多元一次不定方程的完整讲义和练习
二元 一次不定方程
知识要点和基本方法
1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程
2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x
解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为
?
?
?=+=k y k
x 38 其中k 为任意数 整数解问题：
例2． 求方程863=+y x 的整数解
解：因为)2(363y x y x +?=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解
定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c
例3． 求方程34104=+y x 的整数解
解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。 两边约去2后，得,1752=+y x 故5
217x
y -=
，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：
?
?
?+=+=n y m
x 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+?=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为???-=+=k
y k
x 2351（k 为任意整
数）
定理2。若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程
c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为 ?
?
?-=+=ak y y bk
x x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
解：由y x y x 3
5
41253-=?=+，所以当且仅当y 是3的倍数时，取,3=y 得
,133
5
4-=?-=x 即3,1=-=y x 是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为
??
?-=+-=k
y k
x 3351（k 为任意整数）
例5． 求方程3153=+y x 的整数解
解：由原方程得：312103531y y x y x ++
-=?-=
要使方程有整数解，3
1y
+必须为整数，取,2=y 得714103
1210=+-=++-=y
y x ，故2,7==y x 是原方程的一组解，因
此，原方程的所有整数解为?
??-=+=k y k
x 3257（k 为任意整数）
例6：若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，则蟋蟀和蜘蛛各有多少只？ 解：设有x 只蟋蟀只，蜘蛛y 只，则方程6x+8y=46，即3x+4y=23，3
423y
x -=
∴，变形为 3
2
7--
-=y y x ，,61<≤y 又y 为正整数，且24-y 能被3整除，2=∴y 或5=y ，把2=y ，5=y 代入得方程的正整数解为???==??
?==5
1
,25y x y x 例7：用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有多少种不同的买法？
解：设买面值为20分的邮票x 枚，面值为60分的邮票y 枚，则买面值为1元的邮票为)18(y x --枚，根据题意得1600)18(1006020=--++y x y x ，即52=+y x ， 由,2125≤?≥-=x x y 又212,12,1)25(18≤≤-∴-≥∴≥---x x x x ， 因此x 可取的正整数值为1，2；当1=x 时，3=y ,,1418=--y x 当2=x 时，
1518,1=--=y x y ，均符合
正整数解问题 例1． 求方程3153=+y x 的正整数解。 解：我们知道3153=+y x 的所有整数解为k k y k
x (3257?
?
?-=+=为任意整数）
故要求原方程的正整数解，只要使0,0>>y x 即可，所以???>->+0
32057k k 32
57<<-?k ，注意
到k 为整数，所以1,0-=k 得所有正整数解?
??==???==52
;27y x y x 例2． 求方程735-=-y x 的正整数解。
解：原方程可化为573-=y x ，即5
)
1(32++-=y x 其中4,1==y x 为原方程的一组整数
解，因此，原方程的所有整数解为???-=-=k
y k
x 5431（k 为任意整数）
令0,>>y x 得：31
54031
?>->-k k k （k 为整数） 3,2,1,0---=∴k 原方程可得无穷多组正整数解??
?-=-=k
y k
x 5431（ 3,2,1,0---=k ）
例3． 求方程12511=+y x 的正整数解。
解：如果方程有正整数解，则,1,1≥≥y x 因此16511511=+≥+y x 12>，∴这个方程无正整数解。
说明：一般地，若方程c by ax =+中，c b a b a >+>>,0.0，则这个方程无正整数解。 例4． 如果三个既约真分数
6
,4,32b
a 的分子都加上
b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。
解：由题意得
66
432=+++++b
b b a b ，整理得,64113=+b a 问题转化为求64113=+b a 的正整数解。31421b
b a ++-= ，不定方程有一组整数解?
??==214b a ∴它的所有整数解为
k k b k a (321114???-=+=为任意整数）令0,0>>b a ，得不等式组32
11140
3201114<<-???
?>->+k k k 整数1;0-=k 。因此方程有两组正整数解???==??
?==5
3;214b a b a ，4a 与6b
为既约真分数，所以
5,3==b a 是它的唯一解，因此所求的积为16
5
654332=??
例5． 今有36块砖，36人搬，男搬4块，女搬3块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有
多少人？
解：设男、女、小孩分别为z y x ,,人，又题意列方程组：??
?
??=++=++3621
3436z y x z y x ；消去z 得 7
5153657y
x y x -+=?=+；观察得3,300==y x 是方程的一个解；所以方程的通解为 ??
