知识点3方程的解的定义
(完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结
知识点1:一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程.一元一次方程的标准形式是：ax+ b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a乒。
.一元一次方程的最简形式是：ax=b（a丰0）不定方程：一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。
代数方程：代数方程通常指整式方程。
有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。
等式：用符号"=来表示相等关系的式子，叫做等式.在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式；两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。
方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。
解一元一次方程的一般步骤：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4. 合并同类项：把方程化成ax=b（a丰0）的形式；5. 系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解。
矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程.知识点2:二元一次方程有两个未知数并且未知项的次数是1,这样的方程，叫做二元一次方程.二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组.解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的两种解法：（1）代入消元法，简称代入法.①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示.②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值.④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解.2）加减消兀法，简称加减法.①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等.②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值.④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解.二元一次方程组解的情况：知识点3:一元一次不等式（组）：不等号有〉、A、<、V或乒等等.用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.如ax<b 或ax>b（a 丰 0）几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组不等式基本性质：（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.一元一次不等式的解法步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化成1（如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向）一元一次不等式组的解法步骤：（1）分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集.（2）在数轴上表示各个不等式的解集. （3 ）写出不等式组的解集.知识点4一元二次方程基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2 （任意）.一次项系数为5 （任意），二次项是 3 （任意不为0）一元二次方程的求根公式：方程as' -F bs 4- c = M&W 0）2a一元二次方程的解法：1. 解一元二次方程的直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解.己知方程（HLX十Q）'二k（DQ尹（Xk〉。
人教版七年级数学上册—第3章一元一次方程单元总结
第三章 一元一次方程知识点一 ：一元一次方程的概念1．方程的定义：含有未知数的等式.①未知数；②等式. 2．一元一次方程的定义：只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1．，等号两边都是整式的方程叫一元一次方程. 一元一次方程的一般形式．．．．：ax+b=0（a 、b 为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）. 3．方程的解：使方程等号左、右两边相等的未知数的值. 4．解方程：求方程的解的过程. 例题：1. (1)下列方程中是一元一次方程的是( )A ．23x y =B ．()7561x x +=-C ．()21112x x +-= D ．12x x-= (2)下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A. 6x y -=B. 1223x x --= C. 34x - D. 21x x += 2.（1）已知2x1-m +4=0是一元一次方程，则m= ________.（2）已知方程04)2(1||=+--a xa 是一元一次方程，则=a __________（3）若2(21)30a x bx c +--=是关于x 的一元一次方程，则一定有（ ）A. 12a =-，0b ≠，c 为任意数 B. 12a =-，b 、c 为任意数 C. 12a =-，0,0b c ≠= D. 12a =，0,0bc =≠（4）若2(1)(1)30k x k x -+++=是关于x 的一元一次方程，求k 的值3.下列说法：①等式是方程； ②x=4是方程5x+20=0的解； ③x=-4和x=6都是方程│x-1│=5的解．其中说法 正确的是___ _．（填序号）4.