(全程复习构想)2014年高考数学一轮复习 3.2同角三角函数基本关系与诱导公式课件 理
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 变式探究 2 (1)设 f(a)＝ 3π 2 2 π 1＋sin α＋cos 2 ＋α－sin 2＋α 23 (1＋2sinα≠0)，求 f－ 6 π的值． 2 4 (2)化简 sinnπ＋3π· nπ＋3π(n∈Z)． cos
题型三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合 例 3 在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA ＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
解析：由已知， sinA＝ 2sinB， 得 3cosA＝ 2cosB.
2 2 2
① ②
2 ① ＋② ，得 2cos A＝1，得 cosA＝± . 2
sinα· cosα· －tanα 解析：(1)f(α)＝ ＝－cosα. tanαsinα 3π (2)∵cosα－ 2 ＝－sinα， 52－12 1 2 ∴sinα＝－5，cosα＝－ 5 ＝－5 6， 2 ∴f(α)＝ 6. 5
点评：熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应 用原则是：角化正、大化小、化到锐角为终了．
k 2．三角函数诱导公式 f2π＋α(k∈Z)的本质 k 三角函数诱导公式 f2π＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，
符号看象限．
对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即 π 诱导公式的左边为2· k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当 k 为奇数时， 右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的函数名称不改变， 这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将 α“看成”锐角(可能并不 是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然 π 后分析 · k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数 2 (原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号． 诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤： ①负角变正角，再写成 2kπ＋α，0≤α＜2π；②转化为锐角.
1 n(180° ＋30° )＝－sin30° ＝－2. 答案：D
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)· cos(－α)＋1 的值为( A．1 B．2sin2α C．0 D．2
)
解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)· cosα＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 答案：D
3．2 同角三角函数基本关系 与诱导公式
考纲点击 π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式. sinx 2 2 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin x＋cos x＝1，cosx ＝tanx.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.同角三角函数的基本关系式 基本关系式：①__________＝1，tanα＝②__________. 2．诱导公式
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同 名函数值， 前面加上一个把 α 看成⑲______时原函数值的符号； π α 2± 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
答案：①sin α＋cos α sinα
2
1－ 3 3 ∴sinθ＋cosθ＝m＝ 2 ，sinθ· cosθ＝－ 4 ， 3π 3 1 又∵ 2 ＜θ＜2π，∴sinθ＝－ 2 ，cosθ＝2， 5π ∴θ＝ . 3
题型二 诱导公式的应用 sinπ－αcos2π－αtan－α＋π 例 2 已知 f(α)＝ ； －tan－α－πsin－π－α (1)化简 f(α)； 3π 1 (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－ 2 ＝5，求 f(α)的值．
)
3 解析：∵α∈π，2π，∴sinα＜0，排除
B、C.
sinα 1 5 2 2 由 tanα＝cosα＝2，sin α＋cos α＝1，得 sinα＝－ 5 . 答案：A
3π sinθ＋cosθ 5．若 ＝2，则 sin(θ－5π)·sin 2 －θ等于( sinθ－cosθ 4 3 A.3 B．± 10 3 3 C. D．－ 10 10
点评：已知角 α 的三角函数值求角 α 的一般步骤是：①由 三角函数值的符号确定角 α 所在的象限； ②据角 α 所在的象限 求出角 α 的最小正角； ③最后利用终边相同的角写出角 α 的一 般表达式．
1 变式探究 3 在△ABC 中，sin(π－A)－cos(π－A)＝5. (1)求 sinA· cosA； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tanA 的值．
疑点清源 1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例 x2＋y2 y x 如：∵sinα＝ ，cosα＝ ，∴sin2α＋cos2α＝ 2 ＝1. r r r (2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符 号，需要根据角 α 的范围进行确定． (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角 函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又 提供了一种重要的方法．
sinθ＋cosθ＝m， 2m－1 解析：sinθ· cosθ＝ ， 4 Δ＝16m2－2m＋1≥0， 1± 3 代入(sinθ＋cosθ) ＝1＋2sinθ· cosθ，得 m＝ 2 ， 2m－1 1－ 3 3π 又 2 ＜θ＜2π，∴sinθ· cosθ＝ 4 ＜0，即 m＝ 2 ，
点评：①对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 这三个式 子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式 为(sinα± cosα)2＝1± 2sinαcosα；②关于 sinα，cosα 的齐次式，注 意化为关于 tanα 的式子．
变式探究 1 已知 sinθ， cosθ 是方程 4x2－4mx＋2m－1＝0 3π 的两个根， 2 ＜θ＜2π，求 θ.