?-=+=t
y t
x 7353（t 为整数）。又依题意得120,90<<< 7309530<<-????<-<<+<∴t t t ，又t 为整数，故只有3,3,0==∴=y x t 则30=z 答：有男3人，女3人，小孩30人。 例6． 一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数相同（最多每车32人）。起初每车乘22人， 这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原来有多少辆汽车？这批游人有多少？ 解：设原有汽车x 辆，总人数为)1(-x n ，由已知条件：?? ? ??≤≥+=-322122)1(n x x x n n x x x n 1 23 221122-+=-+= ?是人数，应为正整数，231-∴x ，11=-∴x 或23， 45,2==∴n x 或23,24==n x ∴共有汽车24辆，游人共529人。 例7． 求方程1985)52)(12(=+-y x 的正整数解 解：39751985?= ，52,12+-y x 应是正整数，故有以下四种可能： ???==???==?? ?==????=+=-???=+=-???=+=-???=+=-9091 ;0199,1963152198512;198552112;55239712;39752512y x y x y x y x y x y x y x ? ? ?-==2993 y x 其中第二组和第四组都不是正整数解（舍） 例8：某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位？ 解：设剧场共有x 排座位，第一排有n 个座位，则第x 排有座位)1(-+x n 个，根据题意得 2 1 100010002)1(-- =?=?-++x x n x x n n ， n x ,均为正整数，所以x 为奇数，且x 是1000的正约数。1000,5210003 3∴?= 的正奇约数只有5，25，125，5,16=∴>x x 不合题意，又当125=x 时，(54628-=-=n 舍） 当25=x 时，28=n ，符合题意，答：剧场共有25排座位。 例：一个正整数与13的和为5的倍数，与13的差是6的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？ 解：由题意得? ? ?=-=+21613513k x k x （21,k k 是正整数），可得515,65262 2121k k k k k +++=-=， 要使x 最小，则2k 取最小值，当42=k 时，101=k ，此时37=x 例：若b a ,都是正整数，且,2001500143=+b a 求b a +的值。 解：由已知可得143 711423131435002001b b b a -+ -=-= ，观察可得7,2==a b ，于是不定方程的解为t t b t a (1432,5007-=+=为整数），b a , 是正整数， 01432,05007>->+∴t t ，得143 2 5007< <-t ，知9,2,7,0=+===b a b a t 例：设m 和n 大于0的整数，且,22523=+n m ①若m 和n 最大公约数为15，则______=+n m ；②若m 和n 的最小公倍数为45，则________=+n m 解：n m , 的最大公约数为15，可令212121,.(15,15k k k k k n k m ≠==为正整数），由已知得1523,2253045232121=+=+=+k k k k n m 的解为t k t k 36,2121+=-=，而21k k ≠且21,k k 为正整数，有036,021>+>-t t ，知1,0-=t ；当1-=t 时3,21==k k （舍去），当0=t 时，6,121==k k ，此时m n m k n k m ,90,9015,151521=+====和n 的最小公倍数为45，可令d dn n dm m (,11==为正整数），由已知得5334511??==n dm ，由 22523=+n m 得225)23(11=+n m d ，于是有52 31 1=+ m n ，则只有11=n ，,45,11==d m 此时90,45=+∴==n m n m 例：一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？ 解：设小明摸出的10个球中有红球x 个，黄球y 个，则蓝球)10(y x --个，由题意得 21)10(32=--++y x y x ,即,0,0,92≥≥=+y x y x 而x y 22-=，知5.40≤≤x ，故 红球个数最多不超过4个。 二元一次不定方程练习 姓名________学号______ 一．选择题 1．方程72=+y x 在正整数范围内的解（ C ） （A ）有无数解 （B ）只有一组 （C ）只有三组 （D ）以上都不对 2．方程199119891990=-y x 的一组正整数解是（ C ） （A ）12768,12785==y x ； （B ）12770,12785==y x ； 11941,11936)(==y x C 12623,13827)(==y x D 二．判断下列二元一次方程有无整数解，并说明理由 1．562=+y x 2．864=+y x 3．11653+=+y x 4．3 211y x -= 三．求下列二元一次方程的解 1．762=+y x 2．6433+=--y x 四．求下列二元一次方程的整数解 1．20105=+y x 2．743=-y x 3．874=+y x 4．43013=+y x 五．求下列方程的正整数解 1．201511=+y x 2．2152=+y x 3．325-=-y x 4．3285=+y x 六．试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数。 七．求不定方程1635=-y x 的最小整数解 解：将1635=-y x 变为516 3+= y x ，当2,1=y 时均不合题意，当3=y 时，5=x ∴原不定方程的最小正整数解为? ??==35 y x 八．用16元钱买面值为20分，60分，1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有 多少中不同的买法？ 九．一分、二分、五分的硬币共十枚，付一角八分钱，有几种不同的取法？ 解：设取x 枚1分，y 枚2分，则取)10(y x --枚5分硬币，由题意得 323418)10(52=+?=--++y x y x y x ， ,4 3 8y x - =∴y x ,均为非负数，∴由 04 3 8≥- y 得,332≤y 又y 为4的倍数，∴=∴.8,4,0y 有三种不同的取法。 十．把118分成两个整数，一个数为11的倍数，一个数为17的倍数。 解：设118=y x 1711+（y x ,为在整数）得特解为?? ?==5 300y x ，∴通解为k k y k x (115173?? ?+=-=为整数），k k k )(115(17)173(11118++-=∴为整数） 十一。全年级104人到公园划船，大船每只载12人，小船每只载5人，大小船每客票价相等，但无论坐满与否都要照满载算价，试计算，大小船各租几只才能既使每人都能乘船又使费用最省？ 解：设大小船各租x 只，y 只，由题意得y x y x ,(104512≥+为非负整数）。当 104512=+y x 时费用最省，此时,512104x y -= 由,0512104≥-x 得,12 104 ≤x 且x 24-能被5整除，7,2=∴x ，当2=x 时，,16=y 当7=x 时，4=y 答：大小船各租2只，16只或7只，4只时，既使每人都能乘船又使费用最省。 