中北大学 概率论实验报告三.

实验三正态分布的参数估计及假设检验

1、从某超市的货架上随机抽取9包0.5千克装的食糖，实测其重量分别为（单位：千克）：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512，从长期的实践中知道，该品牌的食糖重量服从正态分布。根据数据对总体的均值及标准差进行矩估计、极大似然估计和置信度为0.9与0.95的区间估计。

>> x=[0.497 0.506 0.518 0.524 0.488 0.51 0.51 0.515 0.512];

mu_ju=mean(x)

sigma2_ju=moment(x,2);

bianzhuncha=sqrt(sigma2_ju)

[muhat1,sigmahat1,muci1,sigmaci1]=normfit(x,0.1)

[muhat2,sigmahat2,muci2,sigmaci2]=normfit(x,0.05)

mu_ju =

0.5089

bianzhuncha =

0.0103

muhat1 =

0.5089

sigmahat1 =

0.0109

muci1 =

0.5021

0.5156

sigmaci1 =

0.0078

0.0186

muhat2 =

0.5089

sigmahat2 =

0.0109

muci2 =

0.5005

0.5173

sigmaci2 =

0.0073

0.0208

所以总体的均值和标准差的矩估计分别为：0.5089，0.0103；

总体的均值和标准差的极大似然估计分别为：0.5089 , 0.0109；

总体的均值和标准差的置信度为0.9的区间估计分别为：

[0.5021，0.5156]，[ 0.0078，0.0186]；

总体的均值和标准差的置信度为0.95的区间估计分别为：

[0.5005，0.5173]，[ 0.0073，0.0208]。

2、设某种清漆的9个样品, 其干燥时间(单位:小时)分别为

6.0, 5.7, 5.8, 6.5,

7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0.

又设干燥时间总体服从. 求下列两种情形时的μ的置信水平为0.95的置信区间:

(1) 若由以往经验知=0.6小时.

>> x=[6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0];

alpha=0.05; %给定的显著性水平

sigma=0.6;%已知的标准差x=[6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0]

n=length(x);%计算样本容量

mu=mean(x);%计算并显示样本均值

u=norminv(1-alpha/2,0,1);%计算置信度为1-alpha/2的正态分布临界值

muci=[mu-u*sqrt(sigma^2/n),mu+u*sqrt(sigma^2/n)] %输出置信区间

muci =

5.6080

6.3920

故=0.6时，μ的置信水平为0.95的置信区间为[5.6080，6.3920]。

(2) 若为未知.

>> x=[6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0];

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,0.05)

mu =

6

sigma =

0.5745

muci =

5.5584

6.4416

sigmaci =

0.3880

1.1005

故为未知时，μ的估计值为6，置信区间为[5.5584，6.4416]；的估计值为0.5745，置信区间为[0.3880，1.1005]。

3、在某炸药制造厂, 一天中发生着火现象的次数X 是一个随机变量，假设它服从以λ>0为参数的泊松分布，参数λ未知. 现有以下样本值:

>> x1=zeros(1,75);

x2=ones(1,90);

x3=2*ones(1,54);

x4=3*ones(1,22);

x5=4*ones(1,6);

x6=5*ones(1,2);

x7=6*ones(1,1);

x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7];

[Lambdahat,Lambdaci]=poissfit(x,0.05)

Lambdahat =

1.2160

Lambdaci =

1.0793 1.3527

故λ的极大似然估计值为1.2160；

置信水平为0.95的置信区间[1.0793，1.3527]。

4、设从总体211~(,)X N μσ和总体2

22

~(,)Y N μσ中分别抽取容量为110n =，215n =的独立样本，经计算得82x =，256.5x s =，76y =，2

52.4y s =．

（1）若已知2164σ=，2

2

49σ=，求12μμ-的置信水平为0.95的置信区间； >> u=norminv(0.975,0,1); d1=(82-76)-u*sqrt(64/10+49/15) d2=(82-76)+u*sqrt(64/10+49/15) d1 =

-0.0938 d2 =

12.0938

故若2164σ=，2

2

49σ=，12μμ-的置信水平为0.95的置信区间为： [-0.0938，12.0938]。

（2）若已知22

12σσ=，求12μμ-的置信水平为0.95的置信区间；

>> t=tinv(0.975,23); s=sqrt((9*56.5+14*52.4)/23); d1=(82-76)-t*s*sqrt(1/10+1/15) d2=(82-76)+t*s*sqrt(1/10+1/15)