圆的方程习题附答案
圆的方程 习题含答案

圆的方程习题(含答案)一、单选题1.以点P(2,-3)为圆心,并且与y轴相切的圆的方程是( )A.(x+2)2+(y-3)2=4B.(x+2)2+(y-3)2=9C.(x-2)2+(y+3)2=4D.(x-2)2+(y+3)2=92.当点在圆上运动时,连接它与定点,线段的中点的轨迹方程是()A.B.C.D.3.圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,那么圆的面积为( )A.9πB.πC.2πD.由m的值而定4.圆的半径是()A.B.2C.D.45.已知圆与圆相交于A、B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为A.B.C.D.6.若点为圆上的一个动点,点,为两个定点,则的最大值为()A.B.C.D.7.已知直线:是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则()A.2B.C.6D.8.若直线l:ax+by+1=0经过圆M:的圆心则的最小值为A.B.5C.D.109.若均为任意实数,且,则的最小值为()A.B.C.D.二、填空题10.如图,扇形的圆心角为90°,半径为1,点是圆弧上的动点,作点关于弦的对称点,则的取值范围为____.11.已知x,y满足-4-4+=0, 则的最大值为____12.若直线l:与x轴相交于点A,与y轴相交于B,被圆截得的弦长为4,则为坐标原点的最小值为______.13.设直线与圆相交于两点,若,则圆的面积为________.14.已知圆的圆心在曲线上,且与直线相切,当圆的面积最小时,其标准方程为_______.15.在平面直角坐标系xOy中,已知过点的圆和直线相切,且圆心在直线上,则圆C的标准方程为______.16.已知圆的圆心在直线上,且经过,两点,则圆的标准方程是__________.17.在平面直角坐标系中,三点,,,则三角形的外接圆方程是__________.18.如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A ,B 同时出发,圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍,则在点P 运动一周的过程中,的最大值是_______.三、解答题 19.设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.(1)求的方程;(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程. 20.已知圆内一点,直线过点且与圆交于,两点.(1)求圆的圆心坐标和面积; (2)若直线的斜率为,求弦的长;(3)若圆上恰有三点到直线的距离等于,求直线的方程.21.已知点在圆上运动,且存在一定点,点为线段的中点.(1)求点的轨迹的方程; (2)过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点,是否存在实数使得,并说明理由.22.已知圆经过()()2,5,2,1-两点,并且圆心在直线12y x =上。
圆练习题及答案

圆练习题及答案圆是平面上所有与给定点(圆心)距离相等的点的集合。
这个给定点称为圆心,这个距离称为半径。
圆的方程通常表示为 (x - h)² + (y - k)² = r²,其中 (h, k) 是圆心的坐标,r 是半径。
以下是一些关于圆的练习题及答案:1. 练习题:已知圆的半径为5,圆心坐标为(3, 4),求圆的方程。
答案:根据圆的标准方程,我们可以得到圆的方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 5²,即 (x - 3)² + (y - 4)² = 25。
2. 练习题:如果一个圆的圆心在点(-2, -3),且与x轴相切,求这个圆的半径。
答案:由于圆与x轴相切,圆心到x轴的距离就是圆的半径。
圆心的y坐标为-3,因此半径为3。
3. 练习题:圆x² + y² = 16与直线y = 4x的交点坐标是什么?答案:将直线方程y = 4x代入圆的方程,得到x² + (4x)² = 16,即x² + 16x² = 16,解得x² = 1,所以x = ±1。
将x值代入直线方程,得到y = ±4。
因此,交点坐标为(1, 4)和(-1, -4)。
4. 练习题:求圆心在原点,半径为7的圆与圆心在(1, 2),半径为3的圆的公共点。
答案:设两圆的公共点为(x, y)。
根据圆的方程,我们有以下两个方程:- x² + y² = 49(半径为7的圆)- (x - 1)² + (y - 2)² = 9(半径为3的圆)解这两个方程组,我们可以得到公共点的坐标。
5. 练习题:一个圆的半径为8,圆心在(1, 1),求这个圆上任意一点P(x, y)到圆心的距离。
答案:根据两点间的距离公式,点P(x, y)到圆心(1, 1)的距离为√[(x - 1)² + (y - 1)²]。
(完整版)圆的参数方程练习题有答案

圆的参数方程1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =3sin θ,(θ为参数,0≤θ<2π)判断点A (2,0),B ⎝⎛⎭⎫-3,32是否在曲线C 上?若在曲线上,求出点对应的参数的值. 解:将点A (2,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =3sin θ,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ=1,sin θ=0.由于0≤θ<2π,解得θ=0,所以点A (2,0)在曲线C 上,对应θ=0.将点B ⎝⎛⎭⎫-3,32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =3sin θ,得⎩⎪⎨⎪⎧-3=2cos θ,32=3sin θ,即⎩⎨⎧cos θ=-32,sin θ=12.由于0≤θ<2π, 解得θ=5π6,所以点B ⎝⎛⎭⎫-3,32在曲线C 上,对应θ=5π6. 2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2ty =3t 2-1,(t 为参数).(1)判断点M 1(0,-1)和M 2(4,10)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M (2,a )在曲线C 上,求a 的值.[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程,判断参数是否存在. (2)将点的坐标代入参数方程,解方程组.[解] (1)把点M 1(0,-1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2t ,y =3t 2-1,得⎩⎪⎨⎪⎧0=2t-1=3t 2-1,∴t =0.即点M 1(0,-1)在曲线C 上.把点M 2(4,10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2t ,y =3t 2-1,得⎩⎪⎨⎪⎧4=2t10=3t 2-1,方程组无解. 即点M 2(4,10)不在曲线C 上. (2)∵点M (2,a )在曲线C 上,∴⎩⎪⎨⎪⎧2=2t ,a =3t 2-1. ∴t =1,a =3×12-1=2. 即a 的值为2.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t 2+1y =2t ,(t 为参数).①判断点A (1,0),B (5,4),E (3,2)与曲线C 的位置关系; ②若点F (10,a )在曲线C 上,求实数a 的值. 解:①把点A (1,0)的坐标代入方程组,解得t =0, 所以点A (1,0)在曲线上.把点B (5,4)的坐标代入方程组,解得t =2, 所以点B (5,4)也在曲线上.把点E (3,2)的坐标代入方程组,得到⎩⎪⎨⎪⎧3=t 2+1,2=2t ,即⎩⎨⎧t =±2,t =1.故t 不存在,所以点E 不在曲线上. ②令10=t 2+1,解得t =±3,故a =2t =±6.4.(1)曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =ty =t -2,(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________.解析:令x =0,即t =0得y =-2,∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0,-2). 