多元一次不定方程的完整讲义和练习
应用题第54讲_不定方程
应用题第54讲_不定方程一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．重难点：不定方程的解法以及应用．题模一：不定方程的计算例1.1.1判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解．（1）3459x y +=；（2）1012031419x y +=；（3）17324917x y +=；（4）492102101101x y +=．例1.1.2已知△和☆分别表示两个自然数，并且37+=51155∆☆，则△+☆=__________．例1.1.3有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为257,,368a b c ．已知a ，b ，c 都小于10，a ，b ，c 依次为__________，__________，__________．例1.1.4已知,x y 代表两位整数，求方程1002x y xy +=的解．题模二：不定方程的应用例1.2.1有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个，才能恰好把这些球装完．例1.2.2某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．例1.2.3有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？例1.2.4将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？例1.2.5有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？例1.2.6现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）例1.2.7现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？例1.2.8某校开学时，七年级新生人数在500～1000范围内，男、女生的比例为8:7．到八年级时，由于收40名转学生，男、女生的比例变为17:15．请问，该年级入学时，男、女生各有多少人？例1.2.9在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？11174随练1.1下列方程的自然数解：（1）25x y +=，则x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）238x y +=，则x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）321x y +=，则x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（4）4520x y +=，则x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．随练1.2小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有__________张．随练1.3将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个．现共装了24盒，则用了__________个大盒．随练1.4新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了____________________张．作业1方程220x y +=有________组自然数解．作业2求3411x y -=的所有整数解．作业3求不定方程2x +3y +5z =15的正整数解．作业4设A 和B 都是自然数，并且满足1711333A B +=．那么A B +=__________．作业5有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个，小油桶__________个．作业6新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每名老师能搬12本，每名男生能搬8本，每名女生能搬5本，恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．作业7小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？作业8卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？作业9雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？。
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二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为 ⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
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二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
多元一次不定方程1
1 1 y (6k 3x 1) 3k x ( x 1) 2 2
再令
1 m ( x 1) Z，解得 2 x 1 2m, mZ
反推上去 y 1 3k 3m, z 6 10m 5k , m Z , k Z
故原方程的通解为 x 1 2m y 1 3k 3m, z 6 5k 10m k, m Z
d 2 (a1 , a2 )
进而得到 x1 ', x2 ', x3 ',
, xn ' 是原方程的一个整数解。
二、多元一次不定方程求解的方法 例1 求不定方程 x 2y 3z = 7 的所有整数解。
解： 令x 2 y t (1), 则 t 3 z 7 (2) x t 2v , v Z . (3) （1）的解为 y v t 1 3u , u Z . (4) （2）的解为 z 2 u x 1 3 u 2v , u, v Z . 把(4)代入(3),消去t,得 y v z 2 u
若d不能整除N，则原方程无整数解； 否则，继续下面的步骤。 (2)构造如下的n-1个方程
a1 x1 a2 x2 d 2 t 2 d 2 t 2 a3 x3 d 3 t 3 d n 1 t n 1 a n x n N
(3)求出每个方程的所有整数解〔含参数ti〕， 再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，
, d an d N .
定理1 方程 a1 x1 a2 x2
an xn N , a1 ,
, an ) N .