（1）下列方程中，解为4的方程是（ ）A. 104x x =-B. 5(2)2(27)x x +=+C.62355y y -=+ D. 50.594x x =+ （2）已知4x =-是方程231x a x +=-的解，则a 的值是 5.根据条件列出方程（1）某数的2倍，再减去1等于5 （2）某数的3倍与它的12的和等于106.（1）买4本练习本和5支铅笔一共用了4.9元，已知铅笔每支0.5元，练习本每本多少元？若设练习本每本x 元，则可列方程为（2）一辆汽车从A 地到B 地后，用去了邮箱里的汽油的25%，还剩40升，邮箱里原有汽油多少升？若设邮箱里原有汽油x 升，可列方程为知识点二：等式的基本性质等式的性质1:等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c等式的性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a ＝b （c ≠0），那么c a ＝cb 例题：1.（1）若a b =，则下列式子正确的有（ ）①22a b -=- ②1132a b =③3344a b -=- ④5151a b -=-． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2）如果ma mb =，那么在下列变形中，不一定成立的是（ ）A. 11ma mb +=+B. 33ma mb -=-C. 1122ma mb -=- D. a b = （3）下列变形中，正确的是()A.若ac=bc ，那么a=bB.若cbc a =，那么a=b C.a ＝b ，那么a=b D.若a 2=b 2那么a=b （4）运用等式的性质进行变形，正确的是（ ）A.如果a b =，那么a c b c +=-；B.如果a bc c=，那么a b = C.如果a b =，那么a bc c= D.如果23a a =，那么3a = 2.（1）给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为；②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为；④422x x =-=-变形为；其中变形正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②④C ．②③④D ．①②③（2）下列各式的变形中，错误的是 （ ）A. 260x +=变形为26x =-B.312x x +=-变形为322x x +=- C. 2(4)2x --=-变形为41x -= D. 1122x +-=变形为11x -+=3.用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的; （1）如果810x +=，那么10x =- （2）如果437x x =+，那么4x - =7 （3）如果38x -=，那么x = （3）如果123x =-，那么 =-6 4.完成下列解方程： （1）1343x -= 解：两边 ，根据 得13343x --= 于是13x -=两边 ，根据 得x =（2）5234x x -=+解：两边 ，根据 ，得 =3x+6 两边 ，根据 ，得2x=两边 ，根据 ，得x= 5.根据下列变形，填写过程及理由21100.10.2x -= 解：20101012x -=（ ） 20510x -= （ ）2015x = （ ）34x = （ ）6.利用等式的性质解下列方程并检验 （1）1262x += （2）1543x --= （3）328x -=-7.当x 为何值时，式子453x -与31x +的和等于9？8.列方程并求解：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，个位与十位上的数字之和是10，求这个两位数（提示，设个位上的数字为x ）9.如果方程21x a x +=-的解是x=-4，求32a -的值10.等式2(2)10a x ax -++=是关于x 的一元一次方程，求这个方程的解知识点三：一元一次方程的解法（一般步骤、注意事项） 1.解方程的一般步骤：把含未知数的项归在方程的一边，把常数项归到方程的另一边，将方程化为最简的形式ax b =(0)a ≠，然后根据方程两边都除以a ，化为bx a=的形式。
方程主要知识点总结
方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。
方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。
方程的解即是使等式成立的未知数的值。
二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。
专题5.1 一元一次方程与等式的基本性质【十大题型】(举一反三)-2024-2025学年七年级数学上
专题5.1 一元一次方程与等式的基本性质【十大题型】【浙教版】【题型1 方程的概念辨析】 (1)【题型2 列方程】 (2)【题型3 一元一次方程的概念辨析】 (3)【题型4 根据方程的解求值】 (3)【题型5 利用等式的性质判断变形正误】 (3)【题型6 利用等式的性质解方程】 (4)【题型7 利用等式的性质比较大小】 (5)【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 (6)【题型10 方程的解的规律问题】 (7)【知识点1 方程的定义】方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；①含有未知数．【题型1 方程的概念辨析】【例1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中：①2x−1=5；①4+8=12；①5y+ 8；①2x+3y=0；①2a+1=1；①2x2−5x−1，是方程的是（）A．①①B．①①①C．①①①D．①①①①【变式1-1】（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（）A．绝对值B．有理数C．代数式D．方程【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）下列各式中不是方程的是（）A．2x+3y=1B．3π+4≠5C．﹣x+y=4D．x=8【变式1-3】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：|x −1|+2=3，下列说法正确的是（ ）A ．