第九章 自旋 量子力学教学课件
量子力学中的自旋
量子力学中的自旋自旋是量子力学中的重要概念之一，它描述了粒子的内禀角动量性质。
本文将介绍自旋的基本原理、量子力学中的自旋算符以及自旋的应用。
一、自旋的概念和基本原理自旋是描述粒子的旋转性质的量子数，与经典物理中的角动量不同，自旋不涉及物体的实际旋转。
自旋可以是整数或半整数，用量子数s表示，对于电子来说，其自旋量子数为1/2。
自旋在物理学中具有很多重要性质，例如自旋角动量守恒以及自旋与磁矩的关系等。
二、自旋算符在量子力学中，自旋算符用来描述自旋的性质和运动规律。
自旋算符有两个分量，即Sz和Sx。
其中，Sz表示自旋在z方向（沿磁场方向）的投影，Sx表示自旋在x方向的投影。
这两个算符的本征值即为自旋的量子数。
三、自旋的应用1.自旋磁矩根据量子力学的理论，自旋与磁矩之间存在固有的关系。
自旋磁矩可用于解释原子和分子的磁性行为，例如顺磁性和抗磁性。
2.自旋共振自旋共振是一种重要的实验技术，广泛应用于核磁共振(NMR)和电子顺磁共振(ESR)等领域。
通过外加磁场和射频脉冲的作用，可以使带有自旋的粒子发生能级跃迁，从而实现信号的产生和检测。
3.自旋量子计算自旋也被用于量子计算领域。
通过调控带有自旋的粒子之间的相互作用，可以实现量子比特的存储和操作，为量子计算提供了一种新的实现方案。
四、总结自旋作为量子力学中的重要概念，描述了粒子的内禀角动量性质。
自旋算符用于描述自旋的性质和运动规律，自旋在物理学中有着广泛的应用，例如自旋磁矩、自旋共振和自旋量子计算等。
深入了解自旋的原理和应用对于理解和研究量子力学具有重要意义。
以上是关于量子力学中的自旋的文章，介绍了自旋的概念和基本原理、自旋算符以及自旋在物理学中的应用。
希望对您有所帮助。
量子物理-自旋假说省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
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自旋本质
不过，乌伦贝克与高德斯密特关于电子自旋假说显著地 带有机械性质，而且，要使自旋磁矩到达一个玻尔磁子， 电子自转时表面速度将到达光速10倍！ 尽管如此，因为这个假说成功地说明了复杂原子光谱结 构，人们很快就接收了自旋概念。 1927年，泡利引入了能够描写电子自旋性质矩阵，把电 子自旋概念纳入了量子力学体系中。 1928年，狄拉克把相对论概念引入量子力学，创建了相 对论量子力学。 在这个理论中，满足相对论性波动方程—狄拉克方程粒 子必定含有1/2自旋。 所以，电子自旋本质上是一个相对论效应，是电子本身 所固有特征。
按照当代物理学观点，自旋和内禀磁矩是标志微观粒子
主要物理量，是除了静质量与电荷之外，微观粒子另一
个自由度。
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m l 1 ,l 3 ,, l 1
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机械自旋假说
为了解释这种半数量子数，乌伦贝克与高德斯密特提出 假设：电子除了轨道运动之外，还有自旋运动，
所以，每个电子都含有自旋角动量 s 2
自旋角动量在空间任意方向 上投影只能取两个值：
sz ms 2
与自旋相联络磁矩： s
匀电强子磁绕场 核中 运发 动生 相分 当裂于现一象个：圆电流，
e
l
在垂直于轨道平面上要产生磁矩：
2me
这个磁矩在外磁场中要受到磁力矩 作用，从而产生附加能量：
E
E0
eB 2me
lz
因为电子运动轨道平面空间取向是量子化，由此产生附
加能量也应该是量子化。
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量子力学中的自旋
量子力学中的自旋量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，它描述了微观世界中粒子的运动和相互作用。
其中一个重要的概念是自旋，自旋是粒子固有的属性之一，它在量子力学中起着至关重要的作用。
首先，让我们来了解一下什么是自旋。
自旋可以看作是粒子固有角动量的一种展现形式，类似于粒子的轨道角动量，但却具有一些独特的特性。
自旋可以用一个半整数或整数来描述，包括0、1/2、1、3/2等。
自旋也可以用量子数来表示，如一般用符号s表示，s=0时对应自旋为0，s=1/2时对应自旋为1/2，以此类推。
自旋在量子力学中的应用非常广泛。
例如，自旋可以解释原子中的电子排布及其行为。
在原子结构中，每个电子都有自己的自旋状态。
泡利不相容原理规定每个电子的自旋状态不能相同，这导致了电子在原子中的排布规则。
由于自旋的存在，电子在磁场中的行为也会受到影响。
根据自旋和磁场之间的相互作用，可以解释磁性物质的特性。
另外一个重要的应用领域是核物理。
核子是构成原子核的重要组成部分，它们包括质子和中子。
质子和中子都有自旋，自旋的方向和自旋量子数可以影响核子之间的相互作用，从而影响原子核的性质。
例如，质子和中子的相互作用能够控制原子核的稳定性，也是核反应和核聚变等核能相关技术的基础。
除了在原子和核物理中的应用外，自旋还在现代科技中扮演着重要的角色。
量子比特（qubit）是量子计算中的基本单位，它可以表示0和1同时存在的叠加态，这种奇特的性质和自旋密切相关。
利用自旋的叠加态可以构建量子比特，从而实现更强大的计算能力和信息处理。
自旋在量子通信中也发挥着重要作用。
量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，它可以实现信息的加密和传输。
自旋的纠缠态可以用于量子密钥分发和量子隐形传态等量子通信协议，提供了更加安全的通信方式。
总的来说，自旋作为量子力学中的一个基本概念在物理学和科技领域中有着广泛的应用。
它不仅解释了微观世界中粒子的行为，还为我们提供了探索量子力学奥秘的工具。
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
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能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
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能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
