09 第九章 直线相关与回归分析20130204
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直线相关分析与直线回归分析
（7）应排除样本的间杂性对相关性的误导。
（8）分层资料不宜盲目合并进行相关分析。若将分层资料合并进行分析， 可能会出现各层内均不相关而合并后出现相关的假象，也可能本来各层内两变 量均有相关而合并后掩盖了其真实的相关性。因此，进行相关分析时，如果不 能确定各层研究对象具有同质基础，不宜盲目合并。
27
两变量间的相关分析——等级相关分析
rs
1
6d 2 n(n2 1)
28
两变量间的相关分析——等级相关分析
等级相关分析的基本概念
rs'
(n3 n) / 6 (TX TY ) d 2 (n3 n) / 6 2TX (n3 n) / 6 2TY
u rs n 1
29
两变量间的相关分析——等级相关分析 数值变量资料的等级相关分析
——相关的方向
7
两变量间的相关分析——直线相关分析 两个相关关系的图示（散点图）
y x
8
两变量间的相关分析——直线相关分析 直线相关分析的资料要求
9
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关系数（直线相关关系的测度）
用以说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标 ， 称 为 相 关 系 数 （ correlation coefficient ） ， 又 称 为 积 差 相 关 系 数 （ coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
31
本例：
rs1
10
6 42 (10 2 1)
0.746
两变量间的相关分析——等级相关分析 数值变量资料的等级相关分析
（8）分层资料不宜盲目合并进行相关分析。若将分层资料合并进行分析， 可能会出现各层内均不相关而合并后出现相关的假象，也可能本来各层内两变 量均有相关而合并后掩盖了其真实的相关性。因此，进行相关分析时，如果不 能确定各层研究对象具有同质基础，不宜盲目合并。
27
两变量间的相关分析——等级相关分析
rs
1
6d 2 n(n2 1)
28
两变量间的相关分析——等级相关分析
等级相关分析的基本概念
rs'
(n3 n) / 6 (TX TY ) d 2 (n3 n) / 6 2TX (n3 n) / 6 2TY
u rs n 1
29
两变量间的相关分析——等级相关分析 数值变量资料的等级相关分析
——相关的方向
7
两变量间的相关分析——直线相关分析 两个相关关系的图示（散点图）
y x
8
两变量间的相关分析——直线相关分析 直线相关分析的资料要求
9
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关系数（直线相关关系的测度）
用以说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标 ， 称 为 相 关 系 数 （ correlation coefficient ） ， 又 称 为 积 差 相 关 系 数 （ coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
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本例：
rs1
10
6 42 (10 2 1)
0.746
两变量间的相关分析——等级相关分析 数值变量资料的等级相关分析
医学统计学-直线相关和回归分析
Page 6
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
Page 17
➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
Page 41
最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
Page 7
直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
Page 8
➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
Page 17
➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
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最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
