圆锥曲线
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标（x0, y0） （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 22 例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值 uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有 OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1 a3
则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时 l :y = x - c x - y - c = 0 d O - l = = 解得： c = 1 22 a = 3, b = 2 椭圆方程为： +=1 32 (2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2) 当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1) 联立直线与椭圆方程： y =k (x - 1) 消去y 可得： 2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0 uuur uuur uuur Q OP =OA +OB x 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-2 3 3 ，则P (2,0)不在椭圆上 2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得：
圆锥曲线大题专题训练答案和题目
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
第12讲 圆与圆锥曲线综合
第12讲 圆与圆锥曲线综合 【教学目标】 知识与技能 （1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法 （1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。 情感态度与价值观 （1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。 （2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点： 圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点： 圆和圆锥曲线的综合问题 考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题] 例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18 2 2 ≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率 为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ． 21 C ．3 3 D ．3 例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________． 例3 已知椭圆E ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2， 且621-=?F F ． （1）求椭圆E 的方程； （2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．
圆锥曲线中的最值和范围问题
圆锥曲线中的最值和范围问题 一、【基础考点】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题在高考中突出考试的知识点: (1)圆锥曲线的定义和方程； （2）点与曲线的位置关系；特别是点在曲线上，点的坐标满足方程； （3）a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及相关关系； （4）二次函数、均值不等式及导数的应用。 基础训练： 1．已知双曲线 122 22 =-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 2 2 1916 x y - =的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2 ＝1上的点，则|PM| －|PN |的最大值为（ D ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ．43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线 222 2 1,(0,0)x y a b a b - =>>的左、 右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A)43 (B)53 (C)2 (D)7 3 5．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 32 6．对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( B ) （A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］ （D ）（0，2） 二、【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【例1】已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||P M P N -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ? 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，
几何画板 课件设计 圆锥曲线的形成和立体图形的侧面展开_百度.
摘要 《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。 在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和两类立体图形的侧面展开过程。这两类课件在教学上都有很重要的应用。最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。第二类立体图形的侧面展开问题在以往的课件制作中都有所涉及，但制作方法都很繁琐。我所作课件的最大优势就在于利用了一个统一的方法进行课件制作，大大缩短了制作的时间，而且达到了很好的演示效果。 全文由三部分组成： 第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。 第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。 第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。 关键词：几何画板，标记向量，椭圆，圆锥曲线，圆锥截面， 轨迹，追踪，侧面展开图， 目录
摘要 (1) Abstract ......................................................................................................................... .. (3) 引言 (4) 第一部分几何画板的选题原则 (4) 第二部分课件设计与制作 (5) 第一类课件：圆锥曲线及圆锥截面的形 成 (5) 第一部分：圆锥曲线的构 造 (6) 第二部分：圆锥截面的构 造 (8) 第二类课件：立体图形的侧面展 开 (9) 第一部分：构造圆柱展 开 (10) 第二部分：构造棱柱展 开 (10)
圆锥曲线中存在探索型问题