十二。一头猪卖213 银币，一头山羊卖311银币，一头绵羊卖2 1 银币，有人用100个银币买了100头牲畜，问买了猪、山羊、绵羊各几头？ 解：设买猪x 头，山羊y 头，则买绵羊)100(y x --头，y x ,为非负整数，由题意得 100)100(21311213=--++x y y x ，整理得x y y x 518 60,300518-=∴=+，由 051860≥-x 得3 50 ≤ x ，又x 为5的倍数，15,10,5,0=∴x ， 当0=x 时，40100,60=--=y x y ； 当5=x 时，53100,42=--=y x y ； 当10=x 时，66100,24=--=y x y ；当15=x 时，6=y ，79100=--y x 答：买猪0头，山羊60头，绵羊40头；买猪5头，山羊42头，绵羊53头；买猪10头，山羊24头，绵羊66头；买猪15头，山羊6头，绵羊79头。 十三。小王架车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，一小时后看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数；再过一小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好 是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？ 解：设第一次看到的两位数的十位数字为x ，个位数字为y （y x ,为1~9的自然数） 则)10(100)10()10(x y y x y x x y +-+=+-+，整理得x y 6=， y x ,为1~9的自然数， ∴==∴,6,1y x 三块里程碑上的数分别为16，61，106； 如何解二元一次不定方程 意思就是说求方程中的整数解。 对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。 为了简化问题，我们先求的一切整数解。 解：我们对等式进行变形，得到 式① 因为y 是整数，所以也必须是整数，再另，变形得到 ，再次变形表达成 式② 因为x 是整数，所以也必须是整数，然而 是整数的条件就是 是3的倍数，所以 式③ 这样 是整数才能满足。从式③反推回式②，得到 再反推回式①得到 至此，我们就得到了不定方程的全部整数解式中m 可以取任意的整数。 对结果表示怀疑？那么我们试几个m 值： 当m =0时， 当m =1时， 如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O(∩_∩)O~ 我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的： 式①之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到 式中x y 都为整数，所以我们又变形得到 ，为何要这样呢？这就是关键所在！因为这 样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为7，而后面的变成了3！而根据 是一个整 数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，这样一直演算下 去，最后分子系数肯定会变成1，比如，这时因为是整数，假设等于m ，得到 ，变形得到 ，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原 始的x y 的通解表达式了。 上面的分析例子虽然简单，但是思想是对所有的不定方程都通用的，如果没有理解的话，请再仔细以上就是普通解二元不定方程的方法，时间很晚了，数论上的方法我就先不讲了，下次补上。 Winxos 2009-8-26 3:02:53 今天我接着上次的给大家讲一下数论中用的辗转相除法。 实际上辗转相除法就是上面解方程法的简化计算版本，原理是一样的。 我们还是以为例子来讨论 式中 ，我们对来辗转相除 （就是求的最大公因子的过程），如下： ，然后让，重复上一步操作，，停止计算（余数为0或者1就停止计算）。我们建立一个辅助表格： 0 1 2 3 … K q q 1 q 2 q 3 … q k p 1 q 1 p 2 p 3 … p k ? 0 1 ?2 ?3 … ?k 表1 二元一次不定方程辅助表 下面我来告诉大家如何使用这个表，我们已经计算得到， 我们也知道p 0=1，p 1=q 1，?0=0，?1=1，将上面的数填入表中，我们得到下面的表： 0 1 2 q 1 1 p 1 1 p 2 ? 0 1 ?2 表2 根据我们得到 根据我们得到 公式 1：不定方程的一个特解为 其中n 就是表中的第一行。 所以我们得到了不定方程的： 一个特解为： 下面给出几个相关的定理： 定理 1：如果二元一次不定方程有一整数解 ； 又假定 则的一切解可以表示为 定理 2：有整数解的充分必要条件是 术语解释：表示的最大公因子， 表示的最大公因子能整除 根据上面的定理1，我们可以得到不定方程的通解为： 经过上面的练习，现在给出具体的求解的步骤： ① 判断是否有解，看是否 ② 若 将 两边同时除以 ，得到 ； 互质 ③ 先利用表1及公式1，求的 的一个特解 ④ 将特解放大倍，再绝对值变换，得到的特 解 ⑤ 根据定理1，求得的通解，这也是原方程 的通解 ⑥ 完毕 表构造说明：第一行表示第几项，第二行q 就是我们计算 过程中得到的商序列q k ，第三行规律为p 0=1，p 1=q 1， ，形象描述就是p 从p 2开始，等于沿着 表中红色箭头方向第一项加上后两项的乘积。第四行规律为?0=0，?1=1， 绿色箭头方向。 下面我再给出一个书上的复杂点的例子，以及用上面的方法求解过程。 题目：求的一切整数解。 解： ①判断是否有解 所以该不定方程有解 ②变形处理 等式两端同时除以得到 ③求特解 我们先求解，为了计算方便，我们进行绝对值处理，以及变量换名字，我们变成 求解，辗转除107与37，过程如下： 余数为1，停止计算 我们将 0 1 2 3 q218 p 1 2p2p3 ?0 1 ?2?3 根据我们得到 根据我们得到 继而求得： 根据公式 1，得到的特解为 所以的特解为 ④求的特解 将的特解放大25倍，得到的特解 ⑤求的通解 根据定理 1，得到的通解为 或者为了好看，处理小一点，表达成： 这也就是题目的通解。 完毕。 辗转相除法是我国古代很早前就发明的算法，为我们的祖先感到骄傲。 希望看到这篇文章的朋友能了解辗转相除法，能够很轻松的解二元一次不定方程，那样我就很满足了。如果朋友您从这里学会了二元一次不定方程的解法，不妨留下脚印，如果还有什么不理解的地方欢迎给我留言。 一次不定方程的解法 我们现在就这个问题，先给出一个定理． 定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax by c +=① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为 其中0,1,2,3,t =±±±… 证因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c +=② 因此 0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=． 这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有 ax by c ''+=③ ③-②得00()()a x x b y y ''-=--④ 由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证． 