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直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
Page 8
➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
九章直线回归和相关
归直线的位置仅决定于 y 和b ；②当将坐标轴平移
到以(x ，y )为原点时，回归直线的走向仅决定于b，
所以一般又称b为回归斜率(regression slope）。
(二)直线回归方程的计算 [例9.1] 一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高
低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4月中旬旬
yˆ a bx
(9·1)
回归截距(regression intercept）：a是x=0时的
值，即回归直线在y 轴上的截距。
回归系数(regression coefficient）：b是x 每 增加一个单位数时，平均地将要增加(b＞0时)或 减少(b＜0时)的单位数。
Q
n
( y
squares due to deviation from regression)或剩 余平方和。
建立回归方程时用了a 和b 两个统计数，故Q 的自
由度 n 2
得
Q y yˆ2
sy x n 2 n 2
Q
(
y
yˆ )2
SS
y
(SP)2 SSx
=SSy-b(SP)
y x)2
(x x)(y (x x)2
y)
SP SS x
(9·3)
n
将(9·2)代入(9·1)可得：
yˆ (y bx) bx y b(x x)
(9·4)
y
①
②
③
x 直线回归方程的图象
①a>0,b<0 ②a>0,b>0 ③a<0,b>0
由(9·4)可看到：①当x以离均差(x - x )为单位时，回
到以(x ，y )为原点时，回归直线的走向仅决定于b，
所以一般又称b为回归斜率(regression slope）。
(二)直线回归方程的计算 [例9.1] 一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高
低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4月中旬旬
yˆ a bx
(9·1)
回归截距(regression intercept）：a是x=0时的
值，即回归直线在y 轴上的截距。
回归系数(regression coefficient）：b是x 每 增加一个单位数时，平均地将要增加(b＞0时)或 减少(b＜0时)的单位数。
Q
n
( y
squares due to deviation from regression)或剩 余平方和。
建立回归方程时用了a 和b 两个统计数，故Q 的自
由度 n 2
得
Q y yˆ2
sy x n 2 n 2
Q
(
y
yˆ )2
SS
y
(SP)2 SSx
=SSy-b(SP)
y x)2
(x x)(y (x x)2
y)
SP SS x
(9·3)
n
将(9·2)代入(9·1)可得：
yˆ (y bx) bx y b(x x)
(9·4)
y
①
②
③
x 直线回归方程的图象
①a>0,b<0 ②a>0,b>0 ③a<0,b>0
由(9·4)可看到：①当x以离均差(x - x )为单位时，回
第9章 直线回归与相关分析
∑ x ∑ y = 66.7857 xy −
n
b=
SPxy SS x
66.7857 = = 1.2500 53.2143
a = y − bx = 20.7714 − 1.2550 × 5.4286 = 13.9585
即回归方程为
ˆ y = 13 .9585 + 1 .2550 x
二、直线回归的显著性检验 − y ） = ∑ ( y （
2
即
ss y = ss回归 + ss离回归
计算式： 计算式：
Df总=n-1
SS y = ∑ y − y） （
2
的不同而引起的. 回归平方和简记作U，它是由x的不同而引起的 df回归=1
ˆ SS回归 = ∑( y − y ) =
ˆ y i 是α+βxi的估计值
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小； Q = ∑( y − y)2 = 最小；
ˆ ∑( y − y) = 0
； 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
在相关模型中， 在相关模型中，其x和y变量是平行变化 变量是平行变化 关系，不能区别哪一个是自变量， 关系 不能区别哪一个是自变量，哪一个 不能区别哪一个是自变量 是依变量。 是依变量。 相关分析目的：确定两个变量在数量关 相关分析目的： 系上的密切程度和性质。 系上的密切程度和性质。不能用一个或多 个变量去预测、控制另一个变量的变化。 个变量去预测、控制另一个变量的变化。