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（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
量子力学中的自旋和自旋算子
量子力学中的自旋和自旋算子量子力学是描述微观世界行为的理论框架，它引入了许多概念和数学工具来解释和预测粒子的性质。
其中一个重要概念就是自旋，它是描述粒子固有角动量的量子数。
在本文中，我们将探讨自旋的概念以及自旋算子的作用。
自旋是描述粒子固有角动量的一种量子数，它不同于经典物理中的角动量。
经典物理中的角动量是由物体的质量和速度决定的，而自旋则是粒子固有的属性，与其运动状态无关。
自旋可以用一个半整数或整数来表示，例如1/2、1、3/2等。
自旋的作用在于解释一些实验观测结果，例如磁矩的存在和能级的分裂。
磁矩是粒子在磁场中产生的磁性效应，它与自旋有关。
根据量子力学的理论，自旋可以取两个方向，分别对应两个可能的自旋态，即自旋向上和自旋向下。
这两个自旋态可以用符号|↑⟩和|↓⟩表示。
自旋算子是描述自旋性质的数学工具，它作用于自旋态，可以得到自旋的测量结果。
自旋算子通常用σ表示，其中σx、σy和σz分别表示自旋在x、y和z方向上的投影。
自旋算子的本征值对应着自旋的测量结果，而本征态则对应着自旋的可能取值。
自旋算子的本征值问题可以通过求解本征方程来解决。
以σz为例，本征方程可以写为σz|s⟩=s|s⟩，其中|s⟩表示自旋态，s表示自旋的本征值。
解这个方程可以得到自旋的本征值和本征态。
类似地，可以得到σx和σy的本征值和本征态。
自旋算子的另一个重要性质是它们之间的对易关系。
即σx、σy和σz之间满足一定的对易关系，可以用来推导其他的性质和关系。
例如，自旋算子的对易关系可以用来推导自旋态之间的关系，以及自旋态的叠加和叠乘规则。
自旋算子的应用不仅限于描述自旋性质，还可以用来描述其他的物理过程。
例如，自旋算子可以用来描述自旋之间的相互作用，以及自旋与磁场之间的相互作用。
这些相互作用可以通过自旋算子的耦合项来表示，从而描述粒子的动力学行为。
总结起来，自旋是量子力学中一个重要的概念，它描述了粒子固有的角动量性质。
自旋算子是描述自旋性质的数学工具，它可以用来计算自旋的测量结果和描述自旋之间的相互作用。
量子力学 中科大课件 一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论
量子力学中科大课件一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian 讨论[问题I]，单个12自旋向任一方向r r e r=的投影算符()r e σ⋅。
1) 算符()r e σ⋅为书上已研究过的（p.204-205）。
它满足()2r e I σ⋅=，所以其本征值为1±，其本征函数()()()()()()()()cos exp 2sin exp 222;sin exp 2cos exp 222r r i i e e i i θθϕϕχχθθϕϕ+-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可将它写为它本身的谱表示：()()()()()()()()()r r r r r e e e e e σχχχχ++--⋅=-2) 计算对易子()(),1,2i r i e i σσ⋅=⎡⎤⎣⎦。
下面略去脚标1,2i =。
先计算(),r x e σσ⋅⎡⎤⎣⎦：()(),,222r x x x y y z z x z y y z r xe n n n i n i n i e σσσσσσσσσ⎡⎤⋅=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+=⨯于是有()(),2r r e i e σσσ⋅=⨯⎡⎤⎣⎦3) 再往算(),r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦先算轨道角动量的z l 分量的对易子：[](),,r z x y z y x r z x y z e l i x y i e r r r σσσσσ⎡⎤⋅=-++∂-∂=-⨯⎢⎥⎣⎦于是有()(),r r e l i e σσ⎡⎤⋅=-⨯⎣⎦4) 再往算()(),,σσ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅+⎣⎦⎣⎦r r e J e l S 总之有,,02r r e J e l σσσ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 于是，这种()r e σ⋅算符将保持此费米子的总角动量不变。
5) 再往算()2,r e σσ⎡⎤⋅⎣⎦。
显然，由于单个12自旋的23σ=，有()2,0r e σσ⎡⎤⋅=⎣⎦6) 再往算()2,r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦()()()()()()(){}()(){}2,,,r r r r r r r r re l e l l l e l i e l i l e i e l l e i e l l e σσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-⨯⋅-⋅⨯=-⋅⨯-⨯⋅=-⋅⨯-⨯ 为计算()r l e ⨯，先算它的x 分量：()()()()()223333112ryz x z y x x x z y x y zz y z y l e l l i z x x y r r r r x z z y x y i z x xz z x x xy y x y r r r r r r r r x z y i l l r r r⎧⎫⨯=-=-∂-∂-∂-∂⎨⎬⎩⎭⎧----⎫⎛⎫⎛⎫=---+∂-∂-+--∂-∂⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭=+-于是有()()2rr r l e ie e l ⨯=-⨯最后得()(){}(){}(){}222,222r r rr r r r r r e l i e l i e re e e r e e r e σσσσ⎡⎤⋅=-⋅⨯-⎣⎦=-⋅⨯⨯∇+=-⋅⋅∇-∇+7) 再往算(),r e l s σ⎡⎤⋅⋅⎣⎦()()()222211,,,22r r r e l s e J l s e l σσσ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅=⋅--=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦即有()()(){}21,,2r r r r e l s e l i e l i e σσσ⎡⎤⎡⎤⋅⋅=-⋅=⋅⨯-⎣⎦⎣⎦ ※ ※ ※[问题II]，两个12自旋算符()()()1212123r r S e e σσσσ≡⋅⋅-⋅的研究。