∴sinα＞0，cosα＜0. ∴sinα－cosα＞0. 7 ∴sinα－cosα＝5. 1 4 sinα＋cosα＝5， sinα＝5， 由 得 7 sinα－cosα＝ ， cosα＝－3. 5 5 4 ∴tanα＝－ . 3
sin2α＋cos2α sin2α＋cos2α tan2α＋1 cos2α 1 (2) 2 2 ＝ 2 2 ＝ 2 2 ＝ cos α－sin α cos α－sin α cos α－sin α 1－tan2α cos2α 4 ∵tanα＝－3， 4 － 2＋1 2 tan α＋1 3 1 25 ∴ 2 ＝ ＝ 4 ＝－ 7 . cos α－sin2α 1－tan2α 1－－32
5 3．已知 sinα＝ ，则 sin4α－cos4α 的值为( 5 3 1 1 3 A．－ B．－ C. D. 5 5 5 5
4 4 2 2 2
)
1 解析：∵sin α－cos α＝sin α－cos α＝2sin α－1＝2×5－1 3 ＝－5. 答案：A
3π 1 4．已知 tanα＝ ，且 α∈π， 2 ，则 sinα 的值是( 2 5 5 A．－ 5 B. 5 2 5 2 5 C. D．－ 5 5
－2sinα－cosα＋cosα 解析：(1)∵f(a)＝ 1＋sin2α＋sinα－cos2α 2sinαcosα＋cosα ＝ 2sin2α＋sinα cosα1＋2sinα 1 ＝ ＝tanα， sinα1＋2sinα 23π 1 1 1 ∴f－ 6 ＝ 23π＝ π ＝ π＝ 3. tan6 tan－ 6 tan－4π＋6
)
sinθ＋cosθ 解析：由 ＝2，可得 tanθ＝3， sinθ－cosθ 3 ∴sin(θ－5π)sin2π－θ＝(－sinθ)(－cosθ) sinθcosθ ＝ 2 sin θ＋cos2θ tanθ ＝ 2 tan θ＋1 3 ＝ . 10 答案：C
说考点
拓展延伸串知识
2 3 ①当 cosA＝ 2 时，cosB＝ 2 ， 又 A、B 是三角形的内角， π π ∴A＝4，B＝6. 7 ∴C＝π－(A＋B)＝12π. 2 3 当 cosA＝－ 时，cosB＝－ . 2 2 又 A、B 是三角形的内角， 3 5 ∴A＝4π，B＝6π，不符合题意． π π 7 综上，A＝ ，B＝ ，C＝ π. 4 6 12
2
归纳总结 •方法与技巧 1．同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变 名、变式． 2．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的 影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要 根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
2
2
sinα ②cosα
③sinα
④－sinα
⑤－
⑥sinα ⑦cosα ⑧cosα ⑨cosα ⑩－cosα ⑪cosα ⑫－cosα ⑬sinα ⑭－sinα ⑮tanα ⑯tanα ⑰－tanα ⑱－tanα ⑲锐角
考点自测 1.sin210° 等于( ) 3 3 A. 2 B．－ 2
1 C.2
题型探究 题型一 同角三角函数的基本关系的应用 1 例 1 已知 α 是三角形的内角，且 sinα＋cosα＝5. (1)求 tanα 的值； 1 (2)把 2 用 tanα 表示出来，并求其值． cos α－sin2α
1 sinα＋cosα＝ ， ① 5 解析：(1)方法一，联立方程 sin2α＋cos2α＝1， ② 1 由①得 cosα＝5－sinα. 将其代入②，整理得 25sin2α－5sinα－12＝0. 4 sinα＝5， ∵α 是三角形的内角，∴ cosα＝－3. 5 4 ∴tanα＝－ . 3
(2)当 n＝2k(k∈Z)时， 2 4 原式＝sin2kπ＋3π· 2kπ＋3π cos 2 4 ＝sin π·cos π 3 3 π π －cos ＝sin · 3 3 3 1 ＝ 2 ×－2 3 ＝－ 4 .