∑y
2
= 3104.20
(临床医学)第9章直线相关与回归
系数等指标的含义和解释。
04
02 直线相关
直线相关的概念
直线相关是指两个变量之间存在一种线性关系，即当一个变量发生变化时，另一个变量也会按照一定 的方向和强度发生变化。
直线相关可以用相关系数r来表示，r的取值范围为-1到1，r值为正表示正相关，r值为负表示负相关，r值 为0表示无相关。
直线相关的类型
研究非线性关系，即因变量和自变量之间的 关系不是直线关系。
多元线性回归
研究于研究分类因变量的概率预测，常用于二 元分类问题。
回归分析的应用场景
预测模型
通过回归分析建立预测模型，根据已知的自 变量预测未来的因变量值。
病因研究
在医学和流行病学中，回归分析用于研究疾 病发生的危险因素和病因。
响。
学习曲线回归分析，掌握非线 性关系的建模方法。
结合实际案例，实践应用回归 分析解决实际问题。
关注回归分析的最新研究进展 ，提高自己的统计素养。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
01
02
03
正相关
当一个变量增加时，另一 个变量也相应增加，呈正 向变化趋势。
负相关
当一个变量增加时，另一 个变量减少，呈反向变化 趋势。
无相关
两个变量之间不存在线性 关系。
直线相关的应用场景
流行病学研究
通过分析疾病发病率与环境因素之间的直 线相关关系，了解疾病发生的原因和机制。
生物统计学
在生物统计学中，直线相关分析被广泛应 用于基因与表型、环境因素与健康状况等
05 案例研究
案例一：心血管疾病与年龄、血压的关系
总结词
心血管疾病与年龄、血压存在显著相关性，年龄越大、血压越高，心血管疾病风险越高。
04
02 直线相关
直线相关的概念
直线相关是指两个变量之间存在一种线性关系，即当一个变量发生变化时，另一个变量也会按照一定 的方向和强度发生变化。
直线相关可以用相关系数r来表示，r的取值范围为-1到1，r值为正表示正相关，r值为负表示负相关，r值 为0表示无相关。
直线相关的类型
研究非线性关系，即因变量和自变量之间的 关系不是直线关系。
多元线性回归
研究于研究分类因变量的概率预测，常用于二 元分类问题。
回归分析的应用场景
预测模型
通过回归分析建立预测模型，根据已知的自 变量预测未来的因变量值。
病因研究
在医学和流行病学中，回归分析用于研究疾 病发生的危险因素和病因。
响。
学习曲线回归分析，掌握非线 性关系的建模方法。
结合实际案例，实践应用回归 分析解决实际问题。
关注回归分析的最新研究进展 ，提高自己的统计素养。
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02
03
正相关
当一个变量增加时，另一 个变量也相应增加，呈正 向变化趋势。
负相关
当一个变量增加时，另一 个变量减少，呈反向变化 趋势。
无相关
两个变量之间不存在线性 关系。
直线相关的应用场景
流行病学研究
通过分析疾病发病率与环境因素之间的直 线相关关系，了解疾病发生的原因和机制。
生物统计学
在生物统计学中，直线相关分析被广泛应 用于基因与表型、环境因素与健康状况等
05 案例研究
案例一：心血管疾病与年龄、血压的关系
总结词
心血管疾病与年龄、血压存在显著相关性，年龄越大、血压越高，心血管疾病风险越高。
第九章 直线回归与相关分析
·
X
四、线性回归的估计 标准误
ˆ )2 最小 由图可知，满足 Q ( y y
而得的线性回归方程：
ˆ 48.5 1.1x y
和实测的坐标点并不完全吻合。所以 称Q为离回归平方和或剩余平方和。
由于在建立回归方程时用了a和b两
个统计数，故Q的自由度df=n-2，
因而，可定义回归估计标准误为：
2
2
2
x x
Hale Waihona Puke 2 SS y 2bSP b 2 SS x SS y SS y
2 SP 2
SS x
2 SP
SS x
SS x
2 SP
SS x
【例9.2】试计算表9.1资料的回归估计标准误。
解：将前面算得的SSy、SP、SSx代入公式
( SP) 2 求得 Q SS y SSx (159 .0444 ) 2 249 .5556 74 .6670 144 .6356
故
s y. x
Q n2
74.6670 3.226 （天） 92
上述计算结果表明，当用回归方程
ˆ 48.5 1.1x y
由3月下旬至4月中旬的积温预测一代三
化螟蛾盛发期时，有一个3.266天的估计标
准误。
ˆ y
它的统计意义是：当X为某一定值时
ˆ 3.266天范围内； 约有68.27%个观察点落在 y ˆ 6.532天范围内； 约有95.45%个观察点落在 y