答案:(0,-2)(2)在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1y =1-2t ,(t 为参数)与曲线C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =a sin θy =3cos θ,(θ为参数,a >0)有一个公共点在x 轴,则a =________. 解析:由y =0知1-2t =0,t =12,所以x =t +1=12+1=32.令3cos θ=0,则θ=π2+k π(k ∈Z ),sin θ=±1,所以32=±a .又a >0,所以a =32.答案:325.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2ty =at 2,(其中t 为参数,a ∈R).点M (5,4)在该曲线上,则常数a =________.解析:∵点M (5,4)在曲线C 上,∴⎩⎪⎨⎪⎧5=1+2t 4=at 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧t =2,a =1.∴a 的值为1. 答案:16.圆(x +1)2+(y -1)2=4的一个参数方程为____________.解析:令x +12=cos θ,y -12=sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2cos θy =1+2sin θ(θ为参数).答案:⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2cos θy =1+2sin θ(θ为参数)(注本题答案不唯一)7.已知圆的普通方程x 2+y 2+2x -6y +9=0,则它的参数方程为____________.解析:由x 2+y 2+2x -6y +9=0,得(x +1)2+(y -3)2=1.令x +1=cos θ,y -3=sin θ,所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+cos θy =3+sin θ,(θ为参数).答案:⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+cos θy =3+sin θ,(θ为参数)(注答案不唯一)8.圆(x +2)2+(y -3)2=16的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x =2+4cos θy =-3+4sin θ,(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+4cos θy =3+4sin θ,(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x =2-4cos θy =3-4sin θ,(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x =-2-4cos θy =3-4sin θ,(θ为参数) 解析:选B.∵圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a +r cos θy =b +r sin θ,(θ为参数)∴圆(x +2)2+(y -3)2=16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+4cos θy =3+4sin θ,(θ为参数)9.已知圆的方程为x 2+y 2=2x ,则它的一个参数方程是____________.解析:将x 2+y 2=2x 化为(x -1)2+y 2=1知圆心坐标为(1,0),半径r =1,∴它的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θy =sin θ(θ为参数).答案:⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θy =sin θ(θ为参数)10.已知圆P :⎩⎨⎧x =1+10cos θy =-3+10sin θ,(θ为参数),则圆心P 及半径r 分别是( )A .P (1,3),r =10B .P (1,3),r =10C .P (1,-3),r =10D .P (1,-3),r =10解析:选C.由圆P 的参数方程可知圆心P (1,-3),半径r =10.11.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2cos θy =2sin θ,(θ为参数),则圆的圆心坐标为( )A .(0,2)B .(0,-2)C .(-2,0)D .(2,0) 解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2cos θy =2sin θ得(x -2)2+y 2=4,其圆心为(2,0),半径r =2.12.直线:3x -4y -9=0与圆:⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A .相切B .相离C .直线过圆心D .相交但直线不过圆心解析:选 D.圆心坐标为(0,0),半径为2,显然直线不过圆心,又圆心到直线距离d =95<2,故选 D.13.已知圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =-3+2sin θy =2cos θ,(θ∈[0,2π),θ为参数)与x 轴交于A ,B 两点,则|AB |=________.解析:令y =2cos θ=0,则cos θ=0,因为θ∈[0,2π),故θ=π2或3π2,当θ=π2时,x =-3+2sin π2=-1,当θ=3π2时,x =-3+2sin 3π2=-5,故|AB |=|-1+5|=4.答案:414.已知动圆x 2+y 2-2x cos θ-2y sin θ=0.求圆心的轨迹方程.解:设P (x ,y )为所求轨迹上任一点. 由x 2+y 2-2x cos θ-2y sin θ=0得: (x -cos θ)2+(y -sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =sin θ这就是所求的轨迹方程.15.P 是以原点为圆心,r =2的圆上的任意一点,Q (6,0),M 是PQ 中点, (1)画图并写出⊙O 的参数方程;(2)当点P 在圆上运动时,求点M 的轨迹的参数方程. 解:(1)如图所示,⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =2sin θ.(2)设M (x ,y ),P (2cos θ,2sin θ),因Q (6,0), ∴M 的参数方程为⎩⎨⎧x =6+2cos θ2,y =2sin θ2,即⎩⎪⎨⎪⎧x =3+cos θ,y =sin θ. 16.已知点P (2,0),点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =sin θ上一动点,求PQ 中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:设Q (cos θ,sin θ),PQ 中点M (x ,y ),则由中点坐标公式得x =2+cos θ2=12cos θ+1,y =0+sin θ2=12sin θ.∴所求轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x =12cos θ+1y =12sin θ(θ为参数)消去θ可化为普通方程为(x -1)2+y 2=14,它表示以(1,0)为圆心、半径为12的圆.17.设Q (x 1,y 1)是单位圆x 2+y 2=1上一个动点,则动点P (x 21-y 21,x 1y 1)的轨迹方程是____________.解析:设x 1=cos θ,y 1=sin θ,P (x ,y ).则⎩⎪⎨⎪⎧x =x 21-y 21=cos 2θ,y =x 1y 1=12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 2θ,y =12sin 2θ,为所求. 答案:⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 2θy =12sin 2θ18.已知P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =2+cos αy =sin α,(α为参数)上任意一点,则(x -1)2+(y +1)2的最大值为________.