, an , N Z
(1)
有整数解 (a1 , a2 ,
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二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为 ⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
【七年级奥数】第26讲 二元一次不定方程（例题练习）
第26讲二元一次不定方程——练习题一、第26讲二元=次不定方程（练习题部分）1.判断下列二元一次方程有无整数解，并说明理由．（1）2x+6y=5；（2）4x+6y=8；（3）3x+5=6y+11；（4）．2.求下列二元一次方程的解．（1）2x+6y=7；（2）-3x-3=4y+6．3.求下列二元一次方程的整数解．（1）5x+10y=20；（2）3x-4y=7；（3）4x+7y=8；（4）13x+30y=4．4.求下列方程的正整数解．（1）11x+15y=20：（2）2x+5y=21；（3）5x-2y=3：（4）5x+8y=32．5.试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数．6.小明在甲公司打工．几个月后同时又在乙公司打工．甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终小明从这两家公司共获得薪金7620元．问他在甲、乙两公司分别打工几个月?答案解析部分一、第26讲二元=次不定方程（练习题部分）1.【答案】（1）解：∵2和6的最大公约数为2，25，∴原方程无整数解.（2）解：∵2和6的最大公约数为2，而2|8，∴原方程有整数解.（3）解：∵3x+5=6y+11；∴3x-6y=6；∵3和6的最大公约数为3，而3|6，∴原方程有整数解.（4）解：变形为：3x+2y=11，∵3和2的最大公约数为1，而1|11，∴原方程有整数解.【解析】【分析】对于整系数方程ax+by=c，a与b的最大公约数为d，由定理1可知：若d|c，则原方程有整数解；若d c,则原方程没有整数解．2.【答案】（1）解：∵2x+6y=7，∴x=，∴原方程的解为：，（k为任意数）.（2）解：∵-3x-3=4y+6得3x+4y=-9，∴x=-=-3-，∴原方程的解为：，（k为任意数）.【解析】【分析】将其中的一个未知数看作常数，解出另一个未知数，看作常数的未知数取为任意数，从而可得原方程的解.3.【答案】（1）解：由5x+10y=20得x+2y=4，∴x=4-2y，∴x=0，y=2是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.（2）解：∵3x-4y=7，∴x==2+y+，∵x为整数，∴3|1+y，∴y=2，x=5，∴x=5，y=2是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.（3）解：∵4x+7y=8，∴x==2-，∵x为整数，∴4|7y，∴y=4，x=-5，∴x=-5，y=4是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.（4）解：∵13x+30y=4，∴x==1-2y-，∵x为整数，∴13|9+4y，∴y=1，x=-2，∴x=-2，y=1是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数）.【解析】【分析】由定理1整系数方程ax+by=c有整数解的充分且必要条件是a与b的最大公约数d 能整除c，我们知道，若ax+by=c有解，则a与b的最大公约数d|c．这时，我们可以在原方程的两边同时约去d，得x+y=．令=a1，=b1，=c1得到一个同解的二元一次方程a1x+b1y=c1．这时a1与b1的最大公约数为1．因此，只要讨论d=1的情况即可．我们有如下的定理：定理2若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为(k为任意整数)．因此，当d=1时，ax+by=c有解，并且解这个二元一次方程的关键在于找它的一组特解x0、y0.4.【答案】（1）解：∵11x+15y=20，∴x==2-y-，∵x是整数，∴11|2+4y，∴y=5，x=-5，∴x=-5，y=5是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），又∵x＞0，y＞0，∴，解得：＜k＜，∴不存在整数k，∴原方程无正整数解.（2）解：∵2x+5y=21，∴x==10-3y+，∵x是整数，∴2|1+y，∴y=1，x=8，∴x=8，y=1是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），又∵x＞0，y＞0，∴，解得：-＜k＜，∴k=-1，或k=0，∴原方程正整数解为：或.（3）解：解：∵5x-2y=3，∴x=，∵x是整数，∴5|3+2y，∴y=1，x=1，∴x=1，y=1是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），又∵x＞0，y＞0，∴，解得：k＜，∴原方程正整数解为：（k=0，1，2，3……）.（4）解：∵5x+8y=32，∴x==6-2y+（1+y），∵x是整数，∴1+y是5的倍数，∴y=4，x=0，∴x=0，y=4是原方程的一组解，∴原方程的整数解为：，（k为任意整数），又∵x＞0，y＞0，∴，解得：0＜k＜，∴不存在整数k，∴原方程无正整数解.【解析】【分析】求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。
一次方程组与不等式 知识精讲+典型例题+拓展训练
一次方程组与不等式知识精讲+典型例题+拓展训练一. 教学内容：一次方程组与不等式(组) 二、知识点分析1. 挖掘一次方程组蕴涵的思想方法 ⑴“转化”思想“转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法.本章中二元一次方程组的解法的实质就是借助“消元”（加减消元和代入消元是两种最常见的消元方法）的方法将“二元”转化为“一元”. ⑵方程的思想将数量关系转化为方程（组）的形式，通过解方程（组）使问题得以解决的思维形式就是方程的思想，本章中有关计算和解决有关应用题将运用这种思想。
用方程的思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多。