对于（x 1, y1) 、(x2 , y2)、(x3 , y3) 、
…、(xn , yn)这样一组数据资料，要了解x和y
到底呈何种关系？通常可采用以下方法：
X
四、线性回归的估计 标准误
ˆ )2 最小 由图可知，满足 Q ( y y
而得的线性回归方程：
ˆ 48.5 1.1x y
和实测的坐标点并不完全吻合。所以 称Q为离回归平方和或剩余平方和。
由于在建立回归方程时用了a和b两
个统计数，故Q的自由度df=n-2，
因而，可定义回归估计标准误为：
2
2
2
x x
Hale Waihona Puke 2 SS y 2bSP b 2 SS x SS y SS y
2 SP 2
SS x
2 SP
SS x
SS x
2 SP
SS x
【例9.2】试计算表9.1资料的回归估计标准误。
解：将前面算得的SSy、SP、SSx代入公式
( SP) 2 求得 Q SS y SSx (159 .0444 ) 2 249 .5556 74 .6670 144 .6356
故
s y. x
Q n2
74.6670 3.226 （天） 92
上述计算结果表明，当用回归方程
ˆ 48.5 1.1x y
由3月下旬至4月中旬的积温预测一代三
化螟蛾盛发期时，有一个3.266天的估计标
准误。
ˆ y
它的统计意义是：当X为某一定值时
ˆ 3.266天范围内； 约有68.27%个观察点落在 y ˆ 6.532天范围内； 约有95.45%个观察点落在 y
对于（x 1, y1) 、(x2 , y2)、(x3 , y3) 、
…、(xn , yn)这样一组数据资料，要了解x和y
到底呈何种关系？通常可采用以下方法：
直线回归和相关
第九章直线回归和相关知识目标：●了解相关与回归的概念，两者联系与区别；●了解相关与回归的种类、意义以及研究中应注意的问题；●了解决定系数与相关系数的关系，决定系数的特点及应用；●掌握简单直线相关与回归分析的方法与步骤。
能力目标：●学会简单直线回归分析的方法；●学会简单直线相关分析的方法。
我们都知道作物的产量与施肥量的关系，在施肥量适宜的情况下作物产量较高，施肥量不足则作物的产量较低。
但在农业生产实践中，两块同样面积土地上即使施肥量完全相同，其产量也不会相等，也就是说作物的产量与施肥量这两个变数之间存在一定的关系，但又不存在完全确定的函数关系。
这样的两个变数之间的关系怎样进行统计分析将是本章要介绍的内容。
第一节直线回归一、直线回归和相关的概念（一）直线回归和相关的概念为了研究这些有一定关系的两个或两个以上的变数间的关系，必须将它们放在一起，研究其关系，找出关系的性质和密切程度，这种研究方法，在统计上称为回归与相关的研究。
在研究过程中，由于不同的划分标准，回归与相关可分为不同的类型。
按照所研究的变数数目的多少，可分为简单相关和简单回归与复相关和复回归两种类型。
前者如研究玉米的叶面积指数与亩产量、小麦的亩产量与每平方米的有效穗数、果穗长与果穗粗的关系等等，即仅仅是研究两个变数之间的相互关系，而不涉及两个变数之外的任何事物的统计方法；后者如研究钾肥、氮肥、磷肥的施用量与作物产量或者灌水、施肥、温度、光照与作物产量的关系等等，即研究的是两个或两个以上的变数与一个变数之间的关系的统计方法。
按照所研究的变数在图形上表现出来的特点，将回归与相关分为直线回归和直线相关与曲线回归和曲线相关两种类型：如两个变数之间的关系大体表现为直线关系的为直线回归和直线相关；两个变数之间的关系可用曲线来描述的是曲线回归和曲线相关。
本章将讨论有一定联系的两个变数的直线回归与直线相关的有关问题。
对于具有一定联系的两个变数，可分别用变数符号Y和X表示。
09 第九章 直线相关与回归分析20130204
SS总 Σ(Y Y ) lYY 78.400
2
SS回 blxy 0.2348 226 53.065
SS残 SS总 - SS回 78.400- 53.065 25.335
35
表9-2 20岁男青年身高前臂长直线回归关系方差分析表 变异来源 总变异 回归 残差 自由度 9 1 8 SS 78.400 53.065 25.335 53.065 3.167 16.765 ＜0.01 MS F P
26
图9-2 20岁男青年身高与前臂长散点图
27
四、回归系数的假设检验
回归系数b为样本回归系数，假设在总体回 归系数β=0的总体中抽样，得出样本的b不
一定为0。
因此需作总体回归系数β是否为0的假设检
验，
常用t检验或方差分析。
28
四、回归系数的假设检验
1、t检验法
|b0| |b| tb Sb Sb
19
四、相关分析应用中应注意的问题
1、进行相关分析前应先绘制散点图。
2、直线相关分析的统计推断要求两个随机变量均服从正 态分布。 3、出现离群点时慎用相关。
4、相关关系不一定是因果关系。
5、分层资料不可盲目合并。
20
21
第二节 直线回归（linear regression）