解析:将⎩⎪⎨⎪⎧x =2+cos αy =sin α代入(x -1)2+(y +1)2得(1+cos α)2+(1+sin α)2=2sin α+2cos α+3=22sin ⎝⎛⎭⎫α+π4+3, ∴当sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=1时有最大值为3+2 2. 答案:3+2219.已知点P (x ,y )在曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θy =sin θ,(θ为参数)上,则x -2y 的最大值为( )A .2B .-2C .1+ 5D .1- 5解析:选C.由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θ,y =sin θ,所以x -2y =1+cos θ-2sin θ=1-(2sin θ-cos θ) =1-5⎝⎛⎭⎫25sin θ-15cos θ=1-5sin ()θ-φ⎝⎛⎭⎫其中tan φ=12, 所以x -2y 的最大值为1+ 5.20.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θy =sin θ,(θ为参数),求曲线C 上的点到直线l :x-y +1=0的距离的最大值.解:点C (1+cos θ,sin θ)到直线l 的距离 d =|1+cos θ-sin θ+1|12+12=|2+cos θ-sin θ|2=⎪⎪⎪⎪2+2cos ⎝⎛⎭⎫θ+π42≤2+22=2+1,即曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2+1.21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos t ,y =1+a sin t ,(t为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y -1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,ρ=4cos θ. 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去)或a =1.a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上. 所以a =1.22.若P (x ,y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =2+cos αy =sin α,(α为参数)上任意一点,则(x -5)2+(y +4)2的最大值为( )A .36B .6C .26D .25解析:选A.依题意P (2+cos α,sin α),∴(x -5)2+(y +4)2=(cos α-3)2+(sin α+4)2=26-6cos α+8sin α=26+10sin(α-φ)(其中cos φ=45,sin φ=35)∴当sin(α-φ)=1,即α=2k π+π2+φ(k ∈Z )时,有最大值为36.23.已知点P ⎝⎛⎭⎫12,32,Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =sin θ,(θ为参数)上的动点,则|PQ |的最大值是________.解析:由题意,设点Q (cos θ,sin θ), 则|PQ |=⎝⎛⎭⎫cos θ-122+⎝⎛⎭⎫sin θ-322=2-3sin θ-cos θ =2-2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π6 故|PQ |max =2+2=2. 答案:224.已知曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θy =sin θ,(θ为参数),则该曲线上的点与定点(-1,-2)的距离的最小值为________.解析:设曲线上动点为P (x ,y ),定点为A ,则|P A |=(1+cos θ+1)2+(sin θ+2)2 =9+42sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4, 故|P A |min =9-42=22-1. 答案:22-125.已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =-1+sin θ,与直线x +y +a =0有公共点,求实数a 的取值范围.解:法一:∵⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =-1+sin θ消去θ,得x 2+(y +1)2=1.∴圆C 的圆心为(0,-1),半径为1. ∴圆心到直线的距离d =|0-1+a |2≤1.解得1-2≤a ≤1+ 2.法二:将圆C 的方程代入直线方程, 得cos θ-1+sin θ+a =0,即a =1-(sin θ+cos θ)=1-2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4. ∵-1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4≤1,∴1-2≤a ≤1+ 2.26.设P (x ,y )是圆x 2+y 2=2y 上的动点.①求2x +y 的取值范围;②若x +y +c ≥0恒成立,求实数c 的取值范围.解:圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =1+sin θ,(θ为参数).①2x +y =2cos θ+sin θ+1=5sin(θ+φ)+1(φ由tan φ=2确定),∴1-5≤2x +y ≤1+ 5.②若x +y +c ≥0恒成立,即c ≥-(cos θ+sin θ+1)对一切θ∈R 成立.且-(cos θ+sin θ+1)=-2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4-1的最大值是2-1,则当c ≥2-1时,x +y +c ≥0恒成立.27.已知圆的极坐标方程为ρ2-42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π4+6=0. (1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点P (x ,y )在该圆上,求x +y 的最大值和最小值. [解] (1)由ρ2-42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π4+6=0, 得ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0, 即x 2+y 2-4x -4y +6=0,∴圆的标准方程(x -2)2+(y -2)2=2,3分 令x -2=2cos α,y -2=2sin α,得圆的参数方程为⎩⎨⎧x =2+2cos αy =2+2sin α,(α为参数)6分(2)由(1)知x +y =4+2(cos α+sin α) =4+2sin ⎝⎛⎭⎫α+π4,9分 又-1≤sin ⎝⎛⎭⎫α+π4≤1, 故x +y 的最大值为6,最小值为2.12分28.圆的直径AB 上有两点C ,D ,且|AB |=10,|AC |=|BD |=4,P 为圆上一点,求|PC |+|PD |的最大值.解:如图所示,以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =5cos θ,y =5sin θ(θ为参数).易知点C (-1,0),D (1,0).因为点P 在圆上,所以可设P (5cos θ,5sin θ). 所以|PC |+|PD |=(5cos θ+1)2+(5sin θ)2+(5cos θ-1)2+(5sin θ)2 =26+10cos θ+26-10cos θ =(26+10cos θ+26-10cos θ)2 =52+2262-100cos 2θ.当cos θ=0时,|PC |+|PD |有最大值为226.29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈⎣⎡⎦⎤0,π2. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y =3x +2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解:(1)C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos t ,y =sin t (t 为参数,0≤t ≤π).(2)设D (1+cos t ,sin t ),由(1)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t =3,t =π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1+cos π3,sin π3,即⎝⎛⎭⎫32,32.。
