高三数学 课件 高三第一轮复习---等 比 数 列
作业
(2)中项法: (3)通项法:
an1 q(常数) (n N • ) an
a2 n1
an
an2
an a1 qn1 n N*
(4)前n项和法:
Sn A qn A 数列an是等比数列
2．解决等比数列问题的常见思维方法
1、方程的思想：在5个量a1，q，n，an，
Sn中，知道其中3个求另外两个。
练习：四个数，前3个数成等比数列，且积 为216，后三个数成等差数列，且积为48， 求这四个数。
例3．设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n项和为80,且其中最大的一 项为54；又其前2n项和是6560,求a和q.
练习:设等比数列
a 的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q. n
此时： b2=a·c
即：b ac
简单性质
1 m n p q,则am an ap aq
(2) Sn , S2n Sn , S3n S2n ,
组成公比为
qn 的等比数列 。
3 an , anm, an2m, 组成公比为qm
的等比数列。
主要方法
1．等比数列的判定方法 (1)定义法:
a 例4.已知数列 ,Sn是它的前n项和, n且
(1)设 Sn1 4an,求证2(是n等比数N列; )，a1 1.
(2)设
,求证 是等差数列.
(3)求Sn bn an1 2an (n N )
bn
cn
an 2n
cn
练习:数列的前n项和 S n 3n b(b为常数 )
那么数列是等比数列吗?为什么?
（2）分类的思想：
①运用等比数列的求和公式时,需要对q=1或q≠1分类讨论； ②当a1>0且q>1，或a1<0且0<q<1时，数列递增；当a1<0且q>1，或a1>0且0<q<1时， 数列递减；当q<0时，数列是摆动数列。
3．设元技巧: 三数成等比数列:
a ，a，aq或a，aq，aq2 q
四数成等比数列
a q3
，a q
，aq，aq3或a，aq，aq
2，aq3
a 例1．数列 为等比数列,求下列各值： n
321已 已知知aqa32a8a6 3263，，6，Sa83a41a5a7 (711158，，2)，
求求ana公1. 比 12 ，q.求n.
例2、四个数，前3个数成等比数列，且和 为19，后三个数成等差数列，且和为12， 求这四个数。
高三第一轮复习
等比数列
主要知识
定义： an1 q(常数)(n N * ) an
通项： an a1 qn1 n N*
推广：
aqnnmam aqnnm
am
前n项的和：
a1
1 qn
Sn 1 q
q 1
na1
q 1
中项： 若a、b、c成等比数列，则b为a与c的等比中项（或几何中项）。
例6、一个球从100米高外自由下落，每次着地后又跳回到原高度的一半落下，当它 第10次着地时，共经过了多少米？
练习 ：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就 在每年生日，到银行储蓄a元的一年定期，若年利润率为r保持不变，且每年到期时， 存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利 息）全部取回，则取回总钱数为多少？
高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.
等比数列及其前n项和(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 18 —
思维点睛►
(1)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可 以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，分为q＝1时与q≠1时的情 况．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 15 —
解法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得aa12＋ －aa25＋ ＝a432＝，168，
即a111－－qq3＝168， a1q1－q3＝42，
a1＝96， 解得q＝12，
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
(2)设等比数列{an}的公比为q， 由题意得2（12a3）＝3a1＋2a2， 即a1q2＝3a1＋2a1q. 因为数列{an}的各项均为正数，所以a1>0，且q>0，故A、B正确； 由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)， 所以aa32＝q＝3，aa46＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD.
第六章 数列
第3讲 等比数列及其前n项和
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课标解读
— 2—
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.探索并掌握等 比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；3.能在具 体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；4.体会等比数列与指 数函数的关系．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
(2)由(1)可知 an－3n＝(－1)n， 所以 an＝3n＋(－1)n， 所以 Sn＝311－－33n＋－11·－[1－－1－ 1n] ＝3n＋1－2－1n＋1－2.
高三数学第三讲等比数列课件 人教版
• ⒋在等 比数列 {an} 中， a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则 a5+a6=_____ . a6+a7=_____ 480
5.正项等比数列an 中， (1)若a5 a6 9, 求 log 3 a1 log 3 a2 (2)若q=2,且a1a 4a 7 log 3 a10的值 a 28 210 , 则a 3a 6a 9 a 30 .
(1)当给出的等比数列没有 说明公比q的取值 情况，应用前n项和公式时，一定要分 情况讨论； ( 3)数值不为零的常数列， 既是等差数列，又是等 比 数列.