圆锥曲线中存在探索型问题 存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题 例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由． 分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22 ，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，① 又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③ 联立????? y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2 ，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2 ＝2， 解得a ＝32 ，经检验符合题意， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32 ×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题 例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原 点O ，椭圆x 2a 2＋y 29 ＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【试卷】高三圆锥曲线专题测试题及答案
高三圆锥曲线专题测试题 一、选择题 1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｃ． 2．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则2PF =（ ） Ｃ．72 Ｄ．4 3．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关 4．焦点为(06)，且与双曲线2 212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．22 11224 x y -= Ｂ．22 12412y x -= Ｃ．2212412 x y -= Ｄ．22 11224 y x -= 5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x = 或 212x y =- Ｂ． 216y x =或 216x y = Ｃ． 216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22 213x y m m +=-的一个焦点为(01)， ，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53 8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ）
Ａ．22 11612 x y += Ｂ．22 1164x y += Ｃ．22 11216 x y += Ｄ．22 1416 x y += 10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)， 12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆22 14924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则 12PF PF =· ． 14．已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为 ． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 ． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个 1，求椭圆的方程．
圆锥曲线与参数的范围
圆锥曲线与参数的范围 四川省大英县育才中学 秦增林 圆锥曲线中，参数是一个非常重要的量。在解有关参数问题时，往往涉及求参数的范围，深刻理解与掌握参数的意义及其对圆锥曲线的图象的形状、性质的影响，是高中数学教与学的一个难点问题。本文就怎样求参数的范围，归纳几种较为典型的类型。 一、 根据直线与圆锥曲线的公共点的情况，利用Δ法求参数的范围 这是圆锥曲线中求范围的一种常规思路，通过直线与圆锥曲线消元得到一个类一元二次方程（需确定二项式系数是否为0），利用Δ法求参数的范围 例：若抛物线y =x 2 上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m 的取值范围。 解：设直线l ：b x m y +- =1 ，直线l 与抛物线y =x 2的两交点为A （x 1 ,y 1） 、B （x 2 ,y 2）, 由????? =+-=2 1x y b m y 消元得02=-+mb x mx ∴Δ=1+4b m 2 ＞0，且m x x x 212210-=+=，b m b m m y +=+-?-=2 021 )21(1 则线段AB 的中点M （m 21- ，b m +2 21），又点M 在直线y=m(x-3)上， ∴b m +221= m(m 21--3) 即b =2 21m --3m 21- 由Δ=1+4b m 2＞0得Δ=1+42m ﹒（2 21m -- 3m 21-）=12122 3---m m ＞0 ∴12122 3++m m ＜0即)126)(12(2 +-+m m m ＜0 解得实数m 的取值范围为)2 1,(--∞ 二、 利用a 、b 、c 的大小关系求参数的范围 在圆锥曲线中，对于a 、b 、c 大小关系有规定，若能建立参数与这三个量之间的关系，则可求出参数的范围。 例：如图，点A 是椭圆C ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1 的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上，且BP ∥x 轴，9=?→ → AP AB , 若P 的坐标为()t ,0，求t 的取值范围。 解：法一、由P 的坐标为()t ,0及A 点位于x 轴下方，得A 点的坐标为()3,0-t ∴b t -=-3即t b -=3
[高中数学]圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由
专题直线与圆、圆锥曲线知识点
专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
圆锥曲线与方程单元教学设计
圆锥曲线与方程单元教 学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计 设计者姓名郭晓泉 设计者单位华亭县第二中学 联系电话 电子邮箱 《圆锥曲线与方程》单元教学设计 一、教学内容分析 1、实际背景分析 该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。 2、数学视角分析 《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。 3、课程标准视角分析 （1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。 （2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0 （2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量 的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题: 于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为 在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1 a 3 2 2 例1 :已知椭圆C :笃每 1 a a b 0的离心率为 过右焦点F 的直线I 与C 相交 （1 ）求a,b 的值 （2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P 成立？若存
则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时 d o 解得: 、、3,b 椭圆方程为: X2 2 y 2 (2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X 2,y2 当l斜率存在时，设 X o X1 X2 联立直线与椭圆方程: 3k2 2 x2 6k2x X 1 6k2 X 23k2 2 6k2 3k2 2' 6k2 3k2 2 4 2 72 k 48k y o y1 y 2 2 2x 3y 3k2 y1 Y2 k y2 消去 6 X-| x2 y 可得：2x2 3k2 2k 6k3 3k2 2k 2 1 6，整理可得: 4k 3k2 2 4k 3k2 2 因为P在椭圆上 2 6 3k 2 2 2 24 k 3k 3k2 24k2 6 3k2 .2 .2 时，I 3 V2 2，2 当斜率不存在时，可知4,B 3 2,0不在椭圆上 1, 3
微专题圆锥曲线几何条件的处理