(完整版)圆的一般方程练习题

(限时:10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓,则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析:圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2),圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限,那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:圆心为a ,— 2b ,则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案:D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析:由题意可知,直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案:C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点,过M 点最长的弦到直线的距离 答案:C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析:由圆的几何性质可知,过圆内一点M的最长的弦是直径,最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式,分 4-3别得到方程:y = x — 3 和 y = — (x — 3),即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案:x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析:设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2,- 2,42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0,D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时:30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析:配方,得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以,圆心为(—2,3), 半径为4.答案:B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析:由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案:D3. 过坐标原点,且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析:解法一(排除法):由题意知,圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),分别把A , B 两点坐标代入四个选项,只有 A 完全符合,故 选A.解法二(待定系数法):设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知,直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径,即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心,2|AB 匸乎为半径的圆,其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2,化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案:A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析:圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1,所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0,即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案:B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析:设M(x, y),贝S M 满足:x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2,整理得x2+ y2= 16.答案:B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上,贝S a= _______a解析:由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案:—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点,x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方,得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心,3为半径的圆,而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知,MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案:5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上,则FA 的中心M的轨迹方程是.解析:设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上,故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案:x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径;⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析:(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得:(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知,CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线.解析:设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得:(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时,方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时,方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—:i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系专项训练(含每步提示及答案——原创材料)

由圆的一般方程判断点与圆的位置关系习题:点()1,2-a a 在圆03222=--+y y x 的内部,则a 的取值范围是( )A 、11<<-aB 、10<<aC 、540<<a D 、054<<-a 提示点:提示点1:设圆的半径是r ,点P 到圆心O 的距离为d ,则有:r d < ⇔ 点P 在圆内;r d = ⇔ 点P 在圆上;r d > ⇔ 点P 在圆外;提示点2:圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的圆心为(2,2ED --),半径为2422FE D -+提示点3:两点间距离公式为()()221221y y x x d -+-=;结合提示2,3可知,圆心为()1,0,半径为2,点到圆心的距离为()()221102--+-=a a d则根据提示1知,r d <,则有540<<a ,故选C 。
习题:点()1,2-a a 在圆04222=--+y y x 的外部,则a 的取值范围为 。