( 2)注意a , b的等比中项 ab与几何平均数 ab的区别；
7、等比数列的性质： (1)若m n p q , ( m , n, p, q为非零自然数）， 则a m a n a p a q ; ( 2)若m n 2 p, 则a m a n a ;
2008届高三数学第一轮
一、知识要点：
1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项 的比值等于同一个常数，这个数列叫做等比数列.
2、通项公式 : an a1 q n1 推广：an am q ( n m ) ( n m; n, m N * )
3.等比中项 如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等比数列，则 A叫a、b的等比中项．A2 a b A a b
2 （ 2 ）等差中项：a n 1 a n 2 a n ( n N *)
（ 3 ）前n项和公式：S n k k q n ( k、q为非零常数, n N * ) （ 4 ）通项公式：a n k q n1 ( k、q为非零常数, n N * )
2019届高三数学(理)一轮课件：第30讲-等比数列及其前n项和(含答案)
又���1���
-2=-13≠0,∴数列
1 ������
-2
是首项为-13,公比为13的等
课堂考点探究
[总结反思] 判定一个数列为等比数列的常见方
(1)定义法:若������������ +1=q(d
������������
是常数),则数列
������������
是等
(2)等比中项法:若������2 =anan+2(n∈N*),则数列
a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7= ( )
[解
A.21
B.42
C.63
D.84
所
教学参考
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.[2013·全国卷Ⅱ] 等比数列{an}的前 n 项 [答
和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1= [解
()
A.1
B.-1
S3
教学参考
4.[2017·全国卷Ⅲ] 设等比数列{an}满足
解:(1)证 因为数列 因为 an+
a3=
.
课堂考点探究
探究点一 等比数
例 1 (1)[2017·揭阳二模] 已知等比数列 ������������ 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a5= ( )
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)A
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,依题意有
4
11
课堂考点探究
[总结反思] (1)等比数列的通项公式与前 n 项和 个就能求另外两个(简称“知三求二”). (2)运用等比数列的前 n 项和公式时,注意对 q=
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三 等比数列的判定与证明
例 3 (2011·天津文)已知数列{an}与{bn}满足 bn＋1an＋bnan ＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－2 1n－1，n∈N*，且 a1＝2.
设 cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
aq1＝13， 解方程组1－a1 q＝－12，
得aq1＝＝31，， ⇒n＝4
∴a2n＝a1·q2n－1＝1·32n－1＝32n－1＝37.
【答案】 37
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 (1)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项 和公式 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)共涉及五个量 a1，an， q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用．
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第六章 数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2012·考纲下载
1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.
2．(2012·大连模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30， a3＋a4＝60，则 a7＋a8＝________.
答案 240
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
【全套】2021届新课改地区高三数学一轮专题复习——第35讲 等比数列(解析版)
为( )
A．－2＋ 2 2
B.－ 2
C. 2
D．－ 2或 2
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两根，所以 a3·a15＝a29＝2，
1 (q4)3 1 (q4)2
1 23 1 22
7. 3
1 q
（2）：(基本量法) 设数列 an 的首项是 a1 ，公比为 q ，则由 a3 a2 4 ， a4 16 ，得
a1q a1q
2 3
a1q 16
4
解得
aq122 ， S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 2 4 8 14 .
项 a1＞0，公比 0<q<1 或首项 a1＜0，公比 q＞1，则数列为递减数列；若公比 q＝1，则数列为常数列；公比
q＜0，则数列为摆动数列．
1
an
(5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、an 、{a2n}、bn 、{manbn}(m≠0)仍为等比数列．
1 / 14
变式 2、 (1)[2018·如东中学]在等比数列{an}中，各项均为正值，且 a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则 a4＋a8＝
____； (2)[2016·常熟中学]等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和为 Sn，若SS150＝3312，则公比 q＝___．
【答案】（1） 51（2）－1 2
解得
q＝1，代入①得 2
a1＝2，
高三数学 第四篇 第三节等比数列课件 理 北师大版
也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为： A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 要求A1q3n＋A1q4n＋A1q5n的值． 由A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 得q2n＋qn－6＝0，那么qn＝2或qn＝－3. 由A1q3n＋A1q4n＋A1q5n ＝A1q3n(1＋qn＋q2n)＝2·q3n·7＝14·q3n
第四页，编辑于星期五：八点 三十五分。
性质 .
