如下：
暴雨 天数
0 4
1 8
2
3
4
5
6 2
7 1
8 1
9 0
年 份 数
14 19 10 4
能否由此表明上海夏季发生暴雨的天数服从泊松 分布？ 解：总体 ξ 是上海夏季发生暴雨的天数。待检 验的假设是
ˆ i = F0 ( a i ; θˆ1 , L , θˆr ) − F0 ( a i −1 ; θˆ1 , L , θˆr ) p
令
ˆi ) (ν i − n p νi =∑ −n χ =∑ ˆi ˆi np i =1 i =1 n p
检验的似然比
似然比、沃尔德及拉格朗日乘数检验法1 引子1.1 问题的提出在计量经济模型检验中，t检验和F检验是一级检验：t检验的原假设为0:0(1,2,,) jH j kb==L，检验单个回归系数是否为零；F检验的原假设为12023:0k H b b b ====L ，模型的拟合优度检验。
那么当我们希望检验023:2H b b = 023:1H b b +=023:2H b b =和241b b +=0234:0H b b b === 0234:H b b b =应该如何做呢？有三种常用的检验方法，即似然比（LR ）检验，沃尔德（W）检验和拉格朗日（lagrange）乘数（LM）检验。
这三种检验所用统计量都是基于极大似然估计法计算。
LR 检验由内曼—皮尔逊（Neyman-Pearson 1928）提出，只适用于对线性约束的检验。
W检验和LM检验既适用于对线性约束条件的检验，也适用于对非线性约束条件的检验。
计量经济学中的专门软件Eviews模型的OUTPUT窗口左下角有一个统计量Log likelihood是什么，对模型的检验有何用处呢？342 似然比检验2.1 统计量的构造似然比检验，即两个似然函数值之比构成的检验： —原假设成立条件下的似然函数值与任意情况下的似然函数之比。
用统计的语言来描述为：设总体的密度函数为(,)f x θ，∈θΘ。
()1,,n X X '=X 为来自此总体的样本，对于假设0010::H H ∈↔∉θΘθΘ ，称511(,,,)(,)nn i i L X X f x ==∏θθ为其似然函数。
称011max (,)max (,)ni i ni i f x f x ∈Θ=∈Θ=Λ=∏∏θθθθ为似然比。
（1）（1）式统计量的分子是在0H 成立下参数的极大似然函数值，因此是零假设的最佳表示。
而分母则表示在θ在任意情况下的极大似然函数值。
比值的最大极限值为1。
其值靠近1，说明局部的最大和全局最大近似，零假设成立可能性就越大。
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的单调增函数，故由等式
P{ ( x ) c | H 0成立} P{U c1 | H 0成立}
可得 c1 u1 。 这样检验统计量可取为
U x 0
n
拒绝域为
W {U : U u1 }
这是通常的单边 u 检验。
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第七章 假设检验
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对一般的假设检验问题
H 0 : 0 , H1 : 1 定义似然比检验统计量为 sup{ p( x1 , , xn , )} ( x) sup { p( x1 , , xn , )}
0
检验的拒绝域为 其中临界值 c 可由
W {x : ( x) c}
令
U
x 0
,
则
n ( 1 0 ) n(1 0 )2 ( x ) exp U 2 2
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n
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2 , , 因为 0 1 均已知且 1 0 ， 所以 ( x ) 是 U
第七章 假设检验
第1页
第七章 假设检验
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4
§7.5
假设检验的基本思想与概念 正态总体参数假设检验 其它分布参数的假设检验 似然比检验与分布拟合检验
正态性检验
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第七章 假设检验
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§7.4 似然比检验与分布拟合检验
7.4.1 似然比检验 设 x1 , x2 , , xn 是来自密度函数（或分布率） 为 p( x , ) ( ) 的总体的简单样本， 考虑检验 问题：
n
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第七章 假设检验
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1 exp 2 2
[( xi 1 ) ( xi 0 ) ] i 1
n 2 2
1 0 n exp ( 2 xi 1 0 ) 2 i 1 2 n ( 1 0 ) x 0 n( 1 0 ) 2 exp 2 2 n
x 0 S n
n 2
当 H 0成立时， T
~ t (n 1)
且 ( x ) 是 | T | 单调增函数，因此由
P{ ( x) c | H 0成立} P{| T | c1 | H 0成立}
可得临界值为 c1 t 这样检验统计量为
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1
H 0 : 0 , H1 : 1 ( 1 0 )
似然比为
p( x1 , , xn , 1 ) ( x) p( x1 , , x , 0 )
1 2 1 2 1 n 2 ( x i 1 ) exp 2 2 i 1 n 1 n 2 ( xi 0 ) exp 2 2 i 1
2
(n 1)
x 0 T S n
第七章 假设检验
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拒绝域为
W {T :| T | t
1
2
(n 1)}
这是通常的双边 t 检验。 ( x 0 ) 2 当然也可令 F ，则 2 S n
F ( x) 1 n 1
n 2
当 H 0成立时， F ~ F (1, n 1) 且 ( x ) 是 F 单调增函数，因此由 P{ ( x) c | H 0成立} P{F c1 | H 0成立}
2 n( x 0 ) 2 ˆ0 1 2 2 (n 1) S ˆ n 2 n 2
n
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第七章 假设检验 x 0
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若令 T
S
n
，则
T2 ( x) 1 n 1
P{ ( x ) c | H 0成立}
确定。 下面也通过例子说明其具体应用。
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对正态总体，方差未知，检验问题
H 0 : 0 , H 1 : 0
似然比
( x)
sup{ p( x1 , , x n , )} sup{ p( x1 , , x n , )}
2
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当 0 已知时， 2 极大似然估计为
n 1 2 ˆ0 ( xi 0 ) 2 n i 1
所以似然比为
1 n 1 2 exp 2 ( xi x ) ˆ i 1 2 ˆ 2 ( x) n 1 1 n exp 2 ( xi 0 ) 2 2 ˆ 0 i 1 ˆ 2 0
H0 : 0 , H1 : 1 (1 0 )
一个比较直观且自然方法是考虑似然比 p( x1 , , xn ,1 ) ( x) p( x1 , , xn , 0 )
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第七章 假设检验
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当 ( x ) 较大时，拒绝原假设 H 0 ， 否则，接受 H 0 ， 这种检验方法称为似然比检验。 例1 对正态总体，方差已知，检验问题
0
这里
{( , 2 ), , 2 0}
0 {( 0 , 2 ), 2 0}
2
当 , 未知时，其极大似然估计分别为
ˆ x,
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1 n ˆ ( xi x ) 2 n i 1
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c1 F1 (1, n 1) 可得临界值为 这样检验统计量也可以为