⑶整体思想当一个问题中未知数较多，一个一个求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的某一个固定代数式看作一个整体，在运算和求解时整体参与，这样有时可使运算简捷，这种方法是整体思想的体现，解方程组时有时也需用到这种思想和方法. ⑷数形结合的思想 ⑸“换元”思想换元法在初中代数中的应用非常广泛，它通过用一个字母表示一个整体进行变量替换，将形式简化，将问题转化，从而起到化繁为简，化隐为显，化难为易的目的，本章中呈现形式较复杂的一些方程组的解法多采用这种方法。
2. 利用数轴确定不等式（组）中待定字母的取值已知一个不等式（组）的解的情况，求其待定字母的取值，是一类灵活性较强的问题.利用数轴通过“数”与“形”的结合来解决问题将会减少理解上的难度，更能直观地求出字母的取值范围。
近几年，各地的中考试题中经常涉及到这一类问题，本讲将从几道例题的解法来介绍利用数轴解决这类问题的方法，希望对大家能有所帮助.三、典型例题例1. 解方程组⎩⎨⎧-=-=++②①41y 4x 702y 2x分析1: 由于①中x 系数为1,可将①变形为x=-2y-2③，然后将③代入②,消去x ，得到关于y 的一元一次方程.从中求出y ，然后将y 代入③中求x. 解法1: 由①得x=-2y-2, ③一、 ③代入②中得7(-2y-2)-4y=-41,y=23.将y=23代入③中得x=-5.∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.23,5y x 说明:本题通过“代入”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.分析2：①和②中y 的符号相反，且系数成2倍关系，故将①×2+②可消去y. 解法2：①×2+②得9x=-45,x=-5.将x=-5代入①中得y=23.∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.23,5y x 说明：本题通过“加减消元”，同样将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.例2. 已知322b anm -与n m ab +-2121是同类项,求m 、n 的值.分析: 同类项要求相同字母的指数相同,故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.321,12n m n m 解这个方程组可求得m 、n.解: 依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.321,12n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.511,58n m 说明:本题运用了转化的思想.第一,根据同类项的意义,将求解问题转化为解关于m 、n的二元一次方程组的问题.第二,运用“消元”的方法，将解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题，当然本题还运用了方程的思想.例3. 古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是( )A.5B.6C.7D.8分析：此题中有两个未知量——驴子和骡子各驮的货物的袋数.问题中有两个等量关系：⑴骡子驮袋数+1袋=2（驴子驮的袋数-1袋）;⑵骡子驮袋数-1袋=驴子驮的袋数+1袋.解: 设驴子驮x 袋,骡子驮y 袋,根据题意, 得⎩⎨⎧+=--=+,11),1(21x y x y解这个方程组,得⎩⎨⎧==.7,5y x答:驴子驮5袋,骡子驮7袋.故选A.说明：列方程（组）解应用题是方程思想在数学中的最典型、最基本的体现，也是方程思想反映的最常见的题型，是中考必考查的考点.例4. 某班春游，上午8时从学校出发，先沿平路到山脚下，再爬到山顶，在山顶停留1个半小时，沿原路返回学校时已是下午3时30分，已知平路每小时行4千米，上山速度是平路的43，下山速度是上山的2倍，求所行全程. 分析：设全程中平路为2x 千米，上、下山路各为y 千米，则平路所用的时间为42x小时，上山时间为3y 小时，下山时间为6y小时，而总时间为15.5-8-1.5=6小时，得到方程42x +3y +6y=6.从而求解. 解：设全程中平路为2x 千米，上、下山路各为y 千米，依题意有42x +3y +6y=6. 6x+2y+4y=72,所以2x+2y=24.答：全程为24千米.例5. 小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示，小红看见了，说：“我来试一试”.结果小红七拼八凑,拼成如图2所示的正方形,中间还留下一个洞,恰好是边长为2mm 的小正方形!你能算出每个长方形的长和宽是多少吗?分析: 本题有两个未知量——长方形的长与宽.观察图形得到两个等量关系:由图1得:长的3倍等于宽的5倍;由图2得:长的2倍+2=长+宽的2倍.解: 设长方形的长为xmm,宽为ymm,根据题意,得⎩⎨⎧+=+=,222,53y x x y x整理,得⎩⎨⎧-=-=-,22,053y x y x 解得⎩⎨⎧==.6,10y x答:这些小长方形的长为10mm,宽为6mm.说明:本题巧妙地运用了两个拼图,建立起小长方形的长与宽的关系,它体现了数与形之间的相互关系,打破了用语言描述两个量之间关系的常规,渗透了数形结合的数学思想.例6. 如图,在长方形ABCD 中,AB=8cm ，BC=6cm 且△BEC 的面积比△DEF 的面积大52cm ,求的DF 长.分析: 本题是数形结合题,未知数只有一个,若直接设DF 的长为x,不易找出等量关系,可以分步来解,如设△BEC 的面积为x 2cm ,△DEF 的面积为y 2cm ,梯形ABED 的面积为z 2cm ，则有⎩⎨⎧=+=-.48,5z x y x 从中求出△ABF 的面积y+z=43，再求DF 就容易了.解: 设△BEC 的面积为x 2cm ,△DEF 的面积为y 2cm ,梯形ABED 的面积为z 2cm ， 梯形的面积为依题意,得⎩⎨⎧⨯=+=-.②86①,5z x y x②-①得y+z=43，即△ABF 的面积为432cm . 设DF 的长为a,有.419,43)6(821==+⨯a a 答: DF 的长为.419cm 注意:⑴本题综合性较强，涉及到的知识有三角形的面积、长方形的面积、看图识图、列方程等.⑵本题解方程组有一定的技巧，要求整体求解.⑶解题思路超出常规，要求我们认真理解题意，努力探索解题方法.例7. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+.632,14)(3)(4y x y x y x y x解：设v y x u y x =-=+3,2， 则原方程组变为①+②×9得17u=68，u=4.将u=4代入②中得v=2.∴⎩⎨⎧=-=+.68y x y x ，解得⎩⎨⎧==.1,7y x说明:本题借助换元的方法,将复杂的方程组转化为简单的方程组来解决.例8. 不等式23>-m x 的负整数解只有2个.求m 的范围. 解析：23>-m x 的解集为：32+>m x . 因为不等式的负整数解只有2个.则借助于数轴知：32+m 只能在-3与-2之间， 并且可以等于-3.即：-3≤32+m <-2.故m 的范围是：-11≤m<-8.例9. 如果不等式组⎩⎨⎧≤≥-mx x 042 无解，则m 的取值范围是 .解析：不等式2x-4≥0的解集为x ≥2，借助于数轴分析，如图，可知m<2.例10. 不等式组⎩⎨⎧>≤<mx x 21有解，则（ ）.A. m<2B. m ≥2C. m<1D. 1≤m<2解析：借助下图，可以发现：要使原不等式组有解，表示m 的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2.故选（A ）.例11. 若不等式组⎩⎨⎧<->-10a x a x 的解集中的任何一个x 的值均不在２≤x ≤５内，则a 的范围是 .解析：解不等式组，得a<x<a+1，借助下图可知， 满足条件的a 的取值范围应是：a+1≤2或a ≥5. 即a 的范围是：a ≤1或a ≥5.例12. 已知不等式组⎩⎨⎧<+>-bx ax 122的整数解只有3、4.求a 和b 的范围.解析：解不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧-<+>212b x a x ，借助于数轴，如下图知：2+a 只能在2与3之间.21-b 只能在4与5之间. 所以：2≤2+a<3 4<21-b ≤5所以：0≤a<1， 9<b ≤11.四、本讲数学思想方法的学习1. 数学思想方法是解题的灵魂，在解与一次方程组有关的题型中，要体会这些思想方法的应用.2. 已知不等式（组）解集，求有关字母的取值范围，画数轴运用数形结合的思想可以顺利地解决此类问题.【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、解下列方程组：1.解方程组4702370x y x y +=⎧⎨-=⎩ ① ②.2.解方程组2313511x y x y -=⎧⎨+=⎩ ① ②3.解方程组9413231x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ① ②4.解方程组753579x y x y +=⎧⎨+=⎩ ① ②5.解方程组3476719x y x y -=⎧⎨-=⎩ ① ②6.解方程组3(1)24(2)12x y y x +=+⎧⎨+=+⎩ ① ②7.解方程组13523432x y x y +-⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ① ② . 8.解方程组2()3()23()2()10x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=-⎩ ① ②.二、一次方程（组）的应用：9.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？10.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐. ⑴求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；⑵若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由. .三、求不等式（组）中字母的取值范围：11. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>-ax x 1513的解集为x ＞2，则（ ）A.a ＜2B.a ≤2C.a ＞2D.a ≥212. 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x xx 的解集为x ＜2，则a 的取值范围是 .13. 如果不等式组⎩⎨⎧≥-≤-0043a x x 无解，则a 的取值范围是 .【试题答案】一、解下列方程组：两个方程的常数项相同 1. 解方程组4702370x y x y +=⎧⎨-=⎩ ① ②.解析：这样的方程组的解法是将两个方程相减后再用代入消元法求解.由①－②得，整理得.再用代入消元法解得.有一个为未知数的系数相差１2. 解方程组2313511x y x y -=⎧⎨+=⎩ ① ②解析：这样的方程组的解法是两个方程相减后用代入法求解. 由②－①整理得108x y =-,用代入消元法解得21x y =⎧⎨=⎩.两个未知数的系数之差相等或互为相反数3. 解方程组9413231x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ① ②解析：这样的方程组的解法是两个方程相减后用代入法求解. 由①－②整理得2x y +=.再用代入消元法解得11x y =⎧⎨=⎩. 两个未知数的系数之和相等且系数互换 4. 解方程组753579x y x y +=⎧⎨+=⎩ ① ②解析：这样的方程组的解法是两个方程相加、相减后用得到的简单的方程组求解. 由①－②整理得 3x y -=-.③; 由①＋②整理得 1x y +=. ④.解③、④组成的方程组得12x y =-⎧⎨=⎩.方程组中某一未知数的系数成倍数关系5. 解方程组3476719x y x y -=⎧⎨-=⎩ ① ②解析：方程①变形为3x ＝4ｙ＋7; 方程②可以变形为2×3ｘ－7ｙ＝19.把“3ｘ＝4ｙ＋7”整理代入上式，消去ｘ，解得ｙ＝5，代入方程①，求得ｘ＝9.所以原方程组的解为95 xy=⎧⎨=⎩.方程组的两个方程中均含有相同的某一未知数的代数式6. 解方程组3(1)24(2)12x yy x+=+⎧⎨+=+⎩ ① ②解析：方程组的两个方程中含有相同的代数式ｙ＋2，采用整体代入，消ｙ. 将①代入②，得4［3（ｘ＋1）］＝ｘ＋12,解得ｘ＝0，将ｘ＝0代入方程①，求得ｙ＝1.所以,原方程组的解为1 xy=⎧⎨=⎩.有方程是比例的形式7. 解方程组13523432x yx y+-⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ① ② .解析：方程组中含有比例的形式,通常是设出比例系数ｋ，将两个未知数用ｋ表示,再求解.