有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求11157x y +=的整数解． 解法1将方程变形得 因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为 解法2先考察11151x y +=，通过观察易得 11(4)1531?-+?=， 所以 11(47)15(37)7?-?+??=， 可取0028,21x y =-=，从而 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式． 例2求方程62290x y +=的非负整数解． 解因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y +=① 由观察知，114,1x y ==-是方程 3111x y +=② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 由定理，可得方程①的一切整数解为 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 1801104530t t -≥??-+≥? ③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能． 当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是 150x y =??=? ，43x y =??=? 例3求方程719213x y +=的所有正整数解． 分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解用方程 一次不定方程的解法 一次不定方程的解法 我们现在就这个问题，先给出一个定理． 定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax by c += ① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可 以表示为 00x x bt y y at =-??=+? 其中0,1,2,3,t =±±±… 证 因为00 ,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c += ② 因此 0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=． 这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有 ax by c ''+= ③ ③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④ 由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将 0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示 方程①的一切整数解，命题得证． 例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y += ① 由观察知，114,1x y ==-是方程 3111x y += ② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 0045418045(1)45 x y =?=??=?-=-? 由定理，可得方程①的一切整数解为 18011453x t y t =-??=-+? 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 1801104530t t -≥??-+≥? ③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能． 当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是 150x y =??=? ，43x y =??=? 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解． 分析 这个方程的系数较大，用观察法去求 一次不定方程及方程的整数解问题-1 一次不定方程（组）及方程的整数解问题 【写在前面】 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】 求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； 定理2 若),(0 y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为 特解），则?? ?-=+=at y y bt x x 00 ,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理3 若),(0 y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解， 则),(0 cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解； （4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入 命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 【学法指导】 【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13 105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到? ? ?==1 , 1y x 是4 3=+y x 的一组整数解（特解）， 精心整理 一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理 定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此 方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此 ．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③ ??)y(?)x(ax??by?00精心整理． 精心整理 t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即??? atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以， ???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观 察易得解11114所以 (7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一 形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同 除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理． 精心整理 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是 3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解 解用方 211?