(5)设等比数列{an}的公比为q，则数列 {kan}(k为常数)仍为q等比数列，公比为 .
(6)设数列{an}，{bn}为等比数列，公比分别 为q1，q2，则{an·bn}也为等比q1q数2 列，公比为
第五页，编辑于星期五：八点 三十五分。
b2=ac是a,b,c成等比的什么条件？ 提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件，∵ 当b=0,a,c至少有一个为零 时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，假设a,b,c成等比，那么必有 b2=ac.
第三节 等比数列
第一页，编辑于星期五：八点 三十五分。
考纲点击
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和 公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等 比关系，并能用有关知识解决相应的问 题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以定义及等比中项为背景，考查等比 数列的判定. 2.以考查通项公式、前n项和公式为主，
那么na1＝40,2na1＝3 280，矛盾．
∴q≠1，∴ a1(11－－qqn)＝40
①
a1(11－－qq2n)＝3 280 ②
第二十三页，编辑于星期五：八点 三十五分。
②÷①得1＋qn＝82，∴qn＝81 ③ 将③代入①得q＝1＋2a1 ④ 又∵q＞0，∴q＞1，∴a1＞0，{an}为递增数列． ∴an＝a1qn－1＝27 ⑤ 由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4. ∴a2n＝a8＝1×37＝2 187.
专题33 等差、等比数列的性质的综合应用(课件)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
则a4a5a6＝5 2.
3.在正项等比数列{an}中，lg a3＋lg a6＋lg a9＝ 6，则a1a11的值是( A )
A.10 000 B.1 000
C.100
D.10
(2)设函数 f(x)＝12x，数列{bn}满足条件 b1＝2，f(bn ＋1)＝f（－31－bn），(n∈N*).
①求数列{bn}的通项公式； ②设 cn＝bann，求数列{cn}的前 n 和 Tn.
【解析】(1)因为a＝λb，所以12Sn＝2n－1，
Sn＝2n＋1－2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2) ＝2n，
1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 an，an＋m，an＋ 2m，…(n，m∈N*)是公差为__m_d____的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.
≤49，
∴ak(k∈M)组成首项为211，公比为4的等比数列.
则所有ak(k∈M)的和211（11－－4445）＝2101－32
048 .
例4已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，向量 a＝(Sn，
1)，b＝2n－1，12，满足条件 a＝λb，λ ∈R 且 λ≠0. (1)求数列{an}的通项公式；
②cn＝bann＝3n2－n 1，
Tn＝221＋252＋283＋…＋32nn－－14＋3n2－n 1
①
12Tn＝222＋253＋284＋…＋3n2－n 4＋32nn－＋11
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)4-2 等比数列(精讲)(含详解)
4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ） A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或12．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．314．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ）A ．3B ．2C ．33D ．325（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．91.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ） A ．6B ．9C ．27D ．813．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A ．2-BC ．2D ．2±考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51B ．﹣20C ．27D ．40【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12B ．2C ．172341D ．341172【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．632．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为 A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( )A ．25B ．20C ．15D ．10考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列 【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ）A ．12a a +，23a a +，34a a +，…B ．13a a ，35a a +，57a a +，…C ．2S ，42S S -，64S S -，…D ．3S ，63S S -，96S S -，…2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S .3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}nn b -前n 项和n T ． 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6B ．7C ．8D ．9【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42B ．56C ．63D ．703．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元 B ．40000元C ．42500元D ．50000元4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】(1)C （2）B【解析】（1）因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C （2）设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B. 【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ）A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或1【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q .因为38a =，324S =，所以38a =，1216a a +=，即218a q =，()1116a q +=，所以212q q +=，解得12q =-或1q =.故选：C.2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）1.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由40S >，得1514011a a a a q q q--=>--，因为1q >，所以510a a ->，即51a a >.故必要性满足； 1514411a a a a q S q q--==--.因为1q >，51a a >，所以40S >．故充分性满足.所以“51a a >”是“40S >”的充要条件.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．31【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21213S a a a =+=，则212a a =，所以，212a q a ==， 因为223a a =，即()21124a a =，10a ≠，解得11a =，因此，()441411215112a q S q--===--.