本题可设1352x yk+-==,得x=5k-1,y=2k+3.③将③中的两式代入方程②,得3(5k-1)+4(2k+3)=32.解关于k的方程,得k=1.将ｋ＝１代入③.解得，45 xy=⎧⎨=⎩.换元法解法是设出比例系数ｋ，将两个未知数用ｋ表示，再求解.8. 解方程组2()3()23()2()10x y x yx y x y+--=⎧⎨++-=-⎩ ① ②.解析：注意到两个方程中含有同样结构（ｘ＋ｙ）、（ｘ－ｙ），可以设ｘ＋ｙ＝ａ，ｘ－ｙ＝ｂ；原方程组变为232 3210 a ba b-=⎧⎨+=-⎩.解这个较为简单的方程组，得22ab=-⎧⎨=-⎩，所以得到新方程组22 x yx y+=-⎧⎨-=-⎩，解得2xy=-⎧⎨=⎩.二、一次方程组的应用：9. 解：设进价为x元,标价为y元.可得方程组:45,8(85%)12(35).y x y x y x -=⎧⎨-=--⎩，解得155200.x y =⎧⎨=⎩ 答：进价为155元,标价为200元.10. 解:⑴设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，根据题意，得2168022280.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得960360.x y =⎧⎨=⎩，答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐. ⑵因为9605360255205300⨯+⨯=>，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐.三、求不等式（组）中字母的取值范围： 11. 解：由513-x ＞1，解得13-x ＞5，即x 3＞6，∴x ＞2. 于是原不等式组可简化为：⎩⎨⎧>>a x x 2，且不等式组的解集为：x ＞2，∴根据数轴，必有a ≤2.故选B. 12. 解：由34+x ＞12+x，解得82+x ＞63+x ，∴x ＜2. 又a x +＜0，即x ＜a -.于是原不等式组可简化为：⎩⎨⎧-<<a x x 2，且该不等式组的解集为x ＜2，∴根据数轴可知，必有a -≥2，即a ≤2-. 所以a 的取值范围为a ≤2-.13. 解：由43-x ≤0，解得x ≤34.又由a x -≥0，得x ≥a ， 于是原不等式组可简化为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤ax x 34，由于该不等式组无解，结合数轴，可知a ＞34.即a 的取值范围为a ＞34.。
不定式方程(六年级)
不定式方程(六年级)一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程.叫做二元一次方程.由于它的解不唯一.所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程.它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值.或者消去一个未知数.这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程.按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数.同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一不定方程的计算例1.1.1、判断下列不定方程是否有正整数解.若有.求出所有正整数解．【1】；【2】；【3】；【4】．【1】【2】【3】【4】无整数解解析：【1】..所以.即得.【2】..所以.．【3】..所以.．【4】..所以．无整数解．例1.1.2、已知△和☆分别表示两个自然数.并且.则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37.易知其自然数解为△=2.☆=3．所以△+☆=5．例1.1.3、有三个分子相同的最简假分数.化成带分数后为．已知a.b.c都小于10.a.b.c依次为__________.__________. __________．答案：7.3.2由题意有．解这个不定方程.得．例1.1.4、已知代表两位整数.求方程的解．题模二不定方程的应用例1.2.1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里.大盒每盒装12个.小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个.才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个.小盒6个或者大盒2个.小盒18个解析：设需要x个大盒子.y个小盒子.依题意得：.解得.．所以需要大盒9个.小盒6个或者大盒2个.小盒18个．例1.2.2、某单位的职工到郊外植树.其中有男职工.也有女职工.并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树.女职工每人种10棵树.每个孩子种6棵树.他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工.y名女职工.则孩子有名.依题意得：.整理得：.化简得.解得...其中只有时才是整数.所以有12名男职工．例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四种货物.若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元.乙一件要y元.丙一件要z元.丁一件要w元.依题意得：注意到题目要求的是.所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少.想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易.一个比较明显的是可以求出.可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样.得.得.所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．【当然本题可以直接看出得到】例1.2.4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管.加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子.