2014届高三数学总复习 3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式教案 新人教A版
2014届高三数学总复习 3.3三角函数的图象和性质教案 新人教A 版1. (必修4P 16例1改编)α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案：817解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817.2. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 答案：－12解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12.3. sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．答案：2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 4. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜－π12.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.5. (必修4P 22习题9(1)改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos ()π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝__________．答案：－2解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝cos θ－（－cos θ）cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2) 商数关系：tan α＝sin αcos α.2. 诱导公式记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． [备课札记]题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P 23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值； (2) 将1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解：(1) (解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①，sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理，得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵ α是三角形内角，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(解法2)∵ sin α＋cos α＝15，∴ (sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴ 2sin αcos α＝－2425，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵ sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴ sin α>0，cos α<0.∵ sin α－cos α>0，∴ sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(2) 1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵ tan α＝－43，∴ 1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.变式训练已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．(1) 求sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及此时θ的值． 解：(1) 由韦达定理可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①，sin θ·cos θ＝m2②，而sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝ sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2) 由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32. (3) 当m ＝32时，原方程变为2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.∵ θ∈(0，2π)，∴ θ＝π6或π3. 例2 (必修4P 23第10(2)题改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝(（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α)(（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α)＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________． 答案：±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 解析：∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角． 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角，∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin （－α）的值．解：∵ sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴ －sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴ sin α＝－2cos α，且cos α≠0. ∴ 原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1) sin(2π－α)；(2) sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z )．解：∵ cos(π＋α)＝－12，∴ －cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，∴ sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32.(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.1. (2013·广东文)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________． 答案：15解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2. 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝________． 答案：－12解析：由条件，知π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴ a 5＝π3，∴ cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－12. 3. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________．答案：－24解析：因为sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－19＝－223，从而tan α＝－24. 4. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.1. 已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15.(1) 求sinx －cosx 的值； (2) 求tanx 的值．解：(1) ∵ sinx ＋cosx ＝15，∴ 1＋2sinxcosx ＝125，∴ 2sinxcosx ＝－2425，又∵ 0<x<π，∴ sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴ cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴ sinx －cosx ＝1－2sinxcosx ＝75.(2) sinx ＋cosx sinx －cosx ＝17，tanx ＋1tanx －1＝17，tanx ＝－43.2. 已知3cos 2(π＋x)＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，求6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)的值．解：由已知得3cos 2x ＋5sinx ＝1，即3sin 2x －5sinx －2＝0，解得sinx ＝－13或sinx ＝2(舍去)．这时cos 2x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝89，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝18，故6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89＝－256.3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1) 求sinA·cosA；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．解：(1) 因为 sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225. (2) 由(1) sinAcosA ＝－1225<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3) (sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1＋2425＝4925.又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0， 所以sinA －cosA ＝75②，所以由①，②可得sinA ＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝45－35＝－43.4. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《同角三角函数基本关系与诱导公式》
1 D．－2
1 解析：sin210° ＝sin(180° ＋30° )＝－sin30° ＝－2. 答案：D
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)· cos(－α)＋1 的值为( A．1 B．2sin2α C．0 D．2
)
解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)· cosα＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 答案：D
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同 名函数值， 前面加上一个把 α 看成⑲______时原函数值的符号； π α 2± 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
答案：①sin α＋cos α sinα
3．2 同角三角函数基本关系与诱导公式 考纲点击 π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式. sinx 2 2 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin x＋cos x＝1，cosx ＝tanx.