故选：C.4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ） ABCD【答案】D【解析】依题意，等比数列{}n a 满足，33S =，69S =，则1q ≠，()()3611113,911a q a q qq--==--，两式相除得()()3363331113,1311q q q q q q-+-==+=--，32,q q ==故选：D 5（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729【答案】C【解析】224381a a a ⋅==，因为0n a >，所以0q >，39a =，又313S =，故124a a +=，设公比是q ，则()121149a q a q ⎧+=⎨=⎩，两式相除得：2149q q +=，解得：3q =或34q =-（舍去），故336393243a a q ==⨯=.故选：C 考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】C【解析】根据等比中项得2546a a a =，所以()2434334353663log log log log log 81log 34a a a a a +=====.故选：C.【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在等比数列中，若5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根，571a a ∴=，5720220a a +=-<，则50a <，70a <，则57661a a a a ==，则61a =或61a =-，即充分性成立，当61a =，或61a =-时，能推出57661a a a a ==，但无法推出572022a a +=-，即必要性不成立， 即“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是“61a =，或61a =-”的充分不必要条件，故选：A ． 【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±【答案】B【解析】因为1a ､13a 是方程21390x x -+=的两根，所以3119=a a ，11313+=a a ，所以10a >，130a >，又{}n a 为等比数列，则6710=>a q a ，所以213212719===a a a a a ，所以73a =或73a =-（舍去），所以212773==a a a a .故选：B. 2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ）A ．6B ．9C ．27D ．81【答案】B【解析】()3239335444,,3327a a a a a =∴==∴=，39a ∴=.故选：B 3．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a b c d ,,,成等比数列可得ad bc =，但当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不是等比数列，所以“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选：A.4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A．2- B C ．2 D ．2±【答案】D【解析】由等比数列284652a a a ==，解得452a =±，所以33522a q a ==±，所以2q =±，故选：D. 考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51 B ．﹣20 C ．27 D ．40【答案】D【解析】由{an }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13 所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列， 即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q ，当1q =时，1n S na =，不合题意； 当1q ≠时，等比数列前n 项和公式()1111111n n n a q a aS q qq q-==-⋅+---， 依题意()111212110,222n nn S t t t t -=⋅-=⋅-⇒+-==.故选：A【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12 B ．2 C ．172341D ．341172【答案】C【解析】当2n ≥时，212n n n n a S S --=-=，又112a S ==，即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256，所以数列}{n a 的前10项中5141023341143S -===-偶，)(421451022172143S -=+=+=-奇，所以172341S S =奇偶， 故选：C ．【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2444,2a a ==，公比432,a q a ==首项114a =， 所以1(1)2114n n n a q S q --==- ，通项11124n n n a a q --==，所以29()2164448242n nn n S a +=++≥=，当且仅当216,342n n n =∴=，所以当3n =时，29()42n nS a+的最小值为8.故选：C.【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．63【答案】D【解析】由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48，12，3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N *∈项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a -=+++=奇，偶数项之和为()2421321170n n S a a a q a a a qS -=+++=+++==奇偶，170285S q S ∴===偶奇， 等比数列{}n a 的所有项之和为()212212211708525512kkk a S -==-=+=-，则22256k=，解得4k =，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-【答案】B【解析】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅ 所以81333r r +=∴=-，故选B. 4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =，故选：B.5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( ) A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【答案】B【解析】因为{}n a 是正项等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -仍然构成等比数列，所以263396()()S S S S S -=-.又5-，3S ，6S 成等差数列，所以6352S S -=，6335S S S -=+，所以()()2263396333352510S S S S S S S S S -+-===++. 又{}n a 是正项等比数列，所以30S >，3325101020S S ++≥=，当且仅当35S =时取等号.故选：B.考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列【答案】C 【解析】∴121n n n a a a +=+，∴111111222n n n n a a a a ++==⋅+，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭既不是等比数列也不是等差数列； ∴1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列．故选：C【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ） A ．12a a +，23a a +，34a a +，… B ．13a a ，35a a +，57a a +，… C ．2S ，42S S -，64S S -，… D ．