那么被截出的管子一共长厘米．由.得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数.所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽.那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数.小于380且能被12整除的最大自然数是372.而的自然数解是存在的.如.也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子.能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．例1.2.5、有纸币60张.其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张.1角的有y张.1元的有z张.10元的有w张.依题意得.得.很明显等号左边是9的倍数.而等号右边不是9的倍数.所以无自然数解.故这些纸币的总面值不能恰好是100元．例1.2.6、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码.用这些砝码.不能称出的最大整数克重量是多少？【砝码只能放在天平的一边】答案：191解析：设用了x个13克的砝码.y个17克的砝码.要称的重量为c克.依题意.就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论.c最大取时.无自然数解.所以不能称出的最大整数克重量是191克．例1.2.7、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油.用这两个空桶要倒出1升汽油.至少需要倒多少次？26次解析：依题意.模拟的倒几次后会发现.本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中.这个解明显要小.下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒满1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒满1.7升；6、1.7升倒入4升中.还剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒满1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒满1.7升；12、1.7升倒入4升.还剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒满1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒满1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒满1.7升；20、倒入4升.还剩1.6升．21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒满1.7升；24、倒入4升；25、倒满1.7升；26、倒入4升.还剩1升．可以看出.每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升.每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升.所以两个小桶中量出的1升可以看做是.倒进的1.7x减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．例1.2.8、某校开学时.七年级新生人数在500～1000范围内.男、女生的比例为．到八年级时.由于收40名转学生.男、女生的比例变为．请问.该年级入学时.男、女生各有多少人？答案：男生320人.女生280人设开始时共人.后来变为人.则.．易知a为8的倍数.b为5的倍数.故可设..方程化简为.且．解得..入学时总人数为人.男生320人.女生280人．例1.2.9、在新年联欢会上.某班组织了一场飞镖比赛．如图.飞镖的靶子分为三块区域.分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖.脱靶不得分.投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖.要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖.要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1.1、下列方程的自然数解：【1】.则；【2】.则；【3】.则；【4】.则．答案：【1】【2】【3】无解【4】解析：枚举法．随练1.2、小高有若干张8分的邮票.墨莫有若干张15分的邮票.两人的邮票总面值是99分.那么小高的8分邮票有__________张．答案：3张解析：设小高有8分邮票x张.15分邮票y张.依题意得：.解得.所以小高有3张8分邮票．随练1.3、将426个乒乓球装在三种盒子里.大盒每盒装25个.中盒每盒装20个.小盒每盒装16个．现共装了24盒.则用了__________个大盒．随练1.4、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分.其中面值20分的邮票售价5元.面值40分的邮票售价8元.面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票.那么三种面值的邮票分别买了____________________张．答案：20分的邮票3张.40分的邮票3张.50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票.y张40分的邮票.z张50分的邮票.依题意得：.消y得.解得..…….同时还要满足y为整数.经验证当时.符合题意.所以买了20分的邮票3张.40分的邮票3张.50分的邮票13张．课后作业作业1、方程有________组自然数解．答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数.即方程有11组自然数解．作业2、求的所有整数解．答案：为任意整数】解析：先找出一组基本的解.然后写出所有解即可．作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解．