量子力学--第九章 全同粒子体系
注：交换简并显然存在： ) j ( )k ( ) 中填 粒子交换只不过是 i ( 入不同的排列，它们仍是 H 的属于 E 的本征函数。 2、对称化波函数与泡利原理 描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。 交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ ， 则称 A 若P 为交换反对称波函数。 ij A A 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的 固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。 它决定了粒子所服从的统计。
也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或 反对称的，它们的对称性不随时间改变。 这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变 的这点出发,很易得到证明. 全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H
量子力学课件完整版(适合初学者)
利用
得到
E h , p k , h / 2 , 2 , k 2 / ,
d 2 2 0, 所以，t x(t ) dk m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
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（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
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参考书目
曾谨言《量子力学》，科学出版社 周世勋《量子力学教程》，高等教育出版 社
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量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程
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2.1 波函数及其统计解释
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一、自由粒子的波函数
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E 和动量 p pe 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为
4
1.1 经典物理学的困难
5
19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理， 统称为经典物理学。其中的两个结论 为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的： 带电体做加速运动时，会向外辐射电 磁波。
6
经典物理学的成就
牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在 牢固的基础上； 统计力学的建立。
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3、概率波
粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 ( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y,z ) 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。 | ( x, y, z) |2 应该表示粒子出现在点 所以， (x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。
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选Sz作为力学量完全集，即取Sz表象，那在自身表象中的表 示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值
相应的本征矢
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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在Sz表象中Sx,Sy的矩阵表示
矩阵元：只要将Sx,Sy作用于 Sz的基矢并以Sz基矢展开，从 展开系数来获得
[Sz, S+]=ℏS+, S±=Sx±iSy
SzS+|S, ms> = S+(Sz+ℏ) |S, ms> =(ms+1) ℏ S+ |S, ms>
Sˆ S, ms S, ms 1
Sˆ S, ms A S, ms 1
S+|S,ms>和S+|S,ms> 标积
Sˆ S, ms
S, ms
Sˆ
( x, y, z, Sz , t)
由于 SZ 只取 ±ℏ/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
写成列矩阵
若已知电子处于Sz = ℏ/2或Sz = -ℏ/2的自旋态，则波函数 可分别写为：
旋量波函数
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
Bohr 磁子
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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回转磁比率
（1）电子回转磁比率