微专题圆锥曲线几何条件的处理策略 1.平行四边形处理策略 例 1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆 222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3 m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ ）能，4 4+ 【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系； （Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3 m m 列方程求k 的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入222 9x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122 29 M x x kb x k +==-+， 2 99 M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3 m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9, y x k x y m ? =-???+=?得222 2981P k m x k =+ ，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3) 3 m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即2P M x x = = 2(3)23(9) mk k k -?+ ．解得14k = 24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为 4 4+OAPB 为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2.直角三角形处理策略 例2.椭圆 22 22x y a b +=（0a b >> （1）求椭圆的方程；2 214 x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ?为直角三角形，求直线l 的斜率 解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立 22 414 y kx x y =+???+=??消去y 得22 (14)32600k x kx +++=，
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 ① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. (2)两种解法 ① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决； ② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可先建立起目标函数， 再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. ［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点, 直线y = kx(k>0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于 E , F 两点. (1) 若 ED — = 6I D F ，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF 的面积的最大值. ［思路演示］ 2 解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为 X + y 2= 1,直线AB 的方程为x + 2y — 2= 0. 4 设 D(x o , kx o ), E(X 1, kx 1), F(X 2, kx ?),其中 X 1
圆锥曲线三大难点解读
圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；
文科圆锥曲线专题练习与答案
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
圆锥曲线的相关结论192条
结论1：过圆2222a y x =+上任意点P 作圆222a y x =+的两条切线，则两条切线垂直． 结论2：过圆2 2 2 2 b a y x +=+上任意点P 作椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）的两条切线， 则两条切线垂直． 结论3：过圆2 2 2 2 b a y x -=+（0>>b a ）上任意点P 作双曲线122 22=-b y a x 的两条切 线，则两条切线垂直． 结论4：过圆222a y x =+上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆：2222a y x =+． 结论5：过椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切 线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x +=+． 结论6：过双曲线122 22=-b y a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如 果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x -=+． 结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方 程为 12020=+b y y a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切 线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为 12020=+b y y a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆 的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+b y y a x x ．
圆锥曲线三个实验
数学实验报告 实验序号：3日期：2015年3月28日班级：12组别：123成员：林佳彦林佳佳刘嘉棣郑 素萍黄永欣 1.实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验 2.实验目的：沿着历史的轨迹，重走前人发现圆锥曲线的历程。重现圆锥曲线产生 的三个经典实验——梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗尼奥斯的割圆锥法、Dandelin双球实验。探讨圆锥曲线的种类和各种圆锥曲线产生的条件。 3.实验方法：利用实物、模具观察，利用几何画板课件进行探讨、反思 4.实验器材：卡纸、水、橡皮泥、乒乓球、透明软文件夹 5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法） 一、梅内克缪斯割圆锥法——最早对圆锥曲线的命名 背景：公元前4世纪，希腊著名学者梅内克缪斯首先发现了圆锥曲线.他用平面去截圆锥曲面而得到截痕,并称之为圆锥曲线.当时的圆锥曲面都是通过直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转而成的.根据轴三角形顶角的不同,将圆锥曲面分为锐角圆周、钝角圆锥和直角圆锥.Menaechmus用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕。在锐角圆锥上的截痕定义为椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线（的一支），在直角圆锥上的截痕是抛物线.值得注意的是，梅内克缪斯虽然推导了圆锥曲线的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念.并且当时所使用的旋转体均为直角三角形，得到的均为正圆锥，有一定的局限性.
（1）我们小组通过用建立坐标轴的方式，将梅内克缪斯割圆锥法用现在定义的圆锥曲线方程进行验证，发现其与现在的圆锥曲线方程是相符的.即两种定义是相符的，满足了定义的一致性. ○1直角圆锥： ∵平面DEG⊥平面ABC,平面PVR⊥ABC ∴QP⊥平面ABC ∴PQ⊥RV又∵RV是直径,根据射影定理 ∴PO2=RO×OV ∵△HDG∽DOV∴DO OV DO DG =OV= HD DG HD ? ?且RO=HD ∴PO2=RO×OV=HD×DO DG HD ? =DO×DG 若我们建立以D为圆心,DF为X轴的直角坐标系,P点坐标为(x,y) 则得到曲线方程为:2y DG x =?,其中DG由点D的位置决定,是一个常数 这正好符合我们现代解析几何中的抛物线的方程。即梅内克缪斯的定义和现代定义是