不是方程B ．是方程，其解只有2C ．是方程，其解只有0D ．是方程，其解有0和2【题型2 列方程】【例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）七年级学生人数为x ，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（ ）A ．1−52%x =150B ．x =150−52%xC ．(1+52%)x =150D ．(1−52%)x =150 【变式2-1】（2023秋·山西阳泉·七年级统考期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）A ．一个数的13是6B ．x 与1的差的14C ．甲数的2倍与乙数的13D ．a 与b 的和的60% 【变式2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）列等式表示“比a 的3倍大5的数等于a 的4倍”为 ．【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）A ．π×(82)2x =π×(62)2×(x +5)B ．π×(82)2x =π×(62)2×(x −5)C ．π×82x =π×62×(x +5)D ．π×82x =π×62×5 【知识点2 一元一次方程的定义】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a ，b 为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a 是未知数的系数，b 是常数，x 的次数必须是1．【题型3 一元一次方程的概念辨析】【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程2x−y=6，x+1x −3=0，12x=12，x2−2x−3=0中一元一次方程的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-1】（2023春·上海·六年级校考期中）方程4−3x2=1中，一次项是．【变式3-2】（2023秋·全国·七年级统考期末）下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n=．【变式3-3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）若方程□−x=1是一元一次方程，则□不可以是（）A．0B．14x C．y D．−7【知识点3 方程的解】解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．【题型4 根据方程的解求值】【例4】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）若关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，则6a+3b=．【变式4-1】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）若x=4是方程mx−3=5的解，则m=．【变式4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3(x−3)−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（）A．6B．5C．4D．1【变式4-3】（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）若关于x的一元一次方程12023x−1=b的解为x=3，则关于x的一元一次方程12023(x+1)−1=b的解x=．【知识点4 等式的性质】性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【题型5 利用等式的性质判断变形正误】【例5】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列利用等式的基本性质变形错误的是（）A．如果x−5=12，则x=12+5B．如果−4x=8，则x=−2C．如果13x=9，则x=3D．如果4x+1=9，则4x=8【变式5-1】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知3a=2b，则下列选项中的等式成立的是（）A．9a=4b B．a3=b2C．3a−2=2b−2D．3(a+1)=2(b+1)【变式5-2】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若a=b≠0，则下列式子中正确的是（填序号）．①a−2=b−2，①13a=12b，①−34a=−34b，①5a−1=5b−1．【变式5-3】（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）解方程x0.7−1.7−2x0.3=1，下列变形正确的是（）A．10x7−17−20x3=1B．10x7−17−20x3=10C．10x7−17−2x3=1D．10x7−17−2x3=10【题型6 利用等式的性质解方程】【例6】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）用等式的性质解下列方程：(1)4x−2=2；解：方程两边同时加上，得：；方程两边同时，得：．(2)12x+2=6．【变式6-1】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校联考期中）利用等式性质解方程（1）2x-5=x-5（2）−13x−5=8【变式6-2】（2023秋·北京·七年级校考期中）利用等式性质补全下列解方程过程：3−13x=4解：根据等式性质1，两边同时，可得3−13x−3=4_________，于是−13x=_________．根据____________两边同时乘以-3，可得x=_______．【变式6-3】（2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中）利用等式的性质解方程(1)4x−4=3(x+1)(2)2y+13=7−y【题型7 利用等式的性质比较大小】【例7】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m ﹣1＝2n ，利用等式的性质比较m ，n 的大小是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．