考点梳理 1.同角三角函数的基本关系式 基本关系式：①__________＝1，tanα＝②__________. 2．诱导公式
k 2．三角函数诱导公式 f2π＋α(k∈Z)的本质 k 三角函数诱导公式 f2π＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，
符号看象限．
对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即 π 诱导公式的左边为2· k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当 k 为奇数时， 右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的函数名称不改变， 这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将 α“看成”锐角(可能并不 是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然 π 后分析 · k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数 2 (原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号． 诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤： ①负角变正角，再写成 2kπ＋α，0≤α＜2π；②转化为锐角.
2014年高考数学一轮复习：高考常用的诱导公式汇总
2014年高考数学一轮复习：高考常用的诱导公式汇总一、高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ ；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3。
2014~2015学年度 (人教A版)高考数学复习课件 《同角三角函数的基本关系与诱导公式》
1 (－1 050°)＝________ ．
2sin （π ＋α）cos （π －α）－cos （π ＋α ） (2)设 f(α)＝ 3π 2 2π 1＋sin α ＋cos ＋α －sin ＋α 2 2 23π 3 (1＋2sin α ≠0)，则 f － ＝________． 6
第三章 三角函数、解三角形
2．三角函数求值与化简的三种常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tanα ＝ 化成正、 余弦． cos α (2)和积转换法：利用 (sin θ ± cos θ )2＝ 1± 2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换： 1＝sin2θ ＋cos2θ ＝cos2θ (1＋tan2θ ) π ＝tan ＝…. 4
cos θ sin θ cos θ 1 解析：tan θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝2. sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ
第三章 三角函数、解三角形
考点一 考点二
利用诱导公式化简三角函数式 利用诱导公式求值
考点三
同角三角函数基本关系式(高频考点)
第三章 三角函数、解三角形
考点一 利用诱导公式化简三角函数式
第三章 三角函数、解三角形
[规律方法] 利用诱导公式化简三角函数式的原则 遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达 到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数 名称最少．
第三章 三角函数、解三角形
1.(1)sin( － 1 071 ° )sin 99 ° ＋ sin( － 171 ° )· sin( － 261 ° ) ＋ tan( _______
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tan α＝sin αcos α的关系中，须保证tan α有意义，所以须使α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2 α＋cos 2 α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切tan αtan α－tan α－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) (A)－32 (B)32 (C)－12(D)12D 解析：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.故选D.2．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )(A)12 (B)－12 (C)32(D)－32A 解析：∵f (α)＝sin αcos α(－cos α)·(－tan α)＝sin αtan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tan α·cos α等于( ) (A)12 (B)－12 (C)－32(D)32C 解析：若α＝113π，tan α·cos α＝sin αcos α·cos α＝sin α＝sin 113π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝－sin π3＝－32.故选C.4．已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435．已知sin x cos x ＝38，且x ∈π4，π2，则cos x －sin x ＝________. 解析：因为x ∈π4，π2， 所以sin x >cos x ， 即cos x －sin x <0，所以(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，所以cos x －sin x ＝－12. 答案：－12考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )(A)25 (B)－25 (C)－2(D)2解析：(1)依题意得⎩⎨⎧tan α＝sin αcosα＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，由此解得cos 2 α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan α＋1＝25.答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)，k∈Z；(2)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α；(3)化简tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 cos(－α－π)sin(－π－α).解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α)sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos(π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以原式＝sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.(2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2 α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.(3)方法一：原式＝(－tan α)·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝(－tan α)·[－cos (π－α)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)·sin α＝－tan α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.方法二：原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.【反思归纳】 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【即时训练】 已知sin(3π＋θ)＝13， 求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用 (高频考点)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．求： (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0， ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin 3 θ＋cos 3 θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2 θ－sin θcos θ＋cos 2 θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.答案：(1)2－2 (2)2＋1【反思归纳】 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．【即时训练】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sin α＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sin α＋2π3＝________. 