提示点:点()00,y x P 与圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的位置关系:0002020>++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆外;0002020=++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆上;0002020<++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆内;故将点()1,2-a a 代入圆的一般方程有()()()04121222>----+a a a ,故1>a 或51-<a 。
习题:若1>a ,则点()1,2-a a 与圆03222=--+y y x 的位置关系 。
提示点:点()00,y x P 与圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的位置关系:0002020>++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆外;0002020=++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆上;0002020<++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆内;将点()1,2-a a 代入圆的一般方程有()()()a a a a a 4531212222-=----+()45-=a a ,因1>a ,故()045>-a a ,故应填在圆外。
高中圆的方程基础练习题及讲解

高中圆的方程基础练习题及讲解### 高中圆的方程基础练习题及讲解#### 练习题一题目:已知圆心在原点的圆的方程为 \(x^2 + y^2 = r^2\),求半径为3的圆的方程。
解答:将 \(r = 3\) 代入圆的标准方程,我们得到:\[ x^2 + y^2 = 3^2 \]\[ x^2 + y^2 = 9 \]这就是半径为3的圆的方程。
#### 练习题二题目:圆 \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 20 = 0\) 与直线 \(x + y - 1 = 0\) 相切。
求圆的半径。
解答:首先,将圆的方程化为标准形式:\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 \]\[ x^2 + 6x + y^2 - 8y + 20 = r^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6x - 8y = r^2 - 20 \]由于圆与直线相切,圆心到直线的距离等于圆的半径。
圆心坐标为\((-3, 4)\),直线方程可以写成 \(y = -x + 1\)。
使用点到直线距离公式:\[ \text{距离} = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]将距离等于半径代入:\[ r = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]\[ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \]#### 练习题三题目:已知圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 与直线 \(y = x + b\) 相切,求\(b\) 的值。
解答:由于圆与直线相切,圆心到直线的距离等于圆的半径,即1。
圆心坐标为 \((0, 0)\),直线方程可以写成 \(x - y + b = 0\)。
使用点到直线距离公式:\[ 1 = \frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]\[ 1 = \frac{|b|}{\sqrt{2}} \]解得:\[ b = \pm \sqrt{2} \]#### 练习题四题目:求圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 的圆心坐标和半径。
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学(必修2)第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)²+y²=5B。
x²+(y-2)²=5C。
(x+2)²+(y+2)²=5D。
x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点,则直线AB 的方程是()A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是()A。
2B。
1+√2C。
1-√2D。
1+2√24.将直线2x-y+λ=0,沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切,则实数λ的值为()A。
-3或7B。
-2或8C。
2或10D。
1或115.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为()A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切,则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60,则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q,则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上,求a²+b²-2a-2b+2的最小值。
(完整版)圆的方程 习题(含答案)
一、单选题
1.以点P(2,-3)为圆心,并且与y轴相切的圆的方程是( )
A.(x+2)2+(y-3)2=4
B.(x+2)2+(y-3)2=9
C.(x-2)2+(y+3)2=4
D.(x-2)2+(y+3)2=9
2.当点 在圆 上运动时,连接它与定点 ,线段 的中点 的轨迹方程是( )
6.若点 为圆 上的一个动点,点 , 为两个定点,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线 : 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线,切点为 ,则 ( )
A.2B. C.6D.
8.若直线l:ax+by+1=0经过圆M: 的圆心则 的最小值为
A. B.5C. D.10
9.若 均为任意实数,且 ,则 的最小值为( )
21.已知点 在圆 上运动,且存在一定点 ,点 为线段 的中点.
(1)求点 的轨迹 的方程;
(2)过 且斜率为 的直线 与点 的轨迹 交于不同的两点 ,是否存在实数 使得 ,并说明理由.
22.已知圆经过 两点,并且圆心在直线 上。
(1)求圆的方程;
(2)求圆上的点到直线 的最小距离。
23.在平面直角坐标系 中,曲线 与坐标轴的交点都在圆 上.
A. B.
C. D.
3.圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,那么圆的面积为( )
A.9πB.πC.2πD.由m的值而定
4.圆 的半径是( )
A. B.2C. D.4
5.已知圆 与圆 相交于A、B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为
A. B. C. D.
A. B. C. D.
高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)