无法确定【变式7-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a −3b −1=5b −3a ，利用等式的基本性质比较a ，b 的大小.【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m +2n ﹣5=m +5n ，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n （填“＞”，“＜”或“=”）．【变式7-3】（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m ﹣1=34n ，试用等式的性质比较m 与n 的大小．【题型8 等式的性质在天平中的运用】【例8】（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）“○”“口”“①”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们的大小，两次情况如图．那么，每个“○”“口”“①”按质量大小的顺序排列为（ ）A ．〇①□B ．〇□①C ．□〇①D ．①□〇【变式8-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少( )次保证可以找出这盒饼干．【变式8-2】（2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）A ．▲▲▲▲B ．▲▲▲▲▲C ．●●▲D ．●▲▲▲【变式8-3】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x 克，经过试验，将有关信息记录在下表中：【解决问题】（1）将表格中两个空白部分用含x 的代数式表示；（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．【及时迁移】 （3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．理由：【题型9 利用等式的性质检验方程的解】【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx −n 的值随x 取值的变化而变化，下表是当x 取不同值时对应的整式的值：则关于x 的方程−mx +n =9的解为（ ）A ．x =−5B ．x =−4C ．x =−2D ．x =1【变式9-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x =−2的是（ ）A ．3x −4=2B ．3(x +1)−3=0C ．2x =−1D ．x+75−1=0【变式9-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．(1)2x +5=10x −3,(x =1)；(2)0.52x −(1−0.52)x =80,(x =1000)．【变式9-3】（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax ﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax ﹣5=3x ﹣4a 的解．【题型10 方程的解的规律问题】【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：x 4+x−12＝1的解是x＝2；x 6+x−22＝1的解是x＝3；x 8+x−32＝1的解是x＝4；…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程：．【变式10-1】（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10+x11=21，解为．【变式10-2】（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：已知：方程x−1x =112的解是x1=2,x2=−12；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x =101011的解，并进行检验再推广到一般情形.【变式10-3】（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x =3+23的两个解是x1=3,x2=23；又已知关于x的方程x+2x =4+24的两个解是x1=4,x2=24；又已知关于x的方程x+2x =5+25的两个解是x1=5,x2=25；…，小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．关于x的方程x+2x =c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．(1)关于x的方程x+2x =11+211的两个解是x1=和x2=；(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？。
一元一次方程的概念及解法
一元一次方程的概念及解法【知识点】：1、一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程。
（如果方程的两边都是整式，我们就把这样的方程叫整式方程。
）2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
3、解方程：求方程解的过程叫做解方程。
4、等式的基本性质：（1）、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
5、解一元一次方程的基本步骤：（1）：去分母；（2）：去括号；（3）：移项；（4）：合并同类项；（5）：系数化成1。
【例题解析】1、判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。
(1) x+3y=4 ( ) (2) x2-2x=6 ( )(3) -6x=0 ( ) (4) 2m +n =0 ( )1+8=5y(5) 2x-y=8 ( ) (6）y ( )2、下列变形中，正确的是()A 、若ac=bc ，那么a=b 。