答案：解析：先确定z的值.把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程.再进行计算．正整数解如下：．作业4、设A和B都是自然数.并且满足．那么__________．答案：3解析：.又因为A、B为自然数得.．作业5、有两种不同规格的油桶若干个.大油桶能装8千克油.小油桶能装5千克油.44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个.小油桶__________个．答案：大油桶3个.小油桶4个解析：设有x个大油桶.y个小邮桶.依题意得.解得.所以有3个大油桶.4个小邮桶．作业6、新学期开始了.几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人.每名老师能搬12本.每名男生能搬8本.每名女生能搬5本.恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．答案：老师3名.男生2名.女生8名解析：设搬书的老师有x名.男生有y名.女生有z名.依题意得：.消去z得.解得.所以.所以搬书的老师有3名.男生2名.女生8名．作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔.每种笔都只能整盒买.不能单买．钢笔4支一盒.每盒5元；圆珠笔6支一盒.每盒6元；铅笔10支一盒.每盒7元．小李总共花了97元.买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒.铅笔2盒.钢笔13盒解析：设圆珠笔买了x盒.铅笔买了y盒.钢笔买了z盒.依题意得：.消去x得.解得..……将y、z代入原方程组.发现只有时.x有自然数解．所以买了圆珠笔3盒.铅笔2盒.钢笔13盒．作业8、卡莉娅到商店买糖.巧克力糖13元一包.奶糖17元一包.水果糖7.8元一包.酥糖10.4元一包.最后他共花了360元.且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包.则．把系数都化成整数.得：．由于我们只关心奶糖的数量.我们将未知数分为一组.其余未知数分为另一组：．也就是．令.则．它的自然数解只有.所以卡莉娅共买了12包奶糖．作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张.其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外.其它两人桌每桌都只坐1人.三人桌每桌都只坐2人.四人桌每桌都只坐3人.且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张；三人桌19张；四人桌12张解析：设图书馆有三人桌x张.四人桌y张.则两人桌有2y张.依题意得：.化简得.解得..……为符合三种桌子共五十多张.发现只有这组解符合.图书馆两人桌有24张.三人桌19张.四人桌12张．。
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二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为 ⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
解：由y x y x 3541253-=⇒=+，所以当且仅当y 是3的倍数时，取,3=y 得,13354-=⨯-=x 即3,1=-=y x 是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-=+-=ky kx 3351（k 为任意整数）例5． 求方程3153=+y x 的整数解解：由原方程得：312103531y y x y x ++-=⇒-=要使方程有整数解，31y+必须为整数，取,2=y 得7141031210=+-=++-=yy x ，故2,7==y x 是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-=+=k y kx 3257（k 为任意整数）例6：若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，则蟋蟀和蜘蛛各有多少只？ 解：设有x 只蟋蟀只，蜘蛛y 只，则方程6x+8y=46，即3x+4y=23，3423yx -=∴，变形为 327---=y y x ，,61<≤y 又y 为正整数，且24-y 能被3整除，2=∴y 或5=y ，把2=y ，5=y 代入得方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==51,25y x y x 例7：用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有多少种不同的买法？解：设买面值为20分的邮票x 枚，面值为60分的邮票y 枚，则买面值为1元的邮票为)18(y x --枚，根据题意得1600)18(1006020=--++y x y x ，即52=+y x ， 由,2125≤⇒≥-=x x y 又212,12,1)25(18≤≤-∴-≥∴≥---x x x x ， 因此x 可取的正整数值为1，2；当1=x 时，3=y ,,1418=--y x 当2=x 时，1518,1=--=y x y ，均符合正整数解问题 例1． 求方程3153=+y x 的正整数解。
解：我们知道3153=+y x 的所有整数解为k ky kx (3257⎩⎨⎧-=+=为任意整数）故要求原方程的正整数解，只要使0,0>>y x 即可，所以⎩⎨⎧>->+032057k k 3257<<-⇒k ，注意到k 为整数，所以1,0-=k 得所有正整数解⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==52;27y x y x 例2． 求方程735-=-y x 的正整数解。
解：原方程可化为573-=y x ，即5)1(32++-=y x 其中4,1==y x 为原方程的一组整数解，因此，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-=-=ky kx 5431（k 为任意整数）令0,>>y x 得：3154031<⇒⎩⎨⎧>->-k k k （k 为整数） 3,2,1,0---=∴k原方程可得无穷多组正整数解⎩⎨⎧-=-=ky kx 5431（ 3,2,1,0---=k ）例3． 求方程12511=+y x 的正整数解。