2
例9-1资料可验证
37
F 16.756 4.09 tb
五、直线回归方程的应用
（一）描述两变量间的依存关系 可用直线回归来描述 。 （二）利用回归方程进行预测 将X代入直线回归方程，可得到应变量Y的估计值。 （三）利用回归方程进行统计控制 通过X取值来控制Y的变化。
38
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）确定P值，作出推断结论 本例υ=10-2=8，查附表2，t界值表得t0.005(8)=3.833, 现t>t0.005(8) ，故P<0.005。
按α=0.05的水准，拒绝Ho，接受H1，可认为20岁 男青年身高与前臂长有直线回归关系。
34
回归系数的假设检验步骤：方差分析法
（1）建立检验假设 H0：β=0, 即身高与前臂长无直线回归关系 H1：β≠0, 即身高与前臂长有直线回归关系 α=0.05 （2）计算F值 前 面 已 经 求 得 lXX=962.5 ， lXY=226 ， lYY=78.4，代入公式（9.13）有
26
图9-2 20岁男青年身高与前臂长散点图
27
四、回归系数的假设检验
回归系数b为样本回归系数，假设在总体回 归系数β=0的总体中抽样，得出样本的b不
一定为0。
因此需作总体回归系数β是否为0的假设检
验，
常用t检验或方差分析。
28
四、回归系数的假设检验
1、t检验法
|b0| |b| tb Sb Sb
4
第一节 直线相关（linear correlation）
一、基本概念
1、直线相关：
当两正态分布变量在数量上的变化呈直线趋势时，则称 为直线相关,又称简单相关（simple correlation），用于 分析双变量正态分布资料。 表示两变量相关关系的重要指标就是相关系数，
总体的相关系数
ˆ 4.897 0.2348X Y
25
三、回归直线的绘制
在自变量X的实测值范围，任意指定相距较远且易读的两
个数值，代入直线回归方程，求出相应的Y的估计值，确
定两点，用直线连接。 如本例取X1=155，则 ；X2=185，则。在图上确定（155， 41.291）和（185，48.335）两个点，直线连接，即得出 直线回归方程的图形。
一般认为，当样本含量较大的情况下（n＞100），大致可 按下列标准估计两变量相关的程度 │r│≥0.7 高度相关 0.7＞│r│≥0.4 中度相关 0.4＞│r│≥0.2 低度相关
7
8
图9-1
相关系数示意图
a图
图9-2
9
b图 相关系数大小比较
二、相关系数的计算
相关系数r的计算公式：
r
（3）确定P值，作出推断结论 F0.01(1，8)=11.3,现F>F0.01(1，8) ，故P<0.01。 按α=0.05的水准，拒绝Ho，接受H1，可认为20岁男 青年身高与前臂长有直线回归关系。
36
注意：
对于同一资料作总体回归系数 β 是否为零 的假设检验，方差分析和t检验是等价的，
tb F 或 t b F
2
2
l XY
( X )( Y ) XY n
11
例9-1
某研究者测量10名
表9-1 身高与前臂长测量结果
20岁男青年身高与
前臂长，见下表。 问身高与前臂长有 无直线相关关系？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高cm 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165
30
l 2 ˆ (Y Y ) lYY l XX
2 XY
2、方差分析法
残差(residual)
31
ˆ ˆ (Y - Y ) (Y - Y ) (Y - Y )
2 2
2
SS总 SS回 SS 残
32
回归系数的假设检验步骤：t检验法
（1）建立检验假设 H0：β=0, 即身高与前臂长无直线回归关系 H1：β≠0, 即身高与前臂长有直线回归关系 α=0.05 （2）计算t值 前 面 已 经 求 得 lXX=962.5 ， lXY=226 ， lYY=78.4，代入公式（9.13）有
表9-1 身高与前臂长测量结果
20岁男青年身高与
前臂长，见下表。 问身高与前臂长有 无直线相关关系？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高cm 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165
前臂长cm 45 42 44 41 47 50 47 46 49 43
2
4.09
18
（3）确定P值，作出推断结论
按ν＝n-2=8查t界值表，得 0.002<P<0.005，按α＝0.05 水准，拒绝 Ho ，接受H1 ，故可认为 20 岁男青年身高与前臂 长呈正直线相关关系。
2、查表法