B 、若cb c a =，那么a=b C 、a ＝b ，那么a=b 。
D 、若a 2=b 2那么a=b3、给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为；②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为；④422x x =-=-变形为； 其中变形正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③4、解方程：（1）x ＋2x ＋4x=140 （2）3x ＋20=4x-25 解： x+2x+4x=140[来源:学科网] ↓合并 7x=140 ↓系数化为1 x=20练习：解方程：（1）12y-3-5y=14； （2）2x -3x =5； （3）0.6x-13x-3=0．5、解方程：（1）42112+=+x x ； （2）2(x －2)－(4x －1)=3(1－x ) 6、解方程：452168x x +=+ 解 :去分母，得 依据去括号，得 依据 移项，得 依据 合并同类项，得 依据 系数化为1，得6x =- 依据 6、数学小诊所：小马虎的解法对吗？如果不对，应怎么改正？解方程312-x =1-614-x解：去分母 2（2x-1）=1-4x-1 去括号 4x-1=1-4x-1 移项 4x+4x=1-1+1 合并 8x=1 系数化为1 x=8练习：解方程：(1) 2x －13 =x+22 +1 (2)3142125x x -+=- (3) 4-3(2-x)=5x7、已知关于x 的方程132233x m m x x x -+=+=-与 的解互为倒数,求m 的值.归纳：解一元一次方程的步骤：步骤方法注意依据去分母在方程两边都乘以________________不要漏乘不含分母的项，分子是一个整体，去分母后应加括号去括号先去_______，再去______，最后______。
简易方程的所有知识点总结
简易方程的所有知识点总结一、方程的定义方程是指数学表达式中出现一个或多个未知数的等式，它通常用来描述某种数学关系。
方程通常表示为A(x) = B(x)，其中A(x)和B(x)是关于未知数x的表达式。
方程的解就是满足方程的所有符合条件的x的值。
二、一元一次方程一元一次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的方程。
例如：2x+3=7就是一个一元一次方程。
解一元一次方程的方法包括整理方程、移项、通分、两边加减同一个数等步骤，最终得到未知数的值。
三、一元二次方程一元二次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程。
例如：x^2 + 3x + 2 = 0 就是一个一元二次方程。
解一元二次方程的方法包括配方法、公式法、直接代入求解等。
四、线性方程组线性方程组是指包含两个或两个以上一元一次方程的方程组。
例如：{2x + y = 7; x - 3y = 5}就是一个线性方程组。
解线性方程组的方法包括代入法、消元法、加减法等。
五、二元二次方程二元二次方程是指包含两个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程。
例如：x^2 + y^2 = 25 就是一个二元二次方程。
解二元二次方程通常需要用到代入法等方法。
六、方程的性质（1）等式性质：如果一个等式的两边都加（减）同一个数（或者两个式子相加，或者相减）仍相等；（2）应用分配率：即对于任意的实数a、b、c，有a(b+c) = ab + ac；（3）等式乘法：如果两个实数相等，那么它们的平方也相等，即a = b，则a^2 = b^2。
同理，如果两个实数不等，那么它们的平方也不等，即a ≠ b，则a^2 ≠ b^2。
七、方程的解法（1）代入法：将解得的值代入原方程，验证是否成立；（2）消元法：通过加减或者乘除操作，使未知数相消或抵消，从而求解出一个未知数的值；（3）配方法：将方程转化为完全平方形式，再利用平方公式求解；（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式来求解方程；（5）逆运算：利用减法逆运算来消去未知数的系数，从而求解出未知数的值；（6）图解法：将方程转化为图形，通过图形求解。
线性代数知识点总结(第4章)
线性代数知识点总结（第4章）（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）2、解的定义：若η=（c1，c2，…，c n）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解【推广】（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+k sηs为Ax=b的解（当Σk i=1）Ax=0的解（当Σk i=0）（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1（三）基础解系6、基础解系定义：（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs线性无关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示→基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。
任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。
★7、重要结论：（证明也很重要）设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O（1）B的列向量均为方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、总结：基础解系的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要结论（需要掌握证明）（1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程A T Ax=0与Ax=0同解，r（A T A）=r（A）（2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）。
方程基础必学知识点总结