的最小系除方程①的各项，并移项 211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得 2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以 解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理 x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 摘要 不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明． 关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题 Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination. 二元一次不定方程一、教学内容分析 4-6》的第三讲。它是对第一讲整除本节是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修和第二讲同余中相关知识的应用。也是之后多元一次不定方程的基础。本节课程体现数学文化的特色，百钱买百鸡问题使学生对二元一次不定方程产生浓厚的兴趣。学生通过分析，试验，猜想、验证等， 从中获得新的知识，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程，感受数学的魅力。二、 学生学情分析 学生之前可能通过课后阅读或资料，故事书听说过百钱买百鸡问题，或曾经尝试过此类问题进行解决，难度较大。现在是第一次系统性的学习，学生的兴趣浓厚，积极性很高，有热情和新鲜感。通过课前导学能对有解性和整数通解提出猜想，但难以给出证明。所以需要教师精心设计，做好引导工作，充分体现教师的“引路人”角色。特别小组合作学习中在分。组时注意学生的合理 搭配（成绩的好坏、分析解决问题能力、口头表达能力等）三、教学目标 知识目标：1; 、掌握二元一次不定方程有解的充要条件2. 、会求二元一次不定方程的整数通解能力目标1渗透从特殊到一般，先猜后证的数学方法。培养观察、分析、归纳、总结、证明．; 的能力2. ．培养学生的口头表达能力和合作意识情感目标1．了解不定方程的发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；2. . 使学生感受到数学来源于生活，体会数学的实用价值并应用于实践四、教学重点和难点重点：1. 二元一次不定方程有解的充要条件；2. 二元一次不定方程的整数通解的证明。难点：引导学生利用整除的知识对二元一次不定方程的整数通解进行证明。五、教法与学法 . 学生成为课堂的主人，教师层层引导，关键地教法：以问题为驱动，以学生为主体方点拨的教学模式。学法：鼓励学生“动脑想、大胆猜、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法。 六、教学过程设计 埋下伏笔历史名题，激发学生学习兴趣。（视频体验）学生表演神童“百钱买百鸡问题” 展示成果学生动手1、判断下列方程是否有整数解问题4??6y6?y?28x8x?6y?18x (2)(3) (1)，，c?ax?byc,a,b 2 得到新知合作探究问题：若方程有整数解，则整数满足什么关系？1?3y4x? 33组）问题的整数解（至少、写出不定方程1?b)c(a，ax?by?yy?x?x,4为不定方程整数解问题求不定方程，：，00 得到新知合作探究c|,b)b,)|c(a?axby?c(a，不定方有整数解，那么。反过来，当结论1：如果不定方程c?ax?by! 一定有整数解程bt??xx?0cby??1ax?)(a，b?Z，t?的整数通解为2：设，则不定方程结论 不 定 方 程 【知识精要】 形如x +y =4，x +y +z =3，y x 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解． 对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解； （2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形． 如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解． 定理2．若不定方程ax +by =1有整数解???==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解? ??==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为? ??-=+=ak cy y bk cx x 00（k 为整数）． 对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有： （1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 【例题精讲】 一 二元一次不定方程 例1．求方程4x +5y =21的整数解． 解：因为方程4x +5y =1有一组解???=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解???=-=21 21y x ． 又因为方程4x +5y =0的所有整数解为? ??-==k y k x 45（k 为整数）， 所以方程4x +5y =21的所有整数解为? ??-=+-=k y k x 421521（k 为整数）． 说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解? ??=-=51y x ，从而得到4x +5y =21 基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠 久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2 发展历史编辑本段 希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3 常见类型编辑本段 ２０１３年第·１期 太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college 期 总第１３８期 Ｊａｎ２０１３ ［摘要］不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中的一个十分重要的研究课题，我国古代对不 定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。论文重点探讨了二元一次不定方程及其解。[关键词]通解； 特解；观察法；辗转相除法；整数分离法；同余法［中图分类号］O15［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－００４６（２０１３）１－０１６１－０２浅析二元一次不定方程及其解 韩孝明 （吕梁学院汾阳师范分校，山西吕梁０３２２００） 不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中一个十分重要的研究课题，我国古代对不定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。如《张丘建算经》中的“百钱买百鸡”问题、《九章算术》中的“五家共井”问题等等，中外驰名，影响甚远。在公元３世纪初，古希腊数学家丢番图曾系统研究了某些不定方程问题，因此不定方程也叫做丢番图方程。 