查附表 14, r 界值表列出了相关系数 r 与 0 差别有统计学意 义的判断界值，按自由度＝n-2查r界值表， 当r≥rα(n-2)时，则P≤α ；反之，r＜ rα(n-2) 时，则P＞ α 。本例 r＝0.8227 ，大于 r0.05(8) ＝0.632 ，故 P<0.05 。 r值有意义。检验结果与t检验相同。
Sb为回归系数的标准误
29
Syx为各观察值 Y 距回归直线的标准差，即剩余标准差；
ˆ )2 为剩余平方和，它反映X对Y的线性影响之外的因素 (Y Y
对Y的变异作用。在散点图中，各实测点离回归直线越近，越 小，说明直线回归的估计误差越小。
Sb
S YX l XX
SYX
2 ˆ (Y Y ) n2
SS总 Σ(Y Y ) lYY 78.400
2
SS回 blxy 0.2348 226 53.065
SS残 SS总 - SS回 78.400- 53.065 25.335
35
表9-2 20岁男青年身高前臂长直线回归关系方差分析表 变异来源 总变异 回归 残差 自由度 9 1 8 SS 78.400 53.065 25.335 53.065 3.167 16.765 ＜0.01 MS F P
39
4.直线相关与回归的区别
（ 1 ）在资料需求上，相关分析要求两变量 X 与 Y均为服从正 态分布的随机变量，即两者都不能预先指定；
回归分析要求 Y 是正态随机变量，而 X 可以不是正态随机变 量而是一确定值，此时回归分析称为Ⅰ型回归， X 也可以是 正态随机变量，此时回归分析称为Ⅱ型回归。 （ 2 ）在意义上，相关反映两变量的相关关系；回归反映两 变量间的依存关系。
计算步骤：
（4）求相关系数r
r
l XY l XX lYY
226 962.5 78.4
0.8227
16
三、相关系数的检验假设
检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体。
1、t 检验法
t检验的计算公式
|r 0| |r | t Sr Sr
Sr
17
1 r n2
2
相关系数的检验假设步骤
前臂长cm 45 42 44 41 47 50 47 46 49 43
12
计算步骤：
（1）由原始数据绘制散点图9-2，本资料呈直线相关趋势。
图9-1
13
20岁男青年身高与前臂长散点图
计算步骤：
（2）根据表9-1原始数据计算出: ∑X，∑Y，∑X2，∑Y2，∑XY 。 本例∑X＝1725，∑Y＝454， ∑X2＝298525，∑Y2＝20690，∑XY＝78541。
（1）建立检验假设 Ho：ρ＝0 ,两变量间无直线相关关系 H1：ρ≠0 ,两变量间有直线相关关系 α＝0.05
（ 2 ）计算t 值 本例n=10 ， r=0.8227 ，按公式（ 9.5 ） 和公式（9.6） 计算t值
tr
r 1 r n2
2
0.8227 1 0.8227 10 2
l 226 2 ˆ (Y Y ) lYY 78.4 25.33 l XX 962.5
SYX
33
2 XY
2
2 ˆ (Y Y ) n2
25.33 1.78 10 2
Sb
SYX l XX
1.78 962.5
0.05ห้องสมุดไป่ตู้4
b0 b 0.2348 tb 4.09 Sb S b 0.0574
第九章
直线相关与回归分析
目录
1
2
3 4
2
直线相关 直线回归 应注意的问题 等级相关
教学目的及要求
掌握直线相关与回归的概念、意义及应用条件；
掌握直线相关与回归各指标的意义、应用及计算
方法；
熟悉直线相关与回归的联系及区别；
了解曲线回归的概念、意义及类型。
3
例9-1
某研究者测量10名
19
四、相关分析应用中应注意的问题
1、进行相关分析前应先绘制散点图。
2、直线相关分析的统计推断要求两个随机变量均服从正 态分布。 3、出现离群点时慎用相关。
4、相关关系不一定是因果关系。
5、分层资料不可盲目合并。
20
21
第二节 直线回归（linear regression）
（X X )(Y Y ) ( X X )
2
(Y Y )
2
l XY l XX lYY
• 式中lXX与lYY分别为变量X与Y的离均差平 方和，lXY为两变量X 、Y的离均差积和。
10
计算公式为：
( X ) l XX X n
2
2
( Y ) lYY Y n
进行直线相关与回归分析时应注意的问题
1.作相关回归分析要有实际意义。不要把毫无联系的两种 现象作相关回归分析。
2.相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
3.在进行直线相关与回归分析之前，应先绘制散点图，当 观察到点的分布呈直线趋势时，方可进行分析，如散点图 呈曲线趋势，应进行曲线回归分析。
按α=0.05的水准，拒绝Ho，接受H1，可认为20岁 男青年身高与前臂长有直线回归关系。
34
回归系数的假设检验步骤：方差分析法