方程基础必学知识点总结1. 方程的定义方程是含有未知数的等式，表示了未知数之间的关系。
一般来说，方程可以表示为：$f(x) = 0$，其中 $x$ 为未知数，$f(x)$ 为表达式。
方程的解即是满足方程的值，使得等式成立的值。
2. 一元一次方程一元一次方程是指含有一个未知数且未知数的最高次数为一次的方程。
一元一次方程的一般形式为：$ax+b=0$，其中 $a$, $b$ 为常数，且 $a \neq 0$。
解一元一次方程的方法包括加减消去、倍加消去、代入法等。
3. 二元一次方程组二元一次方程组是指含有两个未知数且未知数的最高次数为一次的方程组。
一般形式为：$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$通过消元法、代入法、加减法等方法可以解决二元一次方程组。
4. 二次方程二次方程是指未知数的最高次数为二次的方程。
一般形式为：$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a$, $b$, $c$ 为常数，且$a \neq 0$。
解二次方程的方法包括配方法、公式法、图像法等。
5. 方程的性质方程的性质包括可加性、可乘性、对称性等。
其中可加性指若等式两边分别加上（或减去）同一数，仍是等式；可乘性指若等式两边同时乘以同一数，仍是等式；对称性指等式两边交换位置后仍是等式。
6. 方程的应用方程在实际生活中有着广泛的应用，如问题求解、建立数学模型等。
通过方程可以描述各种数学问题，并进行求解，如经济中的利润、成本问题、几何中的图形问题、物理中的力、速度问题等。
7. 方程的解的个数根据方程式的性质和一般方法进行求解后，方程的解的个数可以分为无解、唯一解和有限解。
例如二次方程：根据判别式 $b^2-4ac$ 的正负性判断方程的解的情况。
总的来说，方程是代数学中的重要概念，掌握方程的基础知识对学习代数学起着重要的作用。
熟练掌握解一元一次方程、二元一次方程组、二次方程的方法和技巧，理解方程的性质和应用，可以提高代数问题的解题能力和建立数学模型的能力。
数学解方程知识点总结
数学解方程知识点总结解方程的基本概念解方程的过程是通过一系列的转化和变换，将给定的方程式简化为未知数的值。
解方程的基本概念包括以下内容：1. 方程：方程是由等号连接的两个式子组成的数学表达式，其中含有未知数，形式为“算式＝算式”。
方程式通常表示为a*x＝b，其中a和b是已知的系数，x是未知数。
2. 未知数：方程式中的未知数通常用x来表示，其值需要通过解方程的方法来求解。
3. 等式：方程式中的等号表示两个式子相等的关系，解方程的目的就是找到该等式成立时的未知数的值。
4. 解：解指的是使方程式成立的未知数的值，即满足等式的数值。
解方程的基本方法在解方程的过程中，常用的解方程方法包括以下几种：1. 移项法：移项法是解方程的基本方法之一，通过将方程式中的未知数移到一个侧为零的一侧，从而得到未知数的值。
2. 因式分解法：通过对方程式进行因式分解，将方程式转化为多个因子的乘积，从而找到未知数的值。
3. 同解法：对方程式两侧进行相同的操作，从而可以得到与原方程等价的新方程，从而求解未知数的值。
4. 代入法：通过将已知的值代入方程式，从而求解未知数的值。
5. 合并法：通过将方程式中的式子进行合并和化简，从而找到未知数的值。
解方程的解法需要根据具体的方程式和情况选择不同的方法，通常情况下需要多种方法结合使用，才能最终得出方程的解。
解方程的常见类型在解方程的过程中，常见的方程类型包括以下几种：1. 一元一次方程：一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
3. 二元一次方程：二元一次方程是指方程中含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
4. 多元一次方程：多元一次方程是指方程中含有多个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
5. 分式方程：分式方程是指方程中含有未知数的分式表达式，通常需要通过通分和化简来求解。
方程的知识点总结
方程的知识点总结一、方程的定义方程是指用字母、数字和运算符号等符号表示的一种数学关系式。
方程中含有一个或多个未知数，通常用字母表示，并通过等号连接左右两个式子，如下所示：ax + b = 0其中，a和b为已知的系数，x为未知数。
等号表示左右两边的值相等。
方程可以分为线性方程、二次方程、多项式方程、矩阵方程、微分方程、偏微分方程等。
不同类型的方程在数学中都有着各自的意义和应用。
二、方程的种类1. 线性方程线性方程是指未知数的最高次数为一的方程，一般形式为：ax + b = 0其中，a和b为已知系数，x为未知数。
线性方程在数学中应用广泛，也是最容易求解的方程类型之一。
2. 二次方程二次方程是指未知数的最高次数为二的方程，一般形式为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c为已知系数，x为未知数。
二次方程一般有两个解，可以通过求根公式或者配方法来求解。
3. 多项式方程多项式方程是指未知数为多个项的方程，一般形式为：an*x^n+an-1*x^(n-1)+...+a1*x+a0=0其中，a0、a1、…、an为已知系数，x为未知数。
多项式方程的次数不限，可以是一次、二次、三次或更高次。
4. 矩阵方程矩阵方程是指未知数为矩阵的方程，一般形式为：AX = B其中，A和B为已知的矩阵，X为未知的矩阵。
矩阵方程在线性代数中有着广泛的应用，涉及到矩阵的运算和特征值等问题。
5. 微分方程微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系式，一般形式为：F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0其中，y为未知函数，y'、y''、…、y(n)为其各阶导数，F为已知的函数关系。
微分方程在物理、工程、生物等领域有着重要的应用。
6. 偏微分方程偏微分方程是指多元函数的偏导数和自变量之间的关系式，一般形式为：F(x1, x2, …, xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, …, ∂^2u/∂x1∂x2, …, ∂^nu/∂x^n) = 0其中，u为未知函数，∂u/∂x1、∂u/∂x2、…、∂^nu/∂x^n为其各阶偏导数，F为已知的函数关系。