（2）轨道回转磁比率
S z e
Sz
mec
轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
则，轨道回转磁比率为：
e 2mec
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
以e/2mec单位，则gs=2（而gl=1）.
第九章 自旋
教学内容
§1 电子自旋态与自旋算符 §2 总角动量的本征态 §3 碱金属原子光谱双线结构、反常Zeeman效应 §4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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§1 电子自旋态与自旋算符
电子自旋存在的实验事实
在讨论电子在磁场中的运动时，发现电子具有轨道磁矩
电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第7页
自旋算符
已知通常的力学量都可以表示为坐标 和动量的函数
F = F(r, p)
由于电子具有自旋，实验发现，它 也具有内禀磁矩
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他力学量一样，自旋角动量 也是用 一个算符描写，记为
假设：自旋算符S有三个分量，并满 足角动量所具有的对易关系
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
对比轨道角动量的关系:
[Lˆi , Lˆ j ] i ijk Lˆk
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由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±ℏ/2 两个值 所以Sx,Sy,Sz的本征值都是±ℏ/2 2iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是±ℏ/2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1；
σx2,σy2,σZ2 的本征值都是1。
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第14页
对于 S 在 n(θ,φ) 方向上的分量为
Sˆn sin cosSˆx sin sinSˆy cos Sˆz
则本征矢
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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Pauli算符
分量
(I) Pauli 算符的引进
形式
分量形式：
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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Stern-Gerlach实验（1922年）
（1）实验描述 S 态的银原子束流，经非均匀磁场发 生偏转，在感光板上呈现两条分立线 。 （2）结论: I.银原子有磁矩.因在非均匀磁场中 发生偏转; II.银原子磁矩只有两种取向,即空间 量子化的.
如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为
如磁场方向在z方向
显然ΔV是量子化的，它取(2l+1)个值.在较强的磁场(105Gs），发现一些类氢 离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解 释它。 但是，当这些原子或离子置入弱磁场的环境中，或光谱分辨率提高后，发现 问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
S, ms
Sˆ
S, ms SˆSˆ S, ms A2
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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S2 = Sx2+Sy2+Sz2 =S(S+1)ℏ2 [Sx, Sy]=iℏSz
同理可得
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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第9章 自旋@ Quantum Mechanics
（3）讨论 当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如 果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具 有磁矩，那在磁场中的附加能量为
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
Z
N
S
处于 S 态的 原子
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第9章 自旋@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
S2算符的本征值是S2 = Sx2+Sy2+Sz2 =3/4ℏ2 仿照l2=1(l+1) ℏ2
S2=s(s+1) ℏ2 = 3/4ℏ2 , s=1/2
自旋量子数 s 只有一个数值
第9章 自旋@ Quantum Mechanics
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含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的 波函数需写为：
Fang Jun
电子自旋假定
根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）1925年根据上述现象提出了电子自旋假 设 （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只 能取两个数值：
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：