解：如果方程有正整数解，则,1,1≥≥y x 因此16511511=+≥+y x 12>，∴这个方程无正整数解。
说明：一般地，若方程c by ax =+中，c b a b a >+>>,0.0，则这个方程无正整数解。
例4． 如果三个既约真分数6,4,32ba 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。
解：由题意得66432=+++++bb b a b ，整理得,64113=+b a 问题转化为求64113=+b a 的正整数解。
31421bb a ++-= ，不定方程有一组整数解⎩⎨⎧==214b a ∴它的所有整数解为 k k b k a (321114⎩⎨⎧-=+=为任意整数）令0,0>>b a ，得不等式组32111403201114<<-⇒⎩⎨⎧>->+k k k 整数1;0-=k 。
因此方程有两组正整数解⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==53;214b a b a ，4a 与6b为既约真分数，所以5,3==b a 是它的唯一解，因此所求的积为165654332=⨯⨯例5． 今有36块砖，36人搬，男搬4块，女搬3块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有多少人？解：设男、女、小孩分别为z y x ,,人，又题意列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++36213436z y x z y x ；消去z 得 75153657yx y x -+=⇒=+；观察得3,300==y x 是方程的一个解；所以方程的通解为 ⎩⎨⎧-=+=ty tx 7353（t 为整数）。
又依题意得120,90<<<<y x ；7353127309530<<-⇒⎩⎨⎧<-<<+<∴t t t ，又t 为整数，故只有3,3,0==∴=y x t 则30=z答：有男3人，女3人，小孩30人。
例6． 一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数相同（最多每车32人）。
起初每车乘22人，这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原来有多少辆汽车？这批游人有多少？解：设原有汽车x 辆，总人数为)1(-x n ，由已知条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+=-322122)1(n x x x nn x x x n 123221122-+=-+=⇒是人数，应为正整数，231-∴x ，11=-∴x 或23，45,2==∴n x 或23,24==n x ∴共有汽车24辆，游人共529人。
例7． 求方程1985)52)(12(=+-y x 的正整数解解：39751985⨯= ，52,12+-y x 应是正整数，故有以下四种可能：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=-⎩⎨⎧=+=-⎩⎨⎧=+=-⎩⎨⎧=+=-9091;0199,1963152198512;198552112;55239712;39752512y x y x y x y x y x y x y x ⎩⎨⎧-==2993y x 其中第二组和第四组都不是正整数解（舍）例8：某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位？解：设剧场共有x 排座位，第一排有n 个座位，则第x 排有座位)1(-+x n 个，根据题意得21100010002)1(--=⇒=⋅-++x x n x x n n ， n x ,均为正整数，所以x 为奇数，且x 是1000的正约数。
1000,52100033∴⨯= 的正奇约数只有5，25，125，5,16=∴>x x 不合题意，又当125=x 时，(54628-=-=n 舍）当25=x 时，28=n ，符合题意，答：剧场共有25排座位。
例：一个正整数与13的和为5的倍数，与13的差是6的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？解：由题意得⎩⎨⎧=-=+21613513k x k x （21,k k 是正整数），可得515,652622121k k k k k +++=-=，要使x 最小，则2k 取最小值，当42=k 时，101=k ，此时37=x例：若b a ,都是正整数，且,2001500143=+b a 求b a +的值。
解：由已知可得143711423131435002001bb b a -+-=-=，观察可得7,2==a b ，于是不定方程的解为t t b t a (1432,5007-=+=为整数），b a , 是正整数，01432,05007>->+∴t t ，得14325007<<-t ，知9,2,7,0=+===b a b a t 例：设m 和n 大于0的整数，且,22523=+n m ①若m 和n 最大公约数为15，则______=+n m ；②若m 和n 的最小公倍数为45，则________=+n m解：n m , 的最大公约数为15，可令212121,.(15,15k k k k k n k m ≠==为正整数），由已知得1523,2253045232121=+=+=+k k k k n m 的解为t k t k 36,2121+=-=，而21k k ≠且21,k k 为正整数，有036,021>+>-t t ，知1,0-=t ；当1-=t 时3,21==k k （舍去），当0=t 时，6,121==k k ，此时m n m k n k m ,90,9015,151521=+====和n 的最小公倍数为45，可令d dn n dm m (,11==为正整数），由已知得5334511⨯⨯==n dm ，由22523=+n m 得225)23(11=+n m d ，于是有52311=+m n ，则只有11=n ，,45,11==d m 此时90,45=+∴==n m n m例：一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？解：设小明摸出的10个球中有红球x 个，黄球y 个，则蓝球)10(y x --个，由题意得21)10(32=--++y x y x ,即,0,0,92≥≥=+y x y x 而x y 22-=，知5.40≤≤x ，故红球个数最多不超过4个。