（1）建立检验假设 H0：β=0, 即身高与前臂长无直线回归关系 H1：β≠0, 即身高与前臂长有直线回归关系 α=0.05 （2）计算F值 前 面 已 经 求 得 lXX=962.5 ， lXY=226 ， lYY=78.4，代入公式（9.13）有
26
图9-2 20岁男青年身高与前臂长散点图
27
四、回归系数的假设检验
回归系数b为样本回归系数，假设在总体回 归系数β=0的总体中抽样，得出样本的b不
一定为0。
因此需作总体回归系数β是否为0的假设检
验，
常用t检验或方差分析。
28
四、回归系数的假设检验
1、t检验法
|b0| |b| tb Sb Sb
4
第一节 直线相关（linear correlation）
一、基本概念
1、直线相关：
当两正态分布变量在数量上的变化呈直线趋势时，则称 为直线相关,又称简单相关（simple correlation），用于 分析双变量正态分布资料。 表示两变量相关关系的重要指标就是相关系数，
总体的相关系数
ˆ 4.897 0.2348X Y
25
三、回归直线的绘制
在自变量X的实测值范围，任意指定相距较远且易读的两
个数值，代入直线回归方程，求出相应的Y的估计值，确
定两点，用直线连接。 如本例取X1=155，则 ；X2=185，则。在图上确定（155， 41.291）和（185，48.335）两个点，直线连接，即得出 直线回归方程的图形。
一般认为，当样本含量较大的情况下（n＞100），大致可 按下列标准估计两变量相关的程度 │r│≥0.7 高度相关 0.7＞│r│≥0.4 中度相关 0.4＞│r│≥0.2 低度相关
7
8
图9-1
相关系数示意图
a图
图9-2
9
b图 相关系数大小比较
二、相关系数的计算
相关系数r的计算公式：
r
（3）确定P值，作出推断结论 F0.01(1，8)=11.3,现F>F0.01(1，8) ，故P<0.01。 按α=0.05的水准，拒绝Ho，接受H1，可认为20岁男 青年身高与前臂长有直线回归关系。
36
注意：
对于同一资料作总体回归系数 β 是否为零 的假设检验，方差分析和t检验是等价的，
tb F 或 t b F
2
2
l XY
( X )( Y ) XY n
11
例9-1
某研究者测量10名
表9-1 身高与前臂长测量结果
20岁男青年身高与
前臂长，见下表。 问身高与前臂长有 无直线相关关系？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高cm 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165
30
l 2 ˆ (Y Y ) lYY l XX
2 XY
2、方差分析法
残差(residual)
31
ˆ ˆ (Y - Y ) (Y - Y ) (Y - Y )
2 2
2
SS总 SS回 SS 残
32
回归系数的假设检验步骤：t检验法
（1）建立检验假设 H0：β=0, 即身高与前臂长无直线回归关系 H1：β≠0, 即身高与前臂长有直线回归关系 α=0.05 （2）计算t值 前 面 已 经 求 得 lXX=962.5 ， lXY=226 ， lYY=78.4，代入公式（9.13）有
表9-1 身高与前臂长测量结果
20岁男青年身高与
前臂长，见下表。 问身高与前臂长有 无直线相关关系？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高cm 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165
前臂长cm 45 42 44 41 47 50 47 46 49 43
2
4.09
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（3）确定P值，作出推断结论
按ν＝n-2=8查t界值表，得 0.002<P<0.005，按α＝0.05 水准，拒绝 Ho ，接受H1 ，故可认为 20 岁男青年身高与前臂 长呈正直线相关关系。
2、查表法
查附表 14, r 界值表列出了相关系数 r 与 0 差别有统计学意 义的判断界值，按自由度＝n-2查r界值表， 当r≥rα(n-2)时，则P≤α ；反之，r＜ rα(n-2) 时，则P＞ α 。本例 r＝0.8227 ，大于 r0.05(8) ＝0.632 ，故 P<0.05 。 r值有意义。检验结果与t检验相同。
Sb为回归系数的标准误
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Syx为各观察值 Y 距回归直线的标准差，即剩余标准差；
ˆ )2 为剩余平方和，它反映X对Y的线性影响之外的因素 (Y Y
对Y的变异作用。在散点图中，各实测点离回归直线越近，越 小，说明直线回归的估计误差越小。
Sb
S YX l XX