一、不定方程定义所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数且其解受到某种条件的限制的方程或方程组。 不定方程领域中的基本问题是：不定方程有无整数解，有多少整数解，如何求出整数解。围绕这些问题，至今存在着大量的未解决问题，因此不定方程仍是一个很 活跃的数学领域。 中小学的数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题。 二、二元一次不定方程及其解形如ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈ｚ，ａｂ≠０）的方程称为二元一 次不定方程。 求其整数解的问题叫做解二元一次不定方程。 由于方程的解ｘ、ｙ可以是正整数，也可以是负整数，或者零，所以我们可以只讨论ａ、ｂ都是正整数的情 况。例如， ３ｘ－２ｙ＝１与３ｘ＋２ｙ＝１的解相比较，ｙ的值只差一个负号。 当ｃ＝０时，如果（ａ，ｂ）＝ｄ（ａ、ｂ的最大公约数为ｄ），那么在方程的两边同时除以ｄ，使ｘ、ｙ的系数互质。因此不妨假设（ａ，ｂ）＝１，解方程得ｘ＝－，由于（ａ，ｂ）＝１，因此当ｙ能被ａ整除时，方程ａｘ＋ｂｙ＝０才有整数解。所以可令ｙ＝ａｔ（ｔ为任意整数），这时ｘ＝－ｂｔ，即方程ａｘ＋ｂｙ＝０的一切整数解为 （其中ｔ为任意整数） 当ｃ≠０时，实际上也只需要讨论ｃ＞０的情况。因 为当ｃ＜０时，我们可以在方程两边同时乘以－１，这样方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的右边就成为正整数了。因此对于二元一次不定方程，可以只讨论ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０的情况。 现在我们研究二元一次不定方程在什么条件下才有整数解。先考察下面几个方程有没有整数解：２ｘ＋ｙ＝１０，４ｘ＋２ｙ＝２０，４ｘ＋２ｙ＝２５。对于方程２ｘ＋ｙ＝１０，通过 观察可以知道，ｘ＝１，ｙ＝８是这方程的整数解，因此这个方 程有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２０，方程两边同时除以２，得２ｘ＋ｙ＝１０，因此这个方程也有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２５，由于４ｘ＋２ｙ＝２（２ｘ＋ｙ）为偶数，而２５是奇数，因此这个方程没有整数解。 对于方程２ｘ＋ｙ＝１０来说，ｘ、ｙ的系数互质，上面已经指出这个方程是有解的；对方程４ｘ＋２ｙ＝２０来说，虽然ｘ、ｙ的系数不互质，但它们的最大公约数２能整除２０，这是方程也有解；对方程４ｘ＋２ｙ＝２５来说，ｘ、ｙ的系数不互质，且它们的最大公约数２不能整除常数项２０，这时方程无解。这些特点虽然是从一些具体的不定方程归纳出来的，但是它对一般不定方程也是适用的。我们有下面定理： 定理１：二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｎ＊）有整数解的充要条件是ｄ│ｃ（其中ｄ＝（ａ，ｂ）。 证明：一是必要性。如果方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ，因为ｄ│ａ，ｄ│ｂ，所以ｄ│（ａｘ０＋ｂｙ０），即ｄ│ｃ。 二是充分性。因为ｄ│ｃ，所以ｃ＝ｄｑ，由裴蜀恒等式可以知道，存在两个整数x ０，y ０， 使ａx ０＋ｂy ０＝ｄ。在上式两边同时乘以ｑ，得ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｄｑ即ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｃ。 因此方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝x ０ｑ，ｙ＝y ０ｑ。由上述定理可知，如果ｃ不能被ａ、ｂ的最大公约数整除，那么方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ无解，且可在ａｘ＋ｂｙ＝ｃ两端都约去ｄ，使得（ａ，ｂ）＝１。所以通常二元一次不定方程的解是在ａ、ｂ互质的情况下讨论的。 判断出一个二元一次方程有解以后，如何求出它的一切整数解呢？我们有下面的结论： 定理２：如果二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ［（ａ，ｂ） ＝１］有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则此方程一切解可以表示为 （ｔ是整数） 证明：先证明 是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解。 因为ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解，所以ａｘ０ ＋ｂｙ０＝ｃ，又因为ａ（ｘ０－ｂｔ）＋ｂ（ｙ０＋ａｔ）＝ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ。 161·· 探究二元一次不定方程 （Inquires into the dual indefinite equation） 冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution） 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。 如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。 定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。 通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。 定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数） 题目：小明的妈妈去超市购物，已知买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋需付9.25元，买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋需付3.20元，小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱？ 分析：此方程组是三元一次不定方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，可通过变形变换得到多种解法． 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② （1）凑整法 解法1： （①+②）/3: 5x+3y+4z=4.15 ③ ∴②+③，得 7(x+y+z)=7.35 ∴ x+y+z=1.05 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元。 解法2： 原方程组可变形为 13(x++y+z)-4(2y+z)=9.25 ① 2(x++y+z)+4(2y+z)=3.20 ② 解之得x+y+z=1.05 （2）主元法 解法3： 视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y=0.55-0.5z．∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05． 