解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49， 所以sin αcos α＝－518<0，所以α为钝角．故选D. (2)因为π2<α<π，所以2π3<α＋π6<7π6， cos α＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sin α＋2π3＝sin π2＋α＋π6＝cos α＋π6＝－1213. 答案：(1)D (2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简： (1)cos α－π2sin 52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α).解：(1)原式＝cos π2－αsin π2＋α·sin α·cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α.(2)原式＝cos 2α－tan α－sin α＝cos 3α＋1cos α.【规律总结】 三角函数式化简目标方向 (1)用同角关系中切弦互化，统一函数名． (2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．【源题变式】已知f (x )＝sin (2π－x )·cos 32π＋xcos (3π－x )·sin 112π－x ，则f －21π4＝________.解析：因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin6π－π2＋x＝sin 2xcos x －sin π2＋x ＝sin 2x －cos 2x ＝－tan 2x . 所以f －214π＝－tan 2－214π＝－tan 2－5π－π4＝－tan 2－π4＝－1.答案：－1课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)210 (B)－210 (C)7210(D)－7210A 解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，即tan α＝43，得sin α＝－45，cos α＝－35∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) (A)－25(B)－15(C)15 (D)25答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )(A)45 (B)35 (C)－45(D)－35 D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－35，故选D.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )(A)916 (B)－916 (C)－34 (D)34答案：B5．已知α是第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α的值为( ) (A)－2 (B)2 (C)0(D)3C 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α|cos α|＋sin α|sin α|，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α|cos α|＋sin α|sin α|＝－1＋1＝0.故选C.6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) (A)π3 (B)π4 (C)π2(D)2π3C 解析：因为3sin π2－A ＝3sin(π－A )， 所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33， 又0<A <π，所以A ＝π6.又因为cos A ＝－3cos(π－B )， 即cos A ＝3cos B ， 所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π， 所以B ＝π3.所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 7．设f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝________. 解析：方法一：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .方法二：f (sin x )＝3－(1－2sin 2 x )＝2＋2sin 2 x ， ∴f (x )＝2＋2x 2，∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋2cos 2x －1＝3＋cos 2x . 答案：3＋cos 2x8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )的结果为________． 解析：n 为偶数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. n 为奇数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. 答案：09．已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________.解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23.答案：－2310．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan (α＋5π)tan (－α－π)·sin (α－3π)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·(－sin α)＝－cos α；(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．已知2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α＝75，求tan α的值．解：由题意得2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝75， 所以2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝75， 所以10tan 2α＋5tan α－15＝7tan 2α＋7，所以3tan 2α＋5tan α－22＝0，所以(3tan α＋11)(tan α－2)＝0，所以tan α＝－113或tan α＝2.能力提升练(时间：15分钟)12．设f (x )＝⎩⎨⎧ s in πx ， (x ＜0)，f (x －1)＋1， (x ≥0)和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosπx ，(x ＜12)，g (x －1)＋1，(x ≥12)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值为( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)5 B 解析：∵g (14)＝22，g (56)＝cos(－16π)＋1＝32＋1，f (13)＝sin(－23π)＋1＝－32＋1，f (34)＝sin(－π4)＋1＝－22＋1，∴原式＝3.故选B.13．已知sin θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则sin(π－θ)·sin(32π－θ)的值为( )(A)229(B)－229 (C)19(D)－19B 解析：∵θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223， ∴sin(π－θ)sin(3π2－θ)＝－sin θcos θ＝－13×223 ＝－229.故选B.14．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π315．在三角形ABC 中，求cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2的值． 解：在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2， 所以cos A ＋B 2＝cos π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. 16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12 ①sin θcos θ＝m 2 ②而sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34.由②得m 2＝34，∴m ＝32. (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝32sin θ＝12. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.。
高考数学第一轮基础复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
解法 2：设 tanα1＝185，α1 为锐角， 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝185， 设 AC＝8，BC＝15，则 AB＝17， ∴sinα1＝187，
∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝187. 解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， 又 tanα＝csionsαα＝－185，由勾股数组 8,15,17 知排除 A， ∴选 C.
