柔软细绳在不同状态下的力学特性分析_刘华

科技创业

PIONEERING WITH SCIENCE &TECHNOLOGY MONTHLY

月刊

科技创业月刊2014年第1期

1细绳水平转动状态

首先分析细绳水平转动状态：

如图（1）所示，一条质量为M 且分布均匀的绳子，长度为L ，一段拴在转轴上，以恒定角速度在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直，且忽略重力与空气阻力，求距转轴为r 处绳中的张力。

绳子在水平面内转动时，由于绳上各段转动速度不同，所以绳中各处的张力也不同。现取距转轴为

r 处的一小段绳子dr 为研究对象，

其质量为dm＝（M ／L ）dr ，设左、右两

边的绳子对它的拉力分别是T （r ）与T （r＋dr ）。这一小段绳子做圆周运动，根据牛顿第二定律，有：

T （r ）－T （r＋dr ）＝（M L

）r ω2；dT＝－

ω2rdr ；

由于绳子的末端为自由端，即

r＝L 时，T＝0，所以：

T(r)

乙

dT=-

L

r

乙

M L

ω2rdr ；T （r ）=M 2L

ω2（L 2-r 2）；从以上结果看出，愈靠近转轴处绳中的张力愈大。

2细绳竖直提起状态

再分析细绳竖直提起状态：长

为l 、总质量为m 的柔软绳索盘放在水平台面上，用手将绳索的一端以恒定速率υ0向上提起如图（2），求当绳索上端离台面为x 时手的提力。

这是一个质点系运动的问题，可用质心运动定理来分析。取x 轴垂直向上，以台面为原点，则当绳

索提起x 长时，系统的质心坐标为

x c =（m l （l-x ）×0+m l x ×x 2）/m =

x 22l

；

于是：

dx c dt =22×x l ×dx dt =x l υ0

，d 2x c

dt 2

=υ0l ×dx dt =υ02

l

；系统共受三个力：提力F ，重力－mg ，台面支承力m l

（l-x ）g ，于是

由质心运动定理有：F －mg ＋l-x

l

mg =m d 2x c dt 2=m

υ0

2

l ，整理后得：F =m l υ02+m l xg =m l

（υ02+xg ）。

可见提取细绳的力F 随速度υ0增大而增大，随高度增加而增大。类似情况还有：长为l 、质量M

均匀分布的柔绳，一端挂天花板下的钩子上，将另一端缓慢地垂直提起，并挂在在同一钩子上，试通过直接积分（即用＝

b

a

乙F ·dr ），可以求

出该过程中对绳子所作的功。

这是一个变力作功问题，取绳自由下垂时末端位置为坐标原点，铅直向上为Ox 轴正向，如图3，当

柔软细绳在不同状态下的力学特性分析

刘

华

（鄂东职业技术学院

湖北

黄冈

438000）

摘

要：把柔软细绳作为研究对象，看成多质点连结构成一个系统。由于柔软细绳内部存在

张力作用，看成是系统内力，对系统的动量没有影响，但影响系统的机械能，使得系统的机械能不守恒，从力学角度讨论分析当柔软细绳竖起提起、水平旋转、静止下落等状态下的一些力学性质，全面了解柔软细绳力学特性。

关键词：质心坐标；质心加速度；质心运动定理；系统；张力中图分类号：O185.2

文献标识码：A

doi ：10．3969／j．issn．1665－2272．2014．01．074

收稿日期：2013－

11-22

图1细胞水平转动图

图2细绳竖直提起状态图

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P I ONEERING WITH SCIENCE &TECHNOLOGY MONTHLY NO .1

2014

绳端坐标为x 时，F x =12M l

xg ，于是

有：

dA=F x dx =12M l gxdx ；

A=

l

o

乙

12M l gxdx=14

Mgl 。可见该过程对绳子作的功与绳长有关。

3细绳静止下落状态

下面再来讨论细绳静止下落

状态：一质量为m ，长为l 的完全柔软均匀细绳竖直地悬挂着，其下端刚刚与地面接触如图4。放开绳子，使之从静止状态开始下落。求在下落过程中地面对绳的作用力。

以地面为坐标原点建立竖直向上的z 轴。把绳子看做一质点系，其质心高度和速度分别为

Z C =1

m z

乙z m l dz=z 2

2l ；v c

=dz c

dt

=zdz ldt

=zv l ；

式中v=dz dt

是绳子上端下落的

速度。对于完全柔软的绳子，它与一个质点自由下落的速度相同，即

v =-2g （l-z ）姨绳子上端下落的加

速度为：d υdt

=-g ；

由此可得质心加速度为：

a c =d υc dt =d dt （z υl ）=υ2

l +z l d υ

dt

=2g （1-z l ）-zg l =2g-3zg l

；

设地板对绳子的作用力为F ，

对整根绳子应用质心运动定理，有：F－mg＝ma c ；

将ac 的表达式代入上式，得地板对绳子的作用力为：F =m （g+a c ）=

3mg （1-z l

），可见作用力与绳长下

落的长度有关，类似情况还有：

一质量为m 、总长为l 的细绳，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂，如图（5）所示，试求细绳桌面边缘时重力所作的功。

重力所作的功，等于细绳势能增量的负值，取桌面为势能零点，因而有：

A ＝-△E P ＝-［（-12mgl ）-（-1

8

mgl ）］＝38

mgl ；

如：一根质量为M 、长度为L

的细绳、被竖直地悬挂起来，其最

低端刚好与秤盘接触．今将细绳释放并让它落到秤盘上，如图（6）所示．当细绳下落的长度为x 时，试求秤的读数是多少？

秤的读数反映了细绳对秤盘的作用力的大小，数值上也等于秤盘对细绳作用力的大小。该力由两

部分组成，第一部分为已落入盘中的细绳所受的力F 1，其数值等于其重力，取竖直向上为坐标轴正向：

F 1=m ′g =M l

xg ；

第二部分为正要落入盘中的部分作用力F 2，设其质量为Δm ′，根据动量定理，此时忽略其重力，有F 2＝0-（-Δm ′v ）Δt =d m′dt

v ；其中

d m′=M L dx=M L

vdx ，v =2gx 姨，

F 2＝M L V 2=2Mgx L ；F =F 1+F 2=M

L

xg+2M L xg =2Mgx L

；

细绳对秤盘的作用力F′＝－F＝－3Mgx L

，负号表示F′与F 方向相反，即F ′方向向下。

综上各种情况：细绳可看成多质点构成质点系，通过张力作用。在各种状态下，机械能不守恒，但通过相关物理规律可以了解在不同状态下存在各种变化规律，反映其内在力学特性。

参考文献

1马文蔚．物理学（第四版）［M ］．北京：北京高等教育出版社，1999

2周衍柏．理论力学（第二版）［M ］．北京：北京高等教育出版社，1986

3朱照宣．理论力学［M ］．北京：北京大学出版社，1982

4李承祖，杨丽佳．基础物理学（上册）［M ］．北京：北京科学出版社，20045

王少杰，顾牡．大学物理学第三版（上册）［M ］．上海：上海同济大学出版社，

2006

（责任编辑晓天

）

图3

细绳下垂状态图

图4

细绳静止下落状态图

图5

细绳半下落状态图

图6细绳下落秤盘图

应用技术

柔软细绳在不同状态下的力学特性分析

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