解法4： 视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x． ∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05． 解法5： 视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y ∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05． （3）参数法 解法6： 设x+y+z=k，则 13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② x+y+z=k ③ ∴①-②×3，得x-y=-0.05 ④ ③×3-②，得x-y=3k-3.2 ⑤ 一次不定方程（组）及方程的整数解问题 【写在前面】 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】 求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； 定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则?? ?-=+=at y y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解； （4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 解题技巧之不定方程解法 2015大学生村官备考已经开始了，相信大家会发现有些题，我们虽然能列出方程，但发现方程的个数比未知数的个数要少，若用传统的思想根本无法求解。在此，中公大学生村官考试网将为您介绍这种方程的个数少于未知量个数的方程求解方法——不定方程的解法。 1. 什么是不定方程 方程分为两类：一类是方程的个数等于未知量的个数，这类方程我们称为一般方程;另一类是方程的个数少于未知量的个数，该类方程我们称为不定方程，不定方程看起来貌似无法具体求解，但是公考特点是每道题都是带选项的，我们可以结合选项应用一些技巧快速的确定选项，下面将介绍几种常见的不定方程的解题技巧。 2. 不定方程的常见解题技巧 1)整除法：即利用不定方程中各数除以同一个数所得的余数关系来求解。 【例题】已知3x+y=100，x,y均为整数，求y=( ) A.30 B.31 C.32. D.33 【答案】B 【解析】想求y的数值，若我们知道y的某些性质，结合选项则可确定答案。而该式子我们两边同时除以‘x’前面的系数3，则3x项除以3余数为0，而100除以3余数为1，式子两边除以同一个数，余数应该相同，所以可判定y具有除以3余1的特点，结合选项答案为B. 2)奇偶性：即根据等号两端的奇偶性相同，来判断未知数的奇偶性，进而判断选项。 【例题】现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱： A.多1个 B.少1个 C.多2个 D.少2个 【答案】A 【解析】甲乙丙最开始放入箱子的个数不确定谁是1,2或是3。所以设这3个箱子中最开始放入的个数分别是x,y,z。则x+y+z=6...(1);第二次放入三个箱子的个数分别为 2x,3y,4z.所以两次共放了3x+4y+5z=22...(2),因为该题问的是最终甲乙两箱球数差，联合(1)、(2)两个式子消掉未知量z，得2x+y=8,此时2x为偶数，8为偶数，为了保证等号两端奇偶性相同，则y应该为偶数，因此y=2,x=3,所以最后甲中放了9个球，乙中放了8个球，甲比乙多1个，答案为A。 3)尾数法：根据等号两端尾数相同，确定未知数特征，结合选项做出答案。 多元一次不定方程 【教学目标】 1．熟练运用多元一次不定方程解决实际问题。 2．亲历多元一次不定方程解法的探索过程，体验分析归纳得出多元一次不定方程有整数解的充要条件，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握多元一次不定方程的概念和解法。 难点：推导多元一次不定方程有整数解的充要条件。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习多元一次不定方程，这节课的主要内容有多元一次不定方程的概念以及有整数解的充要条件，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解多元一次不定方程内容，形成初步感知。 （2）首先，我们来学习多元一次不定方程的概念，它的具体内容是： 以三元和四元一次不定方程为例说明一元以上多元一次不定方程的解法．三元一次不定方程的一般形式为ax by cz d a b c为非零整数，d为整数. ++=①，其中,, 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：判断234 ++=是不是三元一次不定方程？ x y z 解析：是 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：写出一个三元一次不定方程. 解：12451 +-= x y z （3）接着，我们再来看下多元一次不定方程有整数解的充要条件内容，它的具体内容是：不定方程①有整数解的充要条件() a b c d|. ,, 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：求不定方程5832x y z -+=的全部整数解. 解析：因为()()()5,81,5,8,31,312-=-==|所以不定方程有整数解.分别解不定方程58x y t -=，32t t ==，得到它们的整数通解. 5835x t k y t k =+??=+?131t t z l =--??=+? 其中,k l 为任意整数.联立上面的两个通解表达式，消去t ，便得到原不定方程的全部整数解. 58153591x t k l y k l z l =-+-??=-+-??=+? 其中,k l 为任意整数. 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：求不定方程257310x y z w +++=的全部整数解. 解：因为()()()()2,5=1,1,7=12,5,7,3=1,3=1 10|，，，所以不定方程存在整数解.作不定方程25,7,310x y u u z v v w +=+=+=，分别求得上面三个二元一次不定方程的整数通解为 11352x u t y u t =+??=--?，2267u v t z v t =-+??=-?，33133v t w t =+??=-? 其中123,,t t t 为任意整数.联合上述三个通解表达式，消去,u v 得 32132132 3 185421561872133x t t t y t t t z t t w t =--++??=+--??=+-??=-? 其中123,,t t t 为任意整数，这就是不定方程257310x y z w +++=的全部整数解。 三、课堂总结 （1）这节课我们主要讲了多元一次不定方程。 （2）它们在解题中具体怎么应用？ 四、习题检测 1．求下列一次不定方程的整数解：513610x y z -+= 二元一次不定方程的求解 有这么一道数论题：一个数的20倍减去1能被153整除，这样的自然数最小的是_______. [分析]解答数论题的关键是把文字表达式转化为数字表达式， x-，又假设我们可以设这样的数字为x,根据题意则有153(201) x a -=（a为整数），即201531 201153 =+，显然在这个方程中， x a 未知数的个数多于方程的个数，这样的方程我们成为二元一次不定方程，那这个题具体我们应该怎么去解答呢？