已知
tan2α ＝ － 2
2
，
且
满
足
π 4
<α<
π 2
，
则
2cos2α2－sinα－1 2sinπ4＋α
的值为(
)
A. 2
B．－ 2
C．－3＋2 2
D．3－2 2
解析：2cos22sα2i－nπ4si＋nαα－ 1＝csionsαα＋－csoinsαα＝1ta－nαta＋nα1. 又 tan2α＝－2 2＝1－2tatannα2α
cos2
sin2
＝sinα2＋cosα2 －sinα2－cosα2
α2为第二象限角 α2为第四象限角
∴原式＝± 2sinα2＋π4. 答案：± 2sinα2＋π4
利用诱导公式进行化简求值
[例 3] 设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中 a，b，
α∈R，且 ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若 f(2009)＝5，则 f(2010)
答案：C
点评：本题中由 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方扩大了 θ 的取值范围会引起增解，必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ＋ cosθ<1 得出π2<θ<π，进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ ＝－ 33，故变换时必须要等价，使用不等价变换时，一 定要检验．
高考数学一轮复习-3-2-同角三角函数基本关系式与诱导公式课件-文
角.
×
•( )
• (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角√ .
•( )
基础诊断 考点突破
课堂总结
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中 的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
(√ ) (4)若 α≠kπ＋π2(k∈Z)，则 cos2α＝1＋t1an2α.
(√ )
所以 cosα－1112π＝－23.
a
基础诊断 考点突破
课堂总结
(2)因为 tan(π＋α)＝tan α＝－12，
所以 tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12.
答案
(1)－23
1 (2)2
基础诊断 考点突破
课堂总结
• [思想方法]
• 1. 同角三角函数基本关系可用于统一函数； 诱导公式主要用于统一角，其主要作用是 进行三角函数的求值、化简和证明，如已 知一个角的某一三角函数值，求这个角的 其它三角函数值时，要特别注意平方关系 的使用.
答案 (1)1 (2) 3
Hale Waihona Puke 基础诊断 考点突破课堂总结
• 规律方法 利用诱导公式化简三角函数的 基本思路和化简要求: (1)基本思路: ①分析
结构特点，选择恰当公式；②利用公式化 成单角三角函数；③整理得最简形式．(2) 化简要求: ①化简过程是恒等变形；②结果
要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构 尽可能简单，能求值的要求出值．
基础诊断 考点突破
课堂总结
解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050° ＝ － sin(3×360°＋ 120°)cos(3×360°＋ 210°) － cos(2×360°＋ 300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝ － sin(180°－ 60°)cos(180°＋ 30°) － cos(360°－ 60°)·sin(360°－ 30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝ 23× 23＋12×12＝1.
高中数学 高三一轮 3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式【教案】
学必求其心得，业必贵于专精高三一轮 3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式【教学目标】1。
理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，错误!＝tan α。
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出错误!±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【重点难点】1.教学重点:同角三角函数的基本关系与诱导公式的灵活应用；2.教学难点:学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】课时在高考中一般不直接考查, 常与三角恒等变形进行综合考查.真题再现θθθ31.(20161),sin ,45tan .4全国已知是第四象限角且 则ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭34,sin(),cos(),4545解：由题意ππθθ+=+=θθθθθθθsin sin()424tan()4cos()cos 442cos()443sin()4πππππππππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦-==⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-+==-+2.【2015福建高考】若， 且为第四象限角，则的值等于( ).125cos sin tan ,13121351cos ,135sin ,1cos sin 【解析】222-===--=-==+αααααααα可得；）（则所以；为第四象限的角，因为3。
（2014年安徽)设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。
π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf ( ）A.21 B 。
23C.0D 。
21-环节二：知识梳理： 知识点1 同角三角函数的基本关系1．平方关系:sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：tan α＝错误!错误!。
知识点2 三角函数的诱导公式1.下列各角的终边与角α的终边的关引导学生通过对基础知识的逐点扫描,来澄清概念，加强。