3S ，63S S -，96S S -，…【答案】BD【解析】设数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，对于A 和C ，都有首项121(1)a a a q +=+，当1q =-时，120a a +=，不满足等比数列，故AC 错误；对于B ，2131(1)0a a a q +=+≠，且2235131313()a a q a a q a a a a ++==++， 同理25735a a q a a +=+，故数列13a a ，35a a +，57a a +，…为等比数列，B 正确； 对于D ，231231(1)0S a a a a q q =++=++≠，且3633S S q S -=，39663S S q S S -=-， 故数列3S ，63S S -，96S S -，…为等比数列，D 正确；故选：BD 2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析(2)()()12133142n nn n n S +-⨯++=-【解析】(1)因为11232n n a a a +==+，，所以1131n n a a ++=+（）. 而113a +=，所以数列{1n a +}是以113a +=为首项，以3为公比的等比数列，所以13nn a +=，即31n n a =-.(2)由（1）可得()3log 1n n b a n =+=∴()31nn n a b n ⋅=-记1213233n n T n =⨯+⨯++⨯……∴所以()23131323133n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯……∴∴-∴得：12123333nn n T n +-=+++-⨯ ()1313313n n n +-=-⨯-∴()121334n nn T +-⨯+=∴()()()1213311242n nn n n n S T n +-⨯++=-+++=-. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}n n b -前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析；2n n na =；(2) 1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++.【解析】(1)因为112n n n a a n ++=，所以1112n n a n a n++=，又因为11112a a ==，所以数列{}n a n是以首项为12，公比为12的等比数列，从而1111()()222n n n a n -=⨯=，故2n n n a =. (2)由(1)中结论可知，2311111112()3()(1)()()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，所以23411111111()2()3()(1)()()222222n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，由∴-∴得，231111111()()()()222222n n n S n +=++++- 111[1()]122()1212n n n +-=-- 化简整理得，222n nn S +=-，所以222n n nn n b n S ()()， 故2232(32)22222()(2)22n n n n n n n n b n n n n n n ++--==-=--+++， 所以324351122222222222[()()()()()]132435112n n n n n T n n n n -++=--+-+-++-+--++，故1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++. 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【答案】D【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为{}n a ，公比q ＝2， 则第1天织布的尺数为1a ，第5天织布的尺数为5a ，前5天共织布为55S =， 则()51112551231a a-=⇒=-，∴445158023131a a q =⋅=⨯=.故选：D.【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】第一次操作去掉13，设为1a ；第二次操作去掉29，设为2a ；第三次操作去掉427，设为3a ， 依次类推，11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.故0111222[()()()]3333n n S -=⨯+++ 2113121412331513n n⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯=-≥ ⎪⎝⎭-， 整理，得12153n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()21lg lg lg2lg3lg15315nn ⎛⎫∴≤∴-≤- ⎪⎝⎭，，()lg3lg5lg3lg5lg31lg211 6.7lg2lg3lg3lg2lg3lg2lg3lg2n -+++-∴≥===+≈----，故n 的最小值为7. 故选：B. 【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ） A ．6小时末 B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末【答案】A【解析】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102n m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭, 由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍, 故选:A.2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42 B ．56 C ．63 D ．70【答案】C【解析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=， 故需要的天数约为9763⨯=. 故选：C3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=）A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元【答案】B 【解析】设010000a =，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为1a ，2a ，…，12a ，()100120%1000 1.21000a a a =⨯+-=-，同理可得1 1.21000n n a a +=-， 所以()15000 1.25000n n a a +-=-， 而050005000a -=，所以数列{}5000n a -是等比数列，公比为1.2，所以50005000 1.2n n a -=⨯，12125000 1.2500050009500050000a =⨯+=⨯+=，∴总利润为500001000040000-=，故选:B ．。
2019届高三数学一轮复习：第30讲 等比数列及其前n项和
=9,a5=9⇒a3q2=9⇒a3=1⇒a1=������������32
=1,故选
9
C.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
6
教学参考
4.[2017·全国卷Ⅲ] 设等比数列{an}满足
a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4=
.
[答案] -8
[解析] 设等比数列{an}的公比为 q.
������1+������3 2
a1+14a1=10,得
a1=8,所以
an=8·12
n-1=
1 2
n-4.所以
a1a2…an=
1 2
-3-2-1+0+…+(n-4)= 1 12(������2 -7������),易知当 n=3 或 n=4
2
时,12(n2-7n)取得最小值-6,故 a1a2…an 的最大
(1-������ 1-������
������
).
2019年8月10日
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课前双基巩固
6.若等比数列{an}的各项均为正数,且
a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+…+ln
等比中项 通项公式
前 n 项和公式
Ga =Gb(G 是 a 与 b 的等比中项)
an=a1qn-1 或 an=amqn-m(n,m∈N*)
当 q=1 时,Sn= ������1(n1a-���1��������� ) ;
当 q≠1 时,Sn= 1-������ =