章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0,y0)及圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d,圆的半径为r,则d>r⇒相离;d=r⇒相切;d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d,半径分别为r1与r2,则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2| d<|r1-r2|关系(1)求相交两圆的弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则,空间上的任意一点都与有序实数组(x,y,z)一一对应.(2)空间中P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.(3)可利用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2+y2-2x=0相外切,并与直线l:x+3y=0相切于M(3,-3)点,求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2+y2-2x=0相外切,故两个圆心之间的距离等于半径的和,又∵圆C与直线l:x+3y=0相切于M(3,-3)点,可得圆心与点M(3,-3)的连线与直线x+3y=0垂直,其斜率为 3.设圆C的圆心为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧ b +3a -3=3,(a -1)2+b 2=1+|a +3b |2.解得a =4,b =0,r =2或a =0,b =-43,r =6,∴圆C 的方程为(x -4)2+y 2=4或x 2+(y +43)2=36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法求解,采用待定系数法求圆的方程的一般步骤:第一步:选择圆的方程的某一形式.第二步:由题意得a ,b ,r (或D ,E ,F )的方程(组).第三步:解出a ,b ,r (或D ,E ,F ).第四步:代入圆的方程.注:解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量,例如:圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点连线垂直于弦;当两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦;当两圆相切时,连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示,圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |=2,则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x -1)2+(y -2)2=2解析 取AB 的中点D ,连接CD ,AC ,则CD ⊥AB .由题意知,|AD |=|CD |=1,故|AC |=|CD |2+|AD |2=2,即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0),所以圆心C (1,2),故圆的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=2.(2)求半径为10,圆心在直线y =2x 上,被直线x -y =0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,则圆心坐标为(a ,b ),半径r =10,圆心(a ,b )到直线x -y =0的距离d =|a -b |2, 由半弦长,弦心距,半径组成的直角三角形得,d 2+⎝⎛⎭⎫4222=r 2, 即(a -b )22+8=10, ∴(a -b )2=4,又∵b =2a ,∴a =2,b =4或a =-2,b =-4,故所求圆的方程是(x -2)2+(y -4)2=10或(x +2)2+(y +4)2=10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22+(2)2=a 2,解得a 2=4, ∴圆M :x 2+(y -2)2=4, ∴圆M 与圆N 的圆心距d =(0-1)2+(2-1)2= 2.∵2-1<2<2+1,∴两圆相交.(2)已知直线l :x -3y +6=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,则|CD |=________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x -3y +6=0,x 2+y 2=12,消去x 得y 2-33y +6=0, 解得⎩⎨⎧ x =-3,y =3或⎩⎨⎧x =0,y =2 3. 不妨设A (-3,3),B (0,23),则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x +y +23=0,令y =0得x C =-2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D =2,∴|CD |=4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为:①位置关系的判断,②弦长问题,③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种,一种代数法,一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x +1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2+y 2-2ay -2=0,即x 2+(y -a )2=a 2+2,则圆心为C (0,a ).又|AB |=23,C 到直线y =x +2a 的距离为|0-a +2a |2, 所以⎝⎛⎭⎫2322+⎝ ⎛⎭⎪⎫|0-a +2a |22=a 2+2, 得a 2=2,所以圆C 的面积为π(a 2+2)=4π.题型三 对称问题例3 从点B (-2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射,反射光线所在的直线与圆x 2+y 2=12相切,求点A 的坐标.考点题点解 点B (-2,1)关于x 轴对称的点为B ′(-2,-1),易知反射光线所在直线的斜率存在,设反射光线所在的直线方程为y +1=k (x +2),即kx -y +2k -1=0.由题意,得|0-0+2k -1|k 2+1=12, 化简得7k 2-8k +1=0,解得k =1或k =17, 故所求切线方程为x -y +1=0或x -7y -5=0.令y =0,则x =-1或x =5.所以A 点的坐标为(-1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称,其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y =x 对称,则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2+(y -1)2=1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1),半径为1,所以圆C 的标准方程为x 2+(y -1)2=1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2+y 2+2ax +2ay +2a 2-1=0与x 2+y 2+2bx +2by +2b 2-2=0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得,两圆的标准方程分别为(x +a )2+(y +a )2=1和(x +b )2+(y +b )2=2,两圆的圆心坐标分别为(-a ,-a ),(-b ,-b ),半径分别为1,2,则当公共弦为圆(x +a )2+(y +a )2=1的直径时,公共弦长最大,最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离:d max =|OP |+r ,d min =||OP |-r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离:设圆心到直线的距离为m ,则d max =m +r ,d min=|m -r |.(3)已知点的运动轨迹是(x -a )2+(y -b )2=r 2,求①y x ;②y -m x -n;③x 2+y 2等式子的最值,一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的圆心为C (1,1),半径为1,由题意知,当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离),四边形的面积最小,又圆心到直线的距离d =|3+4+8|32+42=3, ∴|P A |=|PB |=d 2-r 2=22,∴S 四边形P ACB =2×12|P A |r =2 2.1.以点(-3,4)为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x -3)2+(y +4)2=16B.(x +3)2+(y -4)2=16C.(x -3)2+(y +4)2=9D.