通过观察，不难发现，20x的末尾数字一定是0，所以a最小为3，此时23 x=，从而符合条件的最小的自然数为23. 在这个题目讲解完后，我们可以拓展一道训练题： 一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？ 【归纳并拓展】同学们，大家可以看到，上面题目中涉及到的知识点一是数论中整除的知识，另一个更重要的知识点是二元一次不定方程的求解。下面我们一起来学习二元一次方程的求解方法。 一般说来，二元一次不定方程有如下几种分析方法： ①倍数分析法； ②尾数分析法； ③奇偶分析法； ④从大数入手； 首先我们看第①种分析方法：倍数分析法 Eg1： 求二元一次不定方程3215a b +=的正整数解。 【分析】我们先观察下，在所给的方程中3a 和15都是3的倍数，所以2b 必是3的倍数，故b 最小为3. 当b=3时，a=3; 当6b =时，a=1. 符合条件的解就只有：3,3;1, 6.a b a b ==== 接着我们再来学习第②种分析方法：尾数分析法 还是以一道例题来说明： Eg2:求二元一次不定方程3523a b +=的正整数解。 【分析】我们先来审题，5b 的尾数只有两种情况：0和5. I.)当5b 的尾数为0时，3a 的尾数一定得为3，所以a 可以为1，11….. 但是又要满足b 是正整数的条件，所以a=1,此时b=4; II) 当5b 的尾数为5时，3a 的尾数一定得为8，所以a 可以为6,16…. 要满足整数解的条件，a 只能为6，此时b=1. 尾数分析法关键是从方程的各项的尾数入手。 下面是第③种分析方法：奇偶分析法 我们还是一道例题为例： Eg3:求二元一次不定方程2311m n +=的正整数解。 【分析】通过观察方程，不难发现：方程的左边是23m n +，右边 二元 一次不定方程 知识要点和基本方法 1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程 2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x 解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为 ? ? ?=+=k y k x 38 其中k 为任意数 整数解问题： 例2． 求方程863=+y x 的整数解 解：因为)2(363y x y x +?=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解 定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c 例3． 求方程34104=+y x 的整数解 解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。 两边约去2后，得,1752=+y x 故5 217x y -= ，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为： ? ? ?+=+=n y m x 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+?=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为???-=+=k y k x 2351（k 为任意整 数） 定理2。若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程 c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为 ? ? ?-=+=ak y y bk x x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。 解：由y x y x 3 5 41253-=?=+，所以当且仅当y 是3的倍数时，取,3=y 得 ,133 5 4-=?-=x 即3,1=-=y x 是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为 ?? ?-=+-=k y k x 3351（k 为任意整数） 第十七讲 二元一次不定方程的解法 我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3， 方程组 等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组． 不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能． 我们先看一个例子． 例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？ 解 设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程 3x+11y=50． 这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组． 但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解． 因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y 的取值只能是0，1，2，3，4这五个． 若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意； 若y=4，则x=2，符合题意． 所以，这个方程有两组正整数解，即 也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔． 像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明． 例 求不定方程x-y=2的正整数解． 解 我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是 其中n 可以取一切自然数． 因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的． 上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理． 定理 如果a ，b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax+by=c ① 有一组整数解x 0，y 0则此方程的一切整数解可以表示为 其中t=0，±1，±2，±3，…． 证 因为x 0，y 0是方程①的整数解，当然满足 ax 0+by 0=c ， ② 因此 a(x 0-bt)+b(y 0+at)=ax 0+by 0=c ． 这表明x=x 0-bt ，y=y 0+at 也是方程①的解． 设x ＇，y ＇是方程①的任一整数解，则有 ax ＇+bx ＇=c. ③ ③-②得一次不定方程的解法
一次不定方程的解法
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程的解法
不定方程的解法与应用
二元一次不定方程
高中不定方程
不定方程的解法
二元一次不定方程及其解
二元一次不定方程的解法总结与例题
解三元一次不定方程组
一次不定方程及方程的整数解问题-1(优选.)
解题技巧之不定方程解法
多元一次不定方程优秀教学设计
二 元 一 次 不 定 方 程 的 求 解
多元一次不定方程的完整讲义和练习
第十七讲 二元一次不定方程的解法