SYX
2 ˆ (Y Y ) n2
SS总 Σ(Y Y ) lYY 78.400
2
SS回 blxy 0.2348 226 53.065
SS残 SS总 - SS回 78.400- 53.065 25.335
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表9-2 20岁男青年身高前臂长直线回归关系方差分析表 变异来源 总变异 回归 残差 自由度 9 1 8 SS 78.400 53.065 25.335 53.065 3.167 16.765 ＜0.01 MS F P
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4.直线相关与回归的区别
（ 1 ）在资料需求上，相关分析要求两变量 X 与 Y均为服从正 态分布的随机变量，即两者都不能预先指定；
回归分析要求 Y 是正态随机变量，而 X 可以不是正态随机变 量而是一确定值，此时回归分析称为Ⅰ型回归， X 也可以是 正态随机变量，此时回归分析称为Ⅱ型回归。 （ 2 ）在意义上，相关反映两变量的相关关系；回归反映两 变量间的依存关系。
计算步骤：
（4）求相关系数r
r
l XY l XX lYY
226 962.5 78.4
0.8227
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三、相关系数的检验假设
检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体。
1、t 检验法
t检验的计算公式
|r 0| |r | t Sr Sr
Sr
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1 r n2
2
相关系数的检验假设步骤
前臂长cm 45 42 44 41 47 50 47 46 49 43
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计算步骤：
（1）由原始数据绘制散点图9-2，本资料呈直线相关趋势。
图9-1
13
20岁男青年身高与前臂长散点图
计算步骤：
（2）根据表9-1原始数据计算出: ∑X，∑Y，∑X2，∑Y2，∑XY 。 本例∑X＝1725，∑Y＝454， ∑X2＝298525，∑Y2＝20690，∑XY＝78541。
（1）建立检验假设 Ho：ρ＝0 ,两变量间无直线相关关系 H1：ρ≠0 ,两变量间有直线相关关系 α＝0.05
（ 2 ）计算t 值 本例n=10 ， r=0.8227 ，按公式（ 9.5 ） 和公式（9.6） 计算t值
tr
r 1 r n2
2
0.8227 1 0.8227 10 2
l 226 2 ˆ (Y Y ) lYY 78.4 25.33 l XX 962.5
SYX
33
2 XY
2
2 ˆ (Y Y ) n2
25.33 1.78 10 2
Sb
SYX l XX
1.78 962.5
0.05ห้องสมุดไป่ตู้4
b0 b 0.2348 tb 4.09 Sb S b 0.0574
第九章
直线相关与回归分析
目录
1
2
3 4
2
直线相关 直线回归 应注意的问题 等级相关
教学目的及要求
掌握直线相关与回归的概念、意义及应用条件；
掌握直线相关与回归各指标的意义、应用及计算
方法；
熟悉直线相关与回归的联系及区别；
了解曲线回归的概念、意义及类型。
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例9-1
某研究者测量10名
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四、相关分析应用中应注意的问题
1、进行相关分析前应先绘制散点图。
2、直线相关分析的统计推断要求两个随机变量均服从正 态分布。 3、出现离群点时慎用相关。
4、相关关系不一定是因果关系。
5、分层资料不可盲目合并。
20
21
第二节 直线回归（linear regression）
（X X )(Y Y ) ( X X )
2
(Y Y )
2
l XY l XX lYY
• 式中lXX与lYY分别为变量X与Y的离均差平 方和，lXY为两变量X 、Y的离均差积和。
10
计算公式为：
( X ) l XX X n
2
2
( Y ) lYY Y n
进行直线相关与回归分析时应注意的问题
1.作相关回归分析要有实际意义。不要把毫无联系的两种 现象作相关回归分析。
2.相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
3.在进行直线相关与回归分析之前，应先绘制散点图，当 观察到点的分布呈直线趋势时，方可进行分析，如散点图 呈曲线趋势，应进行曲线回归分析。