(x +3)2+(y -4)2=9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x -y =0和x -y -4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为( )A.(x +1)2+(y -1)2=2B.(x -1)2+(y +1)2=2C.(x -1)2+(y -1)2=2D.(x +1)2+(y +1)2=2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x -3)2+(y +8)2=121;(x +2)2+(y -4)2=64,则两圆的圆心与半径分别为C 1(3,-8),r 1=11;C 2(-2,4),r 2=8.圆心距为|C 1C 2|=(3+2)2+(-8-4)2=13.∵r 1-r 2<|C 1C 2|<r 1+r 2,∴两圆相交,则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0),A 1(a ,a ),且圆心在直线y =13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x -32a 2+⎝⎛⎭⎫y -a 22=a 22 解析 圆过点A (a,0),A 1(a ,a ),则圆心在直线y =a 2上. 又圆心在直线y =13x 上, 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ,a 2,则半径r =⎝⎛⎭⎫a -32a 2+⎝⎛⎭⎫-a 22=22|a |, 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x -32a 2+⎝⎛⎭⎫y -a 22=a 22. 5.已知直线x -my +3=0和圆x 2+y 2-6x +5=0.(1)当直线与圆相切时,求实数m 的值;(2)当直线与圆相交,且所得弦长为2105时,求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2+y 2-6x +5=0可化为(x -3)2+y 2=4,所以圆心坐标为(3,0),r =2. 因为直线x -my +3=0与圆相切, 所以|3+3|1+(-m )2=2, 解得m =±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x -my +3=0的距离为d =|3+3|1+(-m )2.由24-⎝ ⎛⎭⎪⎫|3+3|1+(-m )22=2105, 得2+2m 2=20m 2-160,即m 2=9.故m =±3.。
圆复习题大全及答案
圆复习题大全及答案一、选择题1. 圆的标准方程是()。
A. \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)B. \((x-a)^2 + (y-b)^2 = 2r\)C. \((x-a)^2 + (y-b)^2 = 4r\)D. \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r\)答案:A2. 圆的一般方程是()。
A. \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)B. \(x^2 + y^2 + Dx - Ey + F = 0\)C. \(x^2 + y^2 - Dx + Ey - F = 0\)D. \(x^2 + y^2 - Dx - Ey - F = 0\)答案:A3. 圆的直径是半径的()倍。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B二、填空题1. 圆的周长公式是 \(C = 2\pi r\),其中 \(r\) 代表圆的半径,\(\pi\) 是圆周率,其值约为 ________。
答案:3.141592. 圆的面积公式是 \(A = \pi r^2\),其中 \(r\) 代表圆的半径。
若圆的半径为 5,则其面积为 ________。
答案:78.54三、解答题1. 已知圆心为 \((2, -3)\),半径为 4,求该圆的方程。
答案:\((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\)2. 已知圆的方程为 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0\),求该圆的圆心和半径。
答案:圆心为 \((3, -4)\),半径为 5。
3. 已知两圆的方程分别为 \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 9\) 和\((x+2)^2 + (y-3)^2 = 16\),求两圆的公共弦所在的直线方程。
答案:\(5x - 2y - 8 = 0\)四、证明题1. 证明:若两圆相切,则两圆心之间的距离等于两圆半径之和或之差。
答案:略2. 证明:若圆的直径垂直于弦,则该弦为圆的直径。
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1.方程y =1-x 2表示的曲线是( ) A .上半圆 B.下半圆 C .圆D .抛物线解析:选A .由方程可得x 2+y 2=1(y ≥0),即此曲线为圆x 2+y 2=1的上半圆. 2.以M (1,0)为圆心,且与直线x -y +3=0相切的圆的方程是( ) A .(x -1)2+y 2=8 B.(x +1)2+y 2=8 C .(x -1)2+y 2=16D .(x +1)2+y 2=16解析:选A .因为所求圆与直线x -y +3=0相切,所以圆心M (1,0)到直线x -y +3=0的距离即为该圆的半径r ,即r =|1-0+3|2=22.所以所求圆的方程为:(x -1)2+y 2=8.故选A .3.已知圆C 1:(x +1)2+(y -1)2=1,圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为( )A .(x +2)2+(y -2)2=1 B.(x -2)2+(y +2)2=1 C .(x +2)2+(y +2)2=1D .(x -2)2+(y -2)2=1解析:选B .圆C 1的圆心坐标为(-1,1),半径为1,设圆C 2的圆心坐标为(a ,b ),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -12-b +12-1=0,b -1a +1=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2,所以圆C 2的圆心坐标为(2,-2),又两圆的半径相等,故圆C 2的方程为(x -2)2+(y +2)2=1.4.已知圆C 与直线y =x 及x -y -4=0都相切,圆心在直线y =-x 上,则圆C 的方程为( )A .(x +1)2+(y -1)2=2 B.(x +1)2+(y +1)2=2 C .(x -1)2+(y -1)2=2D .(x -1)2+(y +1)2=2解析:选D .由题意知x -y =0和x -y -4=0之间的距离为|4|2=22,所以r =2. 又因为x +y =0与x -y =0,x -y -4=0均垂直,所以由y =-x 和x -y =0联立得交点坐标为(0,0),由x +y =0和x -y -4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),圆C 的标准方程为(x -1)2+(y +1)2=2.5.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (-1,0),B (0,1),则满足|P A |2-|PB |2=4且在圆x 2+y 2=4上的点P 的个数为( )A .0 B.1 C .2D .3解析:选C .设P (x ,y ),则由|P A |2-|PB |2=4,得(x +1)2+y 2-x 2-(y -1)2=4,所以x +y -2=0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数,圆心到直线的距离为|0+0-2|2=2<2=r ,所以直线与圆相交,交点个数为2.故满足条件的点P 有2个,选C . 6.已知动点M (x ,y )到点O (0,0)与点A (6,0)的距离之比为2,则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________.解析:依题意可知|MO ||MA |=2,即x 2+y 2(x -6)2+y 2=2,化简整理得(x -8)2+y 2=16,即动点M 的轨迹是以(8,0)为圆心,半径为4的圆. 所以其面积为S =πR 2=16π. 答案:16π7.当方程x 2+y 2+kx +2y +k 2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y =(k -1)x +2的倾斜角α=________.解析:由题意知,圆的半径r =12k 2+4-4k 2=124-3k 2≤1,当半径r 取最大值时,圆的面积最大,此时k =0,r =1,所以直线方程为y =-x +2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=3π4.答案:3π48.已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥0,x +2y -4≤0恰好被面积最小的圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2及其内部所覆盖,则圆C 的方程为________.解析:由题意知,此平面区域表示的是以O (0,0),P (4,0),Q (0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ 为直角三角形,所以圆心为斜边PQ 的中点(2,1), 半径r =|PQ |2=5,因此圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5. 答案:(x -2)2+(y -1)2=59.已知以点P 为圆心的圆经过A (-1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |=410.(1)求直线CD 的方程; (2)求圆P 的方程.解:(1)由题意知,直线AB 的斜率k =1,中点坐标为(1,2).则直线CD 的方程为y -2=-(x -1),即x +y -3=0.(2)设圆心P (a ,b ),则由点P 在CD 上得a +b -3=0.① 又因为直径|CD |=410,所以|P A |=210, 所以(a +1)2+b 2=40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =6或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-2.所以圆心P (-3,6)或P (5,-2).所以圆P 的方程为(x +3)2+(y -6)2=40或(x -5)2+(y +2)2=40. 10.已知M (m ,n )为圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0上任意一点. (1)求m +2n 的最大值; (2)求n -3m +2的最大值和最小值. 解:将圆C 化为标准方程可得(x -2)2+(y -7)2=8, 所以圆心C (2,7),半径r =22.(1)设m +2n =b ,则b 可看作是直线n =-12m +b2在y 轴上截距的2倍,故当直线m +2n=b 与圆C 相切时,b 有最大或最小值.所以|2+2×7-b |12+22=22,所以b =16+210(b =16-210舍去),所以m +2n 的最大值为16+210. (2)设n -3m +2=k ,则k 可看作点(m ,n )与点(-2,3)所在直线的斜率, 所以当直线n -3=k (m +2)与圆C 相切时,k 有最大、最小值,所以|2k -7+2k +3|1+k 2=22,解得k =2+3或k =2-3.所以n -3m +2的最大值为2+3,最小值为2-3.1.直线l :ax +by =0和圆C :x 2+y 2+ax +by =0在同一坐标系的图形只能是( )解析:选D .圆C 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫-a 2,-b2,半径为a 2+b 22,圆心到直线的距离为d =⎪⎪⎪⎪a 22+b 22a 2+b2=a 2+b 22, 所以直线与圆相切,故选D .2.已知P (x ,y )是圆x 2+(y -3)2=a 2(a >0)上的动点,定点A (2,0),B (-2,0),△P AB 的面积的最大值为8,则a 的值为( )A .1 B.2 C .3D .4解析:选A .要使△P AB 的面积最大,只要点P 到直线AB 的距离最大.由于AB 的方程为y =0,圆心(0,3)到直线AB 的距离为d =3, 故P 到直线AB 的距离的最大值为3+a .再根据AB =4,可得△P AB 面积的最大值为12·AB ·(3+a )=2(3+a )=8,所以a =1,故选A .3.设曲线x =2y -y 2上的点到直线x -y -2=0的距离的最大值为a ,最小值为b ,则a -b 的值为( )A .22 B. 2 C .22+1 D .2解析:选C .由x =2y -y 2得y 2-2y +x 2=0(x ≥0),即x 2+(y -1)2=1(x ≥0),表示以(0,1)为圆心,1为半径的右半圆,如图.圆心(0,1)到直线x -y -2=0的距离为32=322.结合图形可知曲线x =2y -y 2上的点到直线x -y -2=0的距离的最小值为322-1,最大值为点P (0,2)到直线x -y -2=0的距离42=22,因此a =22,b =322-1.因此a -b =22+1.故选C .4.设命题p :⎩⎪⎨⎪⎧4x +3y -12≥0,k -x ≥0,x +3y ≤12(x ,y ,k ∈R 且k >0);命题q :(x -3)2+y 2≤25(x ,y ∈R ). 若p 是q 的充分不必要条件,则k 的取值范围是________.解析:如图所示:命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界),命题q 表示的范围是以点(3,0)为圆心,5为半径的圆及圆内部分,p 是q 的充分不必要条件.实际上只需A ,B ,C 三点都在圆内(或圆上)即可.由题知B ⎝⎛⎭⎫k ,4-43k ,则⎩⎪⎨⎪⎧k >0,(k -3)2+169(3-k )2≤25, 解得0<k ≤6. 答案:(0,6]5.在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上,求圆C 的方程.解:法一:(代数法)曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0),设圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0),则有⎩⎪⎨⎪⎧1+E +F =0,(3+22)2+D (3+22)+F =0,(3-22)2+D (3-22)+F =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-6,E =-2,F =1,故圆的方程是x 2+y 2-6x -2y +1=0.法二:(几何法)曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C 的圆心为(3,t ),则有32+(t -1)2=(22)2+t 2,解得t =1.则圆C 的半径为32+(t -1)2=3,所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9. 6.已知方程x 2+y 2-2x -4y +m =0. (1)若此方程表示圆,求实数m 的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x +2y -4=0相交于M ,N 两点,且OM ⊥ON (O 为坐标原点),求m 的值;(3)在(2)的条件下,求以MN 为直径的圆的方程.解:(1)由D 2+E 2-4F >0得(-2)2+(-4)2-4m >0,解得m <5.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由x +2y -4=0得x =4-2y ;将x =4-2y 代入x 2+y 2-2x -4y +m =0得5y 2-16y +8+m =0,所以y 1+y 2=165,y 1y 2=8+m 5.因为OM ⊥ON ,所以y 1x 1·y 2x 2=-1,即x 1x 2+y 1y 2=0.因为x 1x 2=(4-2y 1)(4-2y 2)=16-8(y 1+y 2)+4y 1y 2,所以x 1x 2+y 1y 2=16-8(y 1+y 2)+5y 1y 2=0,即(8+m )-8×165+16=0,解得m =85.(3)设圆心C 的坐标为(a ,b ),则a =12(x 1+x 2)=45,b =12(y 1+y 2)=85,半径r =|OC |=455,所